第 2章 规则金属波导
2.1 导波原理
2.2 矩形波导
2.3 圆形波导
2.4 波导的激励与耦合第 2章 规则金属波导返回主目录第 2章 规则金属波导第 2 章 规则金属波导
2.1导
1.
对由均匀填充介质的金属波导管建立如图 2 - 1 所示坐标系,设 z轴与波导的轴线相重合 。 由于波导的边界和尺寸沿轴向不变,故称为规则金属波导 。 为了简化起见,我们作如下假设,
① 波导管内填充的介质是均匀,线性,各向同性的 ;
② 波导管内无自由电荷和传导电流的存在 ;
第 2章 规则金属波导图 2 – 1 金属波导管结构图第 2章 规则金属波导
③ 波导管内的场是时谐场 。
由电磁场理论,对无源自由空间电场 E和磁场 H满足以下矢量亥姆霍茨方程,
022 EKE
022 HKH
式中,k2=ω2με。
现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量,即
E=Et+azEz
H=Ht+azHz
第 2章 规则金属波导式中,az为 z向单位矢量,t表示横向坐标,可以代表直角坐标中的 (x,y); 也可代表圆柱坐标中的 (ρ,φ)。 为方便起见,下面以直角坐标为例讨论,将式 （ 2 -1 -2） 代入式 (2 -1 -1),整理后可得
022 ZZ EKE
022 tt EKE
022 tt HKH
022 ZZ HKH
下面以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式 。
设 2t为二维拉普拉斯算子,则有第 2章 规则金属波导利用分离变量法,令代入式 (2 -1 -3),并整理得
2
2
22
zt?
)(
)(
),(
),()( 222
zz
zz
dz
d
yxE
yxEk
Z
Z
t
上式中左边是横向坐标 (x,y)的函数,与 z无关 ; 而右边是 z的函数,与 (x,y)无关 。 只有二者均为一常数,上式才能成立,设该常数为 γ2,则有
0),()(),( 222 yxErkyxE ZZt
0)()( 22
2
zzrzzdzd
第 2章 规则金属波导上式中的第二式的形式与传输线方程 (1 -1 -5)相同,其通解为
Z(z)=A+e -rz+A-erz
A+为待定常数,对无耗波导 γ=jβ,而 β为相移常数 。
现设 Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),
Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz
同理,纵向磁场也可表达为,
Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e -jβz
而 Eoz(x,y),Hoz(x,y)满足以下方程,
第 2章 规则金属波导
0),(),( 22 yxEkyxE OZeozt
0),(),( 22 yxHkyxH OZeozt
式中,k2c=k2-β2为传输系统的本征值 。
由麦克斯韦方程,无源区电场和磁场应满足的方程为
EjwH
EjwE
将它们用直角坐标展开,并利用式 （ 2 -1 -10） 可得,
第 2章 规则金属波导
)(2 xEyHzwuk jE Z
c
x?
)(2 xEyHzwuk jE Z
c
y?
)(2 yEzwxHk jH Z
c
x?
)(2 yEzwxHk jH Z
c
y?
从以上分析可得以下结论,
① 在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结合相应边界条件即可求得纵向分量 Ez和 Hz,而场的横向分量即可由纵向分量求得 ;
第 2章 规则金属波导
② 既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性 ;
③ kc是微分方程 （ 2 -1 -11） 在特定边界条件下的特征值,
它是一个与导波系统横截面形状,尺寸及传输模式有关的参量 。 由于当相移常数 β=0时,意味着波导系统不再传播,亦称为截止,此时 kc=k,故将 kc 称为截止波数 。
2.
描述波导传输特性的主要参数有,相移常数,截止波数,
相速,波导波长,群速,波阻抗及传输功率 。 下面分别叙述,
第 2章 规则金属波导
1)
在确定的均匀媒质中,波数 k=ω-με与电磁波的频率成正比,
相移常数 β和 k的关系式为
β=-
2) 相速 vp与波导波长 λg
电磁波在波导中传播,其等相位面移动速率称为相速,于是有
222 /1 kkkkk c
22 /1
/122
Kk
u
k
v
c
rr
p
第 2章 规则金属波导式中,c为真空中光速,对导行波来说 k＞ kc,故 vp＞ c/,
即在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播的速度要快 。
导行波的波长称为波导波长,用 λg表示,它与波数的关系式为另外,我们将相移常数 β及相速 vp随频率 ω的变化关系称为色散关系,它描述了波导系统的频率特性 。 当存在色散特性时,
相速 vp已不能很好地描述波的传播速度,这时就要引入,群速,
的概念,它表征了波能量的传播速度,当 kc为常数时,导行波的群速为
rru?
22 /1
122
kkk cg?
第 2章 规则金属波导
22 /11
/
1 kk
udwdd
dwv
c
rr
g
3)
定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗,即
t
t
H
Ez?
4)
由玻印亭定理,波导中某个波型的传输功率为
s zts dsaHEdsHE ).(Re21).(Re21
dsHzdsEz s ts t 22 221
第 2章 规则金属波导式中,Z为该波型的波阻抗 。
3.
用以约束或导引电磁波能量沿一定方向传输的结构称为导波结构,在其中传输的波称为导行波 。 导行波的结构不同,
所传输的电磁波的特性就不同,因此,根据截止波数 kc的不同可将导行波分为以下三种情况 。
1) =0 即 kc=0
这时必有 Ez=0和 Hz=0,否则由式 （ 2 -1 -13） 知 Ex,Ey,Hx、
Hy将出现无穷大,这在物理上不可能 。 这样 kc=0 意味着该导行波既无纵向电场又无纵向磁场,只有横向电场和磁场,故称为横电磁波,简称 TEM波 。
2CK
第 2章 规则金属波导对于 TEM波,β=k,故相速,波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同 。 而且由于截止波数 kc=0,因此理论上任意频率均能在此类传输线上传输 。 此时不能用纵向场分析法,而可用二维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析 。
2) ＞ 0
这时 β2＞ 0,而 Ez和 Hz不能同时为零,否则 Et和 Ht必然全为零,系统将不存在任何场 。 一般情况下,只要 Ez和 Hz中有一个不为零即可满足边界条件,这时又可分为两种情形,
(1)TM
将 Ez≠0而 Hz=0的波称为磁场纯横向波,简称 TM波,由于只有纵向电场故又称为 E波 。 此时满足的边界条件应为
2CK
第 2章 规则金属波导
22 /1 kku
wH
EZ
c
y
X
TM
0|?SZE
式中,S表示波导周界 。
而由式 （ 2 -1 -18） TM 波的波阻抗为
(2)TE
将 Ez=0而 Hz≠0 的波称为电场纯横向波,简称 TE波,此时只有纵向磁场,故又称为 H波 。 它应满足的边界条件为
0| snH Z
第 2章 规则金属波导式中,S表示波导周界； n为边界法向单位矢量 。
而由式 （ 2 -1 -18） 波阻抗的定义得 TE波的波阻抗为
22 /1
1
kk
uwu
H
Ez
cy
X
TE
无论是 TM波还是 TE波,其相速 vp=ω/β＞ c/ 均比无界媒质空间中的速度要快,故称之为快波 。
3) ＜ 0
这时 β= 而相速 vp=,即相速比无界媒质空间中的速度要慢,故又称之为慢波 。
2
ck
kkk c 22
kkk c 22 rrucw/
第 2章 规则金属波导
2.2
通常将由金属材料制成的,矩形截面的,内充空气的规则金属波导称为矩形波导,它是微波技术中最常用的传输系统之一 。
设矩形波导的宽边尺寸为 a,窄边尺寸为 b,并建立如图 2 -
2 所示的坐标 。
1.
由上节分析可知,矩形金属波导中只能存在 TE波和 TM
波 。 下面分别来讨论这两种情况下场的分布 。
1)TE
第 2章 规则金属波导图 2 – 2 矩形波导及其坐标第 2章 规则金属波导此时 Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz ≠0,且满足
,上式可写作
0),(),( 221 yxHkyxH OZcoz
2
2
2
2
2
yxt?
