0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
本次课主要内容
(一 )、平面狄氏问题格林函数几种特殊区域上狄氏问题格林函数
(二 )、狄氏问题格林函数的求法
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
(一 )、平面狄氏问题格林函数
1、平面狄氏问题格林函数的引出平面泊松方程狄氏问题为：
(,),(,)
(,) (
x x y y S
S
u u u f x y x y D
u x y?


连续）
(1)、解的积分表达式设 u(x,y)为定解问题对应的洛平问题的解，令 v(x,y)为 DS上调和函数。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
由第二格林公式：
由第三格林公式，如下定解问题
(,) *
LD
u v v u d S v f x y d
(,),(,)
(,),(,)SL
u f x y x y D
u
u x y x y
n





00
0
1 1 1 1
( ) l n l n
22
11
l n (,) * *
2
M M M ML
D
u M d S
r n r
f x y d
r






的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
将 *与 **相加可得如下等式：
00
0
1 1 1 1
( ) l n l n
22
11
l n (,) * * *
2
M M M ML
D
u M v v d S
r n r
v f x y d
r










在 ***中，令：
0
0
11(,) l n (,)
2 MMG M M v x yr
当 G(M,M0)满足
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
L
G M M M M
M M DG M M



时，得平面泊松方程狄氏问题的解的积分表达式，即：
定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n


推论：平面拉氏方程狄氏解为：
0()
L
Gu M d S
n?


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
定义：若 G(M,M0)满足：
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
L
G M M M M
M M DG M M



则称 G(M,M0)为定义在 DS上的平面狄氏格林函数。
物理意义：首先，对于方程 Δ G(M,M0 )=-δ (M-M0)来说，
其物理意义是：平面中 M0点处有一电量为 ε (真空中的介电常数）的正点电荷，在 M处产生的电势为 G(M,M0),其大小为 G(M,M0)=1/2π lnr；
(2)、平面狄氏格林函数的定义与性质其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内 M0处有正点电荷 ε和它在边界上产生的感应电荷在圈内 M处产生的电势的叠加为 G(M,M0),其大小为
G(M,M0)= 1/4πlnr +v(x,y)。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
性质 1：
平面狄氏格林函数的性质其中：
0
0
11(,) l n ( )
2 MMG M M v Mr
0
2200( ) ( ),0MMr x x y y v
性质 2 Green函数具有对称性，即,
);();( 1221 MMGMMG?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
1、三维空间中特殊区域上狄氏格林函数的求法
(二 )、特殊区域上狄氏问题格林函数的求法方法：镜像法求三维空间中区域 VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳 S，在 VS内 M0处放置电量为 ε0的正点电荷，由格林函数物理意义,G(M,M0)等于 V内电荷 ε0与感应电荷在 M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：
在 V外找一个 M0关于 S的像点，在该点放置一负电荷，
使它与 ε0在 S上产生的电势叠加为零，则它们在 M处的电势叠加等于 G(M,M0).
(1)、球形域内狄氏问题格林函数
00 2 2 2 2
0
0
(,) ( )
(,)(,) 0
S
G M M M M
x y z R M VG M M



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
分析：问题等价于接地球内 M0处电量为 ε0的正点电荷在 M处产生的电势。由镜像法：可设想在 OM0的延长线上 M1处，求一电量为 -q的点电荷，使 ε0和 -q在 S上的电势叠加为 0，则它们在 M处的电势叠加就为格林函数
G(M,M0)
· M0
· M ·
M1
x
y
z
O
0 0 1 1 0,,,(,)O M r O M r O M r O M O M
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
0
0
0 0 0 1
11(,)
44
qG M M
r r r r



即：
且满足：
0(,) 0SG M M?
于是得：
0 0 1
1 1 1
44 S
q
r r r r

所以：
222 2 2 20 1 1 0 02 c o s 2 c o sr R r R q r R r R
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
0所以,有：
222 2 2 20 1 1 0 022r R r R q r R r R
2
,有,222 2 2 2
0 1 0r R q r R
于是有：
2
1
0
Rr
r
0
0
Rq
r
所以，所求格林函数为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
0
0 0 1
1 1 1 1(,)
44
RG M M
r r r r r


2
0
1
00
rRr
rr
其中：
例 1、写出球域内狄式问题的解
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M d S G M M f d V
n?


