0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
1
Email,yc517922@126.com
数理方程与特殊函数任课教师：杨春应用数学学院
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
2
数学物理方程总复习本次课主要内容一、偏微分方程理论与分离变量法二,行波法与积分变换法三,格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
3
1,定解问题的建立
2,方程的化简
4,δ 函数
(一 ),偏微分方程理论一、偏微分方程理论与分离变量法
3,二阶线性偏微分方程理论
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
4
1、定解问题的建立写出定解问题，需要建立偏微分方程、
写出边界条件 (包括衔接条件，自然条件）
和初始条件。
建立偏微分方程的主要方法是微元法
(1).明确物理过程与研究对象 (待研究物理量 );
(2).进行微元分析；
分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
5
如何写出三类边界条件？
(1)、明确环境影响通过的所有边界；
(2)、分析边界所处的物理状况；
(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。
(3).化简、整理算式。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
6
例 1 一根半径为 r,密度为 ρ,比热为 c，热传导系数为 k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为 u1的介质发生热交换，且热交换系数为 k1.求杆上温度满足的方程解,物理量为杆上温度 u(x,t),取微元 [x,x+dx]
x+dx xx
在 dt时间里，微元段获得的热量为：
(,) (,)xxk u x d x t S u x t S d t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
7
该热量一部分 Q1用于微元段升温，另一部分 Q2从侧面流出
1 tQ c S d x u d t 2 1 1( ) 2Q k u u r d x d t
所以，微元段满足的方程为：
(,) (,)xxk u x d x t S u x t S d t
11( )2tc S d x u d t k u u r d x d t
1
1
2 ()
x x t
kku u u u
c c r
所以，方程为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
8
(1)、写出特征方程：
(2)、计算
2
1 1 1 2 2 220
d y d ya a a
d x d x
2
1 2 1 1 2 2a a a
(3)、作变换
(a)、
0
1
2
(,)
(,)
xy
xy
2、方程的化简
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
9
(b)、
0
1
2
(,)
(,)
xy
xy
12(,) (,)x y x y i c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
10
(c),0
(,)
()
xy
xy
或
(,)x y c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
11
(4)、求出变换方程：
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a
12,,,b L c b L c c c f f
其中：
xy
xy
Q
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
12
二阶线性方程分类：
21 2 1 1 2 2a a a
0(1) 双曲型
0 抛物型
0
椭圆型
(2)
(3)
说明：分类也指点的邻域内的分类！
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
13
例 2 化下面方程为标准型
4 5 2 0x x x y y y x yu u u u u
2dy idx
解,2
1 2 1 1 2 2 10a a a
方程属于椭圆型
2yx
x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
14
21
10
xy
xy
Q
所以
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
Ta a a aQQ
a a a a
2 1 1 2 2 1
1 0 2 5 1 0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
15
10
01
1 0b L c
2 1,0b L c c f
0u u u可得 标准型：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
16
3,二阶线性偏微分方程理论
(1),线性算子
T为算子，若 T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2,称 T
为线性算子
(2),二阶线性偏微分算子
cybxbyayxaxaL 212
2
22
2
122
2
11 2
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
17
于是 二阶线性偏微分方程
fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2
可以简记为：
fLu?
齐次形式为：
0Lu?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
18
原理 1：
(1 )iiL u f i n
11
nn
i i i i
ii
L c u c f
意义：欲求叠加原理
Lu f? 的解，如果
1
n
ii
i
f c f
且求出 (1 )
iL u f i n 的解为,(1 )iu i n
则
1
n
ii
i
cu
为方程 Lu f? 的解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
19
( 1,2,)iiL u f i
11
i i i i
ii
L c u c f
说明：原理 2是原理 1的有条件推广。条件是算子 L与和号能交换次序。
叠加原理原理 2：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
20
其中,M表示自变量组,M0为参数组,
0,MMfLu?
设 u(M,M0)满足线性方程 (线性定解条件 )
叠加原理原理 3：
且积分
00( ),
v
U M u M M dM 收敛，
并满足 L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么 U(M)满足方程 (或定解条件）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
21
00( ),
v
L U M f M M d M
叠加原理说明：原理 3可以理解为：若
0,MMfLu?
那么,
00( ),
v
L U M f M M d M
00( ),
v
U M u M M dM
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
22
叠加原理定理：非齐次线性方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
例 3 求泊松方程,
的一般解 。
222 1 2 1 2u x y
解,(1)先求出方程的一个特解 u1
由方程的形式可令 u1=ax4+by4,代入方程可得：
441u x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
23
(2)、求对应齐次方程通解
x
iy
对应齐次方程为：
2 0u
作变换：
则齐次方程化为：
0uu
再作变换：
a
b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
24
方程化为：
u f x i y g x i y
0abu?
齐次方程通解为：
原方程通解为：
44()u f x i y g x i y x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
25
齐次化原理 1
齐次化原理
2
3
2,(,)
0,,tt
L M R t
t
fM
t
0,0
)0,(,,
00
3
2
2
tt t
u
u
tRMMtfLu
t
u
..0,;tu W t M d
如果
(,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
26
齐次化原理 2
0
)0,(,,
0
3
tu
tRMMtfLu
t
u
,,
,,,3
Mf
tRML
t
t
..0,;tu W t M d
如果 (,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
27
例 4、若 V(x,t,τ)是定解问题
2
0
0
0,0,
0.
t x x
x x L
t
h
u a u u
c
uu
u?
..0(,),;tu x t V x t d
是定解问题的解，则：
2
2
0
0
0,0,
0.
t x x
x x L
t
h I R
u a u u
cc
uu
u
的解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
28
2.
.0
(,,)
t
t
u V I Rd V x t
t t c?
证明：首先，
0 0tu
其次，因 V(x,t,τ)是齐次定解问题的解，因此，不难证明
0 0,0,x x Luu
2
22
0
()tt x x x xh V h I Ru a u u a V V dc t c c
2IR
c
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
29
解的适定性满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。
解的稳定性是指若定解条件有微小变化，
其解也只有微小变化只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
30
(1),定义
δ 函数是指满足下面两个条件的函数
4,δ函数
0
0
0
0,( 1 ),( )
,
xxxx
xx?
0
0
0
1,(,)( 2 ),( )
0,(,)
b
a
x a bx x d x
x a b?