0),(),()( 22
2
2
2
yxHkyxHyx ozcoz
应用分离变量法,令
Hoz(x,y)=X(x)Y(y)
代入式 （ 2 -2 -2）,并除以 X(x)Y(y),得第 2章 规则金属波导
2
2
2
2
2 )(
)(
1)(
)(
1
ckdy
yYd
yYdx
xXd
xX
要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为和,则有2xk 2
yk
0)()( 22
2
xXkdx xXd x
0)()( 22
2
yYkdy yYd y
2xk 22 cy kk?
于是,Hoz(x,y)的通解为
Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1 coskyy+B2sinkyy)
第 2章 规则金属波导其中,A1A2B1B2为待定系数,由边界条件确定 。 由式 （ 2 - 1
- 22） 知,Hz
0|| 0 axzx xHxH?
0|| 0 bxzyz yHyH
将式（ 2 -2 -5）代入式（ 2 -2 -6）可得
02?A amK x
02?B
b
nK
y
第 2章 规则金属波导于是矩形波导 TE波纵向磁场的基本解为
zj
mn
zj
z eyb
nx
a
mHey
b
nx
a
mBAH )c o s ()c o s ()c o s ()c o s (
11
代入式 （ 2 -1 -13）,TE 波其它场分量的表达式为
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
b
n
k
j w uE
)s i n ()c o s (
0 0
2
zj
mn
m n c
y eya
nx
a
mH
a
m
k
j w uE
)c o s ()s i n (
0 0
2
0?ZE
第 2章 规则金属波导
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
a
m
k
jH
)c o s ()s i n (
0 0
2
zj
mn
m n c
Y eya
nx
a
mH
b
m
k
jH
)s i n ()c o s (
0 0
2
式中,为矩形波导 TE波的截止波数,
显然它与波导尺寸,传输波型有关 。 m和 n分别代表 TE波沿 x方向和 y方向分布的半波个数,一组 m,n,对应一种 TE波,称作
TEmn模 ; 但 m和 n不能同时为零,否则场分量全部为零 。 因此,
矩形波导能够存在 TEm0模和 TE0n模及 TEmn(m,n≠0)模 ; 其中 TE10
模是最低次模,其余称为高次模 。
22
bnamk
第 2章 规则金属波导
2)TM
对 TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足其通解也可写为
Eoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)
0221 OZCOZ EKE
由式 （ 2 -1 -20）,应满足的边界条件为
Ez(0,y)=Ez(a,y)=0
Ez(x,0)=Ez(x,b)=0
第 2章 规则金属波导用 TE波相同的方法可求得 TM波的全部场分量
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
a
m
k
jE
)s i n ()c o s (
1 1
2
zj
mn
m n c
y eyb
nx
a
mE
b
m
k
jE
)c o s ()s i n (
1 1
2
zj
mn
m n
z eyb
nx
a
mEE
)s i n ()s i n (
1 1
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
b
m
k
jwH
)c o s ()s i n (
1 1
2
zj
mn
m n c
y eyb
nx
a
mE
a
m
k
jwH
)s i n ()c o s (
1 1
2
第 2章 规则金属波导
Hz=0
式中,,Emn为模式电场振幅数 。
TM11模是矩形波导 TM波的最低次模,其它均为高次模 。
总之,矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有 TEmn模式场的总和,而 TM波是所有 TMmn模式场的总和 。
2.
1)
由式 （ 2 -2 -10） 和 （ 2 -2 -14）,矩形波导 TEmn和 TMmn模的截止波数均为
22
bnamk
第 2章 规则金属波导
22
2?
b
n
a
mk
c m m
对应截止波长为
c
c m n
c T Mc T E bnamKmnmn?
22
)/()/(
22
此时,相移常数为
2
12
c?
其中,λ=2π/k,为工作波长 。
第 2章 规则金属波导可见当工作波长 λ小于某个模的截止波长 λc时,β2＞ 0,此模可在波导中传输,故称为传导模 ; 当工作波长 λ大于某个模的截止波长 λc时,β2＜ 0,即此模在波导中不能传输,称为截止模 。 一个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率 （ 或波长 ） 。
对相同的 m和 n,TEmn和 TMmn模具有相同的截止波长故又称为简并模,虽然它们场分布不同,但具有相同的传输特性 。 图 2 -
3 给出了标准波导 BJ-32各模式截止波长分布图 。
[例 2 -1］ -设某矩形波导的尺寸为 a=8cm,b=4cm; 试求工作频率在 3 GHz时该波导能传输的模式 。
解,-由 f=3 GHz,得第 2章 规则金属波导图 2 -3 BJ-32波导各模式截止波长分布图第 2章 规则金属波导
)(1.0 m
f
c
)(16.0210 macT E
)(08.0201 mbc T E
)(0715.02
2211
m
ba
a
c T M
可见,该波导在工作频率为 3GHz时只能传输 TE10模 。
2) 主模 TE10
在导行波中截止波长 λc最长的导行模称为该导波系统的主模,因而也能进行单模传输 。
第 2章 规则金属波导矩形波导的主模为 TE10模,因为该模式具有场结构简单,
稳定,频带宽和损耗小等特点,所以实用时几乎毫无例外地工作在 TE10模式 。 下面着重介绍 TE10模式的场分布及其工作特性 。
(1)TE10
将 m=1,n=0,kc=π/a,代入式 （ 2 -2 -10）,并考虑时间因子 ejωt,可得 TE10模各场分量表达式
)2c o s (s in10 zwtxaHw u aE y
)2c o s (s i n10 zwtxaHaH x
第 2章 规则金属波导
)c o s (c o s10 zwtxaHH x
Ex=Ez=Hy=0
由此可见,场强与 y无关,即各分量沿 y轴均匀分布,而沿 x
方向的变化规律为
xaE Y?s in
xaH X?s in
xaH Z?s in
第 2章 规则金属波导其分布曲线如图 2 - 4（ a） 所示,而沿 z方向的变化规律为
2c o s zwtE Y
2c o s zwtH Z
zwtH Z c o s
其分布曲线如图 2 -4（ b） 所示 。 波导横截面和纵剖面上的场分布如图 2 -4（ c） 和 （ d） 所示 。 由图可见,Hx和 Ey最大值在同截面上出现,电磁波沿 z方向按行波状态变化 ;Ey,Hx和
Hz相位差为 90°,电磁波沿横向为驻波分布 。
第 2章 规则金属波导图 2 – 4 矩形波导 TE10模的场分布图第 2章 规则金属波导
(2)TE10
① 截止波长与相移常数,
将 m=1,n=0 代入式 （ 2 2 15）,得 TE10模截止波数为
kc=
于是截止波长为而相移常数为
a
ak
c
c T E 2
2
10
2)
2
(12
a
第 2章 规则金属波导
②
对 TE10模,其波导波长为
2)2/(1
12
ag
而 TE10模的波阻抗为
ZTE10=
2)2/(1
120
a?
③
由式 （ 2-1- 15） 及 （ 2-1-16） 可得 TE10模的相速 vp和群速 vg分别为第 2章 规则金属波导
2)2/(1 a
vwv
p
2)2/(1 av
d
dwv
g
式中,v为自由空间光速 。
④ 传输功率,
由式 （ 2-1- 21） 得矩形波导 TE10模的传输功率为
10
42
1 2102
10 TE
y
TE Z
abEd x d yE
Zp
其中,E10= 是 Ey分量在波导宽边中心处的振幅值 。 由此可得波导传输 TE10模时的功率容量为
10H
wua
第 2章 规则金属波导
222
10
2
1
44
10
a
abE
Z
abEp br
TE
br
其中,Ebr为击穿电场幅值 。 因空气的击穿场强为 30kV/cm,
2
0 216.0
a
abp br?
