0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
(一 )、傅立叶变换的定义与性质
(二 )、傅立叶变换的应用第五章 积分变换
(三 ),拉普拉斯变换的定义与性质
(四 ),拉普拉斯变换的应用主要内容授课时数,8学时
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
本次课主要内容
(一 )、傅立叶变换的定义
(二 )、傅立叶变换的基本性质
(三 ),n维傅立叶变换傅立叶变换的定义与性质
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
1,周期函数的傅立叶展开
0
0 s inc o s
2)( n nn L
xnb
L
xnaaxf
),2,1,0(,
s i n)(
1
c o s)(
1
.
.
.
.
n
d
L
n
f
L
b
d
L
n
f
L
a
L
L
n
L
L
n
(一 )、傅立叶变换的定义展开定理：设 f(x)是以 2L为周期的函数,在 [-L,L]上连续且只有有限个第一类间断点和有限个极值点,则在连续点处有：
其中：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
在非连续点处：
0
0
1 ( 0 ) ( 0 ) c o s s i n
22 nnn
a n x n xf x f x a b
LL
2、非周期函数的傅立叶变换非周期函数的傅立叶变换是周期函数傅立叶级数展开的极限情形,
设 f(x) 在 (-∞,+∞) 内有定义,f(x)是非周期函数。又设 f(x)在有限区间 [-L,L]上分段光滑。由展开定理,f(x)在
[-L,L]上的傅立叶级数为：
0
0
( ) c o s s i n ( 1 )2 nn
n
a n x n xf x a b
LL
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
其中：
把 (2)代入 (1)得：
1
1 1 ( )( ) ( ) ( ) c o s ( 3 )
2
LL
n
nxf x f d f d
L L L
.
.
.
.
1
( ) c os
,( 0,1,2,) ( 2)
1
( ) sin
L
n
L
L
n
L
n
a f d
LL n
n
b f d
LL
当 时，得 f(x)在 (-∞,+∞) 内的展开式。L
为讨论该极限，假定：
( ) ( 4 )fd
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
于是 f(x)在 (-∞,+∞) 内的展开式为：
1
1 ( )( ) l i m ( ) c o s ( 5 )L
LL n
nxf x f d
LL
令 于是 (5)为：
L L
0 1
1 ( )( ) l i m ( ) c o s
L n
nxf x L f d
L
0
1 ( ) c o s ( )d f x d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
由于是关于 λ 的偶函数，所以：
( ) c o s ( )f x d
1( ) ( ) c o s ( )
2f x d f x d
11 ( ) c o s c o s ( ) s i n s i n
22f d x f d x d
令：
1
( ) ( ) c os
2
( 6)
1
( ) ( ) sin
2
A f d
B f d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
于是得：
( ) ( ) c o s ( ) s i n ( 7 )f x A x B x d
称 (7)为非周期函数 f(x)的傅立叶积分，而 (6)为函数 f(x)
的傅立叶变换。
由 (7)+(8)得：
1 ( ) s in ( ) 0 ( 8 )
2 d f x d
又因为：
1( ) ( )
2
ixf x d f e d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
若令：
则：
称 (9)为函数 f(x)的复数形式的傅立叶变换,(10)为傅立叶变换的逆变换。
( ) ( ) ( 9 )ixf f x e d x
1( ) ( ) ( 1 0 )
2
ixf x f e d
算子形式：
傅立叶变换：
[ ( ) ] ( )F f x f
傅立叶逆变换,1 [ ( ) ] ( )F f f x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
傅立叶变换的存在条件：
(1) f(x)在 (-∞,+∞) 绝对可积；
(2) f(x)在任意有限区间分段光滑。
3、利用定义求函数的傅立叶变换例 1 求函数 f(x)的傅立叶变换
si n( ) ( 0)axf x a
x
解：
sin[ ( ) ] [ ]axF f x F
x?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
2
ia x ia x
ixee e d x
ix
( ) ( )
2
i a x i a xee
dxix
c o s ( ) s in ( ) c o s ( ) s in ( )
2
a x i a x a x i a x dx
ix
