第七章 动态电路的暂态分析第一节 换路定律与初始值的计算第二节 一阶电路的零输入响应第三节 一阶电路的零状态响应第四节 一阶电路的全响应第五节 一阶电路的三要素法第六节 RLC串联电路的零输入响应第七章小结
：仅含有电阻性元件（包括独立电源和受控电源）的电路。
1.选择合适的电路变量，根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，
建立描述电路的微分方程；
2.求解微分方程，从而求得有关电路变量；
3.再根据这些电路变量求解其他待求变量电路电阻性电路动态电路,含有动态元件（即储能元件）
的电路。
分析动态电路的方法代数方程微分方程
时域分析法,以时间作为自变量来分析电路的方法。
第一节 换路定律与初始值的计算
1.稳态,电路在直流或周期性电源作用下，所产生的各支路电压和电流都是直流或都是幅值恒定的周期性的电压或电流，则电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。
2.过渡过程,电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程。
3.暂态,电路在过渡过程中的工作状态称为暂态。
电路的过渡过程一、过渡过程的概念
4.电路中产生过渡过程的 必要条件,
（ 1）电路结构或电路元件参数值发生变化；
（ 2）电路中存在储能元件。
电路的过渡过程
5.研究过渡过程的 目的,
（ 1）便于利用过渡过程的特性，以实现某种技术利用；
（ 2）便于采取措施，防止因过渡过程的出现而产生的危害。
二、换路定律
1.换路,电路结构 和 元件参数值 的突然改变。
电路的接通、断开、短路及电路连接方式的变更电路中 R,L,C元件的电阻、电感、电容及电压源的电压、电流源的电流（对于交流电源来说是指电压或电流的幅值）发生变化
2.换路定律,当电容元件中的电流在换路瞬间为有限值时，
电容元件的电压在换路瞬间不会发生跃变；当电感元件的电压在换路瞬间为有限值时，电感元件中的电流在换路瞬间不会发生跃变。
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
初始值,电路变量在 t = 0+ 时刻的值。
三,初始值的计算
电容元件的初始状态：电容元件的电压或电荷的初始值；
电感元件的初始状态：电感元件的电流或磁链的初始值。
电路的初始状态：电路中所有独立储能元件的初始状态的全体。
）（态 1
【 例 7－ 1】 图（ a）所示电路在开关 S打开之前处于稳定状态。在 t＝ 0时，
将开关 S打开。试求电路中的电流、电容元件的电压和电阻元件的电压的初始值。
Cu = )0(?Cu ＝ 21 2 RR R? U S ＝ 24 2? × 12 V ＝ 4 V
解 选定有关参考方向如图（ a）所示。
（ 1） 由已知条件可知：
（ 2） 由换路定律可知：
u C (0 + ) = u C (0 - ) = 4V
u R1 (0 + ) ＝ u S (0 + ) － u C (0 + ) ＝ ( 12 － 4) V ＝ 8 V
i (0 + ) ＝
1
1 )0(Ru R? ＝ 48 A ＝ 2 A
（ 3） 求其它各电流、电压的初始值。画出 t =0+时刻的等效电路,如图（ b）所示。由于 uC(0+)=4V，
所以在等效电路中电容相当于电压源 。故有
【 例 7－ 2】 图（ a）所示电路中,US=12V,R1＝ 2Ω,R2＝ 4Ω,R3＝ 6Ω,
在 t＝ 0时打开开关 S，设开关打开前电路已处于稳态。试求 iL(0+),iC(0+),
u2 (0+),uL (0+),uC(0+) 。
解 （ 1）计算换路前的 uC(0－ ),iL(0－ )，图（ a）换路前的等效电路为图（ b），有
VViR
AA
RR
u
Lc
s
8 24)0(u
2
42
12)0(i
2
21
L
（ 2）由换路定律可知：
Vuu
Aii
C
LL
8)0()0(
2)0()0(
（ 3）求其它各电流、电压的初始值。画出 t=0+时刻的等效电路，如图（ c）所示。可求得
VV
uuiRu
Aii
VVRiu
CCL
LC
L
12 88)2(6
)0()0()0()0(
2)0()0(
8 42)0()0(
23
22
初始值的计算步骤
（ 1）由换路前的电路计算出电容元件的电压 uC和电感元件的电流 iL，确定它们在 t＝ 0－ 时的值 uC (0－ )和 iL (0－ ) 。
（ 2）根据换路定律，确定电容元件和电感元件电流的初始值 uC (0＋ )和 iL (0＋ ) 。
（ 3）画出换路后初始瞬间（即 t＝ 0＋ 时刻）的等效电路。在等效电路中，原电路中的电容元件用一个电压为 uC (0＋ ) 的电压源替代，电感元件用电流为 iL (0＋ ) 的电流源替代。
（ 4）采用计算电阻性电路的方法，计算换路后初始瞬间的等效电路，秋初所要求的电路变量的初始值。
第二节 一阶电路的零输入响应
响应,电路中所产生的电压,电流等信号 。
激励,能够在电路中产生相应的信号 。
零输入响应,输入信号为零,仅由初始状态产生的响应 。
零状态响应,电路的初始状态为零,仅由输入信号产生的响应 。
全响应,由输入信号和初始状态共同作用而产生的响应 。
一,RC电路的零输入响应
（ 1） 换路前,开关合于位置 1，电路处于稳态，电容元件已充电，其电压为 U
0（ U0=US）。开关合至位置 2的最初瞬间，由于电路中的电流不是不穷大，电容元件的电压不能跃变，电容元件中的电压仍保持为 U
0，即 uC (0＋ )=U
0 。
（ 2） 换路后,电路脱离电源,电容元件两极上的正负电荷不断的地中和，
直至电容元件两极上的电荷全部中和，
电路中电压均为零时，电路暂态过程告以结束，电路进入稳态。
换路后电路所经历的物理过程，实际上就是电容元件的放电过程。
(a) RC串联电路的短路
(b) 换路后的动态电路
1.物理过程分析
2.暂态过程的数学分析换路后的电路如图（ b）所示。在图示参考方向下，根据 KVL，可得
0 CR uu
dt
duCi
iRu
C
R
由元件的伏安关系得出：
将上述伏安关系式代入 KVL方程，可得到一个以 uC为变量的电路方程：
0 CCC uudtduRC 0?t
(a) RC串联电路的短路
(b) 换路后的动态电路
0 CCC uudtduRC 0?t
特征方程为,RCS ＋ 1 ＝ 0
0 tAeAeu RCtstC
特征根为,
RCS 1
通解为：
由换路前的电路，得 uC(0-)=U0=US
根据换路定律，得：
0)0()0( Uuu CC
0)0( UuA C
再根据电路的初始条件，
确定通解中的积分常数一阶线性常系数齐次微分方程特解为 0
0
teUu RCt
C
0 0 teUu RC
t
C
由 uC可求出电路中的其他响应
0 0 teRUdtduCi RC
t
C
0 0 teURiu RCtR
RC电路零输入响应的变化曲线
(a)uC,uR的变化曲线 (b)i的变化曲线
时间常数,R和 C的乘积称为 RC电路时间常数，用 表示。 RC
（ 1 ）? 的单位为秒（ s ）。
（ 2 ）? 的大小取决于电路的结构和元件参数。
（ 3 ）? 的物理意义,时间常数? 就是按?
t
Ae? 这样的指数规律衰减的电路响应，
从其任一数值开始，衰减到原来值的 e/1 （约 36.8 ％） 所需要的时间。 的大小决定了指数函数?
