第 4章 微波网络基础
4.1 等效传输线
4.2 单口网络
4.3 双端口网络的阻抗与转移矩阵
4.4 散射矩阵与传输矩阵
4.5 多端口网络的散射矩阵第 4章 微波网络基础返回主目录第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础
4.1等 效 传 输在第 1章中,均匀传输理论是建立在 TEM传输线的基础上的,因此电压和电流有明确的物理意义,而且电压和电流只与纵向坐标 z有关,与横截面无关,而实际的非 TEM传输线如金属波导等,其电磁场 与 不仅与 z有关,还与 x,y有关,
这时电压和电流的意义十分不明确,例如在矩形波导中,电压值取决于横截面上两点的选择,而电流还可能有横向分量 。
因此有必要引入等效电压和电流的概念,从而将均匀传输线理论应用于任意导波系统,这就是等效传输线理论 。
E H
第 4章 微波网络基础
1,等效电压和等效电流为定义任意传输系统某一参考面上的电压和电流,作以下规定,
① 电压 U(z)和电流 I(z)分别与 Et和 Ht成正比 ;
② 电压 U(z)和电流 I(z)共轭乘积的实部应等于平均传输功率 ;
③ 电压和电流之比应等于对应的等效特性阻抗值 。
对任一导波系统,不管其横截面形状如何 （ 双导线,矩形波导,圆形波导,微带等 ）,也不管传输哪种波形 （ TEM波,
TE波,TM波等 ）,其横向电磁场总可以表示为第 4章 微波网络基础
)(),(),,( zkkt UyxezyxE
)(),(),,( zkkt IyxhzyxH
式中 ek(x,y),hk(x,y)是二维实函数,代表了横向场的模式横向分布函数,Uk(z),Ik(z)都是一维标量函数,它们反映了横向电磁场各模式沿传播方向的变化规律,故称为模式等效电压和模式等效电流 。 值得指出的是这里定义的等效电压,等效电流是形式上的,它具有不确定性,上面的约束只是为讨论方便,下面给出在上面约束条件下模式分布函数应满足的条件 。
由电磁场理论可知,各模式的传输功率可由下式给出,
第 4章 微波网络基础
dszyxHzyxERP KKek ),,(),,(21
dsyxhyxezIzUR KKke ),(),()]()([21
由规定 ② 可知,ek,hk应满足,
1),(),( dsyxhyxe kk
由电磁场理论可知,各模式的波阻抗为,
ek
k
k
Kk
Kk
t
t
w zh
e
zIyxh
zUyxe
H
Ez
)(),(
)(),(
其中,Zek为该模式等效特性阻抗 。
第 4章 微波网络基础综上所述,为唯一地确定等效电压和电流,在选定模式特性阻抗条件下各模式横向分布函数还应满足
1 dshe kk
ek
w
k
k
z
z
h
e?
下面以例子来说明这一点 。
[例 4.1］ 求出矩形波导 TE10模的等效电压,等效电流和等效特性阻抗 。
解,由第 2章可知第 4章 微波网络基础
)()(s i n 1010 zUxeeaxEE zjy
)()(s in 10
10
10 zIxhe
a
x
Z
EH zj
TE
x
其中,TE10的波阻抗
2
00
)2/(1
/
10 a
uZ
TE?
可见所求的模式等效电压,等效电流可表示为
zjeAZU 1)(
zj
e
ezAzI 1)(
第 4章 微波网络基础式中,Ze为模式特性阻抗,现取 Ze=,我们来确定 A1。
由式 （ 4 1 6） 及 （ 4 –1 7） 可得 10TE
zab
a
x
A
Exe?s in)(
1
10
10?
a
x
z
z
A
Exh
Te
e?s in)(
101
10
10
由式 （ 4 1 5） 可推得
12
10
2
1
2
10?ab
Z
Z
A
E
TE
e
101 2 E
bA?
第 4章 微波网络基础于是唯一确定了矩形波导 TE10模的等效电压和等效电流,
即
zjeEbZU
102)(
zj
TE
e
z
EaZI
10
10
2
)(
此时波导任意点处的传输功率为
10
2
10
4)]()(R e [2
1
TEZ
EabZIZUP
与式 （ 2,2,26） 相同,也说明此等效电压和等效电流满足第 ② 条规定 。
第 4章 微波网络基础
2.
由前面分析可知,不均匀性的存在使传输系统中出现多模传输,由于每个模式的功率不受其它模式的影响,而且各模式的传播常数也各不相同,因此每一个模式可用一独立的等效传输线来表示 。
这样可把传输 N个模式的导波系统等效为 N个独立的模式等效传输线,每根传输线只传输一个模式,其特性阻抗及传播常数各不相同,如图 4.1 所示 。 另一方面由不均匀性引起的高次模,
通常不能在传输系统中传播,其振幅按指数规律衰减 。 因此高次模的场只存在于不均匀区域附近,它们是局部场 。
第 4章 微波网络基础图 4 – 1 多模传输线的等效
Z
e1
e1
Z
e2
…
e2
…
Z
e N
e N
( a ) ( b )
第 4章 微波网络基础在离开不均匀处远一些的地方,高次模式的场就衰减到可以忽略的地步,因此在那里只有工作模式的入射波和反射波 。
通常把参考面选在这些地方,从而将不均匀性问题化为等效网络来处理 。 如图 4-2 所示是导波系统中插入了一个不均匀体及其等效微波网络 。
建立在等效电压,等效电流和等效特性阻抗基础上的传输线称为等效传输线,而将传输系统中不均匀性引起的传输特性的变化归结为等效微波网络,这样均匀传输线中的许多分析方法均可用于等效传输线的分析 。
第 4章 微波网络基础图 4 – 2 微波传输系统的不均匀性及其等效网络微波网络
Z
e
Z
e
T
1
T
2
不均 匀性
( a ) ( b )
第 4章 微波网络基础
4.2 单口网络当一段规则传输线端接其它微波元件时,则在连接的端面引起不连续,产生反射 。 若将参考面 T选在离不连续面较远的地方,则在参考面 T左侧的传输线上只存在主模的入射波和反射波,可用等效传输线来表示,而把参考面 T以右部分作为一个微波网络,把传输线作为该网络的输入端面,这样就构成了单口网络,如图 4 -3 所示 。
1.
