0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容
(一 )、常微分方程求解
(二 )、积分方程求解
(三 ),求解偏微分方程定解问题傅立叶变换的应用
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
c.将边界条件齐次化后,采用延拓法,最后 用傅里叶变换法求解,
傅立叶变换的应用应用范围,
(1) 求解无界区域的定解问题,直接傅氏求解 ;
(2) 对于半无界区域的定解问题,
a,第一类边界条件,采用傅里叶正弦变换 ;
b.第二类边界条件,傅里叶余弦变换
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
例 1 求解量子力学中常遇到的方程
( ) ( ) 0u x x u x
解,(1) 将方程作傅立叶变换：
(一 )、常微分方程求解
2 2[ ( ) ] [ ( ) ] ( )F u x i F u x u
[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )dF x u x iF ix u x i u iud
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
所以原方程变换为一阶常微分方程：
2( ) ( ) 0u i u
(2) 求出像函数：
2
3() iu C e
(3) 求出原函数：
2
3()
2
i ixCu x e e d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
例 2 求解积分方程：
( ) ( ) ( ) ( )y x f x y g x d
解 (1) 对积分方程两端作傅立叶变换
(二 )、积分方程求解由卷积性质：
( ) ( ) ( ) ( )F y g x d y g
所以方程变换为：
( ) ( ) ( ) ( )y f y g
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
(2) 求像函数
()()
1 ( )
fy
g
(3) 求原像函数
1 ( )()
2 1 ( )
ixfy x e d
g
注：正弦与余弦变换正弦变换：
0( ) ( ) s i nsf f x x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
正弦变换的逆变换：
0
2( ) ( ) si n
sf x f x d
余弦变换：
0( ) ( ) c o scf f x x d x
余弦变换的逆变换：
0
2( ) ( ) c o s
cf x f x d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
例 3 求解积分方程：
0 ( ) s i n ( )y x x d x F
其中,co s,0
2
( ),
4
0,
F
解：方程左边为 y(x)的傅立叶正弦变换，因此，
y(x)等于 F(λ )的正弦逆变换。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
所以，方程的解为：
0
2( ) c o s sin
2y x x d
0
1 sin ( 1 ) sin ( 1 )
2 x d x d
2 ( 1 c o s )1
x x
x
(三 ),求解偏微分方程定解问题
1、全无界域上的定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
例 4 求解无界弦振动方程的初值问题
)()0,(
)()0,(
0,,02
xxu
xxu
txuau
t
xxtt
解 (1) 对定解问题作对应于空间变量的傅立叶变换
2
2
2
(,),( ) (,)
t t x x
d u tu u i u t
dt
变换 后得关于 t的常微分方程定解问题：
2
22
2
(,)
(,) 0
*
(,0 ) ( ),(,0 ) ( )t
d u t
a u t
dt
uu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
atiati eCeCtu 21),(~
atiati e
aieaitu
)(~1)(~
2
1)(1)(~
2
1),(~
*中方程的通解为,
*特解为,
(2) 求像函数
(3) 求原像函数
)],(~[),( 1 tuFtxu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
)],(~[),( 1 tuFtxu
atiati
atiati
e
i
F
a
eF
e
i
F
a
eF
)(~
1
2
1
)(~
2
1
)(~
1
2
1
)(~
2
1
11
11
由延迟定理,
)(~)]([][ atiati exFeatxF
)()](~[1 atxeF ati
所以：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
于是得定解为：
)(~1.
.
.
.
iedFedF atixatiatx?
atxati de
iF
.
.
1 )(~1
atxatx ddaatxatxtxu,...2 1][21),(
atx atx daatxatx,.2 1][21
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
例 5 求解上半平面的狄氏问题
22
0,,0
(,0) ( )
l im (,0) 0
xy
u x y
u x f x
ux
解 (1) 对定解问题作对应于空间变量 x的傅立叶变换
2
2
2
(,),( ) (,)
y y x x
d u yu u i u y
dy
变换 后得关于 y的常微分方程定解问题：
2
2
2
(,)
(,) 0
**
(,0 ) ( ),(,) 0y
d u y
uy
dy
u f u y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
(,) ( ) ( )yyu t A e B e
*中方程的通解为,
当 λ >0时：
(2) 求像函数
(3) 求原像函数
1(,) [ (,) ]u x y F u y
( ) 0A
当 λ <0时：
( ) 0B
像函数为,
(,) ( ) yu t f e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
1(,) [ (,) ]u x y F u y
1 () yF f e
由卷积定理,
1() yg x F e
这里：
11( ) ( ) * ( )yF f e F F f x g x
( ) * ( )f x g x?
22
1y
xy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
于是得定解为：
22
1(,) ( ) * yu x t f x
xy
,22,1()y fdxy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
例 6 求定解问题解 (1) 对定解问题作对应于空间变量 x的傅立叶变换
2
4
2
(,),( ) (,)
t t x x x x
d u tu u i u t
dt
变换 后得关于 t的常微分方程定解问题：
2
24
2
2
(,)
(,) 0
**
(,0 ) ( ),(,0 ) ( )t
d u t
a u t
dt
u u a
2 0,,0
(,0 ) ( )
(,0 ) ( )
tt x x x x
t
u a u x t
u x x
u x a x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
(2) 求像函数
(3) 求原像函数
1(,) [ (,) ]u x y F u y
像函数为,
22(,) ( ) c o s ( ) s i nu t a t a t
1 2 1 2( ) c o s ( ) sinF a t F a t
由卷积定理,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
而：
1 2 1 2( ) c o s ( ) sinF a t F a t
1 2 1 2( ) * c os ( ) * si nx F a t x F a t
12
22
c o s
1 c o s sin
4422
F a t
xx
a t a tat
12
22
sin
1 c o s sin
4422
F a t
xx
a t a tat
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
例 7 设有一根无限长的杆,杆上有强度为 F(x,t)的热源,
杆的初始温度为 φ (x),试求 t>0时杆上温度的分布规律 。
解：定解问题为：
)(
0,),,(
0
2
2
2
xu
txtxf
x
u
a
t
u
t?
