0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容
(一 )、二维波动方程柯西问题的降维法
(二 )、行波法求解定解问题应用举例无界域上二维波动方程求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
2 2 2
2
2 2 2
0
0
,,,0
(,)
(,)
t
t
u u u
a x y t
t x y
u x y
u
xy
t
二维空间的自由振动的波动方程定解问题为：
求解方法：把二维看成三维的特殊情形，即把二维情形的方程、初始条件和波函数看成与 z无关的三维问题进行处理，从三维泊松公式出发，利用曲面积分计算，得到二维问题的解。
(一 )、二维波动方程柯西问题的降维法
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
球面 S的方程为：
x
dS
θat
M
dσ
y
z
2 2 2 2( ) ( )z a t x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
所以
c osd dS
所以 U(M,t)化为圆域上二重积分的二倍，于是得到二维无界域上自由振动的波动方程的解为：
2 2 2 2( ) ( )a t x y
dS
at
2 2 2 2( ) ( )
atd S d
a t x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
2 2 2 2
1 (,)(,,,)
2 ( ) ( )Du x y z t d dat a t x y
在极坐标系下为：
2 2 2 2
1 (,)
2 ( ) ( )D dda a t x y
2
2 2 200
1 ( c o s,s in )(,,,)
2
at x r y ru x y z t r d r d
at a t r
2
2 2 200
1 ( c o s,s i n )
2
at x r y r r d r d
a a t r
上面公式称为二维泊松公式。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
把低维问题用相应的高维问题来处理，称为降维法。降维法不仅在波动方程问题中使用，在其它一些定解问题中也可以使用。
例 1、用降维法由三维波动方程泊松公式推导出一维波动方程的达朗贝尔公式。
解：三维波动方程初值问题：
2 2 2 2
2
2 2 2 2
00
,,,,0
(,,),(,,)tt
u u u u
a x y z t
t x y z
u
u x y z x y z
t
当 u不依赖 x,y时，即得到自由弦振动方程：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
泊松公式为：
当 φ,ψ 只与 z有关时，可得：
22
2
22
00
,0
( ),( )tt
uu
a z t
tz
u
u z z
t
..
2
1 ( ) ( )(,)
4 MM
a t a tSS
MMu M t d S d S
a t t t
.
.
2
2
00
()
( c o s )
( ) s in
M
atS
M
dS
t
z a t
a t d d
at
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
令：
c o sz a t
则当 θ,0到 π 时,ξ,z+at到 z-at,于是得：
2
0
( c os )2 ( ) sinz at at d
at
.
.
() 2 ( ) *
M
at
z a t
z a t
S
M d S d
t
同样的方法得：
.
.
() 2 ( ) * *
M
at
z a t
z a t
S
M d S d
t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
将 *与 **代入泊松公式得：
例 2、求解定解问题：
atx
atx
daatxatxtxu,
.2
1
2
1),(
2 2 2
2
2 2 2
2
00
,,,0
( ),0tt
u u u
a x y t
t x y
u
u x x y
t
解：由二维泊松公式：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
由初始条件得：
2
2 2 200
1 ( c o s,s in )(,,,)
2
at x r y ru x y z t r d r d
at a t r
2
2 2 200
1 ( c o s,s i n )
2
at x r y r r d r d
a a t r
2
2 2 200
1 ( c o s,s in )
2
at x r y r r d r d
at a t r
2c o s,s i n ( c o s ) ( c o s s i n )x r y r x r x y r r
2 2 2
22
32
( ) 2 ( ) c o s ( ) c o s
( sin c o s ) 2 ( sin c o s ) c o s
( sin c o s ) c o s
x x y x x y r x y r
x r x r
r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
由三函数的周期性、正交性、倍角公式得,cosθ,
Sinθ,cosθ Sinθ,cos3θ,cos2θ Sinθ在 0到 2π上的积分均为零，而
2 2
0
c o s d
所以：
2
2 2 200
( c o s,s i n )at x r y r r d r d
a t r
3
2
2 2 2 2 2 200
2 3 3
2 ( ) ( 3 )
2
2 ( ) ( 3 )
3
a t a tr d r r d r
x x y x y
a t r a t r
x x y a t x y a t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
于是得：
本题还可以如下求解：
2 3 3
2 2 2
12(,,,) 2 ( ) ( 3 )
23
( ) ( 3 )
u x y z t x x y a t x y a t
at
x x y a t x y
由初始条件得,uyy=0.所以，可将定解问题改写为一维问题：
22
2
22
2
00
,,,0
( ),0tt
uu
a x y t
tx
u
u x x y
t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
把 y看着参变量。于是由达朗贝尔公式得：
问：若 可以如此处理吗？
atx
atx
daatxatxtxu,
.2
1
2
1),(
12 x a t x a t
3 3 2 2
2 2 2
1
2
( ) ( )
x a t x a t x a t y x a t y
x x y a t x y
22,( )x y x x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
例 3、求解定解问题：
2 2 2
22
2 2 2
00
,,,0
(,),(,)tt
V V V
a c V x y t
t x y
V
V x y x y
t
解：这是二维有阻尼振动问题，采用衰减因子变换法，令：
(,,; ) (,; )
c z
au x y z t e V x y t?