令参考面 T处的电压反射系数为 Γl,由均匀传输线理论可知,
等效传输线上任意点的反射系数为第 4章 微波网络基础图 4 – 3 端接微波元件的传输线及其等效网络微波元件单口网络
TT
Z
e
( a ) ( b )
第 4章 微波网络基础
Γ(z)=|Γl|e j(φl-2βz) (4 2 1)
而等效传输线上任意点等效电压,电流分别为
U(z)=A1[1+Γ(z)］
I(z)= ［ 1-Γ(z)］
eZ
A1
式中,Ze为等效传输线的等效特性阻抗 。 传输线上任意一点输入阻抗为
Zin(z)=Ze
)(1
)(1
z
z
任意点的传输功率为第 4章 微波网络基础
])(1[2)]()(R e [21)( 2
2
1 z
Z
AZIZUzp
e
2.
由于微波网络比较复杂,因此在分析时通常采用归一化阻抗,即将电路中各个阻抗用特性阻抗归一,与此同时电压和电流也要归一 。
一般定义,
Z
Uu?
ZIi?
分别为归一化电压和电流,显然作归一化处理后,电压 u和电流 i仍满足,
第 4章 微波网络基础
)](][R e [21]R e [21 zizUuiP in
任意点的归一化输入阻抗为
)(1
)(1
z
z
z
zz
e
in
in
于是,单口网络可用传输线理论来分析 。
第 4章 微波网络基础
4.3
由前面分析可知,当导波系统中插入不均匀体 (如图 4- 2 所示 )时,会在该系统中产生反射和透射,从而改变原有传输分布,
并且可能激起高次模,但由于将参考面设置在离不均匀体较远的地方,高次模的影响可忽略,于是可等效为如图 4- 4 所示的双端口网络 。 在各种微波网络中,双端口网络是最基本的,任意具有两个端口的微波元件均可视之为双端口网络 。 下面介绍线性无源双端口网络各端口上电压和电流之间的关系 。
第 4章 微波网络基础图 4 –4 双端口网络双口网络
T
1
T
2
＋
－
U
1
＋
－
U
2Z
e1
Z
e2
I
1
I
2
第 4章 微波网络基础
1.
设参考面 T1处的电压和电流分别为 U1和 I1,而参考面 T2处电压和电流分别为 U2,I2,连接 T1,T2端的广义传输线的特性阻抗分别为 Ze1和 Ze2。
(1)
现取 I1,I2为自变量,U1,U2为因变量,对线性网络有
U1=Z11I1+Z12I2
U2=Z21I1+Z22I2
第 4章 微波网络基础写成矩阵形式
2
1
U
U
2221
1211
ZZ
ZZ
2
1
I
I=
或简写为
［ U］ =［ Z］ ［ I］
式中,［ U］ 为电压矩阵,［ I］ 为电流矩阵,而 ［ Z］ 是阻抗矩阵,其中 Z11,Z22分别是端口,1”和,2”的自阻抗 ; Z12,Z21
分别是端口,1”和,2”的互阻抗 。 各阻抗参量的定义如下,
0| 2
1
1
11 II
UZ 为 T2面开路时,端口,1”的输入阻抗第 4章 微波网络基础
0| 1
1
1
12 II
UZ 为 T1面开路时,端口,2”至端口,1”的转移阻抗
0| 2
1
2
21 II
UZ 为 T2面开路时,端口,1”至端口,2”的转移阻抗
0| 1
2
2
22 II
UZ 为 T2面开路时,端口,2”
由上述定义可见,［ Z］ 矩阵中的各个阻抗参数必须使用开路法测量,故也称为开路阻抗参数,而且由于参考面选择不同,
相应的阻抗参数也不同 。
对于互易网络有
Z12=Z21 (4,3,3)
第 4章 微波网络基础对于对称网络则有若将各端口的电压和电流分别对自身特性阻抗归一化,则有
111
1
1
1,e
e
ZIiZUu
222
2
2
2,e
e
ZIi
Z
Uu
代入式 (4 3 2)后整理可得
]][[][ izu
其中，
第 4章 微波网络基础
z
2121
111
/
/
ee
e
zzz
zz
222
2112
/
/
e
ee
zz
zzz
(2)
在上述双端口网络中,以 U1,U2为自变量,I1,I2为因变量,
则可得另一组方程,
I1=Y11U1+Y12U2
I2=Y21U1+Y22U2
写成矩阵形式第 4章 微波网络基础
2
1
I
I?
21
11
Y
Y
22
12
Y
Y
2
1
U
U
简写为
［ Z］ =［ Y］ ［ I］ (4 3 9b)
其中,［ Y］ 是双端口网络的导纳矩阵,各参数的物理意
0| 2
1
1
11 UU
IY 表示 T2面短路时,端口,1”
0| 1
2
1
12 UU
IY 表示 T1面短路时,端口,2”至端口,1”的转移导纳
0| 2
1
2
21 UU
IY 表示 T2面短路时,端口,1”至端口,2”的转移导纳第 4章 微波网络基础
0| 1
2
2
22 UU
IY 示 T1面短路时,端口,2”
由上述定义可知,［ Y］ 矩阵中的各参数必须用短路法测得,
称这些参数为短路导纳参数 。
其中,Y11,Y22为端口 1和端口 2的自导纳,而 Y12,Y21为端口,1”和端口,2”的互导纳 。
对于互易网络有 Y12=Y21
对于对称网络有 Y11=Y22
用归一化表示则有 ［ i］ = (4 3 10)
其中,
]][[ uY
1
1
1
eY
Ii?
2
2
2
eY
Ii?
111 eYUu?
第 4章 微波网络基础
222 eYUu?
而 ][Y =
2121
111
/
/
ee
e
YYY
YY
222
2112
/
/
e
ee
YY
YYY
对于同一双端口网络阻抗矩阵 ［ Z］ 和导纳矩阵 ［ Y］ 有以下关系,
［ Z］ ［ Y］ =［ I］
［ Y］ =［ Z］ -1
式中,［ I］为单位矩阵。
［ 例 4 2］ [HT]求如图 4 - 5 所示双端口网络的 ［ Z］ 矩阵和 ［ Y］ 矩阵 。
解,由［ Z］矩阵的定义,
第 4章 微波网络基础
＋
－
＋
－
U
1
U
2
Z
C
Z
A
Z
BI
1
I
2
图 4-5 双端口网络第 4章 微波网络基础
CAI ZZI
Uz
0
1
1
11 2|
210
1
1
21 1| ZZI
Uz
CI
CBI ZZI
Uz
0
2
2
22 1|
于是
][Z
C
CB
Z
ZZ
CA
C
ZZ
Z
而
CBABA ZZZZZ
ZY )( 1][][ 1
C
CA
Z
ZZ?
