0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容
(一 )、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性狄氏问题格林函数
1、三维空间中狄氏问题格林函数
(二 )、狄氏问题格林函数
2、平面中的三个格林公式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
定理 1 (唯一性定理 ) 拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。
12( ) 0SSv u u
(一 )、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性证明：设 u1与 u2是定解问题
0,(,,)
(,,)
S
S
u x y z V
u x y z?


的两个解。则有 v=u1-u2也为该定解问题的解，于是得到 v在 S上恒等于零，即：
由调和函数性质知：在 VS上：
12( ) 0SSVVv u u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
1
11
0,(,,) S
S
u x y z V
uf



定理 2 (稳定性定理 ) 拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。
证明：设在边界 S上给出两个函数 f1与 f2,且：
12ff
拉氏方程的狄氏问题对应于 f1与 f2的解设为 u1与 u2，即：
2
22
0,(,,) S
S
u x y z V
uf



令,那么：
12v u u
12
0,(,,) S
S
v x y z V
v f f



由调和函数极值原理,v在 VS上的极值只能在 S上取得，所以
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
21 uu
即证明了稳定性。
定理 3 拉氏 方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别，
是唯一的。
证明：设 u1与 u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：


S
n
u
u
1
1 0


S
n
u
u
2
2 0
显然,u1-u2也为同一拉氏方程牛曼问题的解。
由第一格林公式：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
S V V
u v dS u v dV u v dV
取 21 uuvu
则：
0v
2221 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )u u u u u uuv
x y z


又因为：
0
SS
vu v d S u d S
n


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
0]))(())(())([( 221221221 dVz uuy uux uu
V
z
uu
y
uu
x
uu


)()()( 212121
12u u u c
于是得到：
定理 4 拉氏 方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定。
证明：设 f1与 f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件，
又设 u1与 u2是对应于两个边界条件的解。由定理 3，两个解相差一个常数，因此，无论边界条件相差如何小，解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
解的相差可能不会任意小,即解不稳定 。
(二 )、狄氏问题格林函数
1、三维空间中狄氏问题格林函数
(1)、狄氏问题格林函数的引出泊松方程狄氏问题为：
(,,),(,,)
(,,),(
x x y y z z S
S
u u u u f x y z x y z V
u x y z?


连续）
(a)、解的积分表达式设 u(x,y,z)为定解问题的解，令 v(x,y,z)为 VS上调和函数。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
由第二格林公式：
由定解问题得：
由第三格林公式，如下定解问题

SV
uvv u d S v u u v d V
nn


V
v u d V
(,,) *
SV
uvv u d S v f x y z d V
nn


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
的解为：
( ),
( ),( )
S
SS
u f M M V
u
u M v M
n




0
1 1 1 1 1()
44SV
u M v d S f d V
r n r r



结合 *可得如下等式：
0
1 1 1 1 1
()
44
SV
SV
u M v dS f dV
r n r r
uv
v u dS v fdV
nn









0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
0
00
(,)(,) (,) * *
SV
G M MuG M M u d S G M M f d V
nn


其中：
0
0
1(,) (,,)
4 MMG M M v x y zr
容易验证：
00(,) ( )G M M M M
如果 G(M,M0)满足,则可得泊松方程狄氏解定理 0(,) 0SG M M?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
定理：泊松方程狄氏解为：
其中 G(M,M0)满足：
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
S
G M M M M
M M VG M M



推论：拉氏方程狄氏解为：
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M u d S G M M f d V
n


0
0
(,)()
S
G M Mu M u d S
n


定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
定义：若 G(M,M0)满足：
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
S
G M M M M
M M VG M M



则称 G(M,M0)为定义在 VS上的三维狄氏格林函数。
物理意义：首先，对于方程 Δ G(M,M0 )=-δ (M-M0)来说，
其物理意义是：空间中 M0点处有一电量为 ε (真空中的介电常数）的正点电荷，在 M处产生的电势为 G(M,M0),其大小为 G(M,M0)=1/4πr；
(b)、狄氏格林函数的定义与性质其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内 M0处有正点电荷 ε和它在边界面上产生的感应电荷在壳内 M处产生的电势的叠加为 G(M,M0),其大小为
G(M,M0)= 1/4πr +v(x,y,z)。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
性质 1：
狄氏格林函数在除去 M=M0点外处处满足拉氏方程。当
M→M 0时,G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和 1/rMM0相同。
在边界上格林函数恒等于零。
狄氏格林函数的性质性质 2：
性质 3：
在区域 V内，有：
0
0
10 (,)
4 MM
G M M
r?