t
Ae? 衰减的快慢。
3.时间常数
0
0
0
0
0
0
te
R
U
i
teUu
teUu
t
t
R
t
C
0
0
0
0
0
0
teUu
te
R
U
i
teUu
RC
t
R
RC
t
RC
t
C
从理论上讲，换路后的电路一般需要经过无限长的时间（t ）才能达到稳定状态。但是，由于指数函数?tAe? 开始衰减较快，往后逐渐减慢，实际上经过 4? ～ 5? 的时间，就可以认为电路达到了稳定状态。
RC电路零输入响应的变化曲线
(a)uC,uR的变化曲线 (b)i的变化曲线解法一：
（ 1）根据换路定律，确定电路的初始条件。根据换路前的电路，计算出电容元件电压在 t=0-时的值为
VVu C 3 12
2
2
13
2
2
1
)0(
开关 S打开时，根据换路定律，电容元件电压的初始值为
Vuu CC 3)0()0(
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，列写出描述换路后的电路的微分方程。
02 CC udtdu
【 例 7－ 3】 在图（ a）所示电路中，开关 S打开前电路已处于稳态，在 t = 0
时，将 S打开。试求 t＞ 0时的电压 uC和电流 i，并作出它们随时间变化的曲线。
（ 3）求微分方程的通解。该微分方程特征方程为
012S
特征根为
21S
微分方程的通解为 2tst
C AeAeu
（ 4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求得微分方程的特解（即待求电路响应）。
3)0(CuA
微分方程的特解为 0 3 22 tVeAeu ttC
（ 5）由求得的电路响应，求得其他响应。由 uC可求得电流
0 A 232 2 teui
t
C
解法二,
直接应用由前面分析得到的 RC电路零输入响应的计算公式进行计算。计算电路的初始条件
VVuu CC 3 1213 1)0()0(
根据初始条件，确定微分方程通解中的积分常数
3)0(CuA
将换路后的电路变换后的等效电路如图（ c）所示。
计算换路后的电路中的等效电阻
1 221R
计算电路的时间常数
s 2s 21 RC?
求得电容元件的电压由电容元件的电压，求得电路中电流
0 3 22 tVeAeu ttC
0 232 2 tVeui
t
C
(a) RL串联电路的短路二,RL电路的零输入响应
(b) 换路后的动态电路在开关 S刚闭合瞬间，因电流不是无穷大，电阻 R上的电压不是无穷大，电感元件的电压不可能是无穷大，因而电感元件的电流不会跃变，所以电流的初始值为：
0)0()0( Iii
从能量观点看，换路后电路的过渡过程就是电感元件中磁场能量不断释放的过程，
即电感元件的灭磁过程。
1.物理过程分析根据换路前电路，确定时电感元件中电流，即：
RR uIi SL 10)0(
根据换路定律，求电感元件中电流初始值，即：
0)0()0( Iii LL
对换路后的电路应用 KVL，求得
0 RL uu
2.暂态过程的数学分析
(a) RL串联电路的短路
(b) 换路后的动态电路根据元件的伏安关系可得
dt
diLu
iRu
L
L
LR
由元件伏安关系式代入 KVL方程，可以得到一个以 iL
为未知变量的电路方程，即
0 0 tiRdtdiL LL
该一阶线路线性常系数齐次微分方程的特征方程为
0 RLS
特征根为
LRS
该微分方程的通解为 0 tAei tLR
L
0)0( IiA
将电路的初始条件 i(0+)=I0代入上式，求得积分常数微分方程的特解 0
00
teIeIi ttLR
L?
由电感元件的电流 iL可求得电路中其它响应
0 00 teIeIi ttLRL?
0
0
0
0
teRIuu
teRIRiu
t
RL
t
LR
RL电路零输入响应的变化曲线
(a)uR,uL的变化曲线 (b)iL的变化曲线
RL电路的零输入响应都是按指数规律衰减。
RL电路中的电感 L与电阻 R的比值称为 RL电路的时间常数。
RL
3.时间常数
（ 1） τ的单位：秒（ s）。
（ 2） τ的物理意义：为零输入响应由任一数值开始，衰减到原来值的 1/e（约 36.8％）所需要的时间。 RL电路中的零输入响应衰减的快慢取决于 L和 R的大小。
【 例 7－ 4】 在图（ a）所示电路中,t = 0时开关 S由 1合至 2，此前电路处于稳态。试求 t ＞ 0时 iL和 uL。
解根据换路定律，确定电感元件电流的初始值为
AAIii LL 2.11012)0()0( 0
换路后的等效电路如图（ b）所示，图中
51021R
电路的时间常数为 s
5
1
R
L?
可得电感元件得电流和电压
0 6
0 2.1
5
0
5
0
tVeeRIu
tAeeIi
t
t
L
t
t
L
三、零输入响应的一般形式一阶电路的零输入响应具有共同的形式，即：
结论：
1.一阶电路的零输入响应总是由初始值开始按指数规律衰减，直至为零。
2.零输入响应衰减的速率取决于电路的时间常数 τ。电路的时间常数取决于电路结构和元件参数。
3.零输入响应取决于电路初始状态、电路结构和元件参数值。
0 )0()( teftf t?
f(0+)：响应变量的初始值； τ,电路的时间常数第三节 一阶电路的零状态响应一,RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响应
1.物理过程分析
RC串联电路与直流电压源接通后，电路中所发生的电磁过程就是电容元件的充电过程。
从 能量 观点来看，电容元件的充电过程就是其电场能量不断积累的过程。
换路后初瞬：电容元件中的电场能量为零；
充电过程中：电容元件不断地从电源吸取能量，并把它转变为电场能量，储存于自身之中；
充电结束时：电容元件所储存的电场能量为 (CUS2)/2。
充电过程中电源提供的能量电场能量,储存于电容元件热能,被电阻吸收、耗散
2.暂态过程的数学分析根据换路定律，有：
0)0()0( CC uu
根据 KVL，得
SCR uuu
由元件的伏安关系得出：
dt
duCiRiu C
R
RC电路的零状态响应整理得
SC
C Uu
dt
duRC
该一阶线性常系数非齐次微分方程 的通解由两个分量组成，一个分量是该方程的任一特解 '
Cu
,另一个分量是该方程对应的齐次微分方程的通解
Cu
，即
CCC uuu
非齐次微分方程所对应的齐次微分方程为
0 CC udtduRC
其通解为?tRCtst
C AeAeAeu
SCC Uuu )(非齐次微分方程式的一个特解为根据初始条件 uC(0＋ )可确定积分常数
SUA －?