CB
C
ZZ
Z
第 4章 微波网络基础
2,转移矩阵转移矩阵也称为 ［ A］ 矩阵,它在研究网络级联特性时特别方便 。 在图 4,4 等效网络中,若用端口,2”的电压 U2,电流 -I2作为自变量,而端口,1”的电压 U1和电流 I1作为因变量,
则可得如下线性方程组,
U1=AU2+B(-I2)
I1=CU2+D(-I2)
由于电流 I2的正方向如图 4,4 所示,而网络转移矩阵规定的电流参考方向指向网络外部,因此在 I2前加负号 。 这样规定,
在实用中更为方便 。 将式 (4,3 - 13)写成矩阵形式,则有第 4章 微波网络基础简写为
［ ψ1］ =［ A］ ［ ψ2］ (4 3 15)
式中,［ A］ = 称为网络的转移矩阵,简称 ［ A］ 矩阵,
方阵中各参量的物理意义如下,C
A
D
B
0
2
1
2
| IUUA
表示 T2
0
2
1
2
| UIUA 表示 T2
0
2
1
2
| IUIC
表示 T2
0
2
1
2
| UIID 表示 T2短路时电流的转移参数第 4章 微波网络基础若将网络各端口电压,电流对自身特性阻抗归一化后,得
1
1
i
u
b
a
d
b=
2
2
i
u
=
对于互易网络,AD-BC=ad-bc=1
对于对称网络,a=d
对于如图 4 -6 所示的两个网络的级联,有
［ ψ1］ =［ A1］ ［ ψ2］ (4,3,17a)
而 ［ ψ2］ =［ A2］ ［ ψ3］ (4 3 17b)
故有 ［ ψ1］ =［ A1］ ［ A2］ ［ ψ3］
第 4章 微波网络基础图 4- 6 双端口网络的级联
[ A
1
] [ A
2
]
＋
－
＋
－
＋
－
U
1
U
2
U
3
I
1
I
2
I
3
第 4章 微波网络基础级联后总的 ［ A］ 矩阵为
［ A］ =［ A1］ ［ A2］ (4,3,19)
推而广之,对 n个双端口网络级联,则有
［ A］ =［ A1］ ［ A2］ …［ An］ (4 3 20)
显然,用 ［ A］ 矩阵来研究级联网络特别方便 。
当双端口网络输出端口参考面上接任意负载时,用转移参量求输入端口参考面上的输入阻抗和反射系数也较为方便,如图 4 - 7 所示 。
参考面 T2处的电压 U2和电流 -I2,而参考面 T1处的输入阻抗为 12
2 ZIU
第 4章 微波网络基础图 4- 7 双端口网络终端接负载时的情形
[ A ]
＋
－
U
2
I
2
I
1
T
2
T
1
U
1
＋
－
Z
in
Z
l
第 4章 微波网络基础
DCZ
BAZ
IBCU
IBAU
I
UZ
in?
1
1
22
22
1
1
)(
)(
)()(
)()(
111
111
1
1
ee
ee
ein
ein
in DZBZCZA
DZBZCZA
ZZ
ZZ
而输入反射系数为前述的三种网络矩阵各有用处,并且由于归一化阻抗,导纳及转移矩阵均是描述网络各端口参考面上的归一化电压,电流之间的关系,因此存在着转换关系,具体转换方式如表 4.1所示 。
第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础
4.4
前面讨论的三种网络矩阵及其所描述的微波网络,都是建立在电压和电流概念基础上的,因为在微波系统中无法实现真正的恒压源和恒流源,所以电压和电流在微波频率下已失去明确的物理意义 。
另外这三种网络参数的测量不是要求端口开路就是要求端口短路,这在微波频率下也是难以实现的 。 但在信源匹配的条件下,总可以对驻波系数,反射系数及功率等进行测量,也即在与网络相连的各分支传输系统的端口参考面上入射波和反射波的相对大小和相对相位是可以测量的；而散射矩阵和传输矩阵就是建立在入射波,反射波的关系基础上的网络参数矩阵 。
第 4章 微波网络基础图 4- 8 双端口网络的入射波与反射波
T
1
T
2
双口网络
a
1
a
2
b
1
b
2
第 4章 微波网络基础
1.
考虑双端口网络如图 4 - 8 所示 。 定义 ai为入射波电压的归一化值 u+i,其有效值的平方等于入射波功率 ;定义 bi为反射波电压的归一化值 u-i,其有效值的平方等于反射波功率 。 即,
ai=u+i
22
2
1
2
1
iiin auP
ai=u-i
22
2
1
2
1
iir buP
(i=1,2,…,n) (4,4,1)
第 4章 微波网络基础这样端口 1的归一化电压和归一化电流可表示为
u1=a1+b1
i1=a1-b1 (4,4,2)
于是
1
111
11
1
1
111 2][2
1)(
2
1
e
e
e
e Z
ZIUZI
Z
Uiua
1
111
11
1
1
111 2][2
1)(
2
1
e
e
e
e Z
ZIUZI
Z
Uiub
同理可得
2
222
2 2
e
e
Z
ZIUa
第 4章 微波网络基础
2
222
2 2
e
e
Z
ZIUb
于线性网络,归一化入射波和归一化反射波之间是线性关系,故有线性方程
b1=S11a1+S12a2
b2=S21a1+S22a2 (4,4,5)
写成矩阵形式为或简写为
［ b］ =［ S］
式中,
21
11
s
s
22
12
s
s 称为双端口网络的散射矩阵,简称为［ S］
矩阵,
第 4章 微波网络基础
0
1
1
11 2| aa
bs 表示端口 2匹配时,端口 1
0
2
2
22 1| aa
bs 表示端口 1匹配时,端口 2
0
2
1
12 1| aa
bs 表示端口 1匹配时,端口 2到端口 1
0
1
21 2|
2
aa
bs
表示端口 2匹配时,端口 1到端口 2的正向传输系数可见,［ S］ 矩阵的各参数是建立在端口接匹配负载基础上的反射系数或传输系数 。 这样利用网络输入输出端口的参考面上接匹配负载即可测得散射矩阵的各个参量 。
第 4章 微波网络基础对于互易网络,S12=S21
对于对称网络,S11=S22
对于无耗网络,［ S］ +［ S］ =［ I］
其中,［ S］ +是 ［ S］ 的转置共轭矩阵,［ I］ 为单位矩阵 。
2.
