电子科技大学：数学物理方程：ppt13

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0.4 0.2
0
x
t
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1 1.5
2?1
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1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
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2
本次课主要内容
(一 )、定解问题的建立
(二 )、方程的化简习题课
(三 ),δ 函数
(四 )、分离变量方法
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3
(一 )、定解问题的建立写出定解问题，需要建立偏微分方程、
写出边界条件 (包括衔接条件，自然条件）
和初始条件。
建立偏微分方程的主要方法是微元法
(1).明确物理过程与研究对象 (待研究物理量 );
(2).进行微元分析；
分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。
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n
4
如何写出三类边界条件？
(1)、明确环境影响通过的所有边界；
(2)、分析边界所处的物理状况；
(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。
(3).化简、整理算式。
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x
t
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1
n
5
例 1 一根半径为 r,密度为 ρ,比热为 c，热传导系数为 k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为 u1的介质发生热交换，且热交换系数为 k1.求杆上温度满足的方程解,物理量为杆上温度 u(x,t),取微元 [x,x+dx]
x+dx xx
在 dt时间里，微元段获得的热量为：
(,) (,)xxk u x d x t S u x t S d t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
该热量一部分 Q1用于微元段升温，另一部分 Q2从侧面流出
1 tQ c S d x u d t 2 1 1( ) 2Q k u u r d x d t
所以，微元段满足的方程为：
(,) (,)xxk u x d x t S u x t S d t
11( )2tc S d x u d t k u u r d x d t
1
1
2 ()
x x t
kku u u u
c c r

所以，方程为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
1、写出特征方程：
2、计算
2
1 1 1 2 2 220
d y d ya a a
d x d x


2
1 2 1 1 2 2a a a
3、作变换
(1)、
0
1
2
(,)
(,)
xy
xy




(二 )、方程的化简
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
(2)、
0
1
2
(,)
(,)
xy
xy




12(,) (,)x y x y i c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
(3),0
(,)
()
xy
xy



或
(,)x y c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
4、求出变换方程：
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a


12,,,b L c b L c c c f f
其中：
xy
xy
Q





0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
二阶线性方程分类：
21 2 1 1 2 2a a a
0(1) 双曲型
0 抛物型
0
椭圆型
(2)
(3)
说明：分类也指点的邻域内的分类！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
例 1 求方程 的通解02 xxtt uau
解：此方程是双曲型的第二标准形,但我们要求解它可将其化成第一标准形的形式,所以先得由特征方程求特征函数：
02
2


a
dt
dx
adtdx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13


atx
atx
1
1
xy
xy
aQ
a





所以
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a


2
1 1 0
1 0 1 1
a a a
aa


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
2
1 1 0
1 0 1 1
a a a
aa


2
2
02
20
a
a



1 0b L c
2 0,0b L c c f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
可得
0u



1
12
12
ug
u g d f
ff




是原方程的通解atxfatxfu
21
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
例 3 化下面方程为标准型
4 5 2 0x x x y y y x yu u u u u
2dy idx
解,2
1 2 1 1 2 2 10a a a
方程属于椭圆型
2yx
x


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
21
10
xy
xy
Q





所以
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a


2 1 1 2 2 1
1 0 2 5 1 0


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
10
01


1 0b L c
2 1,0b L c c f
0u u u可得 标准型：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
δ 函数是指满足下面两个条件的函数
0
0
0
0,( 1 ),( )
,
xxxx
xx?


0
0
0
1,(,)( 2 ),( )
0,(,)
b
a
x a bx x d x
x a b?


(三 ),δ 函数例 4、求证：
2
2
s in ( )( ) l im
u
xux
xu

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
分析：需证明等式右端满足 δ 函数两条件。
2
20
s i n ( )l i m [l i m ] l i m
u x u
xu u
xu

又当 x不等于 0时有：
2
22
s in ( ) 10 xu
x u x u

证明：当 x=0时，考虑到：
2
2
s in ( )l im 0
u
xu
xu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
2
20
0,0s i n ( )
l i m
,0x
xxu
xxu?