),(1),( txFctxf
(1) 对定解问题作对应于空间变量 x的傅立叶变换
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
22
0
(,) (,)
(,) ( )t
du
a u t f t
dt
ut
t tata defeu,0,)(2222 ~~~
ta
x
ta e
ta
eF 2
2
22 41
2
1][
(2) 求像函数
(3) 求原像函数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
22
22
1
()()
..
4 ( )4
.,0,
(,) [ (,)]
1 1 (,)
()
22
xx
t
atat
u x t F u t
f
e d d e d
a t a t
2、半无界域上的定解问题半无界域上的定解问题一般采用正、余弦变换求解
a,第一类边界条件,采用傅里叶正弦变换 ;
b.第二类边界条件,采用傅里叶余弦变换。
或者 将边界条件齐次化后,采用延拓法,最后 用傅里叶变换法求解,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
例 8 求定解问题解 (1) 对定解问题中 (1),(3)作对应于空间变量
x的傅立叶正弦变换变换 后得关于 t的常微分方程定解问题：
2
22
2
(,)
(,) 0
*
(,0 ) ( ),(,0 ) ( )t
d u t
a u t
dt
uu
2 0,0,0 ( 1 )
( 0,) 0 ( 2 )
(,0 ) ( ),(,0 ) ( ) ( 3 )
t t x x
t
u a u x t
ut
u x x u x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
(2) 求像函数
(3) 求原像函数
1(,) [ (,) ]u x y F u y
像函数为,
1(,) ( ) c o s ( ) s inu t a t a t
a
11 1( ) c o s ( ) s i nF a t F a ta
可以算出：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
( ) ( )
,
2
( ) ( )
,
2
x at x at
x at
x at at x
x at
1 ( ) c o sF a t
1 1( ) s inF a t
a
1
( ),
2
1
( ),,
2
x at
x at
x at
at x
d x at
a
d x at x at
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
( ) ( ) 1
( ),
22
( ) ( ) 1
( ),
22
x a t
x a t
x a t
a t x
x a t x a t
d x a t
a
x a t a t x
d x a t
a
(,)u x t?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
例 9 求定解问题
)(
0
)0,0(,0
00
0
2
常数uu
u
txuau
x
t
xxt
解：将边界条件齐次化，仿波动方程问题作奇延拓，将问题化为无界问题
0utxtxu ），（），（?
2
00
0
0,(0,0 )
*
0
t x x
t
x
a x t
u
1、边界条件齐次化令：
得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
2
2
()
0 4
.
(,) ( )
2
x
atuV x t e d
at
2
241(0,) ( ) 0
2
atV t e d
at
要使该解满足 *的边界条件，只要：
*对应的全无界问题为：
2
00
0,(,0) **t x x
t
V a V x t
Vu?
**的解为,(由例 7)
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
(2) 奇延拓
)0(,
)0(,
)(
)0,(,0
0
0
0
2
xu
xu
x
txa
t
xxt
不难发现：只要 φ (x)为奇函数即可！
该定解问题的解为：
22
22
( ) ( )
0
0 44
.0
(,)
2
xx
a t a tux t e d e d
at
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
即得：
.2,2
22
0
.0,
0 44
0
.,0
[]
2
xx
a t a t
u x t u x t
u
u e d e d
at
（ ） （ ）
（,） （,）
将该解限制在 x>0上，即得到原定解问题的解通过积分换元得：
2,2
22..0 44
0,.[]2
ss
a t a t
xx
uu x t u e d s e d s
at?
（,）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
当 x>0时：
2,2
22..0 44
0,.[]2
ss
a t a t
xx
uu x t u e d s e d s
at?
（,）
000
0 0,0[]2 xx
uu
at?
000
0 []2 xx
uu
at
2
20 4
0 0[]
s
x
abuu e d s
at?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
例 10 用余弦变换解定解问题
2,0,0
( 0,) 0,(,0),
(,) (,) 0
t x x
x
x
u a u x t
u x u t Q Q
u t u t
为常数解：以 x 为积分变量，作余弦变换,
,0,c o s),(),(~ x d xxtutu
.
.0 (,) c o sx x x xu u t x x d x?
.
0,0c o s s i nxxu x u x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
.2 2 2 2 22,0(,) e x p 1 e x ptQu t a t a Q a d
.2
0,0
2
s i n c o sQ u x u x d x
Qu
2 2 2
0,0
du
a u a Q
dt
u
于是得变换后的定解问题为：
特解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
.
.0
2
.
22
.0 0
2
.
42
.0
2
44
.0
2
(,) (,) c o s
2
e x p c o s
1
e x p
4
2
e x p
4
t
t
t
u t x u t x d
aQ
d a x d
a Q x
d
a
a Q x
d
a
作反余弦变换
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
2 2 2 2
22 22
2222
2
2
.
,0 0
( ) ( )
22 44
00
4
1
c o s ( )
2
11
22
1
2
i x i xaa
xx xx
aa
a a a a
x
a
e x d e e e d
e d e e d e
e
a
注：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
作业
P115习题 5.2第 1,2,3,4,5,6,7、
8题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
Thank You !
