0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
高维定解问题分离变量求解本次课主要内容
(一 )、二维圆域定解问题分离变量求解
(二 )、高维混合问题分离变量求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
一个半径为 ρ 0 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布。
(一 )、二维圆域定解问题分离变量求解主要讨论圆域内拉普拉斯方程求解分析,(1)这是一个稳态问题，所以温度分布满足拉普拉斯方程：
22
222
2022 0,( )
uuu x y
xy?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
边界条件为：
0
2
22
11
( ) 0 ( 1 )
( ) ( 2 )
uu
uf
222 0 (,)xyu f x y
引进极坐标变换：
c o s,( 0,0 2 )
s i n
x
y
方程与边界条件变换为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
(2) 圆盘中心温度有限，于是有：
( 0,) ( 3 )u
(3) (ρ,θ )与 (ρ,θ+2π)是 圆盘上同一点，于是有：
(,) (,2 ) ( 4 )uu
解：定解问题为,2
022
0
11
( ) 0,( ) ( 1 )
(,) ( ) ( 2)
(,) (,2 ) ( 3 )
( 0,) ( 4)
uu
u
uf
uu
u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
(,) ( ) ( ) ( 5 )uR
1、分离变量：
011 2 RRR
2 RR
R
(5)代入 (1)得：
整理后可令比值为 λ,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
2
0 (6 )
0 (7 )R R R
得两个常微分方程如下：
如何构造固有值问题？
2、求解固有值问题
2
0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
(1) λ <0时，只有平凡解；
(2) λ =0时，
0 () 常数
(3) λ >0时，令 λ =β 2 得：
s i nc o s ba
结合周期条件,β 只能取正整数。于是得固有值：
2 1,2,)nn（
固有函数为：
c o s s i n ( 1,2 )n n na n b n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
3、求方程 (7)的解方程 (7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有：
2 0 ( 7 )
( 0 ) ( 8 )
R R R
R
(1)、对应于 λ 0= 0,(7)的解为：
0 ( ) l nR C D
由 (8)得,D=0,于是有：
0 ( ) ( 9 )RC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
(2)、对应于 λ n= n2(n=1,2?.)
2( 1 ) 0D D R D R n R
作变换,ρ =et,(7)变为：
2
2 nRdt?
2dR
即：
(7)的解为,()
nnn n nR C D
由 (8)得,Dn=0,于是有：
() nnnRC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
4、求定解
( ) ( 0,1,2,)nnnR C n
(9)与 (10)可以统一写为：
一般解为：
1
0 s inc o s
2),( n nn
n nbnaau
由边界条件 (2)得：
0 0
1
( ) c o s s i n2 n nn
n
af a n b n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
2.
0.
0
2.
0.
0
2.
0.
0
s i n
1
c o s)(
1
)(
1
dnfb
dnfa
dfa
nn
nn
dtttfu
n
n
2.
0.
01
c o s
2
1)(1,
由傅立叶级数展开公式有：
代入整理后得定解形式为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
例 1 求定解问题,
0
22
02 2 2
11
0,( )
c o s
u u u
uA
解：这是圆域上拉普拉斯方程狄氏问题
1
0 s inc o s
2),( n nn
n nbnaau
分离变量得一般解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
由边界条件得：
)1(0,
,0
0
1
na
A
a
b
n
n
0 0
1
c o s c o s s i n2 n nn
n
aA a n b n
由傅立叶展开公式得：
所以定解为：
0
(,) c o sAu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。
例 2 在扇形域 {0<θ <α,0<ρ <ρ 0}上求定解问题,2
022
0
0
11
( ) 0,( 0,0 ) ( 1 )
(,) ( ) ( 2 )
( 0,) ( 3 )
0 ( 4 )
uu
uf
u
uu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
(,) ( ) ( ) ( 5 )uR
解,1、分离变量：
011 2 RRR
2 RR
R
(5)代入 (1)得：
整理后可令比值为 λ,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
2
0 (6 )
0 (7 )R R R
得两个常微分方程如下：
如何构造固有值问题？
2、求解固有值问题
0
00
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
于是得固有值：
( 1,2,)n n n 2)（
固有函数为：
sin ( 1,2 )n n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
3、求方程 (7)的解方程 (7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有：
2 0 ( 7 )
( 0 ) ( 8 )
R R R
R
(7)的解为：
()nn nRC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
4、一般解为：
1
(,) s inn
n
nnuC
由另一边界条件 (2)得：
0
1
s i n ( )n
n
nnCf
将 f(θ )在 [0,α ]上按奇式展开得：
.
.0
2 ( ) s in ( 1,2,)n
n
nC f d n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
所以定解为：
.
