电子科技大学：数学物理方程：ppt17

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
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Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
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2
本次课主要内容
(一 )、常微分方程求解
(二 )、积分方程求解拉普拉斯变换的应用
(三 )、偏微分方程定解问题求解
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3
内容回顾
1,Laplace变换与逆变换的定义
.
.0
[ ( ) ] ( ) ( ) stL f t f s f t e d t
.1
.
1[ ( ) ] ( ) ( )
2
i st
iL f s f t F s e d si



2、常用函数的 Laplace变换
1,[ ],R e R eat cL c e s asa
222,[ sin ],Re 0bL b t ssb
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t
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1 1.5
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0
0.5
1
n
4
223,[ c o s ],R e 0bL b t ssb

1
14,[ ],R e 0L t s
s

3,Laplace变换的几个主要性质
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
L a f t a f t a L f t a L f t
L a F s a F s a L F s a L F s


(1),线性性质
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0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
(2),延迟定理
[ ( ) ] [ ( ) ]sL f t e L f t
(3),位移定理
0[ ( ) ] ( ),R e ( )atL e f t F s a s a
(4）,微分定理
2
( ) 1 2 ( 1 )
[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0)
[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0) ( 0)
[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0) ( 0) ( 0)
n n n n n
L f t sL f t f
L f t s L f t sf f
L f t s L f t s f s f f




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
(5),积分定理
.
.0
1[ ( ) ] [ ( ) ]tL f d L f t
s
(6),象函数的微分定理
( ) [ ( ) ( ) ]
n
n
n
d L s L t f t
ds
(7).象函数的积分定理
.
.
()( ) [ ]
s
ftF d L
t

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
(8).卷积定理
)]([)]([)]()([ 2121 tfLtfLtftfL
4,展开定理
( ) R e ( ),*sx k
k
f x s g s e s
(1) 极点 z0的阶：若
0 0
l i m ( ) ( )mzz z z f z 非零常数则极点 z0的阶为 m。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
(2)，留数公式若 z0为 f(x)的 m阶极点，则：
0
1
00 1
1R e ( ) l i m ( ) ( )
( 1 ) !
m
m
mzz
ds f z z z f z
m d z




(一 )、常微分方程求解例 1、求解常微分方程：
0,(0 ) 1x y y x y y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
(1)、对方程两边作拉氏变换：
由线性性质有：
[ ] [ ] [ ] 0L x y L y L x y
由像函数微分定理得：
[] dL x y L yds
又由微分定理得：
22( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 )L y s y s s y y s y s s y
所以：
2[ ] ( ( ) ( 0 ) )L x y s y s s y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
[ ] ( ) (0 )L y s y s y
所以，得变换后的方程为：
2( 1 ) ( ) ( )s y s s y s
(2)、求像函数：
1
2 2( ) ( 1 )y s c s
(3)、求原像函数：
[ ] ( )dL x y y sds
对像函数作幂级数展开：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
因为：
2 2 2 1
0
( 2 ) ! ( 1 )()
2 ( ! )
n
nn
n
ny s c
ns


所以：
1
2 2
2
1( ) ( 1 )
11
cy s c s
s
s

于是得方程通解为：
由初始条件得：
2
22
0
( 1 )()
2 ( ! )
n
n
n
n
y x c xn


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
例 2 求解积分方程：
.0( ) s i n ( ) ( )f t a t t f d

解：由卷积定义，将方程写成：
ttfattf s i n)()(
2
2
0
( 1 )()
2 ( ! )
n
n
n
n
y x xn


(二 )、积分方程求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
22
1
1
aff
ss
24
aaf
ss
)6()(
3t
tatf
(1)、对方程两边作拉氏变换：
(2)、求像函数：
(3)、由展开定理可求出原像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
首先指出：利用积分变换求解偏微分方程定解问题时，
如果是初值问题，常采用针对空间变量的傅立叶变换求解，而如果是带有边界条件的定解问题，则常采用针对时间变量的拉氏变换求解。
(三 )、偏微分方程定解问题求解例 3,求解硅片的恒定表面浓度扩散问题，在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面浓度得以保持某个常数
N0,这里所求的是半无限空间 x＞ 0中定解问题解：定解问题为：

0
)0,0(,
0
00
2
t
x
xxt
u
Nu
txuau
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
2
2
2
00
0
/x
du
a su
dx
u N s?


(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：
(2)、求像函数：
ssxx
aau A e B e
(,)u x t
0B? 0 /A N s?
注意到：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
0
1 s xau N e
s

1 1(,) [ ]
s x
au x t L e
s

2.
00,
2
2(,) ( )
2
y
x
at
xu x t N e r f c N e d y
at?