0 )1( teUeUUu tStSSC
由此可求得电路中的其他响应
0
0
te
R
U
R
u
i
teUuUu
t
SR
t
SCSR
＝
RC电路零状态响应的变化曲线
(a)uR,uC的变化曲线 (b)i的变化曲线
0
0
0 )1(
te
R
U
R
u
i
teUuUu
teUeUUu
t
SR
t
SCSR
t
S
t
SSC
＝
解
（ 1）根据换路定律，确定电路的初始状态。
0)0()0( CC uu
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，
建立描述换路后的电路的微分方程。
Ciii 21
由 KVL得 SCR Uuu1
由元件得伏安关系得
【 例 7－ 5】 在图示电路中,US=12V,R1=12Ω,R2=6 Ω,C=0.5F，
uC(0－ )=0，试求 t＞ 0时的 uC,iC,i1,i2。
dt
duCiiRuuiRu C
CCRR 222111
SC
C Uu
R
RR
dt
duR
2
21
1 C
由以上式代入整理后，可得到一个以 uC为未知变量的一阶线性常系数非齐次微分方程，即由 KCL得
1036 CC udtdu
代入数据
（ 3 ） 求非齐次微分方程所对应得齐次微分方程的通解
Cu
。上述方程对应齐次微分方程 036
CC udt
du 的特征方程为 036S
其根为 21S
该齐次微分方程的通解为 2tst
C AeAeu
（ 4 ）求非齐次微分方程的特解 'Cu,从而得出非齐次微分方程的通解。
由t 时的电路，求出电路的稳态响应
VVURR Ruu SC 4 12126 6)()(
21
2
2
因为换路后电路相应的稳态响应就是非齐次微分方程的一个特解，
所以
Vuu CC 4)(
24
t
CCC Aeuuu
＋＝＝
04)0( Au C 4A
（ 5）根据电路的初始状态，确定非齐次微分方程通解中的积分常数，
从而求得非齐次微分方程的特解 uC。
0 )1(4 2 tVeu tC ＝
（ 6）由已求得的电路变量求出其他电路变量。
0
0 )1(
3
2
0 )
3
1
3
2
(
12
48
2
2
2
2
2
2
1
1
tAe
dt
du
Ci
tAe
R
u
i
tAeA
e
R
uU
i
t
C
C
t
C
t
t
CS
∵
二,RL电路的零状态响应
RL电路的零状态响应
1.物理过程分析
从 能量 观点来看,RL串联电路接通直流电压源的过渡过程，就是电感元件中的磁场能量不断积累的过程。
换路 前,电感元件中的储能为零；
换路 后,电感元件不断地从电源吸取电能，并把它转变为磁场能量，储存于自身之中。过渡过程结束时，电感元件所储存的磁场能量为 L(US / R)2/2。
在整个过渡过程中，电源不断地向其外部电路提供能量，电源所提供的能量一部分转换为磁场能量，储存于电感元件的磁场中，
另一部分则被电阻转变为热能而耗散掉。
2.暂态过程的数学分析根据换路定律 0)0()0(
ii
根据 KVL，得
SLR Uuu1
由元件得伏安关系得出：
td
idLuiRu
LR 1
代入整理得
0 tUiRtd idL S
该 一阶线性常系数非齐次微分方程，其通解 等于它所对应得齐次微分方程得通解 ''i 与它的一个特解 'i 之和，即 iii
此非齐次微分方程所对应 齐次微分方程 0 iRtd idL 的通解为
tt
L
R
st AeAeAei
换路后的电路的相应的稳态响应就是非齐次微分方程式的特解
R
Uii S )(
0 tUiRtd idL S
t
S Ae
R
Uiii
R
UA S
因此，非齐次微分方程的特解为进而求得根据电路的初始条件 i(0+) = 0，可得
0 )1( teRUeRURUi
t
S
t
SS
0
dt
di
L
0 )1(Ri
L
teUu
teUu
t
S
t
SR
t
S Ae
R
Uiii
RL电路零状态响应的变化曲线
(a)uL,uR的变化曲线 (b)i的变化曲线
【 例 7－ 6】 图（ a）所示电路中,t = 0时开关闭合，开关闭合前电感元件中的电流为零，试求 t＞ 0时的 iL和 uL。
解 首先应用戴维南定理，将图（ a）所示电路等效变换为图（ b）所示电路。戴维南等效电路中
8 )10
2
1
3(
12 24
1010
10
R
VVU
电路的时间常数为
s 0 2 5.0s 8 2.0 RL?
0 12
0 )1(5.1)1(
U
40
40
tVe
td
id
Lu
tAee
R
i
tL
L
t
t
L
三、零状态响应的一般形式
0 )0()()( teftftf tSS?
式中：
（ 1） τ为电路的时间常数，它决定于电路结构和元件参数值。
（ 2） fS(t)为电路的稳态响应，在 t→∞ 时的响应。
（ 3） fS(0+)为电路的稳态响应的初始值，即 t =0+时稳态响应的值。
注意；只有在电路的稳态响应 fS(t)存在的情况下，才能直接应用上式来求解零状态响应。
第四节 一阶电路的全响应一、全响应的求解
求解一阶电路的全响应的方法与一阶电路的零状态响应的求解方法基本相同，区别仅在于初始条件不同。
1.时域分析法求解一阶电路全响应的具体步骤：
（ 1）根据换路定律，计算电容元件电压的初始值或电感元件电流的初始值，确定电路初始条件；
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，建立描述换路后的电路的微分方程；
（ 3）求非齐次微分方程所对应的齐次微分方程的通解；
（ 4）求非齐次微分方程的特解，从而求得非齐次微分方程的通解；
（ 5）由电路的初始条件，确定通解中的积分常数，从而求得非其齐次微分方程的特解－－待求响应变量；
（ 6）由已求出的响应变量求出其他响应变量。
2.举例说明全响应的求解方法图示电路中开关 S在 t = 0时闭合，开关闭合前电容元件已充电，其电压为 U0。试求 t＞ 0时的电压 uC。
根据换路定律，求得电容元件电压的初始值
0U)0()0( CC uu
SC
C Uu
dt
duRC
根据 KVL和元件的伏安关系，建立以电容元件电压 uC作为未知变量的微分方程此方程所对应的齐次微分方程的通解为
t
C Aeu
＝'' （ τ=RC，时间常数）
上述非齐次微分方程的一个特解为
SC Uuu )(C'
通解为?t
SCCC AeUuuu
＋＝＝ '''
0UAU S S
UUA 0
由电路的初始条件 uC(0+)=U0得
0 )( 0 teUUUu tSSC?＋＝
t
SCCC AeUuuu
＋＝＝ '''
RC电路全响应的变化曲线二、全响应的分解
1.全响应可分解为零输入响应和零状态响应的叠加,即全响应＝零输入响应＋零状态响应
零状态响应零输入响应全响应
t
SS
t
eftfeftf
)0()()0()(
一阶线性定常电路的全响应可以表示为：
0?t
0 ) 1(0 teUeUu tStC ＋＝
0 )( 0 teUUUu tSSC?＋＝例如：
一阶线性定常电路的全响应分解为如下形式：
暂态分量稳态分量全响应
t
SS efftftf
)0()0()()(
0?t
2.全响应可分解为瞬时分量和稳态分量的叠加，即全响应＝稳态分量＋暂态分量
0 )( 0 teUUUu tSSC?＋＝例如：
第五节 一阶电路的三要素法一,三要素公式
0 )0()0()()( tefftftf tSS?
式中：
（ 1） f(t)为电路的响应变量，它可以是电路中任一支路电流，任意两节点间的电压；
（ 2） fS(t)为响应变量的稳态分量；
（ 3） fS(0+)为响应变量稳态分量的初始值；
（ 4） τ为电路的时间常数。
二、三要素的确定
1,时间常数? 的计算
（ 1 ） 计算换路后的电路中从储能元件两端向其外部电路看进去的戴维南等效电路或诺顿等效电路的等效电阻 R 。
（ 2 ） 应用 RC 串联电路或 RL 串联电路的时间常数的计算公式 RC 或
R
L
，计算出电路的时间常数? 。
2.稳态分量 fS(t)及其初始值 fS(0+)的计算
（ 1）画出换路后的稳定状态的等效电路。若换路后是一个直流稳态电路，则电路中电容元件相当于开路，电感元件相当于短路。若换路后是一个正弦稳态电路，则可用相量模型来表示该稳态电路。
（ 2）应用稳态电路的计算方法，计算稳态等效电路，求出待求响应变量的稳态分量 fS(t)。
（ 3）将 t =0+代入响应变量的稳态分量 fS(t)的函数式中，
求出稳态分量的初始值 fS(0+)。
三、三要素法的应用举例
【 例 7－ 7】 图（ a）所示电路换路前已达稳态,t =0时开关闭合，试求
t＞ 0时的电流 i。
解 （ 1）根据换路前的电路，计算换路前电容元件电压 uC，将 t=0-代入 uC的表达式，
从而确定 uC(0-)。换路前的稳态电路中电容元件相当于开路，换路前的稳态等效电路如图（ b）所示。由图（ b）电路可求得
VVu C 20 1020101 33
Vu C 20)0(
（ 2）根据换路定律
Vuu CC 20)0()0(
（ 3） 画出 t = 0+时刻的等效电路，如图（ c）
所示，应用计算电阻性电路的方法，计算出响应变量的初始值。由图（ c）电路可求得
mAA
Ai
5.0105.0
10)1010(
201010101)0(
3
3
33
（ 4） 画出换路后的稳态等效电路，应用稳态电路的分析方法，计算出响应变量的稳态分量；将 t =0+代入稳态分量的函数式，求得稳态分量的初始值。 t=∞时，电容元件相当于开路，此时的等效电路如图
（ d）所示。由图（ d）电路，可求得
mAA
Ati S
25.01025.0
101
10)201010(
1010)(
3
3
3
3
mAi S 25.0)0(
（ 5 ）画出求? 的等效电路，计算出从储能元件两端向其外部电路看进去的戴维南等效电阻 R,进而求得电路的时间常数 RC 或
R
L 。求? 的等效电路如图（ e ）所示，由图（ e ） 电路可求得从电容元件两端看出去的等效电阻
kkR 10201010 20)1010(
s1.010101010 63RC?