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
性质 4 Green函数具有对称性 (物理上称为互易性 )，即
);();( 1221 MMGMMG?
证明：如图所示，以 M1,M2为球心,ε为半径 作 球 K1
与 K2，其边界分别记为 S1,S2。
·
·
S1
S2
M1
M2
S
令,U=G(M,M1),V= G(M,M2),在 VS-K1-K2上利用格林第二公式得：

12S S S V
VUU V d S U V V U d V
nn


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
注意到，在 VS-K1-K2上,U与 V是调和函数，且在 S上有
U|S=V|S=0，于是有：
(1) 对于：
12
0*
SS
VUU V d S
nn


1S
VUU V d S
nn


11SS
VUU d S V d S
nn

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
而：
11
2
1
(,)(,)
SS
V G M MU d S G M M d S
nn

11
21 (,)()
4 MMS
G M Mv M d S
rn?



111
221 (,) (,)()
4 MMSS
G M M G M Md S v M d S
r n n?


所以：
1
0
l i m 0
S
VU d S
n


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
而对于所以：
1S
UV d S
n

1
2
2
(,)(,)
S
G M MG M M d S
n


11
2
1(,) ( )
4 MMS
G M M v M d S
nr?



111
22
1(,) (,) ( )
4 MMSSG M M d S G M M v M d Sn r n?

1
120l i m (,)
S
UV d S G M M
n


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
所以：
1
120l i m (,)
S
VUU V d S G M M
nn


(2) 对于
2S
VUU V d S
nn


22SS
VUU d S V d S
nn

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
而：
所以：
2
0
l i m 0
S
UV d S
n


2
210l i m (,)
S
VUU V d S G M M
nn


由 *得：
1 2 2 1(,) (,) 0G M M G M M
即得：
);();( 1221 MMGMMG?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
等式
);();( 1221 MMGMMG?
的物理意义是：把电量为 ε的点电荷放在 M1处在 M2
处产生的电势应等于把它放在 M2处时，在 M1处产生的电势。
2、平面中的三个格林公式首先证明一个定理：
设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成，且 f(x,y)在 D上有二阶连续偏导数,n为曲线的外法线方向，则：
22
22
DL
f f fd x d y d s
x y n



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
证明：
注意到：
s i n
c o s
d x d s
d y d s


L
nτ
x
y
D α
所以：
LL
f f fd s d x d y
n y x


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
由平面曲线格林公式：
(1) 第一格林公式设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成，且 u(x,y),v(x,y)在 D
上有二阶连续偏导数,n为曲线的外法线方向，则：

DL
vu v u v d x d y u d s
n


22
22
DL
f f fd x d y d s
x y n


LL
v v vu d s u d x u d y
n y x


证明：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
LL
v v vu d s u d x u d y
n y x


所以由平面曲线格林公式：

D
u v u v d x d y
(2) 第二格林公式证明：由第一格林公式：

D
u v v u d S u v v u d x d y
在第一格林公式条件下：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
证明：由第一格林公式：
(1)
DL
vu v u v d x d y u d s
n


( 2 )
DL
uu v v u d x d y v d s
n


由 (1)-(2)得：

D
u v v u d S u v v u d x d y
(3) 第三格林公式设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成，且 u(x,y在 D上有二阶连续偏导数,n为曲线的外法线方向，令：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
0
11(,) l n
2 MMv x y r
00
0
1 1 1 1
( ) l n l n
22
11
ln
2
M M M ML
D
u
u M u d S
r n n r
ud
r






则：
证明：由于 v(x,y)在 D内只有唯一奇点 M0,所以，以
M0为心,ε为半径作圆 Kε,其边界为 Lε
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
由第二格林公式：
·M0 L
ε
L
x
y
o

L L D K
u v v u dS u v v u d


注意到，在 D-Kε内，有 Δ v= 0,于是得,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28

L L D K
u v v u dS v ud


对于：
1 ln2
L L L
u v v u d S u v d S r u d S


L
u v d S

00
00,
M M M ML
x x x yu v d S
rr?



1
2 L
udS


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
而：
00
1l i m ( )
2 L
u d S u M


0
1l i m l n 0
2L
r u d S


所以：
00
0
1 1 1 1
( ) l n l n
22
11
ln
2
M M M ML
D
u
u M u d S
r n n r
ud
r






由第三格林公式可得如下结论：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
定理：平面泊松方程洛平问题的解为：
00
0
1 1 1 1
( ) l n l n
22
11
l n (,)
2
M M M ML
D
u M d S
r n r
f x y d
r






(,),(,)
(,),(,)LL
u f x y x y D
uu x y x y
n





推论：平面拉氏方程洛平问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
的解为：
00
0
1 1 1 1( ) l n l n
22 M M M MLu M d Sr n r



0,(,)
(,),(,)LL
u x y D
uu x y x y
n





0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
作业
P137习题 6.2第 2题
P147习题 6.4第 1,2题
P139习题 6.3第 1题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
Thank You !