则：
2
2,,,
c c c cz z z z
a a a a
t t t t x x x x y y y y z z t t
cu e V u e V u e V u e V
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
代入原定解问题得：
2 2 2 2
2
2 2 2 2
00
,,,,0
(,),(,)
cc
zz
aa
tt
u u u u
a x y z t
t x y z
u
u e x y e x y
t
于是由泊松公式得：
..
2
1 ( ) ( )
(,)
4 MM
a t a t
cc
zz
aa
SS
e M M
u M t d S d S
a t t t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
一些定解问题，不具备达朗贝尔公式条件，但可以通过变量替换或不经过变换可以求出通解，则可以先求通解，再由定解条件求出特解。
例 1、求弦振动的古沙问题：
(二 )、行波法求解定解问题应用举例
22
22
,,0
( ),( )t x t x
uu
xt
tx
u
u x x
t
解：方程的通解为：
12(,) ( ) ( )u x t f x t f x t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
由第一初始条件 得：
12( 0 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )f f x x
令 y=2x得：
12
12
( 0) ( ) ( )
2
( 3 )
( ) ( 0) ( )
2
y
f f y
y
f y f
由第二初始条件 得：
12( 2 ) ( 0 ) ( ) ( 2 )f x f x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
由 (3)得：
所以：
11( ) (0 )2
xtf x t f
12
21
( ) ( ) ( 0)
2
( 4)
( ) ( ) ( 0)
2
y
f y f
y
f y f
22( ) (0 )2
xtf x t f
所以：
12(,) (0 ) (0 )22
x t x tu x t f f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
又由 (4)当 y=0时：
原定解问题的解为：
12 1( 0) ( 0) 0 02ff
(0 ) (0 )(,)
2 2 2
x t x tu x t
例 2、求解一端自由的半无界长杆的自由振动,
22
2
22
00
,0,0
( ),( )
( 0,) 0
tt
x
uu
a x t
tx
u
u x x
t
ut
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
解：方程的通解为：
12(,) ( ) ( )u x t f x a t f x a t
由第一初始条件 得：
12( ) ( ) ( ) ( 1 )f x f x x
由第二初始条件 得：
12( ) ( ) ( ) ( 2)af x af x x
由 (1)与 (2) 得：
1
0
1
0
11
( ) ( ) ( ) ( 5 )
2 2 2
( 0 )
11
( ) ( ) ( ) ( 6 )
2 2 2
x
x
C
f x x d
a
x
C
f x x d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
这里：
12( 0 ) ( 0 )C f f
上面的 f1(x)与 f2(x)均是在 0≦x<+∞ 下推出的。由于 x+at总是大于或等于零，所以：
1 0
11( ) ( ) ( ) ( 7 )
2 2 2
x at Cf x a t x a t d
a
但是,x-at就不一定大于零了。作如下讨论：
(a)、若 x-at≥0,则由 (6)得：
2 0
11( ) ( ) ( ) ( 8 )
2 2 2
x at Cf x a t x a t d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
(b)、若 x-at<0,则 (6)不能用。但由边界条件代入通解表达式得：
12( ) ( ) 0f a t f a t
所以，
21( ) ( ) ( 0 ) ( 9 )f x f x C x
令 x=at,并对上式从 0到 x积分得：
22( ) ( ) ( 0 )f x a t f a t x a t x
1 ()f a t x C
0
11( ) ( ) ( 1 0 )
2 2 2
at x Ca t x d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
将 (7),(8),(10)代入通解表达式得：
00
11
( ) ( ) ( ) ( 0 )
22
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )
22
x a t
x a t
x a t a t x
x a t x a t d x a t
a
x a t x a t d d x a t
a
(,)u x t?
