0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
非齐次方程定解问题求解本次课主要内容
(一 )、定解问题的分解
(二 )、齐次化原理在求解中的应用
(三 )、固有函数值方法求解定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
)(),0(),(),0(
0),()0,(
)0,0)(,(2
xxuxxu
Ltutu
Lxtxtfuau
t
xxtt
先讨论如下定解问题求解：
分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振动，于是，可设问题的解为：
(,) (,) (,)u x t V x t W x t
(一 )、定解问题的分解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
于是所给的定解问题分解成两个简单的定解问题
2
(,0 ) (,) 0 *
( 0,) ( ),( 0,) ( )
tt x x
t
v a v
v t v t L
v x x v x x
2 (,)
(,0 ) (,) 0 * *
( 0,) 0,( 0,) 0
tt x x
t
W a W f t x
W t W t L
W x W x
其中,V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移，而 W(x,t)
表示强迫振动引起的弦振动位移。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
12
1 1 1 1
2 2 2 2
(,),( 0,)
(,) (,) 0
(,) (,) 0
( 0,) ( ),( 0,) ( )
tx
x
x
t
L u L u f t x t x x x
a u t x u t x
a u t x u t x
u x x u x x
2121,,,
对于一般常系数二阶偏微分方程定解问题：
)2,1(022 iii
非负常数
2
1 2 32tL a a att
2
1 2 32xL b b bxx
分别是关于 t和 x的二阶常系数偏微分算子
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
12
1 1 1 1
2 2 2 2
0,( 0,)
(,) (,) 0
( 1 )
(,) (,) 0
( 0,) ( ),( 0,) ( )
tx
x
x
t
L V L V t x x x
a V t x V t x
a V t x V t x
V x x V x x
(,) (,) (,)u x t V x t W x t令：
与原定解问题可作如下分解,
12
1 1 1 1
2 2 2 2
(,),( 0,)
(,) (,) 0
( 2)
(,) (,) 0
( 0,) 0,( 0,) 0
tx
x
x
t
L W L W f x t t x x x
a W t x W t x
a W t x W t x
W x W x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
对于 (1),可考虑分离变量求解，因此，主要讨论 (2)
的求解
(二 )、齐次化原理在求解中的应用对于 (2),注意到方程是非齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初值条件为 0初值条件，正好和二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对应，所以，可以考虑用齐次化原理求解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
齐次化原理 1
齐次化原理回顾
2
3
2,(,)
0,,tt
L M R t
t
fM
t
0,0
)0,(,,
00
3
2
2
tt t
u
u
tRMMtfLu
t
u
..0,;tu W t M d
如果
(,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
齐次化原理 2
0
)0,(,,
0
3
tu
tRMMtfLu
t
u
,,
,,,3
Mf
tRML
t
t
..0,;tu W t M d
如果 (,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
例 1 解定解问题,
2
2
2
0
0
1,0,0
0
0
ht
x x L
t
u u x
a A e x L t
t x L
uu
u
解：考虑相应齐次方程的定解问题
h
t
Lxx
e
L
x
AW
WW
tLx
x
W
a
t
W
1
0
0,0,
0
2
2
2
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
1
2
s in)(e x p2),,(
n L
xnht
L
an
n
AxtW
由齐次化原理 2，有
.
.0
22
22
1
(,) (,,)
21
e x p s in
[ ( ) ]
t
ht
n
u x t W t x d
A L n a n x
et
n n a L h L L
由分离变量得定解问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
例 2 求 定解问题,
2
0
00
c o s sin,0,0
0
0
tt x x
x x x x L
t t t
x
u a u A t x L t
L
uu
uu
解：考虑相应齐次方程的定解问题
2
2
2
0
,0,0
0
c o s s in
x x L
t
WW
a x L t
tx
WW
x
WA
L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
()(,,) sin sin c o sA L a t xW t x
a L L
由齐次化原理 1，有
.
.0
22
2
2
(,) (,,)
1
( sin sin ) c os
t
u x t W t x d
AL at a x
t
aa L L L
L
由分离变量得定解问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
(三 )、固有函数值方法求解定解问题
)(),0(),(),0(
0),()0,(
)0,0)(,(2
xxuxxu
Ltutu
Lxtxtfuau
t
xxtt
讨论如下定解问题求解：
(1) 定解问题的分解，设：
(,) (,) (,)u x t V x t W x t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
2
(,0) (,) 0 ( 1 )
( 0,) ( ),( 0,) ( )
tt x x
t
v a v
v t v t L
v x x v x x
2 (,)
(,0 ) (,) 0 ( 2 )
( 0,) 0,( 0,) 0
tt x x
t
W a W f t x
W t W t L
W x W x
(2) 讨论 (2)的 固有函数值求解方法方法原理,(a) 可以设想定解问题的解可分解为无穷多个驻波叠加，而每个驻波波形仍然由该振动体的固有函数决定，即由固有函数系 {sinnπ x/L}可以假定 (2)的一般解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
1
(,) ( ) s i n ( )n
n
nxW x t T t a
L
(b) 对自由项 f(x,t)也按固有函数系展开成傅立叶级数：
其中：
1
(,) ( ) s i n ( )n
n
nxf x t f t b
L
0
2( ) (,) sin ( 1,2,)L
n
nxf t f x t d x n
LL
将 (a)与 (b)代入 (2)中可得到：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
L
xntf
L
xntTa
L
xntT
n
n
n
nn
n
n
11
2
1
s i n)(s i n)(s i n)(
),2,1(,
0)0()0(
)(2
n
TT
tfTaT
nn
nnnn?