几点说明：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
31
(a),几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为 1。
(b)、物理意义
x0 x
δ (x-x0)
定义中条件 (1)反映物理量集中在 x0处，该处称为点源；条件 (2)反映物理量有限。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
32
例 5、两端固定的长为 L的弦，密度为 ρ,初始时刻在 x0处受到冲量 I的作用。求初速度和定解问题。
解,(1)
x0
u(x,t)
xL0
0
0
0
,
0,t t
xx
u
xx?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
33
(2) 由动量定理 FΔ t= Δmv得：
0
L
tI u d x
所以有,00
0
0
( ),
0,
tt
I x x x x
u
xx
定解问题为：
2
0
00
00
0
0,0
( ),
0,
0,
tt x x
x x L
t t t
u a u
uu
I
x x x x
uu
xx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
34
(2),性质
(a)筛选性质：对任意连续函数 φ (x),有：
00( ) ( ) ( )x x x d x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
35
所以，
0xx?证明：由于
(b)δ 函数是偶函数,即：
( ) ( )xx
有
0( ) 0xx
00( ) ( ) ( )x x x d x x
证明：由于对任意连续函数 φ (x),有
( ) ( ) (0 ) ( ) ( )x x d x x x d x
所以，
( ) ( )xx
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
36
δ 函数的导数定义：设定义的算符 δ (n)称为 δ (x)的 n阶导数。
1()f x C?
由
( ) ( )( ) ( ) ( 1 ) ( 0 )n n nx f x d x f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
37
例 6、求证：
0
1 ()
4 MMr
其中证明：当 M不等于 M0时，直接计算可得：
03,M M R?
2 2 2
0 0 0( ) ( ) ( )r x x y y z z
1 0
4 r?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
38
另一方面：
11 ( ) 1
44KS d V d Sr r r
0
1 ()
4 MMr
所以：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
39
(1)、分离变量
(2)、求解固有值问题
(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解
1、分离变量法求定解的步骤
(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
(二 )、分离变量方法
2、常涉及的几种固有值问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
40
0(1 ),
( 0 ) 0,( ) 0
XX
X X L
22
2 ( 1,2,3 )n
n n
L
( ) si n,( 1,2,)nn nxX x B nL
0( 2 ),
( 0 ) 0,( ) 0
XX
X X L
22
2 ( 0,1,2,3 )n
n n
L
( ) c o s,( 0,1,2,)nn nxX x B nL
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
41
0( 3 ),
(0 ) 0,( ) 0
XX
X X L
22
2
1()
2 ( 0,1,2,3 )
n
n
nL
1
2( ) s i n,( 1,2,)
nn
n
X x B x n
L
0( 4 ),
(0 ) 0,( ) 0
XX
X X L
22
2
1()
2 ( 0,1,2,3 )
n
n
nL
1
2( ) c o s,( 0,1,2,)
nn
n
X x B x n
L
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
42
0( 5 ),
( 2 ) ( )
2 ( 0,1,2,3 )
n nn
( ) c o s s i n,( 0,1,2,)n n nA n B n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
43
3、固有函数值方法
12
1 1 1 1
2 2 2 2
(,),( 0,)
(,) (,) 0
( 2)
(,) (,) 0
( 0,) 0,( 0,) 0
tx
x
x
t
L W L W f x t t x x x
a W t x W t x
a W t x W t x
W x W x
定解问题一般形式：
求解步骤：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
44
(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题
12
1 1 1 1
2 2 2 2
0,( 0,)
(,) (,) 0
(,) (,) 0
tx
x
x
L W L W t x x x
W t x W t x
W t x W t x
固有函数为,Xn(x)
(2)、令一般解为：
(,) ( ) ( )nnW x t T t X x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
45
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到 Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件得出 T n(t)的初值条件；
(5)、由常数变易法求出 T n(t) 。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
46
齐次化原理 1
4、齐次化原理求解
2
3
2,(,)
0,,tt
L M R t
t
fM
t
0,0
)0,(,,
00
3
2
2
tt t
u
u
tRMMtfLu
t
u
..0,;tu W t M d
如果
(,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
47
齐次化原理 2
0
)0,(,,
0
3
tu
tRMMtfLu
t
u
,,
,,,3
Mf
tRML
t
t
..0,;tu W t M d
如果 (,; )W M t? 满足方程：
那么非齐次柯西问题的解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
48
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法采用未知函数代换法：
),(),(),( txWtxVtxu
选择适当的 W(x,t)，使关于 V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。
(2)、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与 t无关，则可以令：
(,) (,) ( )u x t V x t W x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
49
可以把关于 V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
50
22
2
22
0
00
22
s in c o s,(0,0 )
3,6
4
3 ( 1 ),s in
x x L
tt
uu
a x x x l t
t x l l
uu
xu
ux
l t l
解,令 )(),(),( xWtxVtxu
将其代入定解问题中得：
例 6 求如下定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
51
2
0
22( ) s i n c o s 0
3,6x x l
a W x x x
ll
WW
2
22
4( ) s i n 3 1
32
lxW x x
a l l
22
2
22
0
00
,( 0,0 )
0
4
3 ( 1 ) ( ),
x x L
tt
VV
a x L t
tx
VV
xV
V W x x
l t l
可将其分解为：
22
00
00
22
( ) s in c o s,( 0,0 )
3,6
4
( ) 3 ( 1 ),s in
tt x x
x x x L x L
t t t
V a V a W x x x x l t
ll
V W V W
x
V W x V x
ll
于是得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
52
1
(,) c o s s i n s i nnn
n
n a n a nV x t C t D t x
l l l
由分离变量得一般解为：
由初值条件得：
由傅立叶级数展开得：
1
3 ( 1 ) ( ) s inn
n
xnW x C x
ll
1
4s i n c o s
n
n
n a n ax D x
l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
53
2
220
2 s in s in
32
l
n
l n nC x x d x
l a l l
2
22
0,4
,4
32
n
l
n
a?
0
24 s i n s i nl
n
nD x x d x
n a l l
0,4
,4
4
n
l
n
a?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
54
所以，定解问题的解为：
2
22
4 4 4(,) c o s s in s in
3 2 4
l a l a xV x t t t
a l a l l
原定解问题的解为：
2
22
2
22
4 4 4
(,) c os si n si n
32 4
4
si n 3 1
32
l a l a x
u x t t t
a l a l l
l x x
a l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
55
注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。
例 7 在扇形域 {0<θ <α,0<ρ <ρ 0}上求定解问题,2
022
0
0
11
( ) 0,( 0,0 ) ( 1 )
(,) ( ) ( 2 )
( 0,) ( 3 )
0 ( 4 )
uu
uf
u
uu
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
56
(,) ( ) ( ) ( 5 )uR
解,1、分离变量：
011 2 RRR
2 RR
R
(5)代入 (1)得：
整理后可令比值为 λ,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
57
2
0 (6 )
0 (7 )R R R
得两个常微分方程如下：
如何构造固有值问题？
2、求解固有值问题
0
00
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
58
于是得固有值：
( 1,2,)n n n 2)（
固有函数为：
sin ( 1,2 )n n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
59
3、求方程 (7)的解方程 (7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有：
2 0 ( 7 )
( 0 ) ( 8 )
R R R
R
(7)的解为：
()nn nRC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
60
4、一般解为：
1
(,) s inn
n
nnuC
由另一边界条件 (2)得：
0
1
s i n ( )n
n
nnCf
将 f(θ )在 [0,α ]上按奇式展开得：
.