可见,波导尺寸越大,频率越高,则功率容量越大 。 而当负载不匹配时,由于形成驻波,电场振幅变大,因此功率容量会变小,则不匹配时的功率容量 P′br和匹配时的功率容量 Pbr的关系为
br
br
pp
第 2章 规则金属波导其中,ρ为驻波系数 。
⑤ 衰减特性,
当电磁波沿传输方向传播时,由于波导金属壁的热损耗和波导内填充的介质的损耗必然会引起能量或功率的递减 。 对于空气波导,由于空气介质损耗很小,可以忽略不计,而导体损耗是不可忽略的 。
设导行波沿 z方向传输时的衰减常数为 α,则沿线电场,磁场按 e-αz规律变化,即
E(z)=E0e-αz
H(z)=H0e-αz
第 2章 规则金属波导所以传输功率按以下规律变化,
P=P0e-2αz (2 2 33)
上式两边对 z求导,
apeapdzdp w a z 22 0
因沿线功率减少率等于传输系统单位长度上的损耗功率 Pl,即
dz
dpp
1
比较式 （ 2 2 34） 和式 （ 2 2 35） 可得
p
pa
2
1
第 2章 规则金属波导由此可求得衰减常数 α。
在计算损耗功率时,因不同的导行模有不同的电流分布,
损耗也不同,根据上述分析,可推得矩形波导 TE10模的衰减常数公式,
)/]()
2
(21[
2
1120
686.8 2
2
mdB
aa
b
a
R
a Sc
式中,RS= 为导体表面电阻,它取决于导体的磁导率 μ,电导率 ζ和工作频率 f。
由式 （ 2,2,37） 可以看出,
① 衰减与波导的材料有关,因此要选导电率高的非铁磁材料,使 RS尽量小。
/fu
第 2章 规则金属波导
② 增大波导高度 b能使衰减变小,但当 b＞ a/2时单模工作频带变窄,故衰减与频带应综合考虑 。
③ 衰减还与工作频率有关,给定矩形波导尺寸时,随着频率的提高先是减小,出现极小点,然后稳步上升 。
我们用 MATLAB编制了 TE10模衰减常数随频率变化关系的计算程序,计算结果如图 2,5 所示 。
3.
选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素,
1)
保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的
TE10模传播,其它高次模都应截止 。 为此应满足,
第 2章 规则金属波导图 2-5TE10 模衰减常数随频率变化曲线第 2章 规则金属波导
λcTE20＜ λ＜ λcTE10
λcTE01＜ λ＜ λcTE10
将 TE10模,TE20模和 TE01模的截止波长代入上式得
a＜ λ＜ 2a
2b＜ λ＜ 2a
λ/2＜ a＜ λ
0＜ b＜ λ/2
或写作即取 b＜ a/2。
2)
在传播所要求的功率时,波导不致于发生击穿。由式（ 2,
2,29）可知，适当增加 b可增加功率容量,故 b应尽可能大一些。
第 2章 规则金属波导
3)
通过波导后的微波信号功率不要损失太大 。 由式 （ 2,2
27） 知,增大 b也可使衰减变小,故 b应尽可能大一些 。
综合上述因素,矩形波导的尺寸一般选为
a=0.7λ
b=(0.4-0.5)a (2,2,39)
通常将 b=a/2的波导称为标准波导 ; 为了提高功率容量,选 b
＞ a/2这种波导称为高波导 ; 为了减小体积,减轻重量,有时也选
b＜ a/2的波导,这种波导称为扁波导 。
附录一给出了各种波导的参数表及与国外标准的对照表 。
第 2章 规则金属波导
2.3 圆形波导若将同轴线的内导体抽走,则在一定条件下,由外导体所包围的圆形空间也能传输电磁能量,这就是圆形波导,简称圆波导,
如图 2 - 6 所示 。 圆波导具有加工方便,双极化,低损耗等优点广泛应用于远距离通信,双极化馈线以及微波圆形谐振器等,
是一种较为常用的规则金属波导 。 下面着重来讨论圆波导中场分布及基本传输特性 。
1.
与矩形波导一样,圆波导也只能传输 TE和 TM波型 。 设圆形波导外导体内径为 a,并建立如图 2,6 所示的圆柱坐标 。
第 2章 规则金属波导
y
x
z
o
a
r
图 2-6 圆波导及其坐标系第 2章 规则金属波导
1)TE
此时 Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且满足在圆柱坐标中,
2
2
22
2
2 11
pt
0),(),()11( 22
2
22
2
OZCOZ HKHp
0),(),( 22 H o zkH o z ct
应用分离变量法,令
Hoz(ρ,φ)=R(ρ)Φ(φ)
代入式 （ 2,3,2）,并除以 R(ρ)Φ(φ),得第 2章 规则金属波导
0)()()()([)(1 22222 Rmkd PdRd PdRPR c
0)()( 22
2
mdd
要使上式成立,上式两边项必须均为常数,设该常数为 m2,
则得
R(ρ)=A1Jm(kcρ)+A2Nm(kcρ)
式中,Jm(x),Nm(x)分别为第一类和第二类 m阶贝塞尔函数式 （ 2,3,5b） 的通解为
Φ(φ)=B1 cosmφ+B2sinmφ=
m
mB
sin
c o s
第 2章 规则金属波导式 （ 2,3,6b） 中后一种表示形式是考虑到圆波导的轴对称性,因此场的极化方向具有不确定性,使导行波的场分布在 φ
方向存在 cosmφ和 sinmφ两种可能的分布,它们独立存在,相互正交,截止波长相同,构成同一导行模的极化简并模 。
另外,由于 ρ→ 0时 Nm(kcρ)→ -∞,故式 （ 2.3.6a） 中必然有
A2=0。 于是 Hoz(ρ,φ)的通解为
m
mkBJAH
cmoz s i n
c o s)(),(
1
由边界条件 ρ=a=0,由式 （ 2 – 3- 7） 得 J设 m0|
aH oz?
第 2章 规则金属波导
Jm (x)的第 n个根为 μmn,则有
kca=μmn或 kc=
a
umn
n=0,1,2,3….
于是圆波导 TE模纵向磁场 Hz基本解为
Hz(ρ,φ,z)=
j B zmn e
m
m
a
uB J mA?
s i n
c o s)(
1
M=0,1,2,…; n=1,2,….
令模式振幅 Hmn=A1B,则 Hz(ρ,φ,z)的通解为
zjmn
m
m n
mZ em
m
a
uJHzH?
s i n
c o s)(),,(
0 1
第 2章 规则金属波导于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
uJH
u
j w u m aE?
c o s
s i n)(
0 1
2
zjmn
mmn
m n mn
emmauJHuj w u m aE
s i n
c o s)(
0 1
0E
zjmn
mmn
m n mn
emmauJHu ajH
s i n
c o s)(
0 1
zjmn
mmn
m n mn
emmauJHu ajH
c o s
s i n)(
0 1
2
2
第 2章 规则金属波导可见,圆波导中同样存在着无穷多种 TE模,不同的 m和 n代表不同的模式,记作 TEmn,式中,m表示场沿圆周分布的整波数,
n表示场沿半径分布的最大值个数 。 此时波阻抗为
mn
mn
TE
TE
wu
H
Ez
式中,
2
2?
a
uk mn
T E m n?
2)TM波通过与 TE波相同的分析,可求得 TM波纵向电场
Ez(ρ,φ,z)
zjmn
m
m n
mnZ em
m
a
vJEzE?
s i n
c o s)(),,(
0 1
第 2章 规则金属波导其中,υmn是 m阶贝塞尔函数 Jm(x)的第 n个根且 kcTMmn=υmn/a,
于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
vJE
v
ajE?
s i n
c o s)(
0 1
zjmn
mmn
m n mn
emmavJEv ajE
c o s
s i n)(
0 1
2
zjmn
mmn
m n mn
emmavJEv ajwH
c o s
s i n)(
0 1
2?
zjmn
mmn
m n mn
emmavJEv ajH
c o s
s i n)(
0 1
0?ZH
第 2章 规则金属波导可见,圆波导中存在着无穷多种 TM模,波型指数 m和 n的意义与 TE模相同,
wH
EZ
mnTM
T M m n
式中,相移常数 βTMmn 22
avK mn
2.