.01
2(,) ( ( ) s i n ) s i nn
n
n
nnu f d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
例 3 半径为 b的“无限长”圆柱形接地导体，放置在均匀外电场 E0 中，圆柱的轴线与 E0 方向垂直。求电势分布
0E
分析：这是一个稳态场问题。
(1)、由于圆柱形接地导体“无限长”，因此柱内外电势与 Z无关；
(2)、因外电场方向与 x轴正向一致所以，可用一个电位函数 φ 0=-E0x
表示，即,φ 0=-E0ρ cosθ
(3)、在无穷远处，柱面上的感应电荷产生的影响已经不存在，
所以有：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
参看,电磁场与电磁波,第三版 谢处方等。
P84 例 4.2.1 (高等教育出版社 )
2
0
11
0,( )
0,c os
,2,
b
u u u b
u u E
uu
0 c o suE
解：定解问题为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
2
0
0R R R
1、分离变量得两个常微分方程如下：
2、求解固有值问题
2
0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
(1) λ <0时，只有平凡解；
(2) λ =0时，
0 () 常数
(3) λ >0时，令 λ =β 2 得：
s i nc o s ba
结合周期条件,β 只能取正整数。于是得固有值：
2 1,2,)nn（
固有函数为：
c o s s i n ( 1,2 )n n na n b n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
3、求欧拉方程的解
(1)、对应于 λ 0= 0，解为：
0 0 0( ) l nR C D
由边界条件得：
L n bDC 00
(2)、对应于 λ n= n2(n=1,2?.),解为：
() nnn n nR C D
由边界条件得：
2 nnnD C b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
4、求定解
2( ) ( ) ( 1,2,)n n nnnR C b n
所以，得：
一般解为：
20
1
(,) l n c o s s i n ( )
n
n
nn n
n
bu D C n D n
b
由无穷远条件得：
0( ) l n ( 0 )nR D nb
c o s
.s i nc o s
0
1
2
0
Eu
b
nDnC
b
LnDu
n
n
n
n
nn
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
0),1(0,,0 010 nn DnCECD
c o sc o s
2
0
0
bEEu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
基本步骤是：
1,时空变量的分离,
( ) ( )u T t V M?
(二 )、高维混合问题分离变量求解
2,空间变量的分离,
( ) ( ) ( )V X x Y y Z z?
3,求解固有值问题
4,求解关于 T(t)的常微分方程
5,构造叠加解并求出定解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
例 1 求定解问题：
2
0
0
0
0
,( 0,0,0 )
0
0
(,)
(,)
tt
x x a
y y b
t
tt
u a u x a y b t
uu
uu
u x y
u x y
解,1,时空变量的分离：
( ) (,)u T t V x y?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
代入方程整理后得：
2
12( ),
x x y y
x x y y
VVTT V a V V T
a T V?
2
1
1
0 ( 1 )
0 ( 2)x x y y
T a T
V V V
得关于时空的微分方程：
2,作 空间变量的分离,
( ) ( )V X x Y y?
代入方程 (2)整理后得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
1
2
X Y Y
XY
3.求解固有值问题
2 3 3 1 20,0,X X Y Y
2
3
0
( 0) 0,( ) 0
0
( 0) 0,( ) 0
XX
X X a
YY
Y Y b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
22
2 2
22
3 2
,s i n,( 1,2,3,)
,s i n,( 1,2,3,)
n
m
nn
X x n
la
mm
Y y m
bb
4.
分别求出两个固有值问题得：
2 2 2 2
1 2 3 22,
nm
ab
同时得到关于 V(x,y)的 固有值：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
4.
4,求 T(t)
11( ) c o s s i n (,1,2,)m n m n m nT t C t D t m n
固有函数为：
(,) sin sin (,1,2,)mn mnV x y x y m nab
2 1 0T a T
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
4.
5,一般解为,
,1,1
11
( c o s s i n ) s i n s i nm n m n
mn
mnu C t D t x y
ab
,
00
,
00
1
22
[ (,) s in ] s in
4
(,) s in s in
ba
mn
ab
mn
nm
C x y x d x y d y
b a a b
nm
D x y x y d x d y
abab
由初值条件，再由多元傅立叶展开得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
例 2 求边长分别为 a,b,c的长方体中的温度分布，
设物体表面温度保持零度，初始温度分布为
),,()0,,,( zyxzyxu
解：定解问题为：
2
0
0
0
0
,( 0,0,0,0 )
0
0
0
(,,)
t
x x a
y y b
z z c
t
u k u x a y b z c t
uu
uu
uu
u x y z?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
1,时空变量的分离,
),,()( zyxVtTu?
0
0
1
1
2
VVVV
TkT
zzyyxx?
2,空间变量的分离,
),()( zyxXV
12
0
( ) 0
0,0x x a
XX
XX
02 zzyy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
3.进一步分离
)()(),( zZyYzy
0,0
0)(
0
32
byy YY
YY
0,0
0
0
3
czz ZZ
ZZ?
3个固有值问题的解为,
22
3 2
22
23 2
22
12 2
,si n,( 1,2,3,)
,si n,( 1,2,3,)
,si n,( 1,2,3,)
n
m
P
nn
Z z n
cc
mm
Y y m
bb
pp
X x p
aa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
相加得
2 2 2
2
1 2 2 2pmn
p m n
a b c
s i n s i n s i npmn P m nV x y za b c
tk
P m nP m n P m neAT
2
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
40
2
1 1 1
0
0 0 0
si n si n si n
(,,)
8
(,,) si n si n si n
Pm n
kt
Pm n
P m n
t
a b c
Pm n
P m n
u A e x y z
a b c
u x y z
P m n
A x y z x y zdx dy dz
abc a b c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
41
课后练习：
yxcyxuyxu
zbxuzxuzyauzyu
czbyaxuuu zzyyxx
,,,,00,,
0,,,0,,,,,,0
0,0,0,0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
42
作业
P64习题 3.3第 2,3,5题
P67习题 3.4第 1,3,5题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
43
Thank You !