.0
2 ( ) s in ( 1,2,)n
n
nC f d n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
61
所以定解为：
.
.01
2(,) ( ( ) s i n ) s i nn
n
n
nnu f d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
62
例 8 求定解问题：
2
0
0
0
0
,( 0,0,0 )
0
0
(,)
(,)
tt
x x a
y y b
t
tt
u a u x a y b t
uu
uu
u x y
u x y
解,1,时空变量的分离：
( ) (,)u T t V x y?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
63
代入方程整理后得：
2
12( ),
x x y y
x x y y
VVTT V a V V T
a T V?
2
1
1
0 ( 1 )
0 ( 2)x x y y
T a T
V V V
得关于时空的微分方程：
2,作 空间变量的分离,
( ) ( )V X x Y y?
代入方程 (2)整理后得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
64
1
2
X Y Y
XY
3.求解固有值问题
2 3 3 1 20,0,X X Y Y
2
3
0
( 0) 0,( ) 0
0
( 0) 0,( ) 0
XX
X X a
YY
Y Y b
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
65
22
2 2
22
3 2
,s i n,( 1,2,3,)
,s i n,( 1,2,3,)
n
m
nn
X x n
la
mm
Y y m
bb
4.
分别求出两个固有值问题得：
2 2 2 2
1 2 3 22,
nm
ab
同时得到关于 V(x,y)的 固有值：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
66
4.
4,求 T(t)
11( ) c o s s i n (,1,2,)m n m n m nT t C t D t m n
固有函数为：
(,) sin sin (,1,2,)mn mnV x y x y m nab
2 1 0T a T
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
67
4.
5,一般解为,
,1,1
11
( c o s s i n ) s i n s i nm n m n
mn
mnu C t D t x y
ab
,
00
,
00
1
22
[ (,) s in ] s in
4
(,) s in s in
ba
mn
ab
mn
nm
C x y x d x y d y
b a a b
nm
D x y x y d x d y
abab
由初值条件，再由多元傅立叶展开得：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
68
1、要点回顾
(1)行波法的适用范围是什么？
答：波动方程的初值问题。
(2)行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？
答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数 (或常数 )，
从而求出其特解。
二、行波法与积分变换法
(一 )、行波法
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
69
(3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意义是什么？
答,(a) 公式为：
(b) 物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数 a。
atx
atx
daatxatxtxu,
.2
1
2
1),(
(4)如何求解无限长弦的纯强迫振动问题和一般强迫振动问题？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
70
答 (a)纯强迫振动 定解问题为：
求解方法：齐次化原理
2
0
0
(,) (,0 )
0
0
t t x x
t
tt
u a u f x t x R t
u
u
(b)一般强迫振动 定解问题为：
2
0
0
(,) (,0 )
()
()
t t x x
t
tt
u a u f x t x R t
ux
ux
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
71
求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分答,(a)公式 为：
(5)三维自由振动的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？
22
1 ( ) 1 ( )(,)
44 MM
a t a tSS
MMu M t d S d S
a t t a t
(b) 物理意义,1)空间任意一点 M在任意时刻 t>0的状态完全由以该点为心,at为半径的球面上的初始扰动决定；
2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
72
答,(a)公式 为：
(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？
公式的物理意义是什么？
(b) 物理意义,1)空间任意一点 M在任意时刻 t>0的状态完全由以该点为心,at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；
2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，
波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。
2
2 2 200
1 ( c o s,s in )(,,)
2
at x r y ru x y t r d r d
at a t r
2
2 2 200
1 ( c o s,s i n )
2
at x r y r r d r d
a a t r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
73
2、典型题型
(1)利用行波法求解例 1、求下面柯西问题的解：
0,3
032
0
2
0
2
22
2
2
yy
y
u
xu
y
u
yx
u
x
u
解：特征方程 为：
032 22 dxd x d ydy
21,3 CyxCyx
特征线方程为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
74
yx
yx
3
令,
变换原方程化成标准型：
0
2
u
2 2 1 2( ) ( ) ( 3 ) ( )u f f f x y f x y
通解为,
代入条件 得：
0)()3(
3)()3(
21
2
21
xfxf
xxfxf
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
75
Cxxf
Cxxf
2
2
2
1
4
3
)(
4
1
)(
2222 3)(
4
3)3(
4
1),( yxyxyxyxu
例 2、求波动方程的古沙问题
2
0
0
(,0 ) ( 1 )
( ) ( 2 )
( ),( (0 ) (0 ) 0 ) ( 3 )
t t x x
x a t
t x a t
u a u a t x a t t
ux
ux
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
76
12(,) ( ) ( )u x t f x a t f x a t
解：方程通解为：
由 (2)得：
12( 0 ) ( 2 ) ( ) ( 4 )f f x x
又由 (3)得：
12( 2 ) ( 0 ) ( ) ( 5 )f x f x
由 (4)与 (5)得：
12
21
( ) ( ) ( 0 )
2
( ) ( ) ( 0 )
2
x
f x f
x
f x f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
77
12(,) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )22
x a t x a tu x t f f
所以：
又由 (4)得：
12( 0 ) ( 0 ) ( 0 )ff
所以：
(,) ( ) ( ) ( 0 )22x a t x a tu x t
(2)半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
78
例 3、半无限长杆的端点受到纵向力 F(t)=Asinωt的作用，
求解杆的振动。
解：定解问题为：
F
un|x=0.YS
0 x
2
00
0
( 0,0) ( 1 )
( ),( ) ( 3 )
si n ( 3 )
tt x x
t t t
xx
u a u x t
u x u x
A
ut
YS
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
79
解：方法 1：延拓法首先，当 x>at时，端点的影响没有传到，所以有：
atx
atx
daatxatxtxu,
.2
1
2
1),(
其次，当 x<at时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：
1
( ),0
()
( ),0
xx
x
xx
1
( ),0
()
( ),0
xx
x
xx
延拓后的定解问题的解为：
..11(,) 22 x a tx a tu x t x a t x a t da
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
80
欲使延拓后的解限制在 x≥0上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即：
为此：令
0 1 1 12 2 2xxu a t a t a t a taa
sinA tYS
0a t a t
只要：
1 ( ) ( )xx
又令
11 sin22 Aat at ta a Y S
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
81
得到：
所以有：
111 sin22 Aa t a t ta a Y S
1 2( ) sinaAx x xY S a
所以当 x<at时，解为：
.