与矩形波导不同,圆波导的 TE波和 TM波的传输特性各不相同。
1)
由前面分析,圆波导 TEmn模,TMmn模的截止波数分别为第 2章 规则金属波导
a
uK mn
C TE m n?
a
vK mn
C TM m n?
式中,υmn和 μmn分别为 m阶贝塞尔函数及其一阶导数的第 n
个根 。 于是,各模式的截止波长分别为
mnC T E m n
T E m n u
a
K
22
mnC T M m n
T M m n v
a
K
22
在所有的模式中,TE11模截止波长最长,其次为 TM01模,三种典型模式的截止波长分别为第 2章 规则金属波导
λcTE11=3.4126a λcTM01=2.6127a λcTE01=1.6398a
图 2 - 7 给出了圆波导中各模式截止波长的分布图 。
2)
在圆波导中有两种简并模,EH 简并和极化简并 。
(1) EH
由于贝塞尔函数具有 J0′(x)=-J1(x)的性质,所以一阶贝塞尔函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等,即,μ0n=υ1n,故有
λcTE0n=λcTM1n,从而形成了 TE0n模和 TM1n模的简并 。 这种简并称为 EH简并 。
第 2章 规则金属波导图 2- 7 圆波导中各模式截止波长的分布图第 2章 规则金属波导
(2)
由于圆波导具有轴对称性,对 m≠0的任意非圆对称模式,横向电磁场可以有任意的极化方向而截止波数相同,任意极化方向的电磁波可以看成是偶对称极化波和奇对称极化波的线性组合 。
偶对称极化波和奇对称极化波具有相同的场分布,故称之为极化简并 。 正因为存在极化简并,所以波在传播过程中由于圆波导细微的不均匀而引起极化旋转,从而导致不能单模传输同时,也正是因为有极化简并现象,圆波导可以构成极化分离器,极化衰减器等 。
第 2章 规则金属波导
3)
由式 （ 2.1.19） 可以导出 TEmn模和 TMmn模的传输功率分别为
)()1()(2 222
2
22 akJ
ak
mHz
k
ap
cm
c
mnTE
Cm
T E m n
)()(2 2
2
2 akJ
z
E
k
ap
cm
TM
mn
Cm
T M m n
式中,δm= 2 m≠0
1 m=0
3.
由各模式截止波长分布图 （ 见图 2,7） 可知,
TE11模的截止波长最长,其次是 TM01模,
第 2章 规则金属波导另外由于 TE01模场分布的特殊性,使之具有低损耗特点,为此我们主要来介绍这三种模式的特点及用途 。
1) 主模 TE11模 TE11模的截止波长最长,是圆波导中的最低次模,也是主模 。 它的场结构分布图如图 2,8 所示 。 由图可见,
圆波导中 TE11模的场分布与矩形波导的 TE10模的场分布很相似,
因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导,
如图 2,9 所示,从而构成方圆波导变换器 。
但由于圆波导中极化简并模的存在,所以很难实现单模传输,因此圆波导不太适合于远距离传输场合 。
第 2章 规则金属波导图 2.8 圆波导 TE11场结构分布图第 2章 规则金属波导图 2,9 方圆波导变换器第 2章 规则金属波导
2) 圆对称 TM01模 TM01模是圆波导的第一个高次模,其场分布如图 2.10所示 。 由于它具有圆对称性故不存在极化简并模,
因此常作为雷达天线与馈线的旋转关节中的工作模式,另外因其磁场只有 Hφ分量,故波导内壁电流只有纵向分量,因此它可以有效地和轴向流动的电子流交换能量,由此将其应用于微波电子管中的谐振腔及直线电子加速器中的工作模式 。
3) 低损耗的 TE01模 TE01模是圆波导的高次模式,比它低的模式有 TE11,TM01,TE21模,它与 TM11模是简并模 。 它也是圆对称模,故无极化简并 。
第 2章 规则金属波导图 2,10 圆波导 TM01场结构分布图
( a ) ( b )
第 2章 规则金属波导其电场分布如图 2,11 所示 。 由图可见,磁场只有径向和轴向分量,故波导管壁电流无纵向分量,只有周向电流 。 因此,
当传输功率一定时,随着频率升高,管壁的热损耗将单调下降,
故其损耗相对其它模式来说是低的 。 因此可将工作在 TE01模的圆波导用于毫米波的远距离传输或制作高 Q值的谐振腔 。
为了更好地说明 TE01模的低损耗特性,图 2 -12 给出了圆波导三种模式的导体衰减曲线 。
第 2章 规则金属波导图 2 – 11 圆波导 TE01场结构分布图
( a ) ( b )
第 2章 规则金属波导图 2 –12 不同模式的导体衰减随频率变化曲线第 2章 规则金属波导
2.4
前面分析了规则金属波导中可能存在的电磁场的各种模式 。 那么,如何在波导中产生这些导行模呢？ 这就涉及到波导的激励 。 而另一方面,要从波导中提取微波信息,即波导的耦合 。 波导的激励与耦合就本质而言是电磁波的辐射和接收,
是微波源向波导内有限空间的辐射或在波导的有限空间内接收微波信息 。 由于辐射和接收是互易的,因此激励与耦合具有相同的场结构,所以我们只介绍波导的激励 。 严格地用数学方法来分析波导的激励问题比较困难,这里仅定性地对这一问题作以说明 。
激励波导的方法通常有三种,电激励,磁激励和电流激励,
分述如下 。
第 2章 规则金属波导
1.
将同轴线内的导体延伸一小段,沿电场方向插入矩形波导内,构成探针激励,如图 2.13(a)所示 。 由于这种激励类似于电偶极子的辐射,故称电激励 。 在探针附近,由于电场强度会有 Ez
分量,电磁场分布与 TE10模有所不同,而必然有高次模被激发 。
但当波导尺寸只允许主模传输时,激发起的高次模随着探针位置的远离快速衰减,因此不会在波导内传播 。 为了提高功率耦合效率,在探针位置两边波导与同轴线的阻抗应匹配,为此往往在波导一端接上一个短路活塞,如图 2,13(b)所示 。 调节探针插入深度 d和短路活塞位置 l,使同轴线耦合到波导中去的功率达到最大 。 短路活塞用以提供一个可调电抗以抵消和高次模相对应的探针电抗 。
第 2章 规则金属波导图 2,13 探针激励及其调配第 2章 规则金属波导
2,磁激励将同轴线的内导体延伸一小段后弯成环形,将其端部焊在外导体上,然后插入波导中所需激励模式的磁场最强处,并使小环法线平行于磁力线,如图 2,14 所示 。 由于这种激励类似于磁偶极子辐射,故称为磁激励 。 同样,也可连接一短路活塞以提高功率耦合效率 。 但由于耦合环不容易和波导紧耦合,而且匹配困难,频带较窄,最大耦合功率也比探针激励小,因此在实际中常用探针耦合 。
3.
除了上述两种激励之外,在波导之间的激励往往采用小孔耦合,即在两个波导的公共壁上开孔或缝,使一部分能量辐射到另一波导去,以此建立所要的传输模式 。
第 2章 规则金属波导图 2,14 磁激励示意图
T E M
激励环
a
b
第 2章 规则金属波导由于波导开口处的辐射类似于电流元的辐射,故称为电流激励 。 小孔耦合最典型的应用是定向耦合器 。 它在主波导和耦合波导的公共壁上开有小孔,以实现主波导向耦合波导传送能量,如图 2,15 所示 。 另外小孔或缝的激励还可采用波导与谐振腔之间的耦合,两条微带之间的耦合等 。
第 2章 规则金属波导图 2.15 波导的小孔耦合
2.1 导波原理
2.2 矩形波导
2.3 圆形波导
2.4 波导的激励与耦合第 2章 规则金属波导返回主目录第 2章 规则金属波导第 2 章 规则金属波导
2.1导
1.
