0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题
。要求熟练掌握。
初值问题 (柯西问题 )：无边界条件的定解问题。
边值问题：无初值条件的定解问题。
混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。
第三章 分离变量法
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
本章主要内容
1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解
2、高维定解问题分离变量求解
3、非齐次定解问题的求解学时,8学时
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
一维波动与热传导定解问题分离变量求解本次课主要内容
(一 )、波动方程定解问题的分离变量求解
(二 )、热传导方程定解问题的分离变量求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
2
0
00
,0,0 ( 1 )
0,0 ( 2 )
,( 3 )
t t x x
x x L
t t t
u a u x L t
uu
u x u x
齐次弦振动方程的混合问题求解
(一 )、波动方程定解问题的分离变量求解分析：
(1) 定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程，所以各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特解，可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
(,) ( ) s i nu x t c t x
因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式可能为：
(2) 物理模型考察：乐器发出的声音可以分解为若干不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为：
(,) ( ) ( )u x t T t X x?
该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元函数乘积的形式。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
(,) ( ) ( ) ( 4 )u x t T t X x?
2 ( 5 )
( 0 ) 0,( ) 0 ( 6 )
TX
a T X
X X L
设方程 (1)具有可以分离变量的解,
把 (4)代入 (1)与 (2)得：
注：如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条件，能够得到 (5)与 (6)吗？
答：不能！
所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件，
否则，要作齐次化处理！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
2 ( 7 )
TX
a T X?
欲使 (5)成立，等式两端必须为常数。于是，令：
考虑如下方程：
下面讨论该方程的解
0 ( 8 )
(0 ) 0,( ) 0 ( 9 )
XX
X X L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
(1) 当 时0
xx BeAexX
0)(
011)0(
LL BeAeLX
BAX
从而
( ) 0Xx?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
(2),当 时0
BAxX 0 BA
(3).当 时
0
xBxAxX s i nc o s)(
0s i n,0 LBA?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
0s in?L? 22
2 ( 1,2,3 )n
n n
L
( ) sin (10)nn nxX x B L
注：对于参数 λ 的某些值，问题 (8),(9)的非平凡解存在，称这种 λ 值为固有值 (本征值 )；同时称相应的非平凡解 X(x)为固有函数 (本征函数 )；
求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题
(本征值问题 )。
分离变量的核心问题是固有值问题 (本征值问题 )！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
2 0 ( 1 1 )T a T
由 (7)还可得：
该方程对应于固有值 λ n的通解为：
( ) c o s sin ( 1 2 )n n nn a t n a tT t C DLL
把 (10),(12)代入 (4)得：
)()(),( xXtTtxu nnn?
( c o s sin ) sin ( 1 3 )nn n a t n a t n xCD L L L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
1
,c o s s i n s i n ( 1 4 )nn
n
n a t n a t n xu x t C D
L L L
(13)是满足方程和边界条件的特解，但不满足初始条件。由于方程与边界条件是线性的，因此，由叠加原理 2，下面表达式仍然满足 方程和边界条件。
欲使 (13) 满足方程和边界条件和初始条件。只需把 (14)代入初始条件，求出 Cn,Dn即可！
1
1
s in)()0,(
s in)()0,(
n
nt
n
n
L
xn
L
an
Dxxu
L
xn
Cxxu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
将 在 [0,L]上按奇式傅里叶展开得：( ),( )xx
0
0
2
si n
2
L
n
L
n
n
Cd
LL
n
Dd
n L L
问题回顾：
1、分离变量法的物理背景是什么？
2、分离变量法的使用条件是什么？
3、什么是分离变量法的固有值问题？
4、小结分离变量法的步骤。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
1、分离变量
2、求解固有值问题
3、求解其它常微分方程对应于固有值的解利用分离变量法求定解的步骤
4、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
例 1 求下面定解问题
2
0
00
,0,0
0,0
,
t t x x
x x x L
t t t
u a u x L t
uu
u x u x
解,1、分离变量
)()(),( xXtTtxu?
0
0
2
TaT
XX
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
得：
2、求解固有值问题
0
(0 ) 0,( ) 0
XX
X X L
(1) 当 时0
xx BeAexX
( ) 0Xx?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
(2),当 时0
BAxX 0 BA
(3).当 时
0
xBxAxX s i nc o s)(
0,c o s 0A B L
由条件得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
22
2
( 2 1 ) ( 0,1,2,3 )
4n
n n
L
所以，固有值为：
( 2 1 )( ) sin ( 0,1,2 )
2nn
nxX x C n
L
2 0 ( 0,1,2 )
nT a T n
固有函数为：
3、求解如下微分方程
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
( 2 1 ) ( 2 1 )( ) c o s s i n
22n n n
n a t n a tT t A B
LL
0
( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ),c o s s i n s i n
2 2 2nnn
n a t n a t n xu x t A B
L L L
0
0
2 ( 2 1 )sin
2
4 ( 2 1 )
( 2 1 ) 2
L
n
L
n
nAd
LL
nBd
n a L
4、一般解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
例 2,两端固定的弦长为,用细棒敲击弦上 x=x0
点处,亦即在点 x=x0 施加冲量,设其冲量为 I 。 求解弦的振动 。
2
0
0 0 0
,0,0
0,0
0,,0
tt x x
x x l
t t t
u a u x l t
uu
I
u u x x x l?