.
11
(,)
22
c os ( ) 1
x at
at x
u x t x at at x d
a
A a x
t
Y S a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
82
方法 2：行波法求解 (课后作业）
(3)高维波动方程的定解问题 (重点 )
例 4、求如下定解问题：
2
,0,,,
,,,0 0,,,
,,,0 2
tt x x y y z z
t
u a u u u t x y z
u x y z x y z
u x y z x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
83
分析：这是三维空间自由振动问题，所以直接代入泊松公式计算。
..
2
1 ( ) ( )(,)
4 MM
a t a tSS
MMu M t d S d S
a t t t
( ) si n c os
( ) si n si n ( 0 2,0 )
( ) c os
x x at
y y at
z z at
球坐标变换为：
2( ) s i nd S a t d d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
84
解：由泊松公式
,2,,0,0(,,,) s in c o s s in s in s in2 tu x y z t x t y t d d
,2,2 2 2 3,0,0 sin sin sin sin c o s sin c o s sin2 t x y x t y t y t d d
,2,
,0,0 s in2
xyt dd
2 xyt?
例 5、用泊松公式解如下定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
85
( 0,,)
(,,0 ) 0,(,,0 ) 2,(,)
t t x x y y
t
u u u t x y
u x y u x y x y x y
解：由二维泊松公式得：
2
2 2 200
1 ( c o s,s in )(,,)
2
at x r y ru x y t r d r d
at a t r
2
2 2 200
1 ( c o s,s i n )
2
at x r y r r d r d
a a t r
2
2200
1 2 ( c o s ) ( s i n )
2
t x r y r r d r d
tr
2 xyt?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
86
(二 )、积分变换法
1、要点回顾
(1) 什么叫积分变换？
答：所谓积分变换，就是把某函数类 A中的函数 f(x)，经过某种可逆的积分方式：
( ) (,) ( )F p k x P f x dx
变成另一类 B中的函数 F(P)。其中 F(P)称为像函数,f(x)称为原像函数,k(x,P)称为积分变换的核。
(2) 积分变换法求解数理方程的步骤是什么？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
87
答,(a)对方程和定解条件中的各项作针对于某变量的积分变换，得到像函数满足的方程 ;
(2) 积分变换法求解数理方程的步骤是什么？
(b)求出像函数；
(c)求出原像函数。
(3) 傅立叶变换与拉普拉斯变换适用的数理方程对象是什么？分别针对于什么变量作变换？
答,傅立叶变换多用于求解半无界 (正，余弦变换 )和全无界初值问题。一般针对空间变量作变换；拉氏变换常用于
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
88
带有边界条件的定解问题。常针对时间变量作变换。
(4) 叙述傅立叶变换、逆变换，傅立叶正余弦变换、
逆变换和拉普拉斯变换、逆变换的定义 (略）
(1)、利用定义与性质求函数的积分变换
(5) 叙述 (4)中各种变换的主要性质 (略 )和变换存在定理 (略 )
2、典型题型
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
89
例 6、求下列函数的傅立叶变换只对 (5)进行讲解，其余留为课后练习。
0,( 0 )( 1 ),( ) ( 0 )
,( 0 )x
xfx
ex
1,( 0 )( 2 ),s g n
1,( 0 )
xx
x
0( 3 ),( ) s i nf x x
(4 ),( ) xf x e
2( 5 ),( ) ( 0 )axf x e a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
90
解法 1：令由于
2() x i xF g x e e d x
2() xg x e
22 2x i x x i xiie e x e e dx
2 ()i F x g x()2 dF g xd
2( ) (0 ) xF g x e d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
91
所以得：
解此微分方程得：
2
4()F g x e
()2
()
( ) ( 0)
dF g x
F g x
d
F g x
利用相似性质, 1( ) ( )F f a x f
aa
2
4() aF f x e
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
92
解法 2：由傅立叶变换的定义考虑复变函数 g(z)=e-az2沿下图所示的围道积分。
2() a x i xF f x e e d x
2 2
()42 iaxaae e d x
C1
C2
C3
C4
x
y
o-R R
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
93
由柯西积分定理得：
由于
2 2 2 2
1 2 3 4
0*a z a z a z a zC C C Ce d z e d z e d z e d z
22
2
()2
0
a z a R iya
C
e d z i e d y
所以：
22
2
()2
0
l im l ima z a R i ya
CRR
e d z i e d y
2 2 2()22
00
l im l im 0a R iy a R a yaa
RR
e d y e e d y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
94
即得,2
2
l i m 0azCR e d z
于是由 *得：
同理,2
4
l i m 0azCR e d z
22 ()
2l im l im 0a x iRRax a
RR
e d x e d x
所以得：
2 2()
2a x i axae d x e d x
a
2
4() aF f x e
a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
95
例 8 求函数 f(x)的拉普拉斯变换
1,( 0 )( 1 ),( )
0,( 0 )
tut
t
( 2 ),s i n,c o s,(k t k t k 为实常数）
( 3 ),,(atea 为实常数）
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
96
解,(1) 由拉氏变换定义有：
0( ) 1 sxL u t e d t
0
1 ste
s
R e ( ) 0
0
11 sste
ss
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
97
(2) 由拉氏变换定义有：
0s i n s i n sxL k t k t e d t
012 ikt ikt s te e e dti
( ) ( )
00
1
2
s ik t s ik te d t e d t
i
R e ( ) 0 1 1 1
2
s
i s i k s i k
22
k
sk
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
98
同理：
0c o s c o s sxL k t k t e d t
22
s
sk
(3) 由拉氏变换定义有：
0
a t a t s xL e e e d t
R e ( ) 1sa
sa
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
99
例 9 求下列函数的拉氏变换解,(1)令,f(t)=tm，则 f (m) (t)=m!，且：
( 1 ),,(mtm 为正整数）
(2 ),s i n,c o s,(,a t a te k t e k t a k 为实常数）
( 3 ),s i n,c o s,(t k t t k t k 为实常数）
( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0mf f f f
由微分定理：
()[ ! ] [ ( ) ]mL m L f t?
1 ( 1 )[ ( ) ] ( 0 ) ( 0 )m m ms L f t s f f
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
100
1 [ ! ]
m Lms?