（ 6）将所求得三个要素的数值代入三要素公式，从而求得待求响应变量。
0 )75.025.0(
)25.05.0(25.0)0()0()(
tmAe
mAeeiitii
t
tt
SS
【 例 7 － 8 】 图（ a ）所示电路中,t =0 时开关 S 闭合，已知 )s i n (2 uS tUu,
设 R 和 L 为已知量，试求 t ＞ 0 时电路的电流 i 。
（ 1）根据换路前的电路计算电感元件的电流 iL，确定
t=0-时电感元件的电流 i (0-)。开关闭合前 i=0，所以
0)0(i
（ 2）根据换路定律，确定电感元件电流的初始值 i(0+)。
因为开关闭合时电感元件的电压不可能是无穷大，所以
0)0()0( ii
（ 3）画出换路后的稳态等效电路，应用稳态电路的分析方法，计算出响应变量的稳态分量；将 t=0+代入稳态分量的函数式中，求得稳态分量的初始值。本例中换路后的稳态电路是一个正弦稳态电路，可用相量模型表示，如图（ b）所示。稳态响应可按正弦稳态电路的计算方法来求解。
解电路的复阻抗为 ZLjRZ
式中
R
LLRZ a r c t a n222 ；
电源电压的相量为
uUU
稳态电流的相量为
)()(
uu
u
S IZ
U
Z
U
Z
UI
其中，稳态电流的有效值为
Z
UI?
稳态电流的函数式为 )s i n (2)( uS tIti
将 t=0+代入稳态电流的函数式，求得稳态电流得初始值为
)s i n (2)0( uS Ii
（ 4）计算换路后的电路的时间常数
R
L
（ 5）将所求得的三个要素的数值代入三要素公式，写出待求响应变量的表达式。电路电流的表达式为
0 )s i n (2)s i n (2
)0()0()(
teItI
eiitii
t
uu
t
SS
此时，电 流中没有暂态分量。电路没有过渡过程，开关闭合后立即进入稳定状态。
RL串联电路与正弦电压接通时，电路中电流的暂态分量的大小与开关闭合的时刻有关，即换路后电路的过渡过程与开关动作的时刻有关。
若开关闭合时，有u,则电流的暂态分量
0)s i n (2)( tut eIti
所以，电路中的电流等于其稳态分量，即
tItii S?s i n2)(
若开关闭合时，有?90 u,则电流的暂态分量
tt
ut eIeIti
2)s i n (2)(
电路中的电流为
02c o s2
2)90s i n (2)()(
tIetI
IetItitii
t
t
tS
若开关闭合时，,则合闸后电流的暂态分量最大；合闸后大约经过半个周期的时间，电路中电流的瞬时绝对值达到最大，其值接近于稳态电流幅值的 两倍 。
90 u
第六节 RLC串联电路的零输入响应以图示电路为例来说明二阶电路的分析方法及 RLC串联电路暂态过程的特性。
RLC串联电路的零输入响应开关 S在 t=0时打开，开关打开前电路达到稳态。
二阶电路,含有两个独立的储能元件的电路。
一、暂态过程的数学分析二、物理过程分析一、暂态过程的数学分析
（ 1）选择合适的电路变量作为直接求解变量，根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，建立描述电路的微分方程。
0 CRL uuu
由元件的伏安关系得出：
代入 KVL方程，整理后得通常以电容元件电压 uC或电感元件电流 iL作为直接求解的变量，这里选择 uC作为直接求解变量。在图示参考方向下，根据 KVL可得
LR
C
CL
L
L
iRu
td
ud
Cii
td
id
Lu
0
2
CCC utd udRCtd udLC
根据换路前的电路，求出换路前电容元件的电压和电感元件的电流，确定 t=0-时电容元件的电压和电感元件的电流分别为
0
0
)0( UURR Ru SC
0)0(Li
根据换路定律，确定电容元件电压和电感元件电流的初始值为：
0)0()0( Uuu CC 0)0()0( LL ii
（ 2）根据换路定律，确定电路的初始条件。
该微分方程的特征方程为特征根为
LCL
R
L
R
S
LCL
R
L
R
S
1
22
1
22
2
2
2
1
012 R C SL C S
（ 3）求齐次微分方程的通解。
二阶线性常系数齐次微分方程求其通解的过程如下：
0
2
CCC utdudRCtd udLC
L
Ra
2?
阻尼系数：
LC
1
0
谐振角频,
2
0
2
2
2
0
2
1
aaS
aaS
根据特征根的不同情形写出齐次微分方程的 通解,
1 ）当
0a
，即
C
L
R 2?
时，称为 过阻尼 。 S 1 和 S 2 为两个不相等的负实数，微分方程的通解为 tStS
C eAeAu
21
21
2 ）当
0a
，即
C
L
R 2?
时，称为 临界阻尼 。 S 1,S 2 为两个相等的负实数，即
aSS 21
，这种情况下微分方程的通解为
at
C etAAu
)(
21
L
Ra
2?
阻尼系数：
LC
1
0
谐振角频：
2
0
2
2
2
0
2
1
aaS
aaS
3 ）当
0a
，即
C
L
R 2?
时，称为 欠阻尼 。 S
1
,S
2
为一对共轭复数，
即
dd jaSjaS 11,； （式中
22
0 ad
,自由谐振角频率 )
这种情况下微分方程的通解为
tStS
C
eAeAu 21
21
也可写成
teAteAu datdatC s i nc o s 21
或
)s i n ( tAeu datC
（式中
a
d
a r c t a n?
）
4 ）当
0?a
及 R=0 时，称为 无阻尼 或 无损耗 。 S
1
,S
2
为模相等的两个虚数，即
0201, jSjS
。 这种情况下微分方程的通解为
)s i n ( 0 tAu C
（ 4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，
从而求出微分方程的特解－－待求响应变量，再由此响应求出其他响应变量。
1） 过阻尼 情况
∵ 0)0( Uu C
0)0(Li
tStSC eAeAu 21 21
0
21
1
2
0
21
2
1
U
SS
S
A
U
SS
S
A
tStSC eAeAu 21 21
0)0()0(
)0(
2211
0
021
ACSACS
dt
du
Cii
UAAu
t
C
CL
0)( 21
21
12
12
0
21
1
0
21
2
0
teSeS
SS
U
e
SS
S
Ue
SS
S
Uu
tStS
tStS
C
①
②
③
Li tStSC
C eeSSL
U
td
ud
Ci 21(
)( 12
0?
)
0?t
)( 21 21
12
0 tStSL
L eSeSSS
U
td
id
Lu?
0?t
)(
)(
21
12
0 tStS
LR eeSSL
RU
iRu?