由于
22
2 2 2
s i n ( ) s i n ( ) ( ) 1x u x ud x d x u
x u x u



2
2
s in ( )l im 1
u
xu dx
xu?



2
2
s in ( )( ) l im
u
xux
xu

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
例 5、求证：
0
1 ()
4 MMr


其中证明：当 M不等于 M0时，直接计算可得：
03,M M R?
2 2 2
0 0 0( ) ( ) ( )r x x y y z z
1 0
4 r?


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
另一方面：
11 ( ) 1
44KS d V d Sr r r



0
1 ()
4 MMr


所以：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
(1)、分离变量
(2)、求解固有值问题
(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解
1、分离变量法求定解的步骤
(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
(四 )、分离变量方法
2、常涉及的几种固有值问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
0(1 ),
( 0 ) 0,( ) 0
XX
X X L


22
2 ( 1,2,3 )n
n n
L

( ) si n,( 1,2,)nn nxX x B nL
0( 2 ),
( 0 ) 0,( ) 0
XX
X X L


22
2 ( 0,1,2,3 )n
n n
L

( ) c o s,( 0,1,2,)nn nxX x B nL
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
0( 3 ),
(0 ) 0,( ) 0
XX
X X L


22
2
1()
2 ( 0,1,2,3 )
n
n
nL

1
2( ) s i n,( 1,2,)
nn
n
X x B x n
L

0( 4 ),
(0 ) 0,( ) 0
XX
X X L


22
2
1()
2 ( 0,1,2,3 )
n
n
nL

1
2( ) c o s,( 0,1,2,)
nn
n
X x B x n
L

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
0( 5 ),
( 2 ) ( )



2 ( 0,1,2,3 )
n nn
( ) c o s s i n,( 0,1,2,)n n nA n B n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
3、固有函数值方法
12
1 1 1 1
2 2 2 2
(,),( 0,)
(,) (,) 0
( 2)
(,) (,) 0
( 0,) 0,( 0,) 0
tx
x
x
t
L W L W f x t t x x x
a W t x W t x
a W t x W t x
W x W x




定解问题一般形式：
求解步骤：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题
12
1 1 1 1
2 2 2 2
0,( 0,)
(,) (,) 0
(,) (,) 0
tx
x
x
L W L W t x x x
W t x W t x
W t x W t x






固有函数为,Xn(x)
(2)、令一般解为：
(,) ( ) ( )nnW x t T t X x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到 Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件得出 T n(t)的初值条件；
(5)、由常数变易法求出 T n(t) 。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
齐次化原理 1
4、齐次化原理求解

2
3
2,(,)
0,,tt
L M R t
t
fM
t











0,0
)0,(,,
00
3
2
2
tt t
u
u
tRMMtfLu
t
u
..0,;tu W t M d
如果
(,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
齐次化原理 2



0
)0,(,,
0
3
tu
tRMMtfLu
t
u



,,
,,,3
Mf
tRML
t
t

..0,;tu W t M d
如果 (,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法采用未知函数代换法：
),(),(),( txWtxVtxu
选择适当的 W(x,t)，使关于 V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。
(2)、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与 t无关，则可以令：
(,) (,) ( )u x t V x t W x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
可以把关于 V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
22
2
22
0
00
22
s in c o s,(0,0 )
3,6
4
3 ( 1 ),s in
x x L
tt
uu
a x x x l t
t x l l
uu
xu
ux
l t l










解,令 )(),(),( xWtxVtxu
将其代入定解问题中得：
例 6 求如下定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
2
0
22( ) s i n c o s 0
3,6x x l
a W x x x
ll
WW




2
22
4( ) s i n 3 1
32
lxW x x
a l l


22
2
22
0
00
,( 0,0 )
0
4
3 ( 1 ) ( ),
x x L
tt
VV
a x L t
tx
VV
xV
V W x x
l t l









可将其分解为：
22
00
00
22
( ) s in c o s,( 0,0 )
3,6
4
( ) 3 ( 1 ),s in
tt x x
x x x L x L
t t t
V a V a W x x x x l t
ll
V W V W
x
V W x V x
ll








于是得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
1
(,) c o s s i n s i nnn
n
n a n a nV x t C t D t x
l l l



由分离变量得一般解为：
由初值条件得：
由傅立叶级数展开得：
1
3 ( 1 ) ( ) s inn
n
xnW x C x
ll


1
4s i n c o s
n
n
n a n ax D x
l l l


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
2
220
2 s in s in
32
l
n
l n nC x x d x
l a l l



2
22
0,4
,4
32
n
l
n
a?



