0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容
(一 )、行波法
(二 )、积分变换法行波法与积分变换法习题课
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
(一 )、行波法
1、要点回顾
(1)行波法的适用范围是什么？
答：波动方程的初值问题。
(2)行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？
答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数 (或常数 )，
从而求出其特解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
(3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意义是什么？
答,(a) 公式为：
(b) 物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数 a。
atx
atx
daatxatxtxu,
.2
1
2
1),(
(4)如何求解无限长弦的纯强迫振动问题和一般强迫振动问题？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
答 (a)纯强迫振动 定解问题为：
求解方法：齐次化原理
2
0
0
(,) (,0 )
0
0
t t x x
t
tt
u a u f x t x R t
u
u
(b)一般强迫振动 定解问题为：
2
0
0
(,) (,0 )
()
()
t t x x
t
tt
u a u f x t x R t
ux
ux
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分答,(a)公式 为：
(5)三维自由振动的泊松公式是什么？
公式的物理意义是什么？
22
1 ( ) 1 ( )(,)
44 MM
a t a tSS
MMu M t d S d S
a t t a t
(b) 物理意义,1)空间任意一点 M在任意时刻 t>0的状态完全由以该点为心,at为半径的球面上的初始扰动决定；
2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
答,(a)公式 为：
(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？
(b) 物理意义,1)空间任意一点 M在任意时刻 t>0的状态完全由以该点为心,at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；
2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，
波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。
2
2 2 200
1 ( c o s,s in )(,,)
2
at x r y ru x y t r d r d
at a t r
2
2 2 200
1 ( c o s,s i n )
2
at x r y r r d r d
a a t r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
2、典型题型
(1)利用行波法求解例 1、求下面柯西问题的解：
0,3
032
0
2
0
2
22
2
2
yy
y
u
xu
y
u
yx
u
x
u
解：特征方程 为：
032 22 dxd x d ydy
21,3 CyxCyx
特征线方程为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
yx
yx
3
令,
变换原方程化成标准型：
0
2
u
2 2 1 2( ) ( ) ( 3 ) ( )u f f f x y f x y
通解为,
代入条件 得：
0)()3(
3)()3(
21
2
21
xfxf
xxfxf
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
Cxxf
Cxxf
2
2
2
1
4
3
)(
4
1
)(
2222 3)(
4
3)3(
4
1),( yxyxyxyxu
例 2、求波动方程的古沙问题
2
0
0
(,0 ) ( 1 )
( ) ( 2 )
( ),( (0 ) (0 ) 0 ) ( 3 )
t t x x
x a t
t x a t
u a u a t x a t t
ux
ux
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
12(,) ( ) ( )u x t f x a t f x a t
解：方程通解为：
由 (2)得：
12( 0 ) ( 2 ) ( ) ( 4 )f f x x
又由 (3)得：
12( 2 ) ( 0 ) ( ) ( 5 )f x f x
由 (4)与 (5)得：
12
21
( ) ( ) ( 0 )
2
( ) ( ) ( 0 )
2
x
f x f
x
f x f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
12(,) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )22
x a t x a tu x t f f
所以：
又由 (4)得：
12( 0 ) ( 0 ) ( 0 )ff
所以：
(,) ( ) ( ) ( 0 )22x a t x a tu x t
(2)半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
例 3、半无限长杆的端点受到纵向力 F(t)=Asinωt的作用，
求解杆的振动。
解：定解问题为：
F
un|x=0.YS
0 x
2
00
0
( 0,0) ( 1 )
( ),( ) ( 3 )
si n ( 3 )
tt x x
t t t
xx
u a u x t
u x u x
A
ut
YS
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
解：方法 1：延拓法首先，当 x>at时，端点的影响没有传到，所以有：
atx
atx
daatxatxtxu,
.2
1
2
1),(
其次，当 x<at时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：
1
( ),0
()
( ),0
xx
x
xx
1
( ),0
()
( ),0
xx
x
xx
延拓后的定解问题的解为：
..11(,) 22 x a tx a tu x t x a t x a t da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
欲使延拓后的解限制在 x≥0上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即：
为此：令
0 1 1 12 2 2xxu a t a t a t a taa
sinA tYS
0a t a t
只要：
1 ( ) ( )xx
又令
11 sin22 Aat at ta a Y S
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
得到：
所以有：
111 sin22 Aa t a t ta a Y S
1 2( ) sinaAx x xY S a
所以当 x<at时，解为：
.
.
11
(,)
22
c os ( ) 1
x at
at x
u x t x at at x d
a
A a x
t
Y S a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
方法 2：行波法求解 (课后作业）
(3)高维波动方程的定解问题 (重点 )
例 4、求如下定解问题：
2
,0,,,
,,,0 0,,,
,,,0 2
tt x x y y z z
t
u a u u u t x y z
u x y z x y z
u x y z x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
分析：这是三维空间自由振动问题，所以直接代入泊松公式计算。
..