(2) 由于
[]mLt
s i nL k t? 22ksk?
cosL k t
22
s
sk
由位移定理得：
22s in,( )()
at kL e k t R e s a
s a k
22c o s,( )()
at sL e k t R e s a
s a k
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
101
(3) 由像函数微分性质
c os c osdL t k t L k tds
同理：
22
ds
d s s k
22
2 2 2,( R e 0 )()
sk s
sk
s i nL t k t 2 2 22,( R e 0 )() ks ssk
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
102
例 10 求 的逆变换
2()
sfs
ss
11
2[]
sL f s L
ss
（ ）
解因为 f(s)的奇点是两个极点 s1=-α,s2=-β.前者是一阶极点，后者是二阶极点，所以，由展开定理：
2R e s
st
k
k
se s
ss
，
1 []L f s? （）
(2)、利用展开定理求拉普拉斯逆变换 (重点 )
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
103
222
s t s t
ss
se selim s lim s
ss s s s
22
() ttt ee
(4)、简单证明题例 12、设 f(t)在 [0,+∞]上以 T为周期，且 f(t)在一个周期内分段连续，则：
01( ) ( )1 T ptpTL f t f t e d te
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
104
证明：
0( ) ( ) ptL f t f t e dt
0 ( ) ( )
T p t p t
Tf t e d t f t e d t
令 x=t-T，则可推出：
对于
() ptT f t e d t
01( ) ( )1 T ptpTL f t f t e d te
(5)、求解数理方程
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
105
例 13 求解上半平面的狄氏问题
22
0,,0
(,0) ( )
l im (,) 0
xy
u x y
u x f x
u x y
解 (1) 对定解问题作对应于空间变量 x的傅立叶变换
2
2
2
(,),( ) (,)
y y x x
d u yu u i u y
dy
变换 后得关于 y的常微分方程定解问题：
2
2
2
(,)
(,) 0
**
(,0 ) ( ),(,) 0y
d u y
uy
dy
u f u y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
106
(,) ( ) ( )yyu y A e B e
*中方程的通解为,
当 λ >0时：
(2) 求像函数
(3) 求原像函数
1(,) [ (,) ]u x y F u y
( ) 0A
当 λ <0时：
( ) 0B
像函数为,
(,) ( ) yu t f e
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
107
1(,) [ (,) ]u x y F u y
1 () yF f e
由卷积定理,
1() yg x F e
这里：
11( ) ( ) * ( )yF f e F F f x g x
( ) * ( )f x g x?
22
1y
xy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
108
于是得定解为：
22
1(,) ( ) * yu x t f x
xy
,22,1()y fdxy
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
109
例 14、求解如下定解问题：
2
0
00
,( 0,0 )
0,
0,0
t t x x
xx
t t t
u a u g x t
uu
uu
0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
110
2
22
2
0
/
0,0x x x
du
a s u g s
dx
uu
解,(1)作针对于时间变量的 Laplace变换
(2)、求像函数：
3
1 ( 1 )s xau g e
s
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
111
2
11
3
2
1
t<
1 2
[ ] [ ( 1 ) ]
1
( 2 ) t>
2
s
x
a
x
gt
a
L u g L e
xs
g x a t x
aa
(3)、求原像函数：
例 15、求解如下定解问题 (习题 5.4第 5题 )：
00
0
,( 0,0 )
0
( )
x x tt t
t t t
x
u a u b u c u x t
uu
ut?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
112
2
22
2
0
( ) ( )
2
x
d u b
as bs c u a s u
dx a
u
()
2
ba s x
aue?
解,(1)作针对于时间变量的 Laplace变换
(2)、求像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
113
()
11 2
12
2
[ ] [ ]
[]
( ) t >
0 t <
b
a s x
a
b
x
a sxa
b
x
a
L u L e
e L e
e t a x a x
ax
(3)、求原像函数：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
114
三、格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式
(一 ),Green函数 问题
(二 )、贝塞尔函数问题
(三 )、勒让得多项式问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
115
(一 ),Green函数 问题
1、三个格林公式第一格林公式：设 u (x,y,z),V (x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则：
S V V
u v dS u v dV u v dV
第二格林公式：设 u (x,y,z),V (x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则：
SV
u v v u dS u v v u dV
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
116
设 M0,M是 V中的点,v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：
0 0 0
0
1 1 1 1 1()
44 M M M M M MSV
uu M u d S u d V
r n n r r
第三格林公式：
M0
M
S
V
x
y
z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
117
例 1、写出稳态场方程洛平问题的解。
要求,(1)掌握三个公式的推导；
(2)稳态场方程洛平问题的解。
解,(1)泊松方程洛平问题为：
(,,),(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u f x y z x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
0
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
44SVu M M M d S f M d Vr n r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
118
拉普拉斯方程洛平问题为：
0,(,,)
(,,),(
(,,),(
x x y y z z S
S
S
u u u u x y z V
u x y z
u
x y z
n
连续）
连续）
0
1 1 1( ) ( ) ( )
4 Su M M M d Sr n r
例 2、求拉普拉斯方程洛平问题的解
0,(,,)
1,0SS
u x y z V
uu
n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
119
解：由第三格林公式：
0
0
11()
4 MMS
u M d S
nr?
(,,),(,,)
(,,),0SS
u x y z x y z V
uu x y z
n
例 3、求拉普拉斯方程洛平问题的解解：由第三格林公式：
00
0
1 1 1 1( ) (,,)
44 M M M MSVu M d S x y z d Vn r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
120
2、调和函数要求,(1)掌握概念和性质的证明；
(2 ) 性质的应用 (极值原理 )
( ),
()S
u f M M V
uM?
例 4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。
证明：泊松方程狄氏问题为：
(a ) 解的唯一性证明：
设定解问题有两个解 u1与 u2,则：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
121
令,U=u1-u2,则：
1
1
( ),
()S
u f M M V
uM?
2
2
( ),
()S
u f M M V
uM?
0,
0S
U M V
U
由极值原理有：,即0U?
12uu?
(b ) 解的稳定性证明：
设在 S上给定了函数 使得,且：,*
1
1
( ),
()S
u f M M V
uM?
2
2
( ),
* ( )S
u f M M V
uM?