0
24 s i n s i nl
n
nD x x d x
n a l l



0,4
,4
4
n
l
n
a?



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
所以，定解问题的解为：
2
22
4 4 4(,) c o s s in s in
3 2 4
l a l a xV x t t t
a l a l l




原定解问题的解为：
2
22
2
22
4 4 4
(,) c os si n si n
32 4
4
si n 3 1
32
l a l a x
u x t t t
a l a l l
l x x
a l l








0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
40
注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。
例 7 在扇形域 {0<θ <α,0<ρ <ρ 0}上求定解问题,2
022
0
0
11
( ) 0,( 0,0 ) ( 1 )
(,) ( ) ( 2 )
( 0,) ( 3 )
0 ( 4 )
uu
uf
u
uu











0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
41
(,) ( ) ( ) ( 5 )uR
解,1、分离变量：
011 2 RRR
2 RR
R

(5)代入 (1)得：
整理后可令比值为 λ,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
42
2
0 (6 )
0 (7 )R R R



得两个常微分方程如下：
如何构造固有值问题？
2、求解固有值问题

0
00



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
43
于是得固有值：
( 1,2,)n n n 2)（
固有函数为：
sin ( 1,2 )n n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
44
3、求方程 (7)的解方程 (7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有：
2 0 ( 7 )
( 0 ) ( 8 )
R R R
R



(7)的解为：
()nn nRC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
45
4、一般解为：
1
(,) s inn
n
nnuC


由另一边界条件 (2)得：
0
1
s i n ( )n
n
nnCf


将 f(θ )在 [0,α ]上按奇式展开得：
.
.0
2 ( ) s in ( 1,2,)n
n
nC f d n

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
46
所以定解为：
.
.01
2(,) ( ( ) s i n ) s i nn
n
n
nnu f d




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
47
例 8 求定解问题：
2
0
0
0
0
,( 0,0,0 )
0
0
(,)
(,)
tt
x x a
y y b
t
tt
u a u x a y b t
uu
uu
u x y
u x y





解,1,时空变量的分离：
( ) (,)u T t V x y?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
48
代入方程整理后得：
2
12( ),
x x y y
x x y y
VVTT V a V V T
a T V?

2
1
1
0 ( 1 )
0 ( 2)x x y y
T a T
V V V


得关于时空的微分方程：
2,作 空间变量的分离,
( ) ( )V X x Y y?
代入方程 (2)整理后得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
49
1
2
X Y Y
XY

3.求解固有值问题
2 3 3 1 20,0,X X Y Y
2
3
0
( 0) 0,( ) 0
0
( 0) 0,( ) 0
XX
X X a
YY
Y Y b






0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
50
22
2 2
22
3 2
,s i n,( 1,2,3,)
,s i n,( 1,2,3,)
n
m
nn
X x n
la
mm
Y y m
bb




4.
分别求出两个固有值问题得：
2 2 2 2
1 2 3 22,
nm
ab

同时得到关于 V(x,y)的 固有值：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
51
4.
4,求 T(t)
11( ) c o s s i n (,1,2,)m n m n m nT t C t D t m n
固有函数为：
(,) sin sin (,1,2,)mn mnV x y x y m nab
2 1 0T a T
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
52
4.
5,一般解为,
,1,1
11
( c o s s i n ) s i n s i nm n m n
mn
mnu C t D t x y
ab



,
00
,
00
1
22
[ (,) s in ] s in
4
(,) s in s in
ba
mn
ab
mn
nm
C x y x d x y d y
b a a b
nm
D x y x y d x d y
abab




由初值条件，再由多元傅立叶展开得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
53
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