解法 2、延拓法求解设想半无界长杆，延拓为全无界长杆，将原定解问题的初始条件看成无限长杆的纵振动的初始条件在 0≦x<∞ 的部分，即原定解问题转化为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
2
,0,0
( ),0
(,0) ( )
( ),0
( 1 )
( ),0
(,0) ( )
( ),0
( 0,) 0
tt x x
t
x
u a u x t
xx
u x x
f x x
xx
u x x
g x x
ut
由达朗贝尔公式得 (1)的解为：
..11(,) ( 2 )22 x a tx a tu x t x a t x a t da
其中,f(x),g(x)是待定函数。只要 (2)满足边界条件，则它限制在 x≥0上时即为原定解问题的解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
让该解满足半无界弦边界条件得：
110 ( ) ( )22a t a t a t a ta
由初始位移与初始速度的独立性得：
a t a t ( ) ( )a t a t
所以：只要作如下偶延拓：
( ),0( ),0xxx xx
( ),0( ),0xxx xx
则对应的无界长弦的解限制在 x≥0上时，就是所求问题的解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
由当 x≥at 时 (自然 x≥0)：
..11(,) 22 x a tx a tu x t x a t x a t da
..11(,) 22 x atx atu x t x a t x a t da
当 x≦ at 时 (但 x≥0)：
.
.0
.
.0
11
(,)
22
1
2
a t x
a t x
u x t x at at x d
a
d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
.
.
..
,0,0
11
( ),
22
(,)
11
[ ( ) ( ),
22
x a t
x a t
x a t a t x
x
x a t x a t s d s t
aa
u x t
x
x a t a t x s d s s d s t
aa
所以，端点自由半无界长杆自由振动定解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
例 3、求解定解问题
22
2
22
00
,0,0
( ),( ),( 0 )
( 0,) ( )
tt
uu
a x t
tx
u
u x x x
t
u t g t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
解：方程的通解为：
12(,) ( ) ( )u x t f x a t f x a t
由第一初始条件 得：
12( ) ( ) ( ) ( 1 )f x f x x
由第二初始条件 得：
12( ) ( ) ( ) ( 2)af x af x x
由 (1)与 (2) 得：
1
0
1
0
11
( ) ( ) ( ) ( 5 )
2 2 2
( 0 )
11
( ) ( ) ( ) ( 6 )
2 2 2
x
x
C
f x x d
a
x
C
f x x d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
这里：
12( 0 ) ( 0 )C f f
上面的 f1(x)与 f2(x)均是在 0≦x<+∞ 下推出的。由于 x+at总是大于或等于零，所以：
1 0
11( ) ( ) ( ) ( 7 )
2 2 2
x at Cf x a t x a t d
a
但是,x-at就不一定大于零了。作如下讨论：
(a)、若 x-at≥0,则由 (6)得：
2 0
11( ) ( ) ( ) ( 8 )
2 2 2
x at Cf x a t x a t d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
(b)、若 x-at<0,则 (6)不能用。但由边界条件代入通解表达式得：
12( ) ( ) ( ),( 0 )f a t f a t g t a t
所以，
22( ) ( )f x a t f a t x
0
11( ) ( ) ( ) ( 1 0 )
2 2 2
a t xxCg t a t x d
aa
21( ) ( ) ( ) ( 0 )
xf x g f x x a t
a
1( ) ( )
a t xg f a t x
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
将 (7),(8),(10)代入通解表达式得：
11
( ) ( ) ( ) ( 0 )
22
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )
22
x a t
x a t
x a t
a t x
x a t x a t d x a t
a
x
x a t a t x d g t x a t
aa
(,)u x t?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
作业
P99习题 4.3第 1,3题
P101习题 4.4第 1,4题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
Thank You !
