0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容线性偏微分方程的基本解
(一 )、线性偏微分方程基本解的概念与性质
(二 )、三类典型方程的基本解
1、稳态场方程的基本解
2、热传导方程的基本解
3、波动方程的基本解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
其中 L是关于 x1,x2,….,x n的二阶线性偏微分算子二阶线性偏微方程：
f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。
(一 )、线性偏微分方程基本解的概念与性质
fLu?
2
,1 1
2
nn
i j i
i j ii j i
L a b cx x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
(1)、定义：方程 ()L u M
的解 U称为方程 的基本解,()L u f M
(2)、性质定理 1：若 U是方程 的基本解，
且 u是 的解，则 u+U是方程的基本解。且方程所有基本解均有形式：
u+U。
()L u f M
0Lu?
证明：因为：
L u U L u L U 0 LU ()M
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
所以,u+U是基本解。
又由线性偏微分方程解的结构定理得定理的后一结论。
定理 2：若 f(M)是连续函数,U(M)满足方程：
则如下卷积
()L U M
3
0 0 0* ( ) ( )
R
U f U M M f M dM
是方程 的解()L U f M
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
证明：首先：
其次：
00( ) ( )L U M M M M
3
0 0 0* ( ) ( )
R
L U f L U M M f M dM
3
0 0 0( ) ( )
R
L U M M f M dM
3
0 0 0( ) ( )
R
M M f M d M
()fM
两点说明：
(1)、该定理表明：欲求方程,的()L u f M
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
特解，只要求出其基本解即可。
(2)、物理解释：
方程,的解可以理解为由静电场源 f(M)激发的电势，定理表明：求连续分布场，可以通过求点源的场来实现。
()L u f M
(二 )、三类典型方程的基本解
1、稳态场方程的基本解
(1)、三维泊松方程的基本解设三维泊松方程的形式为,3()u f M M R
于是基本解为方程,的解,()uM
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
拉氏方程的球坐标形式为：
为求出基本解，考虑,的球对称解,0u
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1s i n 0
s i n s i n
u u ur
r r r r r
若方程具有球对称，当 r不为零时有：
2 0d d ur
d r d r
得解为：
1 2CUCr
若取
121,04CC
则求出 1,( 0 )
4Urr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
通过验证得：
于是求得三维泊松方程的基本解为：
()UM
1,( 0 )
4Urr
例 1、写出三维泊松方程特解表达式解：由基本解和定理 2得三维泊松方程特解表达式为：
3
0 0 0* * ( ) ( )
R
u U f U M M f M dM
(2)、平面泊松方程的基本解设平面泊松方程的形式为,2()u f M M R
于是基本解为方程,的解,()uM
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
拉氏方程的柱坐标形式为：
为求出基本解，考虑,的柱面对称解,0u
22
2 2 2
11 0u u ur
r r r r z?
若方程具有柱对称，当 r不为零时有：
0d d urd r d r
得解为,12lnU C r C
若取
121,02CC
则求出 1 l n,( 0)
2U r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
通过验证得：
于是求得二维泊松方程的基本解为：
()UM
泊松方程基本解的物理意义：
三维泊松方程基本解相当于置于原点处电量为
ε 0的正点电荷在空间 M处产生的电势。
平面泊松方程的基本解相当于过坐标原点的电荷密度为 ε0的无限长导线在 M处产生的电势。
1 l n,( 0)
2U r r
2、热传导方程的基本解
(1)、热传导方程柯西问题的基本解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
(a) 定义：称的基本解。
,(,,,0 )
(,,,0 ) (,,)
u L u x y z t
t
u x y z x y z?
的解为 热传导方程柯西问题
( ),(,,,0 )
(,,,0 ) (,,)
u L u f M x y z t
t
u x y z x y z?
(b) 求基本解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
设三维 热传导方程柯西问题为：
采用傅立叶变换求基本解。
2,(,,,0 )
(,,,0 ) (,,)
u a u x y z t
t
u x y z x y z?
则其基本解满足：
( ),(,,,0 )
(,,,0 ) (,,)
u u f M x y z t
t
u x y z x y z?
(1) 对定解问题作傅立叶变换 (针对空间变量 )
3
()(,,; ) (,,,) i
R
u t u t e d d d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
所以，定解问题的傅立叶变换为：
2 2 2 2
0
( ) ( ) ( )
1t
du a i i i u
dt
u
(2) 傅立叶变换的像函数为：
2 2 2 2()(,,; ) atu t e
(3) 傅立叶变换的原像函数为：
2 2 2
2
3 ()
41( ; )
2
x y z
atu M t e
at?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
同理，可求出一维、二维情形下的基本解。
2
241( ; )
2
x
atU x t e
at?
一维情形下的基本解：
二维情形下的基本解：
22
2
2 ()
41(,; )
2
xy
atU x y t e
at?
三维情形下的基本解：
2 2 2
2
3 ()
41( ; )
2
x y z
atU M t e
at?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
(,) * ( ),(,) * (,)U M t M U M t f M t?
(c) 基本解与定解问题的解之间的关系定理 3：设若 φ (M),f(M)是连续函数，且存在。则定解问题
( ),(,,,0 )
(,,,0 ) (,,)
u L u f M x y z t
t
u x y z x y z?
的解为：
0(,,; ) (,) * ( ) (,) * (,)
tu x y z t U M t M U M t f M d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
证明：原定解问题可以分解为与零初始条件定解问题
,(,,,0 )
( 1 )
(,,,0 ) (,,)
u L u x y z t
t
u x y z x y z?