00
00
sin( ) sin( )
2
22
sin( ) sin( )
22
a x a x
dx dx
xx
a x a x
dx dx
xx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
注意到：
0
,0
s i n 2
,0
2
a
ax
dx
x
a
(1) 若 a>|λ |,则 a-λ >0且 a+λ>0，于是有：
sin[ ( ) ] [ ]
22
axF f x F
x
(2) 若 a=|λ |,则：
0,0
2,0a a
2,0
0,0
aa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
所以：
0
0,0
sin( )
,0
2
ax
dx
x
于是得：
0
0,0
sin( )
,0
2
ax
dx
x
si n[ ( )] [ ]
2
axF f x F
x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
(3) 若 a<|λ |,则
(a) 若 λ >0时,则 a-λ<0且 a+λ>0，有：
0
sin( )
2
ax dx
x
0
sin( )
2
ax dx
x
从而有：
sin[ ( ) ] [ ] 0axF f x F
x
(b) 若 λ <0时,则 a-λ>0且 a+λ<0，有：
0
sin( )
2
ax dx
x
0
sin( )
2
ax dx
x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
从而有：
sin[ ( ) ] [ ] 0axF f x F
x
所以，当 a<|λ|时,有 sin
[ ( ) ] [ ] 0axF f x F x
,
sin
[ ( ) ] [ ],
2
0,
a
ax
F f x F a
x
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
例 2 求函数 f(x)的傅立叶变换
21,1
()
0,1
xx
fx
x
解：
[ ( ) ] ( ) ixF f x f x e d x
2( 1 ) ( c o s s i n )x x i x d x
1 2
1 ( 1 ) ( c o s s i n )x x i x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
1 2
02 (1 ) c o sx x d x
3
4 (si n c o s )
例 3 求高斯分布函数
2
221()
2
t
f t e?
的频谱函数,
解：即求 f(t)的傅立叶变换设
2
11,
22ab
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
由变换公式得：
[ ( ) ] ( ) itF f t f t e d t
2b t i ta e e d t
2()b t i ta e d t
2 2
()42 ibtbbae e dt
2
4 bae
b
22
2e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
例 4 设 a 是正的实常数,
22
1ax ixae e d
a
(1) 证明：
(2) 由 (1),求函数 C(λ ),使
22 ()
ixa C e d
ax
证明：设
1 []
2
a x a x ixe F e e d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
则：
所以,有：
[] a x a x ixF e e e d x
c o s s i na x a xe x d x i e x d x
02 c o s
axe x d x
22
2 a
a
22
1ax ixae e d
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
(2) 由函数 C(λ )满足：
22 ()
ixa C e d
ax
有：
22
1()
2
aCF
ax
22
1
2
ixa e d x
ax
22
1
2
ixa e dx
ax
12 ae
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
性质 1.（线性定理）
][][ 2121 fFfFffF
(二 )、傅立叶变换的基本性质证明：
1 2 1 2 ixF f f f f e d x
12
i x i xf e d x f e d x
12[ ] [ ]F f F f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
证明：
性质 2.（卷积定理）
][][][ 2121 fFfFffF
卷积定义：
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f d
1 2 1 2[ ] ( ) ( )
ixF f f e f x f d d x
21( ) ( )
ixf d f x e d x
()
21( ) ( )
if d f e d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
12( ) ( )
iif e d f e d
12[ ] [ ]F f F f?