0?t
过阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形
④
2） 临界阻尼 情况
∵
0)0( Uu C
0)0(Li
atC etAAu )( 21
02
01
aUA
UA
atC etAAu )( 21
0)0()0(
)0(
21
0
01
AaA
td
ud
Cii
UAu
t
C
CL
C
0
0 )1(
0
0
0
0
tteU
L
R
iRu
teatU
td
id
Lu
tte
L
U
td
ud
Cii
at
LR
atL
L
atC
CL
0 )1(0 teatUu atC
①
② ③
④
3） 欠阻尼 情况
∵ 0)0( Uu C
0)0(Li
)s i n ( tAeu datC
a
UA
d
d
a r c t a n
0
0
)s i n ( tAeu datC
0c o ss i n)0(
s i n)0( 0
dL
C
AaAi
UAu
0 )s i n(00 tteUu dat
d
C
0 )s i n (
0 s i n
0 s i n
0
0
0
0
tteU
td
id
Lu
tte
L
RU
iRu
tte
L
U
td
ud
Cii
d
at
d
L
L
d
at
d
LR
d
at
d
C
CL
①
② ③
④
4） 无损耗 情况
∵ 0)0( Uu C
0)0(Li
)s i n ( 0 tAu C)s i n ( 0 tAu C
0c o s
s i n
0
0
AC
UA
90
0
UA
0 0
0 )90s i n (
0 s i n
00
0
0
0
tiRu
ttU
td
id
Lu
tt
L
U
td
ud
Cii
LR
L
L
C
CL
0 )90s i n ( 00 ttUu C
① ②
③
④
二、物理过程分析
1.过阻尼 情况过阻尼情况下的能量转换过程 过阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形过阻尼情况下：
电容元件始终处于放电状态。
放电过程中电容元件上的电压和电路中的电流大小变化而方向不变，它们的变化是非周期性的。
过渡过程中电容元件与电感元件之间的能量传递是单向的而不是往返的周期性的互换。
非周期放电过程非振荡放电过程或
2.临界阻尼 情况过阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形临界阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形
波形图,临界阻尼 与 过阻尼 情况下 uC,uL,uR和 iL的波形相似。
物理过程,临界阻尼 与 过阻尼 电路中所发生的物理过程也类似。
临界阻尼情况下，电路中的过渡过程仍是非周期性的，非振荡的。
临界的非振荡放电过程
3.欠阻尼 情况欠阻尼情况下的能量转换过程图 （ a）所示
10 tt 期间,0?Cu,0 CL ii,0?Lu 。
图 （ b）所示
21 ttt 期间,0?Cu,0?Lu,0 CL ii 。
图 （ c）所示
32 ttt 期间,0?Cu,0?Lu,0 CL ii 。
欠阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形
4.无损耗 情况无损耗 情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形 0 0
0 )90s i n (
0 s i n
0 )90s i n (
00
0
0
0
00
tiRu
ttU
td
id
Lu
tt
L
U
td
ud
Cii
ttUu
LR
L
L
C
CL
C
无损耗情况下：
uC,uL和 iL的为幅值恒定的正弦量。
电容元件与电感元件之间永不停息地进行着往返的周期性的能量互换。
无阻尼振荡过程或等幅振荡过程第七章小结
1.换路定律换路定律的内容：若换路瞬间电容元件的电流为有限值，则电容元件的电压在换路瞬间不可能发生跃变；若换路瞬间电感元件的电压为有限值，则电感元件的电流在换路瞬间不可能发生跃变。
换路定律的数学表达式为：
2.初始值的计算
（ 1）由换路前的电路计算出电容元件 uC的电压和电感元件 iL的电流，
确定它们在 t=0-时的值 uC(0-)和 iL(0-) ；
（ 2）根据换路定律，确定电容元件电压和电感元件电流的初始值 uC(0+)
和 iL(0+) ；
（ 3）画出换路后初始瞬间（即 t=0+时刻）的等效电路，在等效电路中，
原电路中的电容元件用一个电压为 uC(0+) 的电压源替代，电感元件用电流为 iL(0+) 的电流源替代。
（ 4）采用计算电阻性电路的方法，计算换路后初始瞬间的等效电路，
求出所需要的电路变量的初始值。
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
3.时间常数时间常数 τ就是按衰减型指数函数 衰减的物理量。从其任一数值开始，衰减到原来值的 1/e（约 36.8％）所需要的时间。时间常数 τ越小,衰减越快。
一阶 RC电路的时间常数 τ=RC；一阶 RL电路的时间常数 τ=L/R。对于只含有一个储能元件的电路或经等效变换能够变换为只有一个储能元件的电路，计算时间常数的方法如下：
（ 1）计算从储能元件两端向其外部电路看进去的戴维南等效电阻 R；
（ 2）应用 RC电路的时间常数计算公式 τ=RC 或 RL电路的时间常数的计算公式 τ=L/R，计算出时间常数 τ。
teA?
teA?
电路达到稳定状态时的响应称为电路的稳态响应。不能够达到稳定状态的电路不存在稳态响应。稳态响应的计算方法如下：
（ 1）画出换路后的稳态等效电路；
（ 2）应用稳态电路的计算方法，如直流稳态、正弦稳态电路的计算方法，计算换路后的稳态等效电路，求得待求的稳态响应。
4.电路的稳态响应
5.用经典法分析动态电路过渡过程的一般步骤
（ 1）根据换路定律，确定电路的初始条件；
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安特性，建立描述换路后的电路的微分方程；
（ 3）求解微分方程，求出微分方程的通解；
（ 4）根据电路的初始条件，确定通解中的积分常数，从而求得微分方程的特解，即求得电路的响应；
（ 5）由直接求解的电路响应求得其他待求响应。
全响应＝零输入响应＋零状态响应全响应＝暂态分量＋稳态分量
6.一阶电路全响应的分解
7.一阶电路的三要素法三要素公式：
式中 f(t)为待求变量； fS(t)为待求变量的稳态分量； f(0+)为待求变量的初始值； fS(0+)为待求变量稳态分量的初始值； τ为电路的时间常数。
三要素法：
求出响应变量的三要素 fS(t),f(0+) 和 τ，根据三要素公式直接写出响应变量。
0 )0()0()()( tefftftf tSS?
用经典法分析二阶电路过渡过程的一般步骤与分析一阶电路的一般步骤相同。二阶线性定常 RLC电路过渡过程可分为四种情况：过阻尼情况（非振荡情况），临界阻尼情况（临界非振荡情况），欠阻尼情况（衰减振荡情况）和无损耗情况（无阻尼振荡或等幅振荡）。
RLC串联电路零输入情况下的过渡过程：
8.二阶 RLC电路
（ 1） 时，为非振荡放电过程或过阻尼放电过程；
（ 2） 时，为 临界 非振荡放电过程或 临界 阻尼放电过程；
（ 3） 时，为衰减振荡放电过程或欠阻尼放电过程；
（ 4） R = 0时，为等幅振荡过程或无阻尼振荡过程。
C
LR 2?
C
LR 2?
C
LR 2?
