0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
热传导、稳态场方程及其定解条件
(一 )、热传导方程第二章 定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容
(二 )、稳态场方程
(三 )、影响物理系统的其它条件
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
常用物理规律 (二 )
1、热传导定律定义热流密度：
(,)nd Q k u x t d S d t
(,)ndQq k u x t
dSdt

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
常用物理规律 (二 )
2、牛顿冷却定律
0()Sq k u u
单位时间内流过单位面积放出的热量为：
3、热量守恒定律
Q c m T吸
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
常用物理规律 (二 )
4、高斯定律
5、焦耳楞次定律
1
S
E d S d V?

2Q I R t?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
(一 )、热传导方程截面积为 A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。
(1)、细杆的热传导问题
x x+dx
L
u(x,t)
x
n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
在 dt时间内流入微元的热量为：
1
uud Q k A d t k A d t
nx

在 dt时间内放出微元的热量为：
2 (,)x
ud Q k A d t k u x d x t A d t
n

在 dt时间内微元吸收的净热量为：
12 [ (,) (,) ]xxd Q d Q d Q k A d t u x d x t u x t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
2
t x xu a u?
x x tk A u d x d t c A u d x d t
由比热公式：
[ (,) (,) ]d Q c m T c A d x u x t d t u x t
tc A u d x d t
由热量守恒定律得：
一维齐次热传导方程
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度 u(x,y,z)所分布的规律。
(2)、三维空间中的热传导问题导热体热场
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
分析：
(1),[t1,t2]时间里流入导热体的热量 Q1计算先要给出在 [t1,t2]时间里流入导热体的热量，
然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。
dS
n
流入 dS的热量微元为：
1
ud Q k d S d t
n

0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
2
1 1
t
t
S
uQ k d S d t
n


在 [t1,t2]时间里流入 S的热量为：
2
1 (
t
t
S
u u uk d y d z d zd x d x d y d t
x y z



2
222
1 2 2 2()
t
t
V
uuuk d V d t
x y z



0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
(2),[t1,t2] 里导热体升温需要的热量 Q2计算导热体微元 dV在 dt时间升温需要的热量为：
2 (,,,) (,,,)d Q c d V u x y z t d t u x y z t
tc d V u d t
[t1,t2] 里导热体升温需要的热量 Q2为：
2
1
2
t
t
tV
Q c u dV dt?




0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
由热量守恒定律,Q1=Q2
于是得到：
2
1
t
t
tV
c u dV dt?




2
222
1 2 2 2()
t
t
V
uuuk d V d t
x y z



tk u c u 2
tu a u
三维齐次热传导方程
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
(二）、稳态场方程稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。
1、稳定温度分布三维齐次热传导方程为：
2
tu a u
热传导达到稳定状态时有：
0u
称后一方程为稳态场中的 拉普拉斯方程,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
由静电场的高斯公式：
如果设：
2、静电场中的电势分布规律
1
S
E d S d V
,,E P Q R?
可以得到,
( 1 )E
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
静电场是保守场，于是存在势函数 u(x,y,z)满足：
把 (2)代入 (1)得：
,,( 2 )uuuEu x y z
这就是静电场中电势满足的 泊松方程
uu2
如果 ρ =0，则 泊松方程 变为 拉普拉斯方程。
泊松方程 与 拉普拉斯方程 称为 稳态场方程 。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
设流体速度为,v(x,y,z),流体源强度,f(x,y,z),则：
由于流体无旋流动，于是存在速度势 φ
3、流体的无旋稳定流动的速度势分布规律
(,,) ( )v f x y z d i v v
使,v
于是有：
2 (,,)f x y z
这是 泊松方程
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
1、不含初值条件带第一类边界条件,狄里赫列 问题，简称 狄氏问题 ；
稳态场方程的定解条件问题
2、边界条件带第二类边界条件,牛曼 问题；
带第三类边界条件,洛平 问题。
稳态场方程求解将在第六章讨论！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
(三）、影响物理系统的其它条件
1、衔接条件反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。
当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。
例 1、写出由两种不同材料等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为 x=x0
分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。
x=x0
Y1 Y2
x
u1(x,t) u2(x,t)
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
所以，衔接条件为：
00
00
12
12
12
x x x x
x x x x
uu
uu
YY
xx






例 2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件设 ε1,ε2与 u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；
f表示分界面 S上电荷面密度。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
(1)、在界面处，两种介质中的电势应相等
12SSuu?
事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：
d u E d l
于是，若假定 E为 p1p2上的平均电场强度 (显然它有限 ),则：
21( ) ( )u p u p E l
两边对 Δ l取极限得：
12SSuu?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
(2)、在界面处，两种介质中的电位移的法向分量之差等于界面上电荷面密度，即：
事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。
12
12 f
uu
nn


f
S
D d S Q Qf是面 S内的总电荷有介质高斯公式为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
取一个包含 Δ S的上下底平行的高为 Δ h的扁平盒：
由于 Δh可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！
于是由高斯公式有：
12( ) ( ) ffD n S D n S Q S
而,D E u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
所以,
12
12() Sf
uu
nn


说明：如果 u1为导体的电势,u2是绝缘体电势，那么，
因为导体是等势体，所以有：
2
2 Sf
u
n

2、周期性条件在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理量常满足周期性条件，即：
(,,2 ) (,,)u r u r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
例如，在静电场中，由电势的唯一性有：
3、有界性条件
l i m 0r u 或有限数
(,,2 ) (,,)u r u r
在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在坐标原点处有界。
例如，在静电场中，电势在原点 (无电荷）有界；在温度场中，中心温度有界等！
4、无穷远条件或者在无穷远处 u有渐进行为 f(r,t)(已知函数）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
例 3、半径为 r0的球面，在 0≦ θ <Π /2的半球上电势为
u0，在另一半球上为 -u0,写出定解问题。
分析：空间中的电势分布分球内 (u1)与球外 (u2),由于是静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。
θ
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
所以：
2 1 0l i m 0,rr uu
0
10
0
1
0
0( )
( 0 / 2)
( / 2 )rr
u r r
u
u
u






其它条件：
200 ( )u r r
0012r r r ruu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
作业
P26习题 2.2第 1,2,3,4；
P30习题 2.3第 1,2,4。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
Thank You !