2
1 ( ) ( )(,)
4 MM
a t a tSS
MMu M t d S d S
a t t t
( ) si n c os
( ) si n si n ( 0 2,0 )
( ) c os
x x at
y y at
z z at
球坐标变换为：
2( ) s i nd S a t d d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
解：由泊松公式
,2,,0,0(,,,) s in c o s s in s in s in2 tu x y z t x t y t d d
,2,2 2 2 3,0,0 sin sin sin sin c o s sin c o s sin2 t x y x t y t y t d d
,2,
,0,0 s in2
xyt dd
2 xyt?
例 5、用泊松公式解如下定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
( 0,,)
(,,0 ) 0,(,,0 ) 2,(,)
t t x x y y
t
u u u t x y
u x y u x y x y x y
解：由二维泊松公式得：
2
2 2 200
1 ( c o s,s in )(,,)
2
at x r y ru x y t r d r d
at a t r
2
2 2 200
1 ( c o s,s i n )
2
at x r y r r d r d
a a t r
2
2200
1 2 ( c o s ) ( s i n )
2
t x r y r r d r d
tr
2 xyt?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
(二 )、积分变换法
1、要点回顾
(1) 什么叫积分变换？
答：所谓积分变换，就是把某函数类 A中的函数 f(x)，经过某种可逆的积分方式：
( ) (,) ( )F p k x P f x dx
变成另一类 B中的函数 F(P)。其中 F(P)称为像函数,f(x)称为原像函数,k(x,P)称为积分变换的核。
(2) 积分变换法求解数理方程的步骤是什么？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
答,(a)对方程和定解条件中的各项作针对于某变量的积分变换，得到像函数满足的方程 ;
(2) 积分变换法求解数理方程的步骤是什么？
(b)求出像函数；
(c)求出原像函数。
(3) 傅立叶变换与拉普拉斯变换适用的数理方程对象是什么？分别针对于什么变量作变换？
答,傅立叶变换多用于求解半无界 (正，余弦变换 )和全无界初值问题。一般针对空间变量作变换；拉氏变换常用于
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
带有边界条件的定解问题。常针对时间变量作变换。
(4) 叙述傅立叶变换、逆变换，傅立叶正余弦变换、逆变换和拉普拉斯变换、
逆变换的定义 (略）
(1)、利用定义与性质求函数的积分变换
(5) 叙述 (4)中各种变换的主要性质 (略 )
和变换存在定理 (略 )
2、典型题型
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
例 6、求下列函数的傅立叶变换只对 (5)进行讲解，其余留为课后练习。
0,( 0 )( 1 ),( ) ( 0 )
,( 0 )x
xfx
ex
1,( 0 )( 2 ),s g n
1,( 0 )
xx
x
0( 3 ),( ) s i nf x x
(4 ),( ) xf x e
2( 5 ),( ) ( 0 )axf x e a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
解法 1：令由于
2() x i xF g x e e d x
2() xg x e
22 2x i x x i xiie e x e e dx
2 ()i F x g x()2 dF g xd
2( ) (0 ) xF g x e d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
所以得：
解此微分方程得：
2
4()F g x e
()2
()
( ) ( 0)
dF g x
F g x
d
F g x
利用相似性质, 1( ) ( )F f a x f
aa
2
4() aF f x e
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
解法 2：由傅立叶变换的定义考虑复变函数 g(z)=e-az2沿下图所示的围道积分。
2() a x i xF f x e e d x
2 2
()42 iaxaae e d x
C1
C2
C3
C4
x
y
o-R R
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
由柯西积分定理得：
由于
2 2 2 2
1 2 3 4
0*a z a z a z a zC C C Ce d z e d z e d z e d z
22
2
()2
0
a z a R iya
C
e d z i e d y
所以：
22
2
()2
0
l im l ima z a R i ya
CRR
e d z i e d y
2 2 2()22
00
l im l im 0a R iy a R a yaa
RR
e d y e e d y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
即得,2
2
l i m 0azCR e d z
于是由 *得：
同理,2
4
l i m 0azCR e d z
22 ()
2l im l im 0a x iRRax a
RR
e d x e d x
所以得：
2 2()
2a x i axae d x e d x
a
2
4() aF f x e
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
例 8 求函数 f(x)的拉普拉斯变换
1,( 0 )( 1 ),( )
0,( 0 )
tut
t
( 2 ),s i n,c o s,(k t k t k 为实常数）
( 3 ),,(atea 为实常数）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
解,(1) 由拉氏变换定义有：
0( ) 1 sxL u t e d t
0
1 ste
s
R e ( ) 0
0
11 sste
ss
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
(2) 由拉氏变换定义有：
0s i n s i n sxL k t k t e d t
012 ikt ikt s te e e dti
( ) ( )
00
1
2
s ik t s ik te d t e d t
i
R e ( ) 0 1 1 1
2
s
i s i k s i k
22
k
sk
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
同理：
0c o s c o s sxL k t k t e d t
22
s
sk
(3) 由拉氏变换定义有：
0
a t a t s xL e e e d t
R e ( ) 1sa
sa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
例 9 求下列函数的拉氏变换解,(1)令,f(t)=tm，则 f (m) (t)=m!，且：
( 1 ),,(mtm 为正整数）
(2 ),s i n,c o s,(,a t a te k t e k t a k 为实常数）
( 3 ),s i n,c o s,(t k t t k t k 为实常数）
( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0mf f f f
由微分定理：
()[ ! ] [ ( ) ]mL m L f t?