对由均匀填充介质的金属波导管建立如图 2 - 1 所示坐标系,设 z轴与波导的轴线相重合 。 由于波导的边界和尺寸沿轴向不变,故称为规则金属波导 。 为了简化起见,我们作如下假设,
① 波导管内填充的介质是均匀,线性,各向同性的 ;
② 波导管内无自由电荷和传导电流的存在 ;
第 2章 规则金属波导图 2 – 1 金属波导管结构图第 2章 规则金属波导
③ 波导管内的场是时谐场 。
由电磁场理论,对无源自由空间电场 E和磁场 H满足以下矢量亥姆霍茨方程,
022 EKE
022 HKH
式中,k2=ω2με。
现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量,即
E=Et+azEz
H=Ht+azHz
第 2章 规则金属波导式中,az为 z向单位矢量,t表示横向坐标,可以代表直角坐标中的 (x,y); 也可代表圆柱坐标中的 (ρ,φ)。 为方便起见,下面以直角坐标为例讨论,将式 （ 2 -1 -2） 代入式 (2 -1 -1),整理后可得
022 ZZ EKE
022 tt EKE
022 tt HKH
022 ZZ HKH
下面以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式 。
设 2t为二维拉普拉斯算子,则有第 2章 规则金属波导利用分离变量法,令代入式 (2 -1 -3),并整理得
2
2
22
zt?
)(
)(
),(
),()( 222
zz
zz
dz
d
yxE
yxEk
Z
Z
t
上式中左边是横向坐标 (x,y)的函数,与 z无关 ; 而右边是 z的函数,与 (x,y)无关 。 只有二者均为一常数,上式才能成立,设该常数为 γ2,则有
0),()(),( 222 yxErkyxE ZZt
0)()( 22
2
zzrzzdzd
第 2章 规则金属波导上式中的第二式的形式与传输线方程 (1 -1 -5)相同,其通解为
Z(z)=A+e -rz+A-erz
A+为待定常数,对无耗波导 γ=jβ,而 β为相移常数 。
现设 Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),
Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz
同理,纵向磁场也可表达为,
Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e -jβz
而 Eoz(x,y),Hoz(x,y)满足以下方程,
第 2章 规则金属波导
0),(),( 22 yxEkyxE OZeozt
0),(),( 22 yxHkyxH OZeozt
式中,k2c=k2-β2为传输系统的本征值 。
由麦克斯韦方程,无源区电场和磁场应满足的方程为
EjwH
EjwE
将它们用直角坐标展开,并利用式 （ 2 -1 -10） 可得,
第 2章 规则金属波导
)(2 xEyHzwuk jE Z
c
x?
)(2 xEyHzwuk jE Z
c
y?
)(2 yEzwxHk jH Z
c
x?
)(2 yEzwxHk jH Z
c
y?
从以上分析可得以下结论,
① 在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结合相应边界条件即可求得纵向分量 Ez和 Hz,而场的横向分量即可由纵向分量求得 ;
第 2章 规则金属波导
② 既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性 ;
③ kc是微分方程 （ 2 -1 -11） 在特定边界条件下的特征值,
它是一个与导波系统横截面形状,尺寸及传输模式有关的参量 。 由于当相移常数 β=0时,意味着波导系统不再传播,亦称为截止,此时 kc=k,故将 kc 称为截止波数 。
2.
描述波导传输特性的主要参数有,相移常数,截止波数,
相速,波导波长,群速,波阻抗及传输功率 。 下面分别叙述,
第 2章 规则金属波导
1)
在确定的均匀媒质中,波数 k=ω-με与电磁波的频率成正比,
相移常数 β和 k的关系式为
β=-
2) 相速 vp与波导波长 λg
电磁波在波导中传播,其等相位面移动速率称为相速,于是有
222 /1 kkkkk c
22 /1
/122
Kk
u
k
v
c
rr
p
第 2章 规则金属波导式中,c为真空中光速,对导行波来说 k＞ kc,故 vp＞ c/,
即在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播的速度要快 。
导行波的波长称为波导波长,用 λg表示,它与波数的关系式为另外,我们将相移常数 β及相速 vp随频率 ω的变化关系称为色散关系,它描述了波导系统的频率特性 。 当存在色散特性时,
相速 vp已不能很好地描述波的传播速度,这时就要引入,群速,
的概念,它表征了波能量的传播速度,当 kc为常数时,导行波的群速为
rru?
22 /1
122
kkk cg?
第 2章 规则金属波导
22 /11
/
1 kk
udwdd
dwv
c
rr
g
3)
定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗,即
t
t
H
Ez?
4)
由玻印亭定理,波导中某个波型的传输功率为
s zts dsaHEdsHE ).(Re21).(Re21
dsHzdsEz s ts t 22 221
第 2章 规则金属波导式中,Z为该波型的波阻抗 。
3.
用以约束或导引电磁波能量沿一定方向传输的结构称为导波结构,在其中传输的波称为导行波 。 导行波的结构不同,
所传输的电磁波的特性就不同,因此,根据截止波数 kc的不同可将导行波分为以下三种情况 。
1) =0 即 kc=0
这时必有 Ez=0和 Hz=0,否则由式 （ 2 -1 -13） 知 Ex,Ey,Hx、
Hy将出现无穷大,这在物理上不可能 。 这样 kc=0 意味着该导行波既无纵向电场又无纵向磁场,只有横向电场和磁场,故称为横电磁波,简称 TEM波 。
2CK
第 2章 规则金属波导对于 TEM波,β=k,故相速,波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同 。 而且由于截止波数 kc=0,因此理论上任意频率均能在此类传输线上传输 。 此时不能用纵向场分析法,而可用二维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析 。
2) ＞ 0
这时 β2＞ 0,而 Ez和 Hz不能同时为零,否则 Et和 Ht必然全为零,系统将不存在任何场 。 一般情况下,只要 Ez和 Hz中有一个不为零即可满足边界条件,这时又可分为两种情形,
(1)TM
将 Ez≠0而 Hz=0的波称为磁场纯横向波,简称 TM波,由于只有纵向电场故又称为 E波 。 此时满足的边界条件应为
2CK
第 2章 规则金属波导
22 /1 kku
wH
EZ
c
y
X
TM
0|?SZE
式中,S表示波导周界 。
而由式 （ 2 -1 -18） TM 波的波阻抗为
(2)TE
将 Ez=0而 Hz≠0 的波称为电场纯横向波,简称 TE波,此时只有纵向磁场,故又称为 H波 。 它应满足的边界条件为
0| snH Z
第 2章 规则金属波导式中,S表示波导周界； n为边界法向单位矢量 。
而由式 （ 2 -1 -18） 波阻抗的定义得 TE波的波阻抗为
22 /1
1
kk
uwu
H
Ez
cy
X
TE
无论是 TM波还是 TE波,其相速 vp=ω/β＞ c/ 均比无界媒质空间中的速度要快,故称之为快波 。
3) ＜ 0
这时 β= 而相速 vp=,即相速比无界媒质空间中的速度要慢,故又称之为慢波 。
2
ck
kkk c 22
kkk c 22 rrucw/
第 2章 规则金属波导
2.2
通常将由金属材料制成的,矩形截面的,内充空气的规则金属波导称为矩形波导,它是微波技术中最常用的传输系统之一 。
设矩形波导的宽边尺寸为 a,窄边尺寸为 b,并建立如图 2 -
2 所示的坐标 。
1.
由上节分析可知,矩形金属波导中只能存在 TE波和 TM
波 。 下面分别来讨论这两种情况下场的分布 。
1)TE
第 2章 规则金属波导图 2 – 2 矩形波导及其坐标第 2章 规则金属波导此时 Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz ≠0,且满足
,上式可写作
0),(),( 221 yxHkyxH OZcoz
2
2
2
2
2
yxt?