当用 a1,b1作为输入量,a2,b2作为输出量,此时有以下线性方程,a
1=T11b2+T12a2
b1=T21b2+T22a2
写成矩阵形式为第 4章 微波网络基础
1
1
b
a =
21
11
T
T
22
12
T
T
2
2
a
b =
式中,［ T］ 为双端口网络的传输矩阵,其中 T11表示参考面
T2接匹配负载时,端口 1至端口 2的电压传输系数的倒数,其余三个参数没有明确的物理意义 。 但当传输矩阵用于网络级联时比较方便,如图 4- 9 所示两个双端口网络级联 。
T
2
2
a
b
1T
1
1
b
a =
2
2
b
a
=
2T
3
3
a
b
由于 a2=b2′,b2=a2′,故有第 4章 微波网络基础图 4 - 9双端口网络的级联网络
[ T
1
]
网络
[ T
2
]
a
2
a
1
a
3
b
1
b
2
b
3
b
2
′
a
2
′
第 4章 微波网络基础
1
1
b
a? ][ 1T ][ 2T
…
2
2
a
b?
3
3
a
b][ 1T
可见当网络级联时,总的 ［ T］ 矩阵等于各级联网络 ［ T］
矩阵的乘积,这个结论可以推广到 n个网络的级联,即
［ T］ 总 =［ T1］ ［ T2］ …［ Tn］
3.
与其它四种参量一样,散射参量用以描述网络端口之间的输入输出关系,因此对同一双端口网络一定存在着相互转换的关系 。 由于 ［ S］ 矩阵是定义在归一化入射波电压和电流基础上,因此与其它参量的归一化值之间转换比较容易,介绍如下,
第 4章 微波网络基础
(1) ［ S］ 与由式 （ 4,4,3）
z ][y
]])[[]([21])[]][([21)(21 iIziiziua
]])[[]([21])[]][([21)(21 iIziiziub
代入式 （ 4,4,6） 得
])[]([][ IzSIz
于是可得 ［ S］ 与 相互转换公式z
1])[] ) ([(][ IZIZS
1])[]] ) ( [[]([ SISIZ
第 4章 微波网络基础
1])[]] ) ( [[]([][ YIYIS
1])[]] ) ( [[]([][ SISIY
(2) ［ S］ 与 ［ a］
在式 （ 4,3,17） 中令
u1=a1+b1,i1=a1-b1; u2=a2+b2,i2=a2-b2
则有
a1+b1=a(a2+b2)-b(a2-b2)
a1-b1=c(a2+b2)-d(a2-b2)
整理可得第 4章 微波网络基础
1
1
1
1?
2
1
)(
)(
b
b
dc
ba
2
1
)(
)(
a
a
dc
ba
1
1s
dc
ba
dc
ba
1
1
)(
)(
2
1 dcba
dcba
cadb
bcad )(2
类似可以推得
21
2211
12
21
2211
12
)1)(1(
)1)(1(
2
1
s
ss
s
s
ss
s
a
21
2211
12
21
2211
12
)1)(1(
)1)(1(
s
ss
s
s
ss
s
第 4章 微波网络基础表 4.2 给出了常用几种双端口网络的参量表示 。
4,［ S］
对于互易双端口网络,S12=S21,故只要测量求得 S11,S22及
S12三个量就可以了 。 设被测网络接入如图 4 -10 所示系统,终端接有负载阻抗 Zl,令终端反射系数为 Γl,则有,a2=Γlb2,代入式 （ 4.
4,5） 得
b1=S11a1+S12Γlb2，
b2=S12a1+S22Γlb2
第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础图 4-10［ S］参数的测量
~
[ S ]
Z
g
E
g
Z
e
Z
l
T
1
T
2
a
2
a
1
b
1
b
2
Z
e
第 4章 微波网络基础于是输入端参考面 T1处的反射系数
122
1
2
12
11
1
1
1
s
ss
a
b
in
令终端短路,开路和接匹配负载时,测得的输入端反射系数分别为 Γs,Γo和 Γm,代入式 （ 4,4,21） 并解出
ms11
so
monms
))((22
12
so
sms
20
12
第 4章 微波网络基础由此可得 ［ S］ 参数,这就是三点测量法 。 但实际测量时往往用多点法以保证测量精度 。 对无耗网络而言,在终端接上精密可移短路活塞,在 λg /2范围内,每移动一次活塞位置,就可测得一个反射系数,理论上可以证明这组反射系数在复平面上是一个圆,但由于存在测量误差,测得的反射系数不一定在同一圆上,我们可以采用曲线拟合的方法,拟合出 Γin圆,从而求得散射参数,这部分详见附录二 。 当然更为精确的测量可用网络分析仪进行测量 。
第 4章 微波网络基础
4.5
前面介绍的各种参数矩阵均是以双端口网络为例的,实际上推广到由任意 N个输入输出口组成的微波网络均可用前述参量描述 。 本节着重介绍多端口网络散射矩阵及其性质 。
N个输入输出口组成的线性微波网络如图 4- 11 所示,
各端口的归一化入射波电压和反射波电压分别为 ai,bi(i=1~N),
则有
1
21
11
1
1
.
NN S
S
S
B
b
a
2
22
12
.
NS
S
S
...
...
...
...
Na
a
a
.