所以有：
(3)、求原像函数：
2.1
,2
12[] s x ya
x
at
L e e d ys
查逆变换表得：
所以得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
问题：有同学认为：在上面定解问题中,x与 t的变化范围都是 (0,+∞),所以,求解时,对 x与 t均可以作拉氏变换,
对吗？ 为什么？
解：所提问题归结为解定解问题答：不能！因为方程中含有 uxx，而在 x=0处，只给出了
u(0,t)的值，而没有给出 ux(0,t)的值，所以，不能作针对空间变量 x的拉氏变换。
例 4 一条半无限长的杆,端点的温度变化为已知,杆的初始温度为零 。 求杆上的温度分布规律 。



)(,0
)0,0(,
00
2
tfuu
txuau
xt
xxt
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
2
22
0
0
x
d u s
u
d x a
uf?


(,) ( )
s x
au x s f s e
(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：
(2)、求像函数：
(3)、求原像函数：
1 []
s x
au L f e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
由卷积定理
11[ ] ( ) [ ]
ssxx
aau L f e f t L e
下面求
1 []
s x
aLe
由查表得：
2.1
,2
12[ ],( 0)s u y
u
t
L e e dy us
所以：
2.1
.
2
12[] x s ya
x
at
L e e d ys

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
令：
1(,) x sag s x e
s

则：
2.
,2
2(,) y
x
at
g x t e d y
1 1 11[ ] [ ] [ (,) ]
xxss
aaL e L s e L s g x s
s

由于：
注意到：
2.
.00 2
2l im (,) l im 0y
xtt
at
g x t e d y


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
[ ( ) ] ( ) ( 0 )L f t s f s f
所以：
由微分定理：
1 1 1
1
1
[ ] [ ] [ (,) ]
[ (,) (,0 ) ]
xx
ss
aaL e L s e L s g x s
s
L s g x s g x




所以：
11[ ] [ (,) (,0 ) ]
(,)
x
s
aL e L s g x s g x
g x t
t

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
2
2
2
11
2
4
3
2
12
[ ] [ ]
2
xx
ss
yaa
x
at
x
at
L e L s e e d y
st
x
e
at





即：
所以：
2
2
3.
1 4 ( )2
.0
(,) [ ( ) ] ( ) ( )
2
xx
s t at
a xu x t L f s e f t e d
a



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
例 5 求解半无界弦的强迫振动定解问题：





0,0
0,0
)0,0(,.c o s
00
0
2
ttt
xxx
xxtt
uu
uu
txtuau?
解,(1)作针对于时间变量的 Laplace变换
2
22
2 2 2
0 0,0x x x
d u s
s u a
dx s
uu




22
1
()
ssxx
aau A e B e
ss?

(2)、求像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
由条件：
0A? 221()B ss
22
1 [ 1 ]
()
s x
aue
ss?

(3)、求原像函数：
1 1 1
2 2 2 2
11[ ] [ ] [ ]
( ) ( )
s x
aL u L L e
s s s s


()
2 2 2 2
R e s [,] R e s [,]
( ) ( )
x
st
st a
kk
kk
ee
ss
s s s s



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
22
11 ()
2
i t i tee



2
2
2
1
(1 c os )
2
si n
2
t
t

22R e s [,]()
st
k
k
e s
ss
2
()
2
22
2
sin ( ),( )
2
Re s [,]
()
0,( )
x
st
a
k
k
xx
tt
e aa
s
xss
t
a




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
22
22
1
2
2
22
sin sin ( ),( )
22
()
2
sin,( )
2
xx
t t t
aa
u L u
x
tt
a






所以原像函数为：
例 6、求解如下定解问题：
2
0
00
,( 0,0 )
0,
0,0
t t x x
xx
t t t
u a u g x t
uu
uu





0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
2
22
2
0
/
0,0x x x
du
a s u g s
dx
uu


解,(1)作针对于时间变量的 Laplace变换
(2)、求像函数：
3
1 ( 1 )s xau g e
s

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
2
11
3
2
1
t<
1 2
[ ] [ ( 1 ) ]
1
( 2 ) t>
2
s
x
a
x
gt
a
L u g L e
xs
g x a t x
aa




(3)、求原像函数：
例 7、求解如下定解问题 (习题 5.4第 5题 )：
00
0
,( 0,0 )
0
( )
x x tt t
t t t
x
u a u b u c u x t
uu
ut?




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
2
22
2
0
( ) ( )
2
x
d u b
as bs c u a s u
dx a
u


()
2
ba s x
aue?

解,(1)作针对于时间变量的 Laplace变换
(2)、求像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
()
11 2
12
2
[ ] [ ]
[]
( ) t >
0 t <
b
a s x
a
b
x
a sxa
b
x
a
L u L e
e L e
e t a x a x
ax





(3)、求原像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
作业
P128习题 5.4第 1,3,4,6题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
Thank You !