0),(),()( 22
2
2
2
yxHkyxHyx ozcoz
应用分离变量法,令
Hoz(x,y)=X(x)Y(y)
代入式 （ 2 -2 -2）,并除以 X(x)Y(y),得第 2章 规则金属波导
2
2
2
2
2 )(
)(
1)(
)(
1
ckdy
yYd
yYdx
xXd
xX
要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为和,则有2xk 2
yk
0)()( 22
2
xXkdx xXd x
0)()( 22
2
yYkdy yYd y
2xk 22 cy kk?
于是,Hoz(x,y)的通解为
Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1 coskyy+B2sinkyy)
第 2章 规则金属波导其中,A1A2B1B2为待定系数,由边界条件确定 。 由式 （ 2 - 1
- 22） 知,Hz
0|| 0 axzx xHxH?
0|| 0 bxzyz yHyH
将式（ 2 -2 -5）代入式（ 2 -2 -6）可得
02?A amK x
02?B
b
nK
y
第 2章 规则金属波导于是矩形波导 TE波纵向磁场的基本解为
zj
mn
zj
z eyb
nx
a
mHey
b
nx
a
mBAH )c o s ()c o s ()c o s ()c o s (
11
代入式 （ 2 -1 -13）,TE 波其它场分量的表达式为
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
b
n
k
j w uE
)s i n ()c o s (
0 0
2
zj
mn
m n c
y eya
nx
a
mH
a
m
k
j w uE
)c o s ()s i n (
0 0
2
0?ZE
第 2章 规则金属波导
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
a
m
k
jH
)c o s ()s i n (
0 0
2
zj
mn
m n c
Y eya
nx
a
mH
b
m
k
jH
)s i n ()c o s (
0 0
2
式中,为矩形波导 TE波的截止波数,
显然它与波导尺寸,传输波型有关 。 m和 n分别代表 TE波沿 x方向和 y方向分布的半波个数,一组 m,n,对应一种 TE波,称作
TEmn模 ; 但 m和 n不能同时为零,否则场分量全部为零 。 因此,
矩形波导能够存在 TEm0模和 TE0n模及 TEmn(m,n≠0)模 ; 其中 TE10
模是最低次模,其余称为高次模 。
22
bnamk
第 2章 规则金属波导
2)TM
对 TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足其通解也可写为
Eoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)
0221 OZCOZ EKE
由式 （ 2 -1 -20）,应满足的边界条件为
Ez(0,y)=Ez(a,y)=0
Ez(x,0)=Ez(x,b)=0
第 2章 规则金属波导用 TE波相同的方法可求得 TM波的全部场分量
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
a
m
k
jE
)s i n ()c o s (
1 1
2
zj
mn
m n c
y eyb
nx
a
mE
b
m
k
jE
)c o s ()s i n (
1 1
2
zj
mn
m n
z eyb
nx
a
mEE
)s i n ()s i n (
1 1
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
b
m
k
jwH
)c o s ()s i n (
1 1
2
zj
mn
m n c
y eyb
nx
a
mE
a
m
k
jwH
)s i n ()c o s (
1 1
2
第 2章 规则金属波导
Hz=0
式中,,Emn为模式电场振幅数 。
TM11模是矩形波导 TM波的最低次模,其它均为高次模 。
总之,矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有 TEmn模式场的总和,而 TM波是所有 TMmn模式场的总和 。
2.
1)
由式 （ 2 -2 -10） 和 （ 2 -2 -14）,矩形波导 TEmn和 TMmn模的截止波数均为
22
bnamk
第 2章 规则金属波导
22
2?
b
n
a
mk
c m m
对应截止波长为
c
c m n
c T Mc T E bnamKmnmn?
22
)/()/(
22
此时,相移常数为
2
12
c?
其中,λ=2π/k,为工作波长 。
第 2章 规则金属波导可见当工作波长 λ小于某个模的截止波长 λc时,β2＞ 0,此模可在波导中传输,故称为传导模 ; 当工作波长 λ大于某个模的截止波长 λc时,β2＜ 0,即此模在波导中不能传输,称为截止模 。 一个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率 （ 或波长 ） 。
对相同的 m和 n,TEmn和 TMmn模具有相同的截止波长故又称为简并模,虽然它们场分布不同,但具有相同的传输特性 。 图 2 -
3 给出了标准波导 BJ-32各模式截止波长分布图 。
[例 2 -1］ -设某矩形波导的尺寸为 a=8cm,b=4cm; 试求工作频率在 3 GHz时该波导能传输的模式 。
解,-由 f=3 GHz,得第 2章 规则金属波导图 2 -3 BJ-32波导各模式截止波长分布图第 2章 规则金属波导
)(1.0 m
f
c
)(16.0210 macT E
)(08.0201 mbc T E
)(0715.02
2211
m
ba
a
c T M
可见,该波导在工作频率为 3GHz时只能传输 TE10模 。
2) 主模 TE10
在导行波中截止波长 λc最长的导行模称为该导波系统的主模,因而也能进行单模传输 。
第 2章 规则金属波导矩形波导的主模为 TE10模,因为该模式具有场结构简单,
稳定,频带宽和损耗小等特点,所以实用时几乎毫无例外地工作在 TE10模式 。 下面着重介绍 TE10模式的场分布及其工作特性 。
(1)TE10
将 m=1,n=0,kc=π/a,代入式 （ 2 -2 -10）,并考虑时间因子 ejωt,可得 TE10模各场分量表达式
)2c o s (s in10 zwtxaHw u aE y
)2c o s (s i n10 zwtxaHaH x
第 2章 规则金属波导
)c o s (c o s10 zwtxaHH x
Ex=Ez=Hy=0
由此可见,场强与 y无关,即各分量沿 y轴均匀分布,而沿 x
方向的变化规律为
xaE Y?s in
xaH X?s in
xaH Z?s in
第 2章 规则金属波导其分布曲线如图 2 - 4（ a） 所示,而沿 z方向的变化规律为
2c o s zwtE Y
2c o s zwtH Z
zwtH Z c o s
其分布曲线如图 2 -4（ b） 所示 。 波导横截面和纵剖面上的场分布如图 2 -4（ c） 和 （ d） 所示 。 由图可见,Hx和 Ey最大值在同截面上出现,电磁波沿 z方向按行波状态变化 ;Ey,Hx和
Hz相位差为 90°,电磁波沿横向为驻波分布 。
第 2章 规则金属波导图 2 – 4 矩形波导 TE10模的场分布图第 2章 规则金属波导
(2)TE10
① 截止波长与相移常数,
将 m=1,n=0 代入式 （ 2 2 15）,得 TE10模截止波数为
kc=
于是截止波长为而相移常数为
a
ak
c
c T E 2
2
10
2)
2
(12
a
第 2章 规则金属波导
②
对 TE10模,其波导波长为
2)2/(1
12
ag
而 TE10模的波阻抗为
ZTE10=
2)2/(1
120
a?
③
由式 （ 2-1- 15） 及 （ 2-1-16） 可得 TE10模的相速 vp和群速 vg分别为第 2章 规则金属波导
2)2/(1 a
vwv
p
2)2/(1 av
d
dwv
g
式中,v为自由空间光速 。
④ 传输功率,
由式 （ 2-1- 21） 得矩形波导 TE10模的传输功率为
10
42
1 2102
10 TE
y
TE Z
abEd x d yE
Zp
其中,E10= 是 Ey分量在波导宽边中心处的振幅值 。 由此可得波导传输 TE10模时的功率容量为
10H
wua
第 2章 规则金属波导
222
10
2
1
44
10
a
abE
Z
abEp br
TE
br
其中,Ebr为击穿电场幅值 。 因空气的击穿场强为 30kV/cm,
2
0 216.0
a
abp br?