2
1
第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础
［ b］ =［ S］ ［ a］
其中,
Sij= a1=a2=…=ak=…=0,(i,j=1,2,…,N； k≠j)它表示当 i≠j,除端口 i外,其余各端口参考面均接匹配负载时,第 i个端口参考面处的反射系数 。 多端口网络 ［ S］ 矩阵具有以下性质,
(1)
若网络互易,则有
Sij=Sji(i,j=1,2,…,N,i≠j)
或写作 ［ S］ T=［ S］ (4 5 3b)
|
j
i
a
b
第 4章 微波网络基础
(2)
若网络无耗,则有
［ S］ +［ S］ =［ I］
［ S］ +是 ［ S］ 的共轭转置矩阵 。 下面对此性质略作证明 。
对于无耗网络,输入的总功率应等于输出的总功率,即有
N
i
i
N
i
i ba
1
2
1
2
2
1
2
1
上式还可写作
［ a］ +［ a］ =［ b］ +［ b］
第 4章 微波网络基础又由式 （ 4 4 6） 可得
［ b］ +=［ a］ +［ S］ + (4,5,6)
代入式 （ 4 5 5） 得
［ a］ +［ a］ =［ a］ +［ S］ +［ S］ ［ a］ (4,5,7)
要使上式成立,必有
［ S］ +［ S］ =［ I］ (4,5,8)
这个性质也称为无耗网络的幺正性 。
(3)
若网络的端口 i和端口 j具有面对称性,且网络互易,则有第 4章 微波网络基础
Sij=Sji
Sii=Sjj (4,5,9)
这些性质在微波元件分析中十分有用 。
4.1 等效传输线
4.2 单口网络
4.3 双端口网络的阻抗与转移矩阵
4.4 散射矩阵与传输矩阵
4.5 多端口网络的散射矩阵第 4章 微波网络基础返回主目录第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础
4.1等 效 传 输在第 1章中,均匀传输理论是建立在 TEM传输线的基础上的,因此电压和电流有明确的物理意义,而且电压和电流只与纵向坐标 z有关,与横截面无关,而实际的非 TEM传输线如金属波导等,其电磁场 与 不仅与 z有关,还与 x,y有关,
这时电压和电流的意义十分不明确,例如在矩形波导中,电压值取决于横截面上两点的选择,而电流还可能有横向分量 。
因此有必要引入等效电压和电流的概念,从而将均匀传输线理论应用于任意导波系统,这就是等效传输线理论 。
E H
第 4章 微波网络基础
1,等效电压和等效电流为定义任意传输系统某一参考面上的电压和电流,作以下规定,
① 电压 U(z)和电流 I(z)分别与 Et和 Ht成正比 ;
② 电压 U(z)和电流 I(z)共轭乘积的实部应等于平均传输功率 ;
③ 电压和电流之比应等于对应的等效特性阻抗值 。
对任一导波系统,不管其横截面形状如何 （ 双导线,矩形波导,圆形波导,微带等 ）,也不管传输哪种波形 （ TEM波,
TE波,TM波等 ）,其横向电磁场总可以表示为第 4章 微波网络基础
)(),(),,( zkkt UyxezyxE
)(),(),,( zkkt IyxhzyxH
式中 ek(x,y),hk(x,y)是二维实函数,代表了横向场的模式横向分布函数,Uk(z),Ik(z)都是一维标量函数,它们反映了横向电磁场各模式沿传播方向的变化规律,故称为模式等效电压和模式等效电流 。 值得指出的是这里定义的等效电压,等效电流是形式上的,它具有不确定性,上面的约束只是为讨论方便,下面给出在上面约束条件下模式分布函数应满足的条件 。
由电磁场理论可知,各模式的传输功率可由下式给出,
第 4章 微波网络基础
dszyxHzyxERP KKek ),,(),,(21
dsyxhyxezIzUR KKke ),(),()]()([21
由规定 ② 可知,ek,hk应满足,
1),(),( dsyxhyxe kk
由电磁场理论可知,各模式的波阻抗为,
ek
k
k
Kk
Kk
t
t
w zh
e
zIyxh
zUyxe
H
Ez
)(),(
)(),(
其中,Zek为该模式等效特性阻抗 。
第 4章 微波网络基础综上所述,为唯一地确定等效电压和电流,在选定模式特性阻抗条件下各模式横向分布函数还应满足
1 dshe kk
ek
w
k
k
z
z
h
e?
下面以例子来说明这一点 。
[例 4.1］ 求出矩形波导 TE10模的等效电压,等效电流和等效特性阻抗 。
解,由第 2章可知第 4章 微波网络基础
)()(s i n 1010 zUxeeaxEE zjy
)()(s in 10
10
10 zIxhe
a
x
Z
EH zj
TE
x
其中,TE10的波阻抗
2
00
)2/(1
/
10 a
uZ
TE?
可见所求的模式等效电压,等效电流可表示为
zjeAZU 1)(
zj
e
ezAzI 1)(
第 4章 微波网络基础式中,Ze为模式特性阻抗,现取 Ze=,我们来确定 A1。
由式 （ 4 1 6） 及 （ 4 –1 7） 可得 10TE
zab
a
x
A
Exe?s in)(
1
10
10?
a
x
z
z
A
Exh
Te
e?s in)(
101
10
10
由式 （ 4 1 5） 可推得
12
10
2
1
2
10?ab
Z
Z
A
E
TE
e
101 2 E
bA?
第 4章 微波网络基础于是唯一确定了矩形波导 TE10模的等效电压和等效电流,
即
zjeEbZU
102)(
zj
TE
e
z
EaZI
10
10
2
)(
此时波导任意点处的传输功率为
10
2
10
4)]()(R e [2
1
TEZ
EabZIZUP
与式 （ 2,2,26） 相同,也说明此等效电压和等效电流满足第 ② 条规定 。
第 4章 微波网络基础
2.
由前面分析可知,不均匀性的存在使传输系统中出现多模传输,由于每个模式的功率不受其它模式的影响,而且各模式的传播常数也各不相同,因此每一个模式可用一独立的等效传输线来表示 。
这样可把传输 N个模式的导波系统等效为 N个独立的模式等效传输线,每根传输线只传输一个模式,其特性阻抗及传播常数各不相同,如图 4.1 所示 。 另一方面由不均匀性引起的高次模,
通常不能在传输系统中传播,其振幅按指数规律衰减 。 因此高次模的场只存在于不均匀区域附近,它们是局部场 。
第 4章 微波网络基础图 4 – 1 多模传输线的等效
Z
e1
e1
Z
e2
…
e2
…
Z
e N
e N
( a ) ( b )
第 4章 微波网络基础在离开不均匀处远一些的地方,高次模式的场就衰减到可以忽略的地步,因此在那里只有工作模式的入射波和反射波 。
通常把参考面选在这些地方,从而将不均匀性问题化为等效网络来处理 。 如图 4-2 所示是导波系统中插入了一个不均匀体及其等效微波网络 。
建立在等效电压,等效电流和等效特性阻抗基础上的传输线称为等效传输线,而将传输系统中不均匀性引起的传输特性的变化归结为等效微波网络,这样均匀传输线中的许多分析方法均可用于等效传输线的分析 。
第 4章 微波网络基础图 4 – 2 微波传输系统的不均匀性及其等效网络微波网络
Z
e
Z
e
T
1
T
2
不均 匀性
( a ) ( b )
第 4章 微波网络基础
4.2 单口网络当一段规则传输线端接其它微波元件时,则在连接的端面引起不连续,产生反射 。 若将参考面 T选在离不连续面较远的地方,则在参考面 T左侧的传输线上只存在主模的入射波和反射波,可用等效传输线来表示,而把参考面 T以右部分作为一个微波网络,把传输线作为该网络的输入端面,这样就构成了单口网络,如图 4 -3 所示 。
1.