之和。先证明 满足 (1)
( ),(,,,0 )
( 2 )
(,,,0 ) 0
u L u f M x y z t
t
u x y z
(,) * ( )v U M t M
(,) * ( )v U M t Mtt
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
再证明
(,) * ( )U M t Mt
(,) * ( )L U M t M
(,) * ( )L U M t M Lv?
0(,,; ) (,) * (,)
tW x y z t U M t f M d
满足 (2).
(2)对应的齐次化问题为：
,(,,,)
*
(,,,) (,)
u L u x y z t
t
u x y z f M
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
可以验证,(,) * (,)U M t f M
满足 *,于是由齐次化原理,(2)的解为：
0(,,; ) (,) * (,)
tW x y z t U M t f M d
例 2、用求基本解的方法求解定解问题：
2,(,0 )
(,0 ) ( )
xx
u a u x t
t
u x x?
解：基本解为：
2
241( ; )
2
x
atU x t e
at?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
由定理 3得：
0( ; ) (,) * ( ) (,) * (,)
tu x t U x t x U x t f x d
(,) * ( )U x t x
2
241 * ( )
2
x
atex
at
2
2
()
41 ()
2
sx
ats e d s
at
(2)、有界区域上热传导方程的基本解以一维为例讨论该问题。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
(a) 定义：称的基本解。
2
00( ) ( )
( 0,) (,) 0
(,0) 0
xx
u
a u x x t t
t
u t u l t
ux
的解为有界 热传导方程问题
2 (,),( 0,0)
( 0,) (,) 0
(,0) 0
xx
u
a u f x t x l t
t
u t u l t
ux
(b) 求基本解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
设一维 热传导方程边值问题为：
采用分离变量法求基本解。
则其基本解满足：
(1) 分离变量：
(,) ( ) ( )u x t T t X x?
2 (,),( 0,0)
( 0,) (,) 0
(,0) 0
xx
u
a u f x t x l t
t
u t u l t
ux
2
00( ) ( )
( 0,) (,) 0
(,0) 0
xx
u
a u x x t t
t
u t u l t
ux
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
首先，由齐次化原理得：
采用分离变量法求基本解。
令 则：
(1) 分离变量：
(,) ( ) ( )w x t T t X x
2
00
( 0,) (,) 0
(,) ( ) ( )
xx
t
w
aw
t
w t w l t
w x t x x t
tt
2
0
000
0
(,) ( ) ( )
xx
x x L
t
w
aw
t
ww
w x t x x t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
得到两个常微分方程：
(2) 固有值问题为：
固有值为：
2
,1,2,,,,n n nL
2 0T a T 0XX
0
(0 ) 0,( ) 0
XX
X X L
固有函数为：
( ) sin,1,2,n nxX x nL
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
(3) 另一个常微分方程的解为：
2 2 2
2,1,2,
na t
L
nnT t A e n
(4) 一般解为：
2 2 2
2
11
(,) (,) s in
na t
L
nn
nn
nxw x t w x t a e
L
(5) 由初始条件和齐次化原理得：
2 2 2
02 () 0
00
1
2(,;,) s i n s i nna ttL
n
nx nxu x t x t e
l L L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
所以，求得基本解为：
2 2 2
02 () 0
00
1
2(,;,) s in s inna ttL
n
nx nxU x t x t e
l L L
(c) 基本解与定解问题的解之间的关系定理 4：有界区域上热传导方程定解问题
2 (,),( 0,0)
( 0,) (,) 0
(,0) 0
xx
u
a u f x t x l t
t
u t u l t
ux
的解为：
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
(a) 定义：称的基本解。
2
2
002 ( ) ( ),(,0 )
(,0 ) 0,(,0 ) 0
xx
t
u a u x x t t x t
t
u x u x
的解为 无界区域波动方程
2
2
2 (,),(,,,0 )
(,0 ) 0,(,0 ) 0
xx
t
u a u f x t x y z t
t
u x u x
3、波动方程的基本解
(1)、无界区域上波动方程的基本解 (以一维为例 )
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
(b)、基本解为：
0
0
()
0 0 0()
1(,;,) ( )
2
x a t t
x a t tU x t x t s x dsa?
(c) 基本解与定解问题的解之间的关系定理 5：无界区域上波动方程定解问题的解为：
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
2
2
2 (,),(,,,0 )
(,0 ) 0,(,0 ) 0
xx
t
u a u f x t x y z t
t
u x u x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
(2)、有界区域上波动方程的基本解以一维为例讨论该问题。
(a) 定义：称 2
2
002 ( ) ( )
( 0,) (,) 0
(,0) (,0) 0
xx
t
u
a u x x t t
t
u t u l t
u x u x
的解为有界 波动方程问题
2
2
2
(,)
( 0,) (,) 0
(,0 ) (,0 ) 0
xx
t
u
a u f x t
t
u t u l t
u x u x
的基本解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
(b)、基本解为：
0 0 0 0
1
21(,;,) s i n ( ) s i n s i n
n
n a n a n xU x t x t t t x
a n l l l
(c) 基本解与定解问题的解之间的关系定理 6：有界区域上波动方程定解问题的解为：
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
2
2
2
(,)
( 0,) (,) 0
(,0 ) (,0 ) 0
xx
t
u
a u f x t
t
u t u l t
u x u x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
作业
P164习题 6.6第 1,4,6,7,8题
P164习题 6.7第 1,2题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
Thank You !
