0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
第四章 行波法行波法是一种只能用于求解无界域内波动方程定解问题的方法，即求解波动方程柯西问题的方法。
主要内容通过讨论，可以得到求解一维波动方程柯西问题的达朗贝尔公式和高维波动方程柯西问题的泊松公式二、高维波动方程柯西问题求解学时,6学时一、一维无界、半无界域上波动方程求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
本次课主要内容
(一 )、无界域上波动方程定解问题求解
(二 )、半无界域上波动方程定解问题求解一维无界、半无界域上波动方程求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
(一 )、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
2
0
0
(,0 )
()
()
t t x x
t
tt
u a u x R t
ux
ux
(1) 由第 2章第 4节的方法，求出泛定方程通解为：
12(,) ( ) ( )u x t f x a t f x a t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
(2) 把通解代入初始条件得：
xxfaxfa
xxfxf
21
21
于是得：
0
12
1 2 1 0 2 0
1
( ) ( )
x
x
f x f x x
f x f x d f x f x
a
由此求得：
0
0
1 1 0 2 0
2 1 0 2 0
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
x
x
x
x
f x x d f x f x
a
f x x d f x f x
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
atx
atx
daatxatxtxu,
.2
1
2
1),(
分析：
上面公式称为达朗贝尔公式例 1、无限长静止弦在点 x=x0受到冲击，冲量为 I,弦的密度为 ρ 。试求解弦的振动 。
原定解问题的解为：
弦受冲击而振动，若把冲击时间定为时间起点，则 t>0
时，弦作自由振动，其方程为：
2 ()t t x xu a u x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
弦在 x=x0处受到敲击时，初速度为：
在冲击时，弦未及时发生位移，因此：
0 0tu
0
0
0
()
0( )tt
xx
u
xx?
由动量定理：
tu d x I?
所以有：
00 ()tt
Iu x x?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
可直接代入达朗贝尔公式求解
2
0
00
0,
0,
,
tt x x
t
tt
u a u x
ux
I
u x x x?
解：定解问题为：
0
0
0
1
(,)
2
()
2
x a t
x a t
x x a t
x x a t
I
u x t x d
a
I
d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
0
0
0
0
00
(,) ( ) ( )
22
2
x x a t
x x a t
x x a t
x x a t
II
u x t d H
aa
I
H x x a t H x x a t
a
引入阶跃函数：
0 ( 0 )()
1 (0 )
xHx
x
则,( ) ( )H x x
所以定解问题的解可以进一步表达为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
2、无限长弦的纯强迫振动定解问题无限长弦在纯强迫力 f(x,t)引起的振动定解问题为：
2
0
0
(,) (,0 )
0
0
t t x x
t
tt
u a u f x t x R t
u
u
对应的齐次化问题为：
2 (,)
0,(,)
tt x x
t t t
W a W x R t
W W f x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
作变换：
则齐次化问题为：
2
00
(,0 )
0,(,) ( )
t t x x
t t t
W a W x R t
W W f x x R?