1 ( 1 )[ ( ) ] ( 0 ) ( 0 )m m ms L f t s f f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
1 [ ! ]
m Lms?
(2) 由于
[]mLt
s i nL k t? 22ksk?
cosL k t
22
s
sk
由位移定理得：
22s in,( )()
at kL e k t R e s a
s a k
22c o s,( )()
at sL e k t R e s a
s a k
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
(3) 由像函数微分性质
c os c osdL t k t L k tds
同理：
22
ds
d s s k
22
2 2 2,( R e 0 )()
sk s
sk
s i nL t k t 2 2 22,( R e 0 )() ks ssk
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
例 10 求 的逆变换
2()
sfs
ss
11
2[]
sL f s L
ss
（ ）
解因为 f(s)的奇点是两个极点 s1=-α,s2=-β.前者是一阶极点，后者是二阶极点，所以，由展开定理：
2R e s
st
k
k
se s
ss
，
1 []L f s? （）
(2)、利用展开定理求拉普拉斯逆变换 (重点 )
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
222
s t s t
ss
se selim s lim s
ss s s s
22
() ttt ee
(4)、简单证明题例 12、设 f(t)在 [0,+∞]上以 T为周期，且 f(t)在一个周期内分段连续，则：
01( ) ( )1 T ptpTL f t f t e d te
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
证明：
0( ) ( ) ptL f t f t e dt
0 ( ) ( )
T p t p t
Tf t e d t f t e d t
令 x=t-T，则可推出：
对于
() ptT f t e d t
01( ) ( )1 T ptpTL f t f t e d te
(5)、求解数理方程
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
40
例 13 求解上半平面的狄氏问题
22
0,,0
(,0) ( )
l im (,) 0
xy
u x y
u x f x
u x y
解 (1) 对定解问题作对应于空间变量 x的傅立叶变换
2
2
2
(,),( ) (,)
y y x x
d u yu u i u y
dy
变换 后得关于 y的常微分方程定解问题：
2
2
2
(,)
(,) 0
**
(,0 ) ( ),(,) 0y
d u y
uy
dy
u f u y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
41
(,) ( ) ( )yyu y A e B e
*中方程的通解为,
当 λ >0时：
(2) 求像函数
(3) 求原像函数
1(,) [ (,) ]u x y F u y
( ) 0A
当 λ <0时：
( ) 0B
像函数为,
(,) ( ) yu t f e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
42
1(,) [ (,) ]u x y F u y
1 () yF f e
由卷积定理,
1() yg x F e
这里：
11( ) ( ) * ( )yF f e F F f x g x
( ) * ( )f x g x?
22
1y
xy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
43
于是得定解为：
22
1(,) ( ) * yu x t f x
xy
,22,1()y fdxy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
44
例 14、求解如下定解问题：
2
0
00
,( 0,0 )
0,
0,0
t t x x
xx
t t t
u a u g x t
uu
uu
0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
45
2
22
2
0
/
0,0x x x
du
a s u g s
dx
uu
解,(1)作针对于时间变量的 Laplace变换
(2)、求像函数：
3
1 ( 1 )s xau g e
s
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
46
2
11
3
2
1
t<
1 2
[ ] [ ( 1 ) ]
1
( 2 ) t>
2
s
x
a
x
gt
a
L u g L e
xs
g x a t x
aa
(3)、求原像函数：
例 15、求解如下定解问题 (习题 5.4第 5题 )：
00
0
,( 0,0 )
0
( )
x x tt t
t t t
x
u a u b u c u x t
uu
ut?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
47
2
22
2
0
( ) ( )
2
x
d u b
as bs c u a s u
dx a
u
()
2
ba s x
aue?
解,(1)作针对于时间变量的 Laplace变换
(2)、求像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
48
()
11 2
12
2
[ ] [ ]
[]
( ) t >
0 t <
b
a s x
a
b
x
a sxa
b
x
a
L u L e
e L e
e t a x a x
ax
(3)、求原像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
49
Thank You !