解,定解问题为：
由分离变量得定解问题的一般解为：
1
(,) ( c o s s i n ) s i nnn
n
n a t n a t n xu x t C D
l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
1
0
1
(,0 ) ( ) s i n 0
(,0 ) ( ) s i n
n
n
tn
n
nx
u x x C
l
n a n x I
u x x D x x
ll
0
0
2 s i n
n
n
C
nxID
n a l
由初始条件得：
定解问题的解为：
0
1
21(,) s i n s i n s i n
n
nxI n a t n xu x t
a n l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
例 3,求解如下定解问题
0
2
00
48
( 0,0 )
99
0,0
sin 3,0
tt x x
xx
t t t
u u x t
uu
u x x u
分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！
(,) (,) ( )u x t V x t W x令：
代入原方程得：
48()
99tt x xV V W
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
欲使关于 V(x,t)的定解问题可分离变量,W(x)要满足：
求解得：
2
48 0
99
( 0 ) 0,( )
W
WW
原问题变为：
2()W x x?
0
00
4
( 0,0 )
9
0,0
s in 3,0
tt x x
xx
t t t
V V x t
VV
V x V
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
由分离变量得定解问题的一般解为：
1
(,) ( c o s s i n ) s i nnn
n
n a t n a t n xV x t C D
l l l
1
22( c o s s i n ) s i n
33nnn
n t n tC D n x?
由初始条件得,(,) s i n 3 c o s 2V x t x t?
所以，定解问题的解为：
2(,) s i n 3 c o s 2u x t x t x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
(二 )、热传导方程混合问题分离变量解法例 1 设有长度为 L的,均匀的,内部无热源的热传导细杆,侧面绝热,其左端保持零度,右端绝热,初始温度分布为已知 。 该定解问题应为
0,0
)(
)0,0(,
0
0
2
Lxxx
t
xxt
uu
xu
tLxuau
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
解,1、分离变量
)()(),( tTxXtxu?
0)()(
0)()( 2
xXxX
tTatT
2、求解固有值问题
0)()0(
0)()(
LXX
xXxX?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
(1),当 时，特征值问题无非零0
(2),0
xDxCxX c o ss i n)(
由条件得：
0c o s?L21 ( 0,1,2,)2nLn
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
固有函数为：
,2,1,0,2
1
s i n)(?
n
L
xn
CxX nn
,2,1,0,2
22
2
2
1
neAtT
t
L
an
nn
L
xn
eatTxXtxu
t
L
an
nnnn
)
2
1
(
s i n)()(),( 2
222)
2
1
(?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
利用叠加原理，得一般解为：
0 0
)
2
1
( )
2
1(
s i n),(),( 2
222
n n
t
L
an
nn L
xn
eatxutxu
)(
)
2
1(
s i n)0,(
0
x
L
xn
axu
n
n?
由初始条件得：
0
2 ( 2 1 )( ) sin ( 0,1,2,)
2
L
n
nxa x d x n
LL
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
例 2 设有长度为 L 的,均匀的,内部无热源的热传导细杆,侧面绝热,求温度分布,
(1)左端右端保持零度,初始温度分布为 。
(2)
该定解问题应为
2
0
0
,( 0,0 )
()
0,0
t xx
t
x x L
u a u x L t
ux
uu
( ) ( )x x L x
()x?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
解,(1)分离变量
)()(),( tTxXtxu?
0)()(
0)()( 2
xXxX
tTatT
( ) ( ) 0
( 0 ) ( ) 0
X x X x
X X L
2( ) ( 1,2,)
n
n n
L
(2)固有值问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
相应的固有函数为：
( ) s in,1,2,nn nxX x C nL
2 2 2
2,1,2,
na t
L
nnT t A e n
L
xn
eatTxXtxu
t
L
an
nnnn
)
2
1
(
s i n)()(),( 2
222)
2
1
(?
2 2 2
2
11
(,) (,) s in
na t
L
nn
nn
nxu x t u x t a e
L
1
(,0 ) s i n ( )n
n
nxu x a x
L
一般解为：
由初始条件得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
.
.0
2 ( ) sin,1,2,L
n
nxa x d x n
LL
(2) ( ) ( )x x L x
2.
3.0
28( ) s i n,1,3,5,,,,
()
L
n
n x La x d x n
L L n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
例 3 设有一条长为 2L,温度为零的均匀杆，
其两端与侧面都绝热。现在用一个火焰集中在杆的中点烧它一下，使传给杆的热量恰好等于 cρ (设 c为杆的比热,ρ 为线密度）。求杆上的温度分布。
2
2
2
,0 2,0
( 0,) ( )
(,0 ) (,2 ) 0
xx
uu
a x L t
tx
u x x L
u t u t L
解：问题归结为解定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
解,1、分离变量
)()(),( tTxXtxu?
0)()(
0)()( 2
xXxX
tTatT
2、求解固有值问题
( ) ( ) 0
(0 ) ( 2 ) 0
X x X x
X X L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
(1) 当 时0
xx BeAexX
22
(0 ) 1 1 0
( 2 ) 0LL
X A B
X L A e B e
从而
( ) 0Xx?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
(2),当 时0
BAxX X? 常数
(3).当 时
0
xBxAxX s i nc o s)(
( ) s i n c o sX x A x B x
由条件得：
2
( 0,1,2,)2n nL
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
( ) c os,( 0,1,2,)2n nxX x nL
1
20
2
c o s
2
),(
2
n
t
L
an
n xL
neaaxtu?
1
0 )(
2c o s2),0( n n LxL
xnaaxu
求出 Tn(t)后得一般解为：
由初始条件得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
40
2
2
1
11(,) ( 1 ) c o s
2
ka t
k L
k
ku x t e x
L L L
Ln dxL xnLxLa 2.0,2c o s)(2 2
0 2 1
1
( 1 ) 2k
nk
nk
L
于是得：
定解问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
41
作业
P56习题 3.1第 1,2,3题 (2),(4),5,7
P60习题 3.2第 1,3,5题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
42
Thank You !