性质 3.（乘积定理）
][][2 1][ 2121 fFfFffF
证明：
1 2 1 2[ ] ( ) ( )
ixF f f f x f x e d x
12
1( ) ( )
2
i x i xf x f e d e d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
21
1 ( ) ( )
2
i x i xf f x e e d x d
()
21
1 ( ) ( )
2
ixf f x e d x d
21
1 ( ) ( )
2 f f d
12
1 [ ] [ ]
2 F f F f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
证明：由于性质 4.（原象的导数定理）
[ ] [ ]F f i F f ()[ ] ( ) [ ]kkF f i F f
1( ) ( )
2
ixf x f e d
所以：
1( ) ( ) ( )
2
ixf x i f e d
因此 [ ] [ ]F f i F f
由归纳法可证明一般情形。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
证明：由于性质 5.（象的导数定理）
[ ] [ ]d F f F ix fd
( ) ( ) ixf f x e d x
所以：
( ) ( ) ixf i x f x e d x
[]F ix f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
性质 6.（延迟定理）
00[ ( ) ] [ ( ) ]ixF f x x e F f x
证明：
00[ ( ) ] ( )
ixF f x x f x x e d x
0()() i u xf u e d u
0 ()ix iue f u e d u
0 [ ( ) ]ixe F f x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
证明：
00[ ( ) ] ( )i x i x ixF e f x e f x e d x
性质 7.（位移定理）
0 0[ ( ) ] ( )ixF e f x f
0()() ixf x e d x
0()f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
证明：
性质 8.（积分定理）
.
.
1[ ( ) ] [ ( )]xF f d F f x
i
.
.[ ( ) ] ( )
x f d f x
所以，由微分定理：
.
.[ ( ( ) ) ] [ ( ) ]
xF f d F f x
..[ ( ( ) ) ] ( ) [ ( ) ]xxF f d i F f d
即,.
.
1[ ( ) ] [ ( )]xF f d F f x
i
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
性质 9.(δ 函数的傅立叶变换 )
.
0.[ ) ] 1i x i x xF x x e d x e
（ （ ）
..[] i x iF x x e d x e
性质 10.(相似定理 )
1[ ( ) ] ( )F f a x f
aa
a 为不等于 0的实常数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
证明,
(1) a>0时
[ ( ) ] ( ) ixF f a x f a x e d x
()11( ) ( )iuaf u e d u f
a a a
(2) a<0时
[ ( ) ] ( ) ixF f a x f a x e d x
()11( ) ( )iuaf u e d u f
a a a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
所以
[ ( ) ] ( ) ixF f a x f a x e d x 1 ()faa
性质 11
若 则[ ( ) ] ( )F f x g [ ( ) ] 2 ( )F g x f
证明,由 得：[ ( ) ] ( )F f x g
1( ) ( )
2
ixf x g e d
1( ) ( )2 if g e d
即 [ ( ) ] 2 ( )F g x f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
性质应用举例例 1 (1) 求证1 2 ( )F
证明：
所以
[ ( ) ] ( ) 1ixF x x e d x
1 1[ 1 ] 1 ( )
2
ixF e d x
11( ) 1 122 ixe dx F1 2 ( )F
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
(2) 求
0s i nFx?
解：由线性性质得：
000 1sin 2 i x i xi x i xF x e e d x e e d xi
00( ) ( )1 11
2
i x i xe d x e d x
i
001 2 ( ) 2 ( )2 i
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
例 3 利用傅立叶变换解微分方程：
0y x y
解：方程两边作傅立叶变换有：
0F y F x y
等式中第一项为：
22( ) ( ) ( )F y i y y
由于
()F f x F i x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
所以，
()F ix y f y
()iy
i y i y
所以，原方程经过傅立叶变换后得到：
( 1 ) 0yy
2
2cye
2
1 2cy F e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
定义
)],,,([),,,( 2121 nn xxxfFF
1 1 2 2
.,()
1 2 1 2.,(,,,) nn
i x x x
nnf x x x e d x d x d x
),,,( 21 nxxxf?
1 1 2 2
.,()
1 2 1 2..
1 (,,,)
( 2 )
nni x x x
nnn F e d d d
(三 ),n维傅立叶变换
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
40
][][][ 2121 fFfFffF
][][][ 2121 fFfFffF
][][)2( 1][ 21221 fFfFffF
[ ] [ ],1,2,,k
k
fF i F f k n
x?
[ ] [ ],1,2,,k
k
F f F i x f k n
n 维傅氏变换具有与上面平行的性质：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
41
作业
P108习题 5.1第 1,3,4,5题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
42
Thank You !