*
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
122
令,U=u1-u2,则：
0,
*S
U M V
U
由极值原理有,即证明了稳定性。
U
3、泊松方程狄氏问题格林函数要求,(1)掌握 狄氏问题格林函数 概念和性质
(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式
(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式例 5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
123
答,(1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：
(a) 若 G(M,M0)满足：
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
S
G M M M M
M M VG M M
则称 G(M,M0)为定义在 VS上的三维狄氏格林函数。
(b) 若 G(M,M0)满足：
00
0
0
(,) ( )
,(,) 0 S
L
G M M M M
M M DG M M
则称 G(M,M0)为定义在 DS上的平面狄氏格林函数。
(2) 物理意义是,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
124
(a) 物理意义：首先，对于方程 Δ G(M,M0 )=-δ (M-M0)来说，其物理意义是：空间中 M0点处有一电量为 ε (真空中的介电常数）的正点电荷，在 M处产生的电势为 G(M,M0),
其大小为 G(M,M0)=1/4πr；
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内 M0处有正点电荷 ε和它在边界面上产生的感应电荷在壳内 M处产生的电势的叠加为 G(M,M0),其大小为
G(M,M0)= 1/4πr +v (x,y,z)。
（ b) 物理意义：首先，对于方程 Δ G(M,M0 )=-δ (M-M0)来说，其物理意义是：平面中 M0点处有一电量为 ε (真空中的介电常数）的正点电荷，在 M处产生的电势为 G(M,M0),
其大小为 G(M,M0)=1/2πlnr；
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内 M0处有正点电荷 ε和它在边界上产生的感应电荷在圈内 M处产生的电势的叠加为 G(M,M0),其大小为
G(M,M0)= 1/4πlnr +v(x,y)。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
125
例 6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？
答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：
(1) 狄氏格林函数在除去 M=M0点外处处满足拉氏方程。
当 M→M 0时,G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和 1/rMM0相同。
(2) 在边界上格林函数恒等于零。
(3) 在区域 V内，有：
0
0
10 (,)
4 MMG M M r
(4) Green函数具有对称性 (物理上称为互易性 )，即
);();( 1221 MMGMMG?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
126
例 7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
答：
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M u d S G M M f d V
n
例 8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n
答：
例 9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？
采用什么方法求？
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
127
答,(1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。
平面上的求法类似。
求三维空间中区域 VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳 S，在 VS内 M0处放置电量为 ε0的正点电荷，由格林函数物理意义,G(M,M0)等于 V内电荷 ε0与感应电荷在 M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：
在 V外找一个 M0关于 S的像点，在该点放置一负电荷，
使它与 ε0在 S上产生的电势叠加为零，则它们在 M处的电势叠加等于 G(M,M0).
(2) 采用镜像法例 10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
128
答,(1)球域
0
0 0 1
1 1 1 1(,)
44
RG M M
r r r r r
2
0
1
00
rRr
rr?
(2)上半空间
01
0
1 1 1(,)
4 M M M MG M M rr?
2 2 22 2 20 0 0 0 0 0
1 1 1
4 ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
129
(3) 上半平面狄氏问题的 Green函数
01
0
1 1 1 1(,)
22 M M M MG M M L n L nrr
(4) 圆域上狄氏问题的 Green函数
1
0
0
0
11(,) l n l n
22
MM
MM
r RG M M
rr
(5) 第一象限上狄氏问题的 Green函数
0 1 2 3
0
1 1 1 1 1 1 1 1(,) l n l n l n l n
2 2 2 2M M M M M M M MG M M r r r r
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )1 ln
4 ( ) ( ) ( ) ( )
x x y y x x y y
x x y y x x y y?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
130
例 11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题解的积分表达式解,(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
由于泊松方程狄氏问题的解为：
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M d S G M M f d V
n?
在球面上
SS
GG
nr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
131
在球域上，由于：
0
0 0 1
1 1 1 1(,)
44
RG M M
r r r r r
2222
00 0 1 1
1 1 1 1
44 2 c o s 2 c o s
R
rr r r r r r r r
2 2 42
0 200
2
0 0
1 1 1 1
44 2 c o s
2 c o s
R
r RRr r r r
rr
r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
132
22
0
3
22 2
00
1
4
2 c os
S
RrG
nR
R r Rr
所以：
所以，球域上狄氏问题的解为：
22
0
0 3
22 2
00
0
1
()
4
2 c o s
(,)
S
V
Rr
u M d S
R
R r R r
G M M fdV
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
133
(2) 上半空间狄式问题的解
0
00
(,)( ) (,)
SV
G M Mu M d S G M M f d V
n?
泊松方程狄氏问题的解为：
01
00
33
1
4 M M M M
z z z zGG
n z r r?
由于：
0
3
2 22
0 0 0
1
4 ()
z
x x y y z?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
134
..
0
0 0 0 3
..
22 2 2
0 0 0
0
,1
,,
2
(,,) (,)
V
x y z
u x y z d x d y
x x y y z
f x y z G M M d x d y d z
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
.,0
0 0 0 3..
22 2 2
0 0 0
,1
,,
2
x y z
u x y z d x d y
x x y y z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
135
(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
GG
ny
0 22
00
1
()
y
x x y
00 22
00
1( ) ( ) (,)
() D
yu M x d x G f x y d
x x y
所以得：
拉氏方程狄氏解为：
0
0 22
00
1( ) ( )
()
yu M x d x
x x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
136
例 11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：
解：由公式：
0
0,0(,0 )
,0
xux
ux
0
0 22
00
0
0 22
0
00
1
( ) ( )
()
1
()
y
u M x d x
x x y
y
u d x
x x y
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
137
0
0 220
00
1
()
u y d x
x x y?
00 0
2 20
0
0
11
( ) 1
u y d x
xxy
y
00
00 0
2 2 00
0
0
1 ()
( ) 1
y x xu y d
yxxy
y
0
00
0
1 a r c t a n xxu
y?
0
00
0
1 a r c t a n xxu
y?