.
.0( ) ( ) s in ( )
t
nn
L n aT t f t d
n a L
比较系数得,
由常数变易法得,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
所以，定解问题 (2)的解为：
01(,) ( ( ) s i n ( ) ) s i n
t
n
n
L n a n xW x t f t d
n a L L
常数变易法回顾设二阶常系数线性非齐次微分方程为：
()y p y q y f x
对应的齐次通解为：
1 1 2 2( ) ( )y C y x C y x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
常数变易得非齐次特解为：
将其代入非齐次微分方程得：
12
12
0
()
u y v y
u y v y f x
由此求得非齐次通解为：
12( ) ( ) ( ) ( )y u x y x v x y x
21
1 2 1 1 2 200
1 2 1 2
( ) ( )
(,) (,)
xxy f y fy y d y d C y C y
y y y y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
其中 称为朗斯基行列式固有函数值方法总结：
1 2 2 1 1 2(,)y y y y y y
12
1 1 1 1
2 2 2 2
(,),( 0,)
(,) (,) 0
( 2)
(,) (,) 0
( 0,) 0,( 0,) 0
tx
x
x
t
L W L W f x t t x x x
a W t x W t x
a W t x W t x
W x W x
定解问题一般形式：
求解步骤：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
1、求下面齐次定解问题对应的固有值问题
12
1 1 1 1
2 2 2 2
0,( 0,)
(,) (,) 0
(,) (,) 0
tx
x
x
L W L W t x x x
W t x W t x
W t x W t x
固有函数为,Xn(x)
2、令一般解为：
(,) ( ) ( )nnW x t T t X x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
3、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到 Tn(t)的微分方程；
4、由原定解问题初值条件得出 T n(t)的初值条件；
5、由常数变易法求出 T n(t) 。
应用举例例 1 求定解问题：
2
0
0
,(0,0 )
0 ( 1 )
0,0
t x x
t
x x x L
u a u A x L t
u
uu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
固有函数为：
2、令一般解为：
1
( 2 1 )(,) ( ) s i n
2nn
nu x t T t x
L
2
0
,( 0,0)
0,0
t x x
x x x L
u a u x L t
uu
解,1、求下面齐次定解问题对应的固有值问题
( 2 1 )( ) sin ( 1,2,)
2n
nX x x n
L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
3、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到 Tn(t)的微分方程；
首先：自由项 A按固有函数系展开,
1
( 2 1 )s in
2nn
nA A x
L
得：
0
2 ( 2 1 ) 4s in
2 ( 2 1 )
L
n
nAA A x d x
L L n
其次：将一般解和自由项展开代入定解问题得：
2
( 2 1 ) 4
()
2 ( 2 1 )
( 0 ) 0
nn
n
n a A
T t T
Ln
T
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
4,T n(t) 表达式为：
2( 2 1 )
2
2
3 3 2
16( ) 1
( 2 1 )
na t
L
n
ALT t e
na
5、原定解问题解为：
2( 2 1 )
2
2
3 3 2
1
1 6 ( 2 1 )(,) 1 s i n
( 2 1 ) 2
na t
L
n
A L nu x t e x
n a L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
例 2、在以原点为中心以 1为半径的圆内，求泊松方程定解问题：
解：极坐标变换后得：
22 1
2
0
x x y y
xy
u u x
u
22
2 2 2
1
11
2 c o s,( 1 )
0
u u u
u?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
固有函数为：
2、令一般解为：
解,1、齐次定解问题的固有值问题的解为：
( ) c o s ( ) s i n ( 0,1,2 )n n na n b n n
0
(,) ( ) c o s ( ) s i nnn
n
u a n b n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
由边界条件得,(1 ) 0,(1 ) 0nnab
又由有界性得,( 0 ),( 0 )
nnab
上面三个欧拉方程的通解分别为：
13
1 1 2
1()
4a C C
( ) ( 1 )nnn n na A B n
() nnn n nb A B
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
由边界条件，有界性条件得：
12
1,0
4CC
0 ( 1 )nnA B n
0nnAB
即,3
1
11()
44a
4、原定解问题解为：
311(,) ( ) c o s
44u
即：
221(,) [ 1 ( ) ]
4u x y x y x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
几点说明
1、圆域、扇形域，圆环域、矩形域等上的拉普拉斯方程定解问题可考虑用分离变量求解；
3,上例泊松方程定解问题还可以有如下简单方法求解：
2、圆域、扇形域，圆环域、矩形域等上的泊松方程定解问题可考虑用固有函数法求解；
(1)、通过观察分析可得方程的特解：
31(,) c o s
4w
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
(2)、令,31(,) (,) c o s
4uv
22
2 2 2
1
11
0,( 1 )
1
c o s
4
v v v
v
(3)、令,(,) c o sv A B
可得：
1(,) c os
4v
311(,) c o s c o s
44u
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
作业
P70 — 71习题 3.5第 1,3,5,6题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
Thank You !