：仅含有电阻性元件（包括独立电源和受控电源）的电路。
1.选择合适的电路变量，根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，
建立描述电路的微分方程；
2.求解微分方程，从而求得有关电路变量；
3.再根据这些电路变量求解其他待求变量电路电阻性电路动态电路,含有动态元件（即储能元件）
的电路。
分析动态电路的方法代数方程微分方程
时域分析法,以时间作为自变量来分析电路的方法。
第一节 换路定律与初始值的计算
1.稳态,电路在直流或周期性电源作用下，所产生的各支路电压和电流都是直流或都是幅值恒定的周期性的电压或电流，则电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。
2.过渡过程,电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程。
3.暂态,电路在过渡过程中的工作状态称为暂态。
电路的过渡过程一、过渡过程的概念
4.电路中产生过渡过程的 必要条件,
（ 1）电路结构或电路元件参数值发生变化；
（ 2）电路中存在储能元件。
电路的过渡过程
5.研究过渡过程的 目的,
（ 1）便于利用过渡过程的特性，以实现某种技术利用；
（ 2）便于采取措施，防止因过渡过程的出现而产生的危害。
二、换路定律
1.换路,电路结构 和 元件参数值 的突然改变。
电路的接通、断开、短路及电路连接方式的变更电路中 R,L,C元件的电阻、电感、电容及电压源的电压、电流源的电流（对于交流电源来说是指电压或电流的幅值）发生变化
2.换路定律,当电容元件中的电流在换路瞬间为有限值时，
电容元件的电压在换路瞬间不会发生跃变；当电感元件的电压在换路瞬间为有限值时，电感元件中的电流在换路瞬间不会发生跃变。
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
初始值,电路变量在 t = 0+ 时刻的值。
三,初始值的计算
电容元件的初始状态：电容元件的电压或电荷的初始值；
电感元件的初始状态：电感元件的电流或磁链的初始值。
电路的初始状态：电路中所有独立储能元件的初始状态的全体。
）（态 1
【 例 7－ 1】 图（ a）所示电路在开关 S打开之前处于稳定状态。在 t＝ 0时，
将开关 S打开。试求电路中的电流、电容元件的电压和电阻元件的电压的初始值。
Cu = )0(?Cu ＝ 21 2 RR R? U S ＝ 24 2? × 12 V ＝ 4 V
解 选定有关参考方向如图（ a）所示。
（ 1） 由已知条件可知：
（ 2） 由换路定律可知：
u C (0 + ) = u C (0 - ) = 4V
u R1 (0 + ) ＝ u S (0 + ) － u C (0 + ) ＝ ( 12 － 4) V ＝ 8 V
i (0 + ) ＝
1
1 )0(Ru R? ＝ 48 A ＝ 2 A
（ 3） 求其它各电流、电压的初始值。画出 t =0+时刻的等效电路,如图（ b）所示。由于 uC(0+)=4V，
所以在等效电路中电容相当于电压源 。故有
【 例 7－ 2】 图（ a）所示电路中,US=12V,R1＝ 2Ω,R2＝ 4Ω,R3＝ 6Ω,
在 t＝ 0时打开开关 S，设开关打开前电路已处于稳态。试求 iL(0+),iC(0+),
u2 (0+),uL (0+),uC(0+) 。
解 （ 1）计算换路前的 uC(0－ ),iL(0－ )，图（ a）换路前的等效电路为图（ b），有
VViR
AA
RR
u
Lc
s
8 24)0(u
2
42
12)0(i
2
21
L
（ 2）由换路定律可知：
Vuu
Aii
C
LL
8)0()0(
2)0()0(
（ 3）求其它各电流、电压的初始值。画出 t=0+时刻的等效电路，如图（ c）所示。可求得
VV
uuiRu
Aii
VVRiu
CCL
LC
L
12 88)2(6
)0()0()0()0(
2)0()0(
8 42)0()0(
23
22
初始值的计算步骤
（ 1）由换路前的电路计算出电容元件的电压 uC和电感元件的电流 iL，确定它们在 t＝ 0－ 时的值 uC (0－ )和 iL (0－ ) 。
（ 2）根据换路定律，确定电容元件和电感元件电流的初始值 uC (0＋ )和 iL (0＋ ) 。
（ 3）画出换路后初始瞬间（即 t＝ 0＋ 时刻）的等效电路。在等效电路中，原电路中的电容元件用一个电压为 uC (0＋ ) 的电压源替代，电感元件用电流为 iL (0＋ ) 的电流源替代。
（ 4）采用计算电阻性电路的方法，计算换路后初始瞬间的等效电路，秋初所要求的电路变量的初始值。
第二节 一阶电路的零输入响应
响应,电路中所产生的电压,电流等信号 。
激励,能够在电路中产生相应的信号 。
零输入响应,输入信号为零,仅由初始状态产生的响应 。
零状态响应,电路的初始状态为零,仅由输入信号产生的响应 。
全响应,由输入信号和初始状态共同作用而产生的响应 。
一,RC电路的零输入响应
（ 1） 换路前,开关合于位置 1，电路处于稳态，电容元件已充电，其电压为 U
0（ U0=US）。开关合至位置 2的最初瞬间，由于电路中的电流不是不穷大，电容元件的电压不能跃变，电容元件中的电压仍保持为 U
0，即 uC (0＋ )=U
0 。
（ 2） 换路后,电路脱离电源,电容元件两极上的正负电荷不断的地中和，
直至电容元件两极上的电荷全部中和，
电路中电压均为零时，电路暂态过程告以结束，电路进入稳态。
换路后电路所经历的物理过程，实际上就是电容元件的放电过程。
(a) RC串联电路的短路
(b) 换路后的动态电路
1.物理过程分析
2.暂态过程的数学分析换路后的电路如图（ b）所示。在图示参考方向下，根据 KVL，可得
0 CR uu
dt
duCi
iRu
C
R
由元件的伏安关系得出：
将上述伏安关系式代入 KVL方程，可得到一个以 uC为变量的电路方程：
0 CCC uudtduRC 0?t
(a) RC串联电路的短路
(b) 换路后的动态电路
0 CCC uudtduRC 0?t
特征方程为,RCS ＋ 1 ＝ 0
0 tAeAeu RCtstC
特征根为,
RCS 1
通解为：
由换路前的电路，得 uC(0-)=U0=US
根据换路定律，得：
0)0()0( Uuu CC
0)0( UuA C
再根据电路的初始条件，
确定通解中的积分常数一阶线性常系数齐次微分方程特解为 0
0
teUu RCt
C
0 0 teUu RC
t
C
由 uC可求出电路中的其他响应
0 0 teRUdtduCi RC
t
C
0 0 teURiu RCtR
RC电路零输入响应的变化曲线
(a)uC,uR的变化曲线 (b)i的变化曲线
时间常数,R和 C的乘积称为 RC电路时间常数，用 表示。 RC
（ 1 ）? 的单位为秒（ s ）。
（ 2 ）? 的大小取决于电路的结构和元件参数。
（ 3 ）? 的物理意义,时间常数? 就是按?
t
Ae? 这样的指数规律衰减的电路响应，
从其任一数值开始，衰减到原来值的 e/1 （约 36.8 ％） 所需要的时间。 的大小决定了指数函数?
t
Ae? 衰减的快慢。
3.时间常数
0
0
0
0
0
0
te
R
U
i
teUu
teUu
t
t
R
t
C
0
0
0
0
0
0
teUu
te
R
U
i
teUu
RC
t
R
RC
t
RC
t
C
从理论上讲，换路后的电路一般需要经过无限长的时间（t ）才能达到稳定状态。但是，由于指数函数?tAe? 开始衰减较快，往后逐渐减慢，实际上经过 4? ～ 5? 的时间，就可以认为电路达到了稳定状态。
RC电路零输入响应的变化曲线
(a)uC,uR的变化曲线 (b)i的变化曲线解法一：
（ 1）根据换路定律，确定电路的初始条件。根据换路前的电路，计算出电容元件电压在 t=0-时的值为
VVu C 3 12
2
2
13
2
2
1
)0(
开关 S打开时，根据换路定律，电容元件电压的初始值为
Vuu CC 3)0()0(
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，列写出描述换路后的电路的微分方程。
02 CC udtdu
【 例 7－ 3】 在图（ a）所示电路中，开关 S打开前电路已处于稳态，在 t = 0
时，将 S打开。试求 t＞ 0时的电压 uC和电流 i，并作出它们随时间变化的曲线。
（ 3）求微分方程的通解。该微分方程特征方程为
012S
特征根为
21S
微分方程的通解为 2tst
C AeAeu
（ 4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求得微分方程的特解（即待求电路响应）。
3)0(CuA
微分方程的特解为 0 3 22 tVeAeu ttC
（ 5）由求得的电路响应，求得其他响应。由 uC可求得电流
0 A 232 2 teui
t
C
解法二,
直接应用由前面分析得到的 RC电路零输入响应的计算公式进行计算。计算电路的初始条件
VVuu CC 3 1213 1)0()0(
根据初始条件，确定微分方程通解中的积分常数
3)0(CuA
将换路后的电路变换后的等效电路如图（ c）所示。
计算换路后的电路中的等效电阻
1 221R
计算电路的时间常数
s 2s 21 RC?