00
0
a r c ta n2ux y
(4) 圆域上狄氏问题的解
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
138
解：
LR
GG
nr
因为：
22
0
22
00
1
2 2 c o s
Rr
R R R r r
例 12、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n
所以：
LR
GG
nr
22
00 2
2 00
1( ) (,)
2 2 c o sLD
Rru M d S G f x y d
R R R r r
所以，狄氏解为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
139
00
2 2 2 22 2 2 2
0 0 0 0
c o s x x y y
x y x y x y x y
所以：
由于：
00 c osO M O M O M O M
所以，在极坐标系下，有：
0c o s c o s ( )
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( ) (,)
2 2 c o s ( ) D
Rru M d G f r r d r d
R R r r
从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：
在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( )
2 2 c o s ( )
Rru M d
R R r r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
140
例 13、求圆域上拉氏方程狄氏解。
(1)、
解法 1:(格林函数法 )
0,1
(1,) ( )
ur
u
( ) c o sa
(2),( ) c o sba
选极坐标系，设圆内 M0(r0,θ0),则：
222
00 2
20 0 0 0
1( ) ( )
2 2 c o s ( )
Rru M d
R R r r
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r a d
rr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
141
利用函数幂级数展开可得：
采用级数展开法计算积分 *
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r aId
rr
2
0
002
10 0 0
1 1 2 c o s ( )
1 2 c o s ( )
m
m
r rm
rr
所以，得：
2 2
0 2
0 0 0 0
1 c o s *
2 1 2 c o s ( )
r aId
rr
2
000
1
1 c o s 1 2 c o s ( )
2
m
m
a r m d
22
0000
1
1 c o s c o s c o s ( )
2
m
m
aa d r m d
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
142
2000
1
c o s c o s ( )m
m
a r m d
22
0 0 0 000
11
c o s c o s c o s c o s s i n s i nmm
mm
aar m m d r m m d
2
00 0c o s c o s c o s
a rd
2
000
1
c o s c o s c o sm
m
a r m m d
00co sar
当 时：( ) c o sba
22
00 2
0 0 0 0
11( ) ( )
2 1 2 c o s ( )
ru M d
rr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
143
而：
2
2
0
20
0 0 0
2
2
0
20
0 0 0
1
2 1 2 c os( )
1 c os
2 1 2 c os( )
rb
d
rr
r a
d
rr
22
0 2
0 0 0 0
1
2 1 2 c o s ( )
rb d
rr
2
000
1
1 1 2 c o s ( )
2
m
m
b r m d
22
0000
1
1 c o s ( )
2
m
m
bb d r m d
b?
所以，有：
0 0 0 0(,) c o su r b a r
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
144
(,) ( ) ( )uR
1、分离变量：
011 2 RRR
2 RR
R
代入方程得：
整理后可令比值为 λ,
解法 2:(分离变量法 )
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
145
2
0
0R R R
得两个常微分方程如下：
2、求解固有值问题
2
0
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
146
(1) λ <0时，只有平凡解；
(2) λ =0时，
0 () 常数
(3) λ >0时，令 λ =β 2 得：
s i nc o s ba
结合周期条件,β 只能取正整数。于是得固有值：
2 1,2,)nn（
固有函数为：
c o s s i n ( 1,2 )n n na n b n n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
147
3、求欧拉方程的解
2 0
( 0 )
R R R
R
(1)、对应于 λ 0= 0的解为：
0 ( ) l nR C D
由有限性得,D=0,于是有：
0 ()RC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
148
(2)、对应于 λ n= n2(n=1,2?.)
2( 1 ) 0D D R D R n R
作变换,ρ =et 得：
2
2 nRdt?
2dR
即：
() nnn n nR C D
由有限性得,Dn=0,于是有：
() nnnRC
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
149
4、求定解
( ) ( 0,1,2,)nnnR C n
一般解为：
1
0 s inc o s
2),( n nn
n nbnaau
由边界条件 (1)得：
0
1
c o s c o s s i n2 nn
n
aa a n b n
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
150
所以，比较系数得：
01 0,1,0 ( 1 ),0nna a a n b
(,) c o su r a
所以,(1)的解为：
由边界条件 (2)得：
0
1
c o s c o s s i n2 nn
n
ab a a n b n
所以，比较系数得：
012,1,0 ( 1 ),0nna b a a n b
所以,(2)的解为,(,) c o su r b a
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
151
(5) 第一象限上狄氏问题的 Green函数为：
0 1 2 3
0
1 1 1 1 1 1 1 1(,) l n l n l n l n
2 2 2 2M M M M M M M MG M M r r r r
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )1 ln
4 ( ) ( ) ( ) ( )
x x y y x x y y
x x y y x x y y?
例 13、求第一象限上拉氏方程狄氏解。
解：假定定解问题为：
0 1 0 2
0 ( 0,0 )
( ),( )xy
u x y
u y u x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
152
由于
1,0Lx?
其中：
GG
nx
0( ) (,)
LD
Gu M d S G f x y d
n
L
G dS
n?
12
12
LL
GGd S d S
nn
2,0Ly?
对于 L1:
对于 L2:
GG
ny
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
153
00yy
GG
ny
对于 L2:
00
2222
0 0 0 0
2211
44( ) ( )
yy
x x y x x y
00
2222
0 0 0 0
2211
44( ) ( )
yy
x x y x x y
0
22
00
1
()
y
x x y
00xx
GG
ny
0
22
00
1
()
x
y y x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
154
所以，拉氏解为：
00
0 0 1 200 2222
0 0 0 0
11(,) ( ) ( )
( ) ( )
xyu x y y d y x d x
y y x x x y
例 14、求上半圆域上狄氏问题格林函数格林函数满足的定解问题为：
20
0,
( ) ( ) ( 1 )
0 ( 2 ),0 ( 3 )R
G M M
GG
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
155
M0
M1
M‘1
M‘0
M
x
y
设想在 放置电量为 ε 0的电荷
0 0 0(,)M
(1)对于 在 放置电量为 -ε 0的电荷，则能够使边界条件 (3)满足，但不能使 (2)满足。
0, 1 0 0(,)M
(2)若要同时使 (2)满足，对于圆周边界来说,M0的对称点为：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
156
在 M1放置电量为 的电荷
0
0
R?
对于 M1的对称点为：0,
10
0
(,)RM
10
0
(,)RM
置电量为 的电荷
0
0
R?
四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：
00
11
0
00
1 1 1 1
(,) l n l n
22
1 1 1 1
l n l n
22
M M M M
M M M M
G M M
RR
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
157
4、三种典型方程的基本解问题要求,(1) 知道三种典型方程的基本解的定义、基本解表达式；
(2)能利用基本解求相应的定解问题。
例 16、叙述泊松方程基本解的定义；写出其基本解；
并求出 的一个特解。
0
()Mu
答,(1)方程 的解称为泊松方程的基本解。
(,,)u x y z
(,,)u f x y z
(2) 基本解为,1,0
4Urr
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
158
(3) 特解应该为基本解与函数 f的卷积。设 U*为特解，
则有：
3
0
0
0 0 0
()1 ( ) 1* * *
4 4 (,)R
MMU U f d M
r r M M
注：平面泊松方程基本解为：
11l n,02Ur r
例 17、叙述热传导方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：
2
0
,(,0 )
()
t x x
t
u a u x R t
ux
答,(1) 定解问题：
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
159
2
0
,(,0 )
()
t x x
t
u a u x R t
ux
的解，称为如下定解问题的基本解。
2
0
,(,0 )
()
t x x
t
u a u x R t
ux
(2) 基本解为：
2
241(,)
2
x
atU x t e
at?