可见,波导尺寸越大,频率越高,则功率容量越大 。 而当负载不匹配时,由于形成驻波,电场振幅变大,因此功率容量会变小,则不匹配时的功率容量 P′br和匹配时的功率容量 Pbr的关系为
br
br
pp
第 2章 规则金属波导其中,ρ为驻波系数 。
⑤ 衰减特性,
当电磁波沿传输方向传播时,由于波导金属壁的热损耗和波导内填充的介质的损耗必然会引起能量或功率的递减 。 对于空气波导,由于空气介质损耗很小,可以忽略不计,而导体损耗是不可忽略的 。
设导行波沿 z方向传输时的衰减常数为 α,则沿线电场,磁场按 e-αz规律变化,即
E(z)=E0e-αz
H(z)=H0e-αz
第 2章 规则金属波导所以传输功率按以下规律变化,
P=P0e-2αz (2 2 33)
上式两边对 z求导,
apeapdzdp w a z 22 0
因沿线功率减少率等于传输系统单位长度上的损耗功率 Pl,即
dz
dpp
1
比较式 （ 2 2 34） 和式 （ 2 2 35） 可得
p
pa
2
1
第 2章 规则金属波导由此可求得衰减常数 α。
在计算损耗功率时,因不同的导行模有不同的电流分布,
损耗也不同,根据上述分析,可推得矩形波导 TE10模的衰减常数公式,
)/]()
2
(21[
2
1120
686.8 2
2
mdB
aa
b
a
R
a Sc
式中,RS= 为导体表面电阻,它取决于导体的磁导率 μ,电导率 ζ和工作频率 f。
由式 （ 2,2,37） 可以看出,
① 衰减与波导的材料有关,因此要选导电率高的非铁磁材料,使 RS尽量小。
/fu
第 2章 规则金属波导
② 增大波导高度 b能使衰减变小,但当 b＞ a/2时单模工作频带变窄,故衰减与频带应综合考虑 。
③ 衰减还与工作频率有关,给定矩形波导尺寸时,随着频率的提高先是减小,出现极小点,然后稳步上升 。
我们用 MATLAB编制了 TE10模衰减常数随频率变化关系的计算程序,计算结果如图 2,5 所示 。
3.
选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素,
1)
保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的
TE10模传播,其它高次模都应截止 。 为此应满足,
第 2章 规则金属波导图 2-5TE10 模衰减常数随频率变化曲线第 2章 规则金属波导
λcTE20＜ λ＜ λcTE10
λcTE01＜ λ＜ λcTE10
将 TE10模,TE20模和 TE01模的截止波长代入上式得
a＜ λ＜ 2a
2b＜ λ＜ 2a
λ/2＜ a＜ λ
0＜ b＜ λ/2
或写作即取 b＜ a/2。
2)
在传播所要求的功率时,波导不致于发生击穿。由式（ 2,
2,29）可知，适当增加 b可增加功率容量,故 b应尽可能大一些。
第 2章 规则金属波导
3)
通过波导后的微波信号功率不要损失太大 。 由式 （ 2,2
27） 知,增大 b也可使衰减变小,故 b应尽可能大一些 。
综合上述因素,矩形波导的尺寸一般选为
a=0.7λ
b=(0.4-0.5)a (2,2,39)
通常将 b=a/2的波导称为标准波导 ; 为了提高功率容量,选 b
＞ a/2这种波导称为高波导 ; 为了减小体积,减轻重量,有时也选
b＜ a/2的波导,这种波导称为扁波导 。
附录一给出了各种波导的参数表及与国外标准的对照表 。
第 2章 规则金属波导
2.3 圆形波导若将同轴线的内导体抽走,则在一定条件下,由外导体所包围的圆形空间也能传输电磁能量,这就是圆形波导,简称圆波导,
如图 2 - 6 所示 。 圆波导具有加工方便,双极化,低损耗等优点广泛应用于远距离通信,双极化馈线以及微波圆形谐振器等,
是一种较为常用的规则金属波导 。 下面着重来讨论圆波导中场分布及基本传输特性 。
1.
与矩形波导一样,圆波导也只能传输 TE和 TM波型 。 设圆形波导外导体内径为 a,并建立如图 2,6 所示的圆柱坐标 。
第 2章 规则金属波导
y
x
z
o
a
r
图 2-6 圆波导及其坐标系第 2章 规则金属波导
1)TE
此时 Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且满足在圆柱坐标中,
2
2
22
2
2 11
pt
0),(),()11( 22
2
22
2
OZCOZ HKHp
0),(),( 22 H o zkH o z ct
应用分离变量法,令
Hoz(ρ,φ)=R(ρ)Φ(φ)
代入式 （ 2,3,2）,并除以 R(ρ)Φ(φ),得第 2章 规则金属波导
0)()()()([)(1 22222 Rmkd PdRd PdRPR c
0)()( 22
2
mdd
要使上式成立,上式两边项必须均为常数,设该常数为 m2,
则得
R(ρ)=A1Jm(kcρ)+A2Nm(kcρ)
式中,Jm(x),Nm(x)分别为第一类和第二类 m阶贝塞尔函数式 （ 2,3,5b） 的通解为
Φ(φ)=B1 cosmφ+B2sinmφ=
m
mB
sin
c o s
第 2章 规则金属波导式 （ 2,3,6b） 中后一种表示形式是考虑到圆波导的轴对称性,因此场的极化方向具有不确定性,使导行波的场分布在 φ
方向存在 cosmφ和 sinmφ两种可能的分布,它们独立存在,相互正交,截止波长相同,构成同一导行模的极化简并模 。
另外,由于 ρ→ 0时 Nm(kcρ)→ -∞,故式 （ 2.3.6a） 中必然有
A2=0。 于是 Hoz(ρ,φ)的通解为
m
mkBJAH
cmoz s i n
c o s)(),(
1
由边界条件 ρ=a=0,由式 （ 2 – 3- 7） 得 J设 m0|
aH oz?
第 2章 规则金属波导
Jm (x)的第 n个根为 μmn,则有
kca=μmn或 kc=
a
umn
n=0,1,2,3….
于是圆波导 TE模纵向磁场 Hz基本解为
Hz(ρ,φ,z)=
j B zmn e
m
m
a
uB J mA?
s i n
c o s)(
1
M=0,1,2,…; n=1,2,….
令模式振幅 Hmn=A1B,则 Hz(ρ,φ,z)的通解为
zjmn
m
m n
mZ em
m
a
uJHzH?
s i n
c o s)(),,(
0 1
第 2章 规则金属波导于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
uJH
u
j w u m aE?
c o s
s i n)(
0 1
2
zjmn
mmn
m n mn
emmauJHuj w u m aE
s i n
c o s)(
0 1
0E
zjmn
mmn
m n mn
emmauJHu ajH
s i n
c o s)(
0 1
zjmn
mmn
m n mn
emmauJHu ajH
c o s
s i n)(
0 1
2
2
第 2章 规则金属波导可见,圆波导中同样存在着无穷多种 TE模,不同的 m和 n代表不同的模式,记作 TEmn,式中,m表示场沿圆周分布的整波数,
n表示场沿半径分布的最大值个数 。 此时波阻抗为
mn
mn
TE
TE
wu
H
Ez
式中,
2
2?
a
uk mn
T E m n?
2)TM波通过与 TE波相同的分析,可求得 TM波纵向电场
Ez(ρ,φ,z)
zjmn
m
m n
mnZ em
m
a
vJEzE?
s i n
c o s)(),,(
0 1
第 2章 规则金属波导其中,υmn是 m阶贝塞尔函数 Jm(x)的第 n个根且 kcTMmn=υmn/a,
于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
vJE
v
ajE?
s i n
c o s)(
0 1
zjmn
mmn
m n mn
emmavJEv ajE
c o s
s i n)(
0 1
2
zjmn
mmn
m n mn
emmavJEv ajwH
c o s
s i n)(
0 1
2?
zjmn
mmn
m n mn
emmavJEv ajH
c o s
s i n)(
0 1
0?ZH
第 2章 规则金属波导可见,圆波导中存在着无穷多种 TM模,波型指数 m和 n的意义与 TE模相同,
wH
EZ
mnTM
T M m n
式中,相移常数 βTMmn 22
avK mn
2.