求得电容元件的电压由电容元件的电压，求得电路中电流
0 3 22 tVeAeu ttC
0 232 2 tVeui
t
C
(a) RL串联电路的短路二,RL电路的零输入响应
(b) 换路后的动态电路在开关 S刚闭合瞬间，因电流不是无穷大，电阻 R上的电压不是无穷大，电感元件的电压不可能是无穷大，因而电感元件的电流不会跃变，所以电流的初始值为：
0)0()0( Iii
从能量观点看，换路后电路的过渡过程就是电感元件中磁场能量不断释放的过程，
即电感元件的灭磁过程。
1.物理过程分析根据换路前电路，确定时电感元件中电流，即：
RR uIi SL 10)0(
根据换路定律，求电感元件中电流初始值，即：
0)0()0( Iii LL
对换路后的电路应用 KVL，求得
0 RL uu
2.暂态过程的数学分析
(a) RL串联电路的短路
(b) 换路后的动态电路根据元件的伏安关系可得
dt
diLu
iRu
L
L
LR
由元件伏安关系式代入 KVL方程，可以得到一个以 iL
为未知变量的电路方程，即
0 0 tiRdtdiL LL
该一阶线路线性常系数齐次微分方程的特征方程为
0 RLS
特征根为
LRS
该微分方程的通解为 0 tAei tLR
L
0)0( IiA
将电路的初始条件 i(0+)=I0代入上式，求得积分常数微分方程的特解 0
00
teIeIi ttLR
L?
由电感元件的电流 iL可求得电路中其它响应
0 00 teIeIi ttLRL?
0
0
0
0
teRIuu
teRIRiu
t
RL
t
LR
RL电路零输入响应的变化曲线
(a)uR,uL的变化曲线 (b)iL的变化曲线
RL电路的零输入响应都是按指数规律衰减。
RL电路中的电感 L与电阻 R的比值称为 RL电路的时间常数。
RL
3.时间常数
（ 1） τ的单位：秒（ s）。
（ 2） τ的物理意义：为零输入响应由任一数值开始，衰减到原来值的 1/e（约 36.8％）所需要的时间。 RL电路中的零输入响应衰减的快慢取决于 L和 R的大小。
【 例 7－ 4】 在图（ a）所示电路中,t = 0时开关 S由 1合至 2，此前电路处于稳态。试求 t ＞ 0时 iL和 uL。
解根据换路定律，确定电感元件电流的初始值为
AAIii LL 2.11012)0()0( 0
换路后的等效电路如图（ b）所示，图中
51021R
电路的时间常数为 s
5
1
R
L?
可得电感元件得电流和电压
0 6
0 2.1
5
0
5
0
tVeeRIu
tAeeIi
t
t
L
t
t
L
三、零输入响应的一般形式一阶电路的零输入响应具有共同的形式，即：
结论：
1.一阶电路的零输入响应总是由初始值开始按指数规律衰减，直至为零。
2.零输入响应衰减的速率取决于电路的时间常数 τ。电路的时间常数取决于电路结构和元件参数。
3.零输入响应取决于电路初始状态、电路结构和元件参数值。
0 )0()( teftf t?
f(0+)：响应变量的初始值； τ,电路的时间常数第三节 一阶电路的零状态响应一,RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响应
1.物理过程分析
RC串联电路与直流电压源接通后，电路中所发生的电磁过程就是电容元件的充电过程。
从 能量 观点来看，电容元件的充电过程就是其电场能量不断积累的过程。
换路后初瞬：电容元件中的电场能量为零；
充电过程中：电容元件不断地从电源吸取能量，并把它转变为电场能量，储存于自身之中；
充电结束时：电容元件所储存的电场能量为 (CUS2)/2。
充电过程中电源提供的能量电场能量,储存于电容元件热能,被电阻吸收、耗散
2.暂态过程的数学分析根据换路定律，有：
0)0()0( CC uu
根据 KVL，得
SCR uuu
由元件的伏安关系得出：
dt
duCiRiu C
R
RC电路的零状态响应整理得
SC
C Uu
dt
duRC
该一阶线性常系数非齐次微分方程 的通解由两个分量组成，一个分量是该方程的任一特解 '
Cu
,另一个分量是该方程对应的齐次微分方程的通解
Cu
，即
CCC uuu
非齐次微分方程所对应的齐次微分方程为
0 CC udtduRC
其通解为?tRCtst
C AeAeAeu
SCC Uuu )(非齐次微分方程式的一个特解为根据初始条件 uC(0＋ )可确定积分常数
SUA －?
0 )1( teUeUUu tStSSC
由此可求得电路中的其他响应
0
0
te
R
U
R
u
i
teUuUu
t
SR
t
SCSR
＝
RC电路零状态响应的变化曲线
(a)uR,uC的变化曲线 (b)i的变化曲线
0
0
0 )1(
te
R
U
R
u
i
teUuUu
teUeUUu
t
SR
t
SCSR
t
S
t
SSC
＝
解
（ 1）根据换路定律，确定电路的初始状态。
0)0()0( CC uu
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，
建立描述换路后的电路的微分方程。
Ciii 21
由 KVL得 SCR Uuu1
由元件得伏安关系得
【 例 7－ 5】 在图示电路中,US=12V,R1=12Ω,R2=6 Ω,C=0.5F，
uC(0－ )=0，试求 t＞ 0时的 uC,iC,i1,i2。
dt
duCiiRuuiRu C
CCRR 222111
SC
C Uu
R
RR
dt
duR
2
21
1 C
由以上式代入整理后，可得到一个以 uC为未知变量的一阶线性常系数非齐次微分方程，即由 KCL得
1036 CC udtdu
代入数据
（ 3 ） 求非齐次微分方程所对应得齐次微分方程的通解
Cu
。上述方程对应齐次微分方程 036
CC udt
du 的特征方程为 036S
其根为 21S
该齐次微分方程的通解为 2tst
C AeAeu
（ 4 ）求非齐次微分方程的特解 'Cu,从而得出非齐次微分方程的通解。
由t 时的电路，求出电路的稳态响应
VVURR Ruu SC 4 12126 6)()(
21
2
2
因为换路后电路相应的稳态响应就是非齐次微分方程的一个特解，
所以
Vuu CC 4)(
24
t
CCC Aeuuu
＋＝＝
04)0( Au C 4A
（ 5）根据电路的初始状态，确定非齐次微分方程通解中的积分常数，
从而求得非齐次微分方程的特解 uC。
0 )1(4 2 tVeu tC ＝
（ 6）由已求得的电路变量求出其他电路变量。
0
0 )1(
3
2
0 )
3
1
3
2
(
12
48
2
2
2
2
2
2
1
1
tAe
dt
du
Ci
tAe
R
u
i
tAeA
e
R
uU
i
t
C
C
t
C
t
t
CS
∵
二,RL电路的零状态响应
RL电路的零状态响应
1.物理过程分析
从 能量 观点来看,RL串联电路接通直流电压源的过渡过程，就是电感元件中的磁场能量不断积累的过程。
换路 前,电感元件中的储能为零；
换路 后,电感元件不断地从电源吸取电能，并把它转变为磁场能量，储存于自身之中。过渡过程结束时，电感元件所储存的磁场能量为 L(US / R)2/2。
在整个过渡过程中，电源不断地向其外部电路提供能量，电源所提供的能量一部分转换为磁场能量，储存于电感元件的磁场中，
另一部分则被电阻转变为热能而耗散掉。
2.暂态过程的数学分析根据换路定律 0)0()0(
ii
根据 KVL，得
SLR Uuu1
由元件得伏安关系得出：
td
idLuiRu
LR 1
代入整理得
0 tUiRtd idL S
该 一阶线性常系数非齐次微分方程，其通解 等于它所对应得齐次微分方程得通解 ''i 与它的一个特解 'i 之和，即 iii
此非齐次微分方程所对应 齐次微分方程 0 iRtd idL 的通解为
tt
L
R
st AeAeAei
换路后的电路的相应的稳态响应就是非齐次微分方程式的特解
R
Uii S )(
0 tUiRtd idL S
t
S Ae
R
Uiii
R
UA S
因此，非齐次微分方程的特解为进而求得根据电路的初始条件 i(0+) = 0，可得
0 )1( teRUeRURUi
t
S
t
SS
0
dt
di
L
0 )1(Ri
L
teUu
teUu
t
S
t
SR
t
S Ae
R
Uiii
RL电路零状态响应的变化曲线
(a)uL,uR的变化曲线 (b)i的变化曲线
【 例 7－ 6】 图（ a）所示电路中,t = 0时开关闭合，开关闭合前电感元件中的电流为零，试求 t＞ 0时的 iL和 uL。
解 首先应用戴维南定理，将图（ a）所示电路等效变换为图（ b）所示电路。戴维南等效电路中
8 )10
2
1
3(
12 24
1010
10
R
VVU
电路的时间常数为
s 0 2 5.0s 8 2.0 RL?
