0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
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Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
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2
波动方程及其定解条件
(一 )、物理规律与波动方程的建立第二章 定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容
(二 )、定解条件
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x
t
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3
一、波动方程及其定解条件
(一 )、物理规律与波动方程第二章 定解问题与偏微分方程理论
1、什么叫物理规律？
某物理量在空间和时间中的变化规律。
它反映同一类物理现象的共同规律。
若物理量仅随时间变化，其数学表达式为常微分方程；若与时空均有关，则为偏微分方程。
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t
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4
常用物理规律 (一 )
1、牛顿第二定律
2、虎克定律
2
2
d s d vF m m
d t d t

f k x
xP Y u?
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x
t
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n
5
对虎克定律的说明：
xP Y u?
公式中 P称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力,P=F/S。
公式中 ux表示伸长率，称为协变。
Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。
杨氏弹性模量由材料决定！
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x
t
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6
常用物理规律 (一 )
3、克希荷夫定律
0kI
(1).节点电流定律
(2).回路电压定律
k k kIR
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x
t
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n
7
2、波动方程如何建立偏微分方程？
(1).明确物理过程与研究对象 (待研究物理量 );
(2).进行微元分析；
分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。
(3).化简、整理算式。
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x
t
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1 1.5
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0.5
0
0.5
1
n
8
例 1、均匀细弦微小横振动问题一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，
另一端沿 x轴拉紧固定在 x轴上的 L处，受到扰动，开始沿 x轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于 x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数 u(x,t)所满足的规律。
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x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
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n
9
分析：
(1),研究对象,u(x,t)
(2),微元分析,在时刻 t,取弦微元 ds,其对应区间为,[x,x+dx];
分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
设细弦线各点线密度为 ρ,细弦线质 点之间相互作用力为张力 T(x,t)
水平合力为零 => T2 cos?2－ T1 cos?1 = 0
T2≈ T1≈ T
铅直合力,F=m a
T( sin?1－ sin?2) = ρds utt
=>
T( tan?1－ tan?2) = ρds utt
u
x
T1
T2
O x dx
ρgds
ds
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0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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0.5
0
0.5
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n
11
utt= a2 uxx
其中 2
aT
一维齐次波动方程,utt = a2 uxx
考虑有恒外力密度 F(x,t)作用时,可以得到一维波动方程的非齐次形式
utt = a2 uxx + f(x,t)
T[ ux(x+dx,t)－ ux(x,t)] = ρds utt
T uxx (x+vdx,t) = ρds utt
f(x,t)=F(x,t)/ρ -g
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
例 2,细杆的纵向振动问题 。
设均匀细杆长为 L,线密度为?，杨氏模量为 Y,杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动（沿 x轴方向的振动）。试建立杆上质点位移函数 u(x,t)的纵向振动方程。
u(x,t) u(x+dx,t)
x x+dx L
O
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
由牛顿第二定律
SY[ux(x+dx,t)－ ux(x,t)]=?Sdxutt
令 a2 = Y/?。 化简,得
utt = a2 uxx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
例 3 长为 l密度为 ρ 的均匀柔软细绳在 x=0端固定,在重力作用下,垂直悬挂 。 横向拉它一下作微小横振动 。 写出振动方程 。
u(x,t )
o
x
T(x)
x
x+ dx
1
2
T(x+ dx)
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
取微元,[x,x+dx]
竖直方向：
21( ) c o s ( ) c o s 0 ( 1 )T x d x T x g d x
水平方向：
21( ) s i n ( ) s i n (2 )ttT x d x T x d x u
对于 (1),α1与 α2很小,于是得：
( ) ( ) 0T x d x T x g d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
即：
在 x=0处张力等于 ρ gl,于是得：
( ) ( )T x g l l x
对于 (2),α1与 α2很小,于是得：
( ) (,) ( ) (,)x x t tT x d x u x d x t T x u x t d x u
0
()
xdT
g T x g d x g x Cdx
由有限增量公式得：
[ ( ) ]x x t tT x u u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
例 4、高频传输方程考虑双线传输线，把单位传输线所具有的导线电阻、线间电导、电容以及电感分别记作 R,g,c和 L.建立电压 u(x,t)和电流强度
i(x,t)所满足的微分方程。
分析：
传输线上电阻、电感，线间电容、电导考虑为均匀分布，于是可画出微元等效电路图：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
由克希荷夫定律得：
(,) (,)
(,) (,)
t
t
u x t u x d x t R id x L d x i
i x t i x d x t C d x u g u d x


由有限增量公式得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
(二 )、具体物理过程描述 —— 定解条件首先指出：具体物理系统所处物理状况除受一般物理规律支配外，还受系统所处的“环境”和系统的“历史状况”的影响。 系统所处的“环境”状况,边界条件 系统的“历史”状况,初值条件求解一个具体物理问题，都要考虑定解条件！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
II,第二类边界条件,
),,,( tzyx
n
u
S

III,第三类边界条件,
),,,(][ tzyxu
n
u
S

I,第一类边界条件,),,,( tzyxu
S
1、三类边界条件
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
L-ε L
F(t)
例 5 细杆在 x=0处固定，在 x=L端受外力 F(t)的作用，作微小纵振动。写出其边界条件。
分析,环境影响通过的边界为,x=0与
x=L.显然,u(0,t)=0.用微元法分析边界
X=L的状况。
()
x x L
Ftu
YS?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
如何写出三类边界条件？
(1)、明确环境影响通过的所有边界；
(2)、分析边界所处的物理状况；
(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
例 6 长为 L的均匀杆两端受到拉力 F的作用而振动，写出边界条件。
分析,环境影响通过的边界是 x=0与 x=L
杆的两端所受的拉力 F等于两端面所受的杨氏弹性力。
0 L
F F
n n
T1
T2
x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
1 0 2,x x L
uuT Y S F T Y S F
xx

00xx
uuY S Y S F
nx

x L x L
uuY S Y S F
nx


0,.x x L
u F u F
n Y S n Y S


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
注意：
在例 5,6中，如果端面自由，则例 7 长为 L的均匀杆，一端固定在车壁上，
另一端自由。车子以速度 v行驶突然停止，
写出边界条件。
0 0,0.x x L
uu
nn


0 0,0x x x Luu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
2、初始条件初始条件是系统在 t=0时的状态。
初始条件的个数等于微分方程的阶数。
例 1、一根长为 L，两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离 h，然后松手让其自由振动。写出其初始条件。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
例 8、一根长为 L，线密度为 ρ,两端固定的弦，在中点受到冲量 I的作用开始振动。
写出其初始条件。
分析：泛定方程是二阶偏微分方程，因此需要两个初始条件。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
0 0ttu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
1、有无边界条件的定解问题吗？如何理解？
2、有无初始条件 的定解问题吗？如何理解？
习题 2.1（ P.22） 1,2,3,5
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
Thank You !