与矩形波导不同,圆波导的 TE波和 TM波的传输特性各不相同。
1)
由前面分析,圆波导 TEmn模,TMmn模的截止波数分别为第 2章 规则金属波导
a
uK mn
C TE m n?
a
vK mn
C TM m n?
式中,υmn和 μmn分别为 m阶贝塞尔函数及其一阶导数的第 n
个根 。 于是,各模式的截止波长分别为
mnC T E m n
T E m n u
a
K
22
mnC T M m n
T M m n v
a
K
22
在所有的模式中,TE11模截止波长最长,其次为 TM01模,三种典型模式的截止波长分别为第 2章 规则金属波导
λcTE11=3.4126a λcTM01=2.6127a λcTE01=1.6398a
图 2 - 7 给出了圆波导中各模式截止波长的分布图 。
2)
在圆波导中有两种简并模,EH 简并和极化简并 。
(1) EH
由于贝塞尔函数具有 J0′(x)=-J1(x)的性质,所以一阶贝塞尔函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等,即,μ0n=υ1n,故有
λcTE0n=λcTM1n,从而形成了 TE0n模和 TM1n模的简并 。 这种简并称为 EH简并 。
第 2章 规则金属波导图 2- 7 圆波导中各模式截止波长的分布图第 2章 规则金属波导
(2)
由于圆波导具有轴对称性,对 m≠0的任意非圆对称模式,横向电磁场可以有任意的极化方向而截止波数相同,任意极化方向的电磁波可以看成是偶对称极化波和奇对称极化波的线性组合 。
偶对称极化波和奇对称极化波具有相同的场分布,故称之为极化简并 。 正因为存在极化简并,所以波在传播过程中由于圆波导细微的不均匀而引起极化旋转,从而导致不能单模传输同时,也正是因为有极化简并现象,圆波导可以构成极化分离器,极化衰减器等 。
第 2章 规则金属波导
3)
由式 （ 2.1.19） 可以导出 TEmn模和 TMmn模的传输功率分别为
)()1()(2 222
2
22 akJ
ak
mHz
k
ap
cm
c
mnTE
Cm
T E m n
)()(2 2
2
2 akJ
z
E
k
ap
cm
TM
mn
Cm
T M m n
式中,δm= 2 m≠0
1 m=0
3.
由各模式截止波长分布图 （ 见图 2,7） 可知,
TE11模的截止波长最长,其次是 TM01模,
第 2章 规则金属波导另外由于 TE01模场分布的特殊性,使之具有低损耗特点,为此我们主要来介绍这三种模式的特点及用途 。
1) 主模 TE11模 TE11模的截止波长最长,是圆波导中的最低次模,也是主模 。 它的场结构分布图如图 2,8 所示 。 由图可见,
圆波导中 TE11模的场分布与矩形波导的 TE10模的场分布很相似,
因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导,
如图 2,9 所示,从而构成方圆波导变换器 。
但由于圆波导中极化简并模的存在,所以很难实现单模传输,因此圆波导不太适合于远距离传输场合 。
第 2章 规则金属波导图 2.8 圆波导 TE11场结构分布图第 2章 规则金属波导图 2,9 方圆波导变换器第 2章 规则金属波导
2) 圆对称 TM01模 TM01模是圆波导的第一个高次模,其场分布如图 2.10所示 。 由于它具有圆对称性故不存在极化简并模,
因此常作为雷达天线与馈线的旋转关节中的工作模式,另外因其磁场只有 Hφ分量,故波导内壁电流只有纵向分量,因此它可以有效地和轴向流动的电子流交换能量,由此将其应用于微波电子管中的谐振腔及直线电子加速器中的工作模式 。
3) 低损耗的 TE01模 TE01模是圆波导的高次模式,比它低的模式有 TE11,TM01,TE21模,它与 TM11模是简并模 。 它也是圆对称模,故无极化简并 。
第 2章 规则金属波导图 2,10 圆波导 TM01场结构分布图
( a ) ( b )
第 2章 规则金属波导其电场分布如图 2,11 所示 。 由图可见,磁场只有径向和轴向分量,故波导管壁电流无纵向分量,只有周向电流 。 因此,
当传输功率一定时,随着频率升高,管壁的热损耗将单调下降,
故其损耗相对其它模式来说是低的 。 因此可将工作在 TE01模的圆波导用于毫米波的远距离传输或制作高 Q值的谐振腔 。
为了更好地说明 TE01模的低损耗特性,图 2 -12 给出了圆波导三种模式的导体衰减曲线 。
第 2章 规则金属波导图 2 – 11 圆波导 TE01场结构分布图
( a ) ( b )
第 2章 规则金属波导图 2 –12 不同模式的导体衰减随频率变化曲线第 2章 规则金属波导
2.4
前面分析了规则金属波导中可能存在的电磁场的各种模式 。 那么,如何在波导中产生这些导行模呢？ 这就涉及到波导的激励 。 而另一方面,要从波导中提取微波信息,即波导的耦合 。 波导的激励与耦合就本质而言是电磁波的辐射和接收,
是微波源向波导内有限空间的辐射或在波导的有限空间内接收微波信息 。 由于辐射和接收是互易的,因此激励与耦合具有相同的场结构,所以我们只介绍波导的激励 。 严格地用数学方法来分析波导的激励问题比较困难,这里仅定性地对这一问题作以说明 。
激励波导的方法通常有三种,电激励,磁激励和电流激励,
分述如下 。
第 2章 规则金属波导
1.
将同轴线内的导体延伸一小段,沿电场方向插入矩形波导内,构成探针激励,如图 2.13(a)所示 。 由于这种激励类似于电偶极子的辐射,故称电激励 。 在探针附近,由于电场强度会有 Ez
分量,电磁场分布与 TE10模有所不同,而必然有高次模被激发 。
但当波导尺寸只允许主模传输时,激发起的高次模随着探针位置的远离快速衰减,因此不会在波导内传播 。 为了提高功率耦合效率,在探针位置两边波导与同轴线的阻抗应匹配,为此往往在波导一端接上一个短路活塞,如图 2,13(b)所示 。 调节探针插入深度 d和短路活塞位置 l,使同轴线耦合到波导中去的功率达到最大 。 短路活塞用以提供一个可调电抗以抵消和高次模相对应的探针电抗 。
第 2章 规则金属波导图 2,13 探针激励及其调配第 2章 规则金属波导
2,磁激励将同轴线的内导体延伸一小段后弯成环形,将其端部焊在外导体上,然后插入波导中所需激励模式的磁场最强处,并使小环法线平行于磁力线,如图 2,14 所示 。 由于这种激励类似于磁偶极子辐射,故称为磁激励 。 同样,也可连接一短路活塞以提高功率耦合效率 。 但由于耦合环不容易和波导紧耦合,而且匹配困难,频带较窄,最大耦合功率也比探针激励小,因此在实际中常用探针耦合 。
3.
除了上述两种激励之外,在波导之间的激励往往采用小孔耦合,即在两个波导的公共壁上开孔或缝,使一部分能量辐射到另一波导去,以此建立所要的传输模式 。
第 2章 规则金属波导图 2,14 磁激励示意图
T E M
激励环
a
b
第 2章 规则金属波导由于波导开口处的辐射类似于电流元的辐射,故称为电流激励 。 小孔耦合最典型的应用是定向耦合器 。 它在主波导和耦合波导的公共壁上开有小孔,以实现主波导向耦合波导传送能量,如图 2,15 所示 。 另外小孔或缝的激励还可采用波导与谐振腔之间的耦合,两条微带之间的耦合等 。
第 2章 规则金属波导图 2.15 波导的小孔耦合