令参考面 T处的电压反射系数为 Γl,由均匀传输线理论可知,
等效传输线上任意点的反射系数为第 4章 微波网络基础图 4 – 3 端接微波元件的传输线及其等效网络微波元件单口网络
TT
Z
e
( a ) ( b )
第 4章 微波网络基础
Γ(z)=|Γl|e j(φl-2βz) (4 2 1)
而等效传输线上任意点等效电压,电流分别为
U(z)=A1[1+Γ(z)］
I(z)= ［ 1-Γ(z)］
eZ
A1
式中,Ze为等效传输线的等效特性阻抗 。 传输线上任意一点输入阻抗为
Zin(z)=Ze
)(1
)(1
z
z
任意点的传输功率为第 4章 微波网络基础
])(1[2)]()(R e [21)( 2
2
1 z
Z
AZIZUzp
e
2.
由于微波网络比较复杂,因此在分析时通常采用归一化阻抗,即将电路中各个阻抗用特性阻抗归一,与此同时电压和电流也要归一 。
一般定义,
Z
Uu?
ZIi?
分别为归一化电压和电流,显然作归一化处理后,电压 u和电流 i仍满足,
第 4章 微波网络基础
)](][R e [21]R e [21 zizUuiP in
任意点的归一化输入阻抗为
)(1
)(1
z
z
z
zz
e
in
in
于是,单口网络可用传输线理论来分析 。
第 4章 微波网络基础
4.3
由前面分析可知,当导波系统中插入不均匀体 (如图 4- 2 所示 )时,会在该系统中产生反射和透射,从而改变原有传输分布,
并且可能激起高次模,但由于将参考面设置在离不均匀体较远的地方,高次模的影响可忽略,于是可等效为如图 4- 4 所示的双端口网络 。 在各种微波网络中,双端口网络是最基本的,任意具有两个端口的微波元件均可视之为双端口网络 。 下面介绍线性无源双端口网络各端口上电压和电流之间的关系 。
第 4章 微波网络基础图 4 –4 双端口网络双口网络
T
1
T
2
＋
－
U
1
＋
－
U
2Z
e1
Z
e2
I
1
I
2
第 4章 微波网络基础
1.
设参考面 T1处的电压和电流分别为 U1和 I1,而参考面 T2处电压和电流分别为 U2,I2,连接 T1,T2端的广义传输线的特性阻抗分别为 Ze1和 Ze2。
(1)
现取 I1,I2为自变量,U1,U2为因变量,对线性网络有
U1=Z11I1+Z12I2
U2=Z21I1+Z22I2
第 4章 微波网络基础写成矩阵形式
2
1
U
U
2221
1211
ZZ
ZZ
2
1
I
I=
或简写为
［ U］ =［ Z］ ［ I］
式中,［ U］ 为电压矩阵,［ I］ 为电流矩阵,而 ［ Z］ 是阻抗矩阵,其中 Z11,Z22分别是端口,1”和,2”的自阻抗 ; Z12,Z21
分别是端口,1”和,2”的互阻抗 。 各阻抗参量的定义如下,
0| 2
1
1
11 II
UZ 为 T2面开路时,端口,1”的输入阻抗第 4章 微波网络基础
0| 1
1
1
12 II
UZ 为 T1面开路时,端口,2”至端口,1”的转移阻抗
0| 2
1
2
21 II
UZ 为 T2面开路时,端口,1”至端口,2”的转移阻抗
0| 1
2
2
22 II
UZ 为 T2面开路时,端口,2”
由上述定义可见,［ Z］ 矩阵中的各个阻抗参数必须使用开路法测量,故也称为开路阻抗参数,而且由于参考面选择不同,
相应的阻抗参数也不同 。
对于互易网络有
Z12=Z21 (4,3,3)
第 4章 微波网络基础对于对称网络则有若将各端口的电压和电流分别对自身特性阻抗归一化,则有
111
1
1
1,e
e
ZIiZUu
222
2
2
2,e
e
ZIi
Z
Uu
代入式 (4 3 2)后整理可得
]][[][ izu
其中，
第 4章 微波网络基础
z
2121
111
/
/
ee
e
zzz
zz
222
2112
/
/
e
ee
zz
zzz
(2)
在上述双端口网络中,以 U1,U2为自变量,I1,I2为因变量,
则可得另一组方程,
I1=Y11U1+Y12U2
I2=Y21U1+Y22U2
写成矩阵形式第 4章 微波网络基础
2
1
I
I?
21
11
Y
Y
22
12
Y
Y
2
1
U
U
简写为
［ Z］ =［ Y］ ［ I］ (4 3 9b)
其中,［ Y］ 是双端口网络的导纳矩阵,各参数的物理意
0| 2
1
1
11 UU
IY 表示 T2面短路时,端口,1”
0| 1
2
1
12 UU
IY 表示 T1面短路时,端口,2”至端口,1”的转移导纳
0| 2
1
2
21 UU
IY 表示 T2面短路时,端口,1”至端口,2”的转移导纳第 4章 微波网络基础
0| 1
2
2
22 UU
IY 示 T1面短路时,端口,2”
由上述定义可知,［ Y］ 矩阵中的各参数必须用短路法测得,
称这些参数为短路导纳参数 。
其中,Y11,Y22为端口 1和端口 2的自导纳,而 Y12,Y21为端口,1”和端口,2”的互导纳 。
对于互易网络有 Y12=Y21
对于对称网络有 Y11=Y22
用归一化表示则有 ［ i］ = (4 3 10)
其中,
]][[ uY
1
1
1
eY
Ii?
2
2
2
eY
Ii?
111 eYUu?
第 4章 微波网络基础
222 eYUu?
而 ][Y =
2121
111
/
/
ee
e
YYY
YY
222
2112
/
/
e
ee
YY
YYY
对于同一双端口网络阻抗矩阵 ［ Z］ 和导纳矩阵 ［ Y］ 有以下关系,
［ Z］ ［ Y］ =［ I］
［ Y］ =［ Z］ -1
式中,［ I］为单位矩阵。
［ 例 4 2］ [HT]求如图 4 - 5 所示双端口网络的 ［ Z］ 矩阵和 ［ Y］ 矩阵 。
解,由［ Z］矩阵的定义,
第 4章 微波网络基础
＋
－
＋
－
U
1
U
2
Z
C
Z
A
Z
BI
1
I
2
图 4-5 双端口网络第 4章 微波网络基础
CAI ZZI
Uz
0
1
1
11 2|
210
1
1
21 1| ZZI
Uz
CI
CBI ZZI
Uz
0
2
2
22 1|
于是
][Z
C
CB
Z
ZZ
CA
C
ZZ
Z
而
CBABA ZZZZZ
ZY )( 1][][ 1
C
CA
Z
ZZ?