tt
由达朗贝尔公式得：
1(,,) (,)
2
x at
x atW x t f da
即：
()
()
1(,,) (,)
2
x a t
x a tW x t f da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
由齐次化原理得：
例 2、求定解问题：
()
0 ( )
1(,) (,)
2
t x a t
x a tu x t f d da
2
00
(,0)
0,0
tt x x
t t t
u a u x at x R t
uu
解：这是纯强迫振动问题，所以有：
()
0 ( )
1(,) ( )
2
t x a t
x a tu x t a d da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
例 3、求定解问题：
23
26
x t a t
00
8 (,0 )
0,0
x x y y
y y y
u u x R y
uu
解：这可以看为纯强迫振动问题，所以有：
()
0 ( )
1(,) ( 8 )
2
y x a y
x a yu x y d da
24 y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
3、无限长弦的一般强迫振动定解问题无限长弦在强迫力 f(x,t)引起的振动定解问题为：
2
0
0
(,) (,0 )
()
()
t t x x
t
tt
u a u f x t x R t
ux
ux
作函数分解：
(,) (,) (,)u x t V x t W x t
原定解问题可以分解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
2
0
0
(,0 )
( ) ( 1 )
()
t t x x
t
tt
V a V x R t
ux
ux
(1)的解为：
2
0
0
(,0 )
0 ( 2 )
0
t t x x
t
tt
W a W x R t
W
W
..11(,) 22 x a tx a tV x t x a t x a t da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
所以，原定解问题的解为：
()
0 ( )
1(,) (,)
2
t x a t
x a tW x t f d da
..11(,) 22 x atx atu x t x a t x a t da
(2)的解为：
()
0 ( )
1 (,)
2
t x a t
x a t f d da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
例 4、求定解问题：
00
c o s (,0 )
c o s,
t t x x
x
t t t
u u x x R t
u x u x e
解：这可以看为一般强迫振动问题，所以有：
..11(,) 22 x atx atu x t x a t x a t da
()
0 ( )
1 (,)
2
t x a t
x a t f d da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
.
.
.
.
11
(,)
22
11
c o s c o s
22
11
c o s c o s ( 1 ) ( 1 )
22
x a t
x a t
xt
xt
x t x t
V x t x a t x a t d
a
x t x t e d
x t x t x t e x t e
()
0 ( )
()
0 ( )
1
(,) (,)
2
1
c o s
2
1
2 c o s c o s ( ) c o s ( )
2
t x a t
x a t
t x t
xt
W x t f d d
a
dd
x x t x t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
于是，原定解问题的解为：
1(,) c o s ( 1 ) ( 1 )
2
x t x tu x t x x t e x t e
分析：
例 5、求无限长弦的有阻尼振动定解问题：
22
00
2 0 (,0 )
( ),( )
tt x x t
t t t
u a u u u x R t
u x u x
4、无限长弦的有阻尼振动定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
泛定方程与自由弦振动相比较，多了阻尼项，因此，
不能直接使用达朗贝尔公式求解。对于阻尼振动，
常常可以表示为其解中带一个随时间成指数衰减的因子，所以可以令：
将其代入阻尼振动方程得：
(,) (,) ( 0 )tu x t e V x t
2 2 22 ( ) ( 2 ) 0t t x x tV a V V V
取 β =ε,可得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
由达朗贝尔公式 得：
2
00
0 (,0 )
( ),( ) ( )
tt x x
t t t
V a V x R t
V x u x x
..11(,) ( )22 x atx atV x t x a t x a t da
所以，原定解问题的解为：
..11(,) ( )22 x a ttt x a tu x t x a t x a t de a e
注：无界域上类似阻尼振动问题，要考虑函数变换。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
解：定解问题为：
例 6、在 GL=RC的条件下，求无限长高频传输线上的电报方程定解问题。 (课堂思考 )
0 (,0 )
0
(,0 ) ( )
(,0 ) ( )
xt
xt
V Li R i x R t
i CV G V
V x x
C
i x F x
L
提示：通过适当变换，得关于 V和 i的二阶线性偏微分方程，然后，用类似例 5的方法求解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
例 7,求 下面柯西问题的解：
0,3
032
0
2
0
2
22
2
2
yy
y
u
xu
y
u
yx
u
x
u
解：特征方程 为：
032 22 dxd x d ydy
21,3 CyxCyx
特征线方程为：
yx
yx
3
令,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
变换原方程化成标准型：
0
2
u
2 2 1 2( ) ( ) ( 3 ) ( )u f f f x y f x y
通解为,
代入条件 得：
0)()3(
3)()3(
21
2
21
xfxf
xxfxf
Cxxf
Cxxf
2
2
2
1
4
3
)(
4
1
)(
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
2222 3)(
4
3)3(
4
1),( yxyxyxyxu
(二 )、半无界域上波动方程定解问题求解讨论半无界弦自由振动问题：半无界弦是有界真实弦的抽象。物理意义是考虑靠近一端的那段弦，而认为另一端的影响还未传到。所以，边界条件只有一个，该边界分为固定与自由情形。
端点固定：
0,0
0,0,,)0,(
0,02
tu
xxxuxxu
xuau
t
xxtt
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
端点自由,
0,0
0,0,,)0,(
0,02
tu
xxxuxxu
xuau
x
t
xxtt
求解思路,
设法把半无界弦处理成相应的无界弦情形：
只要无界弦在 x≥0满足对应的半无界弦的边界条件，无界弦的限制在 x≥0的解就是半无界弦的解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
1、端点固定情形,
2 0,0,0
(,0 ),,0,0
0,0
t t x x
t
u a u x t
u x x u x x x
ut
设对应的无界长弦的自由振动为：
2 0,,0
(,0 ),,0
t t x x
t
u a u x t
u x x u x x
由达朗贝尔公式：
..11(,) 22 x a tx a tu x t x a t x a t da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
让该解满足半无界弦边界条件得：
..110 22 at ata t a t da
由初始位移与初始速度的独立性得：
a t a t.