解：泊松方程狄氏问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
SS
GG
nr


在球面上在球域上，由于：
0
0 0 1
1 1 1 1(,)
44
RG M M
r r r r r


2222
00 0 1 1
1 1 1 1
44 2 c o s 2 c o s
R
rr r r r r r r r


2 2 42
0 200
2
0 0
1 1 1 1
44 2 c o s
2 c o s
R
r RRr r r r
rr
r r



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15

22
0
3
22 2
00
1
4
2 c os
S
RrG
nR
R r Rr



所以：
所以，球域上狄氏问题的解为：

22
0
0 3
22 2
00
0
1
()
4
2 c o s
(,)
S
V
Rr
u M d S
R
R r R r
G M M fdV






0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
问题：写出球域上狄氏问题的解的球坐标表达式球坐标变换：
sin c os
sin sin ( 0,0 2,0 )
c os
xr
y r r
zr





所以：

22
0
3
22 2
00
1
4
2 c o sS
Rr
dS
R
R r R r





0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17


22
2
0
300
22 2
00
,,s i n
4
2 c o s
RrR
R d d
R r R r




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
(2)、上半空间狄氏问题的 Green函数
0 0 0
0
,,,( 0 )
0z
G x x y y z z z
G


分析：问题等价于上半空间 M0处电量为 ε0的正点电荷在 M处产生的电势，且在 xoy平面上为 0。由镜像法：
格林函数 G(M,M0)等于在 (x0,y0,-z0)处置一电量为 - ε0的点电荷在 M处产生的电势与 M0处电量为 ε0的正点电荷在 M处产生的电势的叠加。
y
M0
M1
M
x
z
o
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
所以有,
0
10
1()
4 MM
uM
r?
01
0 1 2
1 1 1
(,)
4 M M M M
G M M u u
rr?



1
21
1()
4 MM
uM
r?

即,
2 2 22 2 20 0 0 0 0 0
1 1 1
4 ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z?



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
例 2、写出上半空间狄式问题的解
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M d S G M M f d V
n?


解：泊松方程狄氏问题的解为：
01
00
33
1
4 M M M M
z z z zGG
n z r r?


由于：

0
3
2 22
0 0 0
1
4 ()
z
x x y y z?


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21



..
0
0 0 0 3
..
22 2 2
0 0 0
0
,1
,,
2
(,,) (,)
V
x y z
u x y z d x d y
x x y y z
f x y z G M M d x d y d z






所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：


.,0
0 0 0 3..
22 2 2
0 0 0
,1
,,
2
x y z
u x y z d x d y
x x y y z





0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
(1)、上半平面狄氏问题的 Green函数
00
0
,,( 0 )
0y
G x x y y y
G


问题相当于无限长接地 导线上方的电势。
M
M0
M1
x
y
o
2、平面域上狄氏问题的 Green函数
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
所以：
分析：问题等价于上半平面 M0处电量为 ε0的正点电荷在 M
处产生的电势，且在 x轴上为 0。由镜像法,格林函数
G(M,M0)等于在 (x0,-y0)处置一电量为 - ε0的点电荷在 M处产生的电势与 M0处电量为 ε0的正点电荷在 M处产生的电势的叠加。
01
0
1 1 1 1(,)
22 M M M M
G M M L n L n
rr

并且有：
GG
ny


0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
02 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1[]
2 ( ) ( ) ( ) ( )Ly
G L n L n
ny x x y y x x y y


0
22
00
1
()
y
x x y
即：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
作业
P155习题 6.5第 3,4题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
Thank You !