CB
C
ZZ
Z
第 4章 微波网络基础
2,转移矩阵转移矩阵也称为 ［ A］ 矩阵,它在研究网络级联特性时特别方便 。 在图 4,4 等效网络中,若用端口,2”的电压 U2,电流 -I2作为自变量,而端口,1”的电压 U1和电流 I1作为因变量,
则可得如下线性方程组,
U1=AU2+B(-I2)
I1=CU2+D(-I2)
由于电流 I2的正方向如图 4,4 所示,而网络转移矩阵规定的电流参考方向指向网络外部,因此在 I2前加负号 。 这样规定,
在实用中更为方便 。 将式 (4,3 - 13)写成矩阵形式,则有第 4章 微波网络基础简写为
［ ψ1］ =［ A］ ［ ψ2］ (4 3 15)
式中,［ A］ = 称为网络的转移矩阵,简称 ［ A］ 矩阵,
方阵中各参量的物理意义如下,C
A
D
B
0
2
1
2
| IUUA
表示 T2
0
2
1
2
| UIUA 表示 T2
0
2
1
2
| IUIC
表示 T2
0
2
1
2
| UIID 表示 T2短路时电流的转移参数第 4章 微波网络基础若将网络各端口电压,电流对自身特性阻抗归一化后,得
1
1
i
u
b
a
d
b=
2
2
i
u
=
对于互易网络,AD-BC=ad-bc=1
对于对称网络,a=d
对于如图 4 -6 所示的两个网络的级联,有
［ ψ1］ =［ A1］ ［ ψ2］ (4,3,17a)
而 ［ ψ2］ =［ A2］ ［ ψ3］ (4 3 17b)
故有 ［ ψ1］ =［ A1］ ［ A2］ ［ ψ3］
第 4章 微波网络基础图 4- 6 双端口网络的级联
[ A
1
] [ A
2
]
＋
－
＋
－
＋
－
U
1
U
2
U
3
I
1
I
2
I
3
第 4章 微波网络基础级联后总的 ［ A］ 矩阵为
［ A］ =［ A1］ ［ A2］ (4,3,19)
推而广之,对 n个双端口网络级联,则有
［ A］ =［ A1］ ［ A2］ …［ An］ (4 3 20)
显然,用 ［ A］ 矩阵来研究级联网络特别方便 。
当双端口网络输出端口参考面上接任意负载时,用转移参量求输入端口参考面上的输入阻抗和反射系数也较为方便,如图 4 - 7 所示 。
参考面 T2处的电压 U2和电流 -I2,而参考面 T1处的输入阻抗为 12
2 ZIU
第 4章 微波网络基础图 4- 7 双端口网络终端接负载时的情形
[ A ]
＋
－
U
2
I
2
I
1
T
2
T
1
U
1
＋
－
Z
in
Z
l
第 4章 微波网络基础
DCZ
BAZ
IBCU
IBAU
I
UZ
in?
1
1
22
22
1
1
)(
)(
)()(
)()(
111
111
1
1
ee
ee
ein
ein
in DZBZCZA
DZBZCZA
ZZ
ZZ
而输入反射系数为前述的三种网络矩阵各有用处,并且由于归一化阻抗,导纳及转移矩阵均是描述网络各端口参考面上的归一化电压,电流之间的关系,因此存在着转换关系,具体转换方式如表 4.1所示 。
第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础
4.4
前面讨论的三种网络矩阵及其所描述的微波网络,都是建立在电压和电流概念基础上的,因为在微波系统中无法实现真正的恒压源和恒流源,所以电压和电流在微波频率下已失去明确的物理意义 。
另外这三种网络参数的测量不是要求端口开路就是要求端口短路,这在微波频率下也是难以实现的 。 但在信源匹配的条件下,总可以对驻波系数,反射系数及功率等进行测量,也即在与网络相连的各分支传输系统的端口参考面上入射波和反射波的相对大小和相对相位是可以测量的；而散射矩阵和传输矩阵就是建立在入射波,反射波的关系基础上的网络参数矩阵 。
第 4章 微波网络基础图 4- 8 双端口网络的入射波与反射波
T
1
T
2
双口网络
a
1
a
2
b
1
b
2
第 4章 微波网络基础
1.
考虑双端口网络如图 4 - 8 所示 。 定义 ai为入射波电压的归一化值 u+i,其有效值的平方等于入射波功率 ;定义 bi为反射波电压的归一化值 u-i,其有效值的平方等于反射波功率 。 即,
ai=u+i
22
2
1
2
1
iiin auP
ai=u-i
22
2
1
2
1
iir buP
(i=1,2,…,n) (4,4,1)
第 4章 微波网络基础这样端口 1的归一化电压和归一化电流可表示为
u1=a1+b1
i1=a1-b1 (4,4,2)
于是
1
111
11
1
1
111 2][2
1)(
2
1
e
e
e
e Z
ZIUZI
Z
Uiua
1
111
11
1
1
111 2][2
1)(
2
1
e
e
e
e Z
ZIUZI
Z
Uiub
同理可得
2
222
2 2
e
e
Z
ZIUa
第 4章 微波网络基础
2
222
2 2
e
e
Z
ZIUb
于线性网络,归一化入射波和归一化反射波之间是线性关系,故有线性方程
b1=S11a1+S12a2
b2=S21a1+S22a2 (4,4,5)
写成矩阵形式为或简写为
［ b］ =［ S］
式中,
21
11
s
s
22
12
s
s 称为双端口网络的散射矩阵,简称为［ S］
矩阵,
第 4章 微波网络基础
0
1
1
11 2| aa
bs 表示端口 2匹配时,端口 1
0
2
2
22 1| aa
bs 表示端口 1匹配时,端口 2
0
2
1
12 1| aa
bs 表示端口 1匹配时,端口 2到端口 1
0
1
21 2|
2
aa
bs
表示端口 2匹配时,端口 1到端口 2的正向传输系数可见,［ S］ 矩阵的各参数是建立在端口接匹配负载基础上的反射系数或传输系数 。 这样利用网络输入输出端口的参考面上接匹配负载即可测得散射矩阵的各个参量 。
第 4章 微波网络基础对于互易网络,S12=S21
对于对称网络,S11=S22
对于无耗网络,［ S］ +［ S］ =［ I］
其中,［ S］ +是 ［ S］ 的转置共轭矩阵,［ I］ 为单位矩阵 。
2.