,0
at
at d
所以：只要作如下奇延拓：
( ),0( ),0xxx xx
( ),0( ),0xxx xx
则对应的无界长弦的解限制在 x≥0上时，就是所求问题的解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
由当 x≥at 时 (自然 x≥0)：
..11(,) 22 x a tx a tu x t x a t x a t da
..11(,) 22 x atx atu x t x a t x a t da
当 x≦ at 时 (但 x≥0)：
..11(,) 22 x atat xu x t x a t a t x da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
.
.
.
.
11
( ),
22
(,)
11
( ),
22
x a t
x a t
x a t
a t x
x
x a t x a t d t
aa
u x t
x
x a t a t x d t
aa
所以，半无界端点固定长弦自由振动定解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
2、端点自由情形,
2 0,0,0
(,0 ),,0,0
0,0
t t x x
t
x
u a u x t
u x x u x x x
ut
设对应的无界长弦的自由振动为：
2 0,,0
(,0 ),,0
t t x x
t
u a u x t
u x x u x x
由达朗贝尔公式：
..11(,) 22 x a tx a tu x t x a t x a t da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
让该解满足半无界弦边界条件得：
110 ( ) ( )22a t a t a t a ta
由初始位移与初始速度的独立性得：
a t a t ( ) ( )a t a t
所以：只要作如下偶延拓：
( ),0( ),0xxx xx
( ),0( ),0xxx xx
则对应的无界长弦的解限制在 x≥0上时，就是所求问题的解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
由当 x≥at 时 (自然 x≥0)：
..11(,) 22 x a tx a tu x t x a t x a t da
..11(,) 22 x atx atu x t x a t x a t da
当 x≦ at 时 (但 x≥0)：
.
.0
.
.0
11
(,)
22
1
2
a t x
a t x
u x t x at at x d
a
d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
.
.
..
,0,0
11
( ),
22
(,)
11
[ ( ) ( ),
22
x a t
x a t
x a t a t x
x
x a t x a t s d s t
aa
u x t
x
x a t a t x s d s s d s t
aa
所以，端点自由半无界长弦自由振动定解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
例 8,求 下面定界解问题的解：
解：这是端点固定的半无界弦振动,所以：
2 0,0
(,0 ) s i n,,0 c o s,0
0,0
t t x x
t
u a u x
u x x u x x x
ut
.
.
.
.
11
( ),
22
(,)
11
( ),
22
x a t
x a t
x a t
a t x
x
x a t x a t d t
aa
u x t
x
x a t a t x d t
aa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
.
.
.
.
11
s in s in c o s,
22
11
s in s in c o s,
22
x a t
x a t
x a t
a t x
x
x a t x a t d t
aa
x
x a t a t x d t
aa
sin c o s
sin c o s,(,0 )
c o s sin
sin c o s,(,0 )
a t x x
x a t t x
aa
a t x x
x a t t x
aa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
作业
P90习题 4.1第 1,4,5,6题
P92习题 4.2第 1,3、题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
Thank You !