(3) 定解为基本解与初始函数的卷积。设 u为定解，
则有：
2
2
()
41(,) * ( )
2
sx
atu x t U s e d s
at
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
160
注：二维、三维类似。
2
0
( 1 ),( 0,0)
( 0,) 0,(,) 0
0
t x x
t
x
u a u A x l t
l
u t u l t
u
例 18、叙述热传导方程混合问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：
2
00( ) ( )
( 0,) (,) 0
(,0) 0
xx
u
a u x x t t
t
u t u l t
ux
答,(1) 定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
161
的解称为如下定解问题的基本解
2
0
(,),(0,0 )
(0,) 0,(,) 0
0
t x x
t
u a u f x t x l t
u t u l t
u?
(2) 基本解为：
(3) 定解与基本解的关系为：
2 2 2
02 () 0
00
1
2(,;,) s in s inna ttL
n
nx nxU x t x t e
l l l
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
162
2 2 2
02 () 00
0000
1
2 s i n s i n ( 1 )na tttL L
n
n x xnxe A d x d t
l l l l
2 2 2
2
2
3 3 2
1
2 1 s i nna tl
n
A l n xe
n a l
例 20、叙述波动方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解。
2
2
002 ( ) ( ),(,0 )
(,0 ) 0,(,0 ) 0
xx
t
u a u x x t t x t
t
u x u x
答,(1) 定解问题
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
163
的解称为如下定解问题的基本解
(2) 基本解为：
(3) 定解与基本解的关系为：
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
2
2
2 (,),(,,,0 )
(,0 ) 0,(,0 ) 0
xx
t
u a u f x t x y z t
t
u x u x
0 0 0 0
1
21(,;,) s i n ( ) s i n s i n
n
n a n a n xU x t x t t t x
a n l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
164
例 21、叙述波动方程混合问题基本解的定义；写出其基本解。
答,(1) 定解问题2
2
002 ( ) ( )
( 0,) (,) 0
(,0) (,0) 0
xx
t
u
a u x x t t
t
u t u l t
u x u x
的解为有界 波动方程问题2
2
2
(,)
( 0,) (,) 0
(,0 ) (,0 ) 0
xx
t
u
a u f x t
t
u t u l t
u x u x
的基本解。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
165
(2) 基本解为：
(3) 定解与基本解的关系为：
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tLu x t U x t x t f x t d x d t
0 0 0 0
1
21(,;,) s i n ( ) s i n s i n
n
n a n a n xU x t x t t t x
a n l l l
例 22、用格林函数法求定解问题
2 ( 0,0)
( 0,) (,) 0
(,0) (,0) 0
tt x x
t
u a u x x l t
u t u l t
u x u x
解：对应的基本解为：
0 0 0 0
1
21(,;,) s i n ( ) s i n s i n
n
n a n a n xU x t x t t t x
a n l l l
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
166
0 0 0 0 0 000(,) (,;,) (,)
tlu x t U x t x t f x t d x d t
0 0 0 0 000
1
21 s i n ( ) s i n s i ntl
n
n a n a n xt t x x d x d t
a n l l l
0 0 0 0 000
1
21 s i n ( ) s i n s i ntl
n
n a n a n xt t x x d x d t
a n l l l
31
33
1
2 ( 1 ) 1 c o s s i nn
n
l n t n x
n l l
(二 )、贝塞尔函数问题主要要求,(1) 贝塞尔方程的通解形式；
(2) 贝塞尔函数表达式及其主要性质；
(3) 贝塞尔函数的递推公式及正交定理、函数展开定理。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
167
例 23、写出贝塞尔方程的标准形式和通解形式解,(1) 贝塞尔方程的标准形式为：
(2) 贝塞尔方程的通解形式：
2
2 2 2
2 ( ) 0,( )
d y d yx x x n y n R C
d x d x 或
)()( xBYxAJy nn
00( ),( ) (nnxxLi m Y x Li m J x C 常数）
例 24、写出 n阶第一类贝塞尔函数的级数形式、母函数表达形式。
2
2
0
( ) ( 1 ) 2 ! ( 1 )
nm
m
n nm
m
xJx
m n m
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
168
1()
2 ()
x z
nz
n
n
e J x z
例 25、计算：
1
2
()Jx 1
2
()Jx
例 25、写出贝塞尔函数递推公式，并计算：
3
2
()Jx 3
2
()Jx
例 26、计算：
3 ()J x d x?
3 0
0 ()
x x J x d x?
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
169
例 26、证明：
2 0 0
11,( ) ( ) ( )J x J x J x
x
3 0 02,( ) 3 ( ) 4 ( ) 0J x J x J x
例 27、叙述正交性定理与展开定理
(三 )、勒让得多项式问题主要要求,(1) 勒让得方程的通解形式；
(2) 勒让得多项式表达式及其主要性质；
(3)勒让得多项式的递推公式及正交定理、函数展开定理。
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
170
例 28、写出 勒让得方程及通解形式；
2
2
2( 1 ) 2 ( 1 ) 0,( )
d y d yx x n n y n R C
d x d x 或
(1) 当 n不是整数时，方程的通解为：
12y y y
24
10
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 )1
2 ! 4 !
n n n n n ny a x x
35
21
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ),...
3 ! 5!
n n n n n ny a x x x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
171
其中 Q n (x)称为第二类勒让得函数，在 [-1,1]上无界。
(2) 当 n是整数时，方程的通解为：
12( ) ( )nny C P x C Q x
例 29、写出 勒让得多项式的几种主要表示形式
2
2
0
( 2 2 ) !
( ) ( 1 )
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
n
m n m
n n
m
nm
P x x
m n m n m
21( ) ( 1 )
2!
n
n
n nn
dP x x
n d x
2 0
1 ( ),1,1
12
n
n
n
P x z z x
x z z
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
172
例 29、写出 P n (0≤n≤5)的勒让得多项式表达式例 30、证明：
( 1 ) 1,( 1 ) ( 1 ) nnnPP
2 1 2 2
( 2 ) !( 0 ) 0,( 0 ) ( 1 )
! 2 !
n
nn n
nPP
nn
例 31、求证：
1
1 ( ) 0,( 1,2,,,)nP x d x n
例 32、求证：当 m<n为整数时，有：
1
1 ( ) 0
m
nx P x d x
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
173
例 33、写出勒让得多项式的递推公式及正交定理、函数展开定理。
1
1 ()nx P x d x
例 34、计算,1
20 ()nx P x d x?
1 22
1 ()nx P x d x
例 35、计算：
例 36、将 f (x)=x2+x3按勒让得多项式展开,
0.8 1 0.6
0.4 0.2
0
x
t
0 0.5
1 1.5
2?1
0.5
0
0.5
1
n
174
Thank You !