当用 a1,b1作为输入量,a2,b2作为输出量,此时有以下线性方程,a
1=T11b2+T12a2
b1=T21b2+T22a2
写成矩阵形式为第 4章 微波网络基础
1
1
b
a =
21
11
T
T
22
12
T
T
2
2
a
b =
式中,［ T］ 为双端口网络的传输矩阵,其中 T11表示参考面
T2接匹配负载时,端口 1至端口 2的电压传输系数的倒数,其余三个参数没有明确的物理意义 。 但当传输矩阵用于网络级联时比较方便,如图 4- 9 所示两个双端口网络级联 。
T
2
2
a
b
1T
1
1
b
a =
2
2
b
a
=
2T
3
3
a
b
由于 a2=b2′,b2=a2′,故有第 4章 微波网络基础图 4 - 9双端口网络的级联网络
[ T
1
]
网络
[ T
2
]
a
2
a
1
a
3
b
1
b
2
b
3
b
2
′
a
2
′
第 4章 微波网络基础
1
1
b
a? ][ 1T ][ 2T
…
2
2
a
b?
3
3
a
b][ 1T
可见当网络级联时,总的 ［ T］ 矩阵等于各级联网络 ［ T］
矩阵的乘积,这个结论可以推广到 n个网络的级联,即
［ T］ 总 =［ T1］ ［ T2］ …［ Tn］
3.
与其它四种参量一样,散射参量用以描述网络端口之间的输入输出关系,因此对同一双端口网络一定存在着相互转换的关系 。 由于 ［ S］ 矩阵是定义在归一化入射波电压和电流基础上,因此与其它参量的归一化值之间转换比较容易,介绍如下,
第 4章 微波网络基础
(1) ［ S］ 与由式 （ 4,4,3）
z ][y
]])[[]([21])[]][([21)(21 iIziiziua
]])[[]([21])[]][([21)(21 iIziiziub
代入式 （ 4,4,6） 得
])[]([][ IzSIz
于是可得 ［ S］ 与 相互转换公式z
1])[] ) ([(][ IZIZS
1])[]] ) ( [[]([ SISIZ
第 4章 微波网络基础
1])[]] ) ( [[]([][ YIYIS
1])[]] ) ( [[]([][ SISIY
(2) ［ S］ 与 ［ a］
在式 （ 4,3,17） 中令
u1=a1+b1,i1=a1-b1; u2=a2+b2,i2=a2-b2
则有
a1+b1=a(a2+b2)-b(a2-b2)
a1-b1=c(a2+b2)-d(a2-b2)
整理可得第 4章 微波网络基础
1
1
1
1?
2
1
)(
)(
b
b
dc
ba
2
1
)(
)(
a
a
dc
ba
1
1s
dc
ba
dc
ba
1
1
)(
)(
2
1 dcba
dcba
cadb
bcad )(2
类似可以推得
21
2211
12
21
2211
12
)1)(1(
)1)(1(
2
1
s
ss
s
s
ss
s
a
21
2211
12
21
2211
12
)1)(1(
)1)(1(
s
ss
s
s
ss
s
第 4章 微波网络基础表 4.2 给出了常用几种双端口网络的参量表示 。
4,［ S］
对于互易双端口网络,S12=S21,故只要测量求得 S11,S22及
S12三个量就可以了 。 设被测网络接入如图 4 -10 所示系统,终端接有负载阻抗 Zl,令终端反射系数为 Γl,则有,a2=Γlb2,代入式 （ 4.
4,5） 得
b1=S11a1+S12Γlb2，
b2=S12a1+S22Γlb2
第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础图 4-10［ S］参数的测量
~
[ S ]
Z
g
E
g
Z
e
Z
l
T
1
T
2
a
2
a
1
b
1
b
2
Z
e
第 4章 微波网络基础于是输入端参考面 T1处的反射系数
122
1
2
12
11
1
1
1
s
ss
a
b
in
令终端短路,开路和接匹配负载时,测得的输入端反射系数分别为 Γs,Γo和 Γm,代入式 （ 4,4,21） 并解出
ms11
so
monms
))((22
12
so
sms
20
12
第 4章 微波网络基础由此可得 ［ S］ 参数,这就是三点测量法 。 但实际测量时往往用多点法以保证测量精度 。 对无耗网络而言,在终端接上精密可移短路活塞,在 λg /2范围内,每移动一次活塞位置,就可测得一个反射系数,理论上可以证明这组反射系数在复平面上是一个圆,但由于存在测量误差,测得的反射系数不一定在同一圆上,我们可以采用曲线拟合的方法,拟合出 Γin圆,从而求得散射参数,这部分详见附录二 。 当然更为精确的测量可用网络分析仪进行测量 。
第 4章 微波网络基础
4.5
前面介绍的各种参数矩阵均是以双端口网络为例的,实际上推广到由任意 N个输入输出口组成的微波网络均可用前述参量描述 。 本节着重介绍多端口网络散射矩阵及其性质 。
N个输入输出口组成的线性微波网络如图 4- 11 所示,
各端口的归一化入射波电压和反射波电压分别为 ai,bi(i=1~N),
则有
1
21
11
1
1
.
NN S
S
S
B
b
a
2
22
12
.
NS
S
S
...
...
...
...
Na
a
a
.
2
1
第 4章 微波网络基础第 4章 微波网络基础
［ b］ =［ S］ ［ a］
其中,
Sij= a1=a2=…=ak=…=0,(i,j=1,2,…,N； k≠j)它表示当 i≠j,除端口 i外,其余各端口参考面均接匹配负载时,第 i个端口参考面处的反射系数 。 多端口网络 ［ S］ 矩阵具有以下性质,
(1)
若网络互易,则有
Sij=Sji(i,j=1,2,…,N,i≠j)
或写作 ［ S］ T=［ S］ (4 5 3b)
|
j
i
a
b
第 4章 微波网络基础
(2)
若网络无耗,则有
［ S］ +［ S］ =［ I］
［ S］ +是 ［ S］ 的共轭转置矩阵 。 下面对此性质略作证明 。
对于无耗网络,输入的总功率应等于输出的总功率,即有
N
i
i
N
i
i ba
1
2
1
2
2
1
2
1
上式还可写作
［ a］ +［ a］ =［ b］ +［ b］
第 4章 微波网络基础又由式 （ 4 4 6） 可得
［ b］ +=［ a］ +［ S］ + (4,5,6)
代入式 （ 4 5 5） 得
［ a］ +［ a］ =［ a］ +［ S］ +［ S］ ［ a］ (4,5,7)
要使上式成立,必有
［ S］ +［ S］ =［ I］ (4,5,8)
这个性质也称为无耗网络的幺正性 。
(3)
若网络的端口 i和端口 j具有面对称性,且网络互易,则有第 4章 微波网络基础
Sij=Sji
Sii=Sjj (4,5,9)
这些性质在微波元件分析中十分有用 。