0 12
0 )1(5.1)1(
U
40
40
tVe
td
id
Lu
tAee
R
i
tL
L
t
t
L
三、零状态响应的一般形式
0 )0()()( teftftf tSS?
式中：
（ 1） τ为电路的时间常数，它决定于电路结构和元件参数值。
（ 2） fS(t)为电路的稳态响应，在 t→∞ 时的响应。
（ 3） fS(0+)为电路的稳态响应的初始值，即 t =0+时稳态响应的值。
注意；只有在电路的稳态响应 fS(t)存在的情况下，才能直接应用上式来求解零状态响应。
第四节 一阶电路的全响应一、全响应的求解
求解一阶电路的全响应的方法与一阶电路的零状态响应的求解方法基本相同，区别仅在于初始条件不同。
1.时域分析法求解一阶电路全响应的具体步骤：
（ 1）根据换路定律，计算电容元件电压的初始值或电感元件电流的初始值，确定电路初始条件；
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，建立描述换路后的电路的微分方程；
（ 3）求非齐次微分方程所对应的齐次微分方程的通解；
（ 4）求非齐次微分方程的特解，从而求得非齐次微分方程的通解；
（ 5）由电路的初始条件，确定通解中的积分常数，从而求得非其齐次微分方程的特解－－待求响应变量；
（ 6）由已求出的响应变量求出其他响应变量。
2.举例说明全响应的求解方法图示电路中开关 S在 t = 0时闭合，开关闭合前电容元件已充电，其电压为 U0。试求 t＞ 0时的电压 uC。
根据换路定律，求得电容元件电压的初始值
0U)0()0( CC uu
SC
C Uu
dt
duRC
根据 KVL和元件的伏安关系，建立以电容元件电压 uC作为未知变量的微分方程此方程所对应的齐次微分方程的通解为
t
C Aeu
＝'' （ τ=RC，时间常数）
上述非齐次微分方程的一个特解为
SC Uuu )(C'
通解为?t
SCCC AeUuuu
＋＝＝ '''
0UAU S S
UUA 0
由电路的初始条件 uC(0+)=U0得
0 )( 0 teUUUu tSSC?＋＝
t
SCCC AeUuuu
＋＝＝ '''
RC电路全响应的变化曲线二、全响应的分解
1.全响应可分解为零输入响应和零状态响应的叠加,即全响应＝零输入响应＋零状态响应
零状态响应零输入响应全响应
t
SS
t
eftfeftf
)0()()0()(
一阶线性定常电路的全响应可以表示为：
0?t
0 ) 1(0 teUeUu tStC ＋＝
0 )( 0 teUUUu tSSC?＋＝例如：
一阶线性定常电路的全响应分解为如下形式：
暂态分量稳态分量全响应
t
SS efftftf
)0()0()()(
0?t
2.全响应可分解为瞬时分量和稳态分量的叠加，即全响应＝稳态分量＋暂态分量
0 )( 0 teUUUu tSSC?＋＝例如：
第五节 一阶电路的三要素法一,三要素公式
0 )0()0()()( tefftftf tSS?
式中：
（ 1） f(t)为电路的响应变量，它可以是电路中任一支路电流，任意两节点间的电压；
（ 2） fS(t)为响应变量的稳态分量；
（ 3） fS(0+)为响应变量稳态分量的初始值；
（ 4） τ为电路的时间常数。
二、三要素的确定
1,时间常数? 的计算
（ 1 ） 计算换路后的电路中从储能元件两端向其外部电路看进去的戴维南等效电路或诺顿等效电路的等效电阻 R 。
（ 2 ） 应用 RC 串联电路或 RL 串联电路的时间常数的计算公式 RC 或
R
L
，计算出电路的时间常数? 。
2.稳态分量 fS(t)及其初始值 fS(0+)的计算
（ 1）画出换路后的稳定状态的等效电路。若换路后是一个直流稳态电路，则电路中电容元件相当于开路，电感元件相当于短路。若换路后是一个正弦稳态电路，则可用相量模型来表示该稳态电路。
（ 2）应用稳态电路的计算方法，计算稳态等效电路，求出待求响应变量的稳态分量 fS(t)。
（ 3）将 t =0+代入响应变量的稳态分量 fS(t)的函数式中，
求出稳态分量的初始值 fS(0+)。
三、三要素法的应用举例
【 例 7－ 7】 图（ a）所示电路换路前已达稳态,t =0时开关闭合，试求
t＞ 0时的电流 i。
解 （ 1）根据换路前的电路，计算换路前电容元件电压 uC，将 t=0-代入 uC的表达式，
从而确定 uC(0-)。换路前的稳态电路中电容元件相当于开路，换路前的稳态等效电路如图（ b）所示。由图（ b）电路可求得
VVu C 20 1020101 33
Vu C 20)0(
（ 2）根据换路定律
Vuu CC 20)0()0(
（ 3） 画出 t = 0+时刻的等效电路，如图（ c）
所示，应用计算电阻性电路的方法，计算出响应变量的初始值。由图（ c）电路可求得
mAA
Ai
5.0105.0
10)1010(
201010101)0(
3
3
33
（ 4） 画出换路后的稳态等效电路，应用稳态电路的分析方法，计算出响应变量的稳态分量；将 t =0+代入稳态分量的函数式，求得稳态分量的初始值。 t=∞时，电容元件相当于开路，此时的等效电路如图
（ d）所示。由图（ d）电路，可求得
mAA
Ati S
25.01025.0
101
10)201010(
1010)(
3
3
3
3
mAi S 25.0)0(
（ 5 ）画出求? 的等效电路，计算出从储能元件两端向其外部电路看进去的戴维南等效电阻 R,进而求得电路的时间常数 RC 或
R
L 。求? 的等效电路如图（ e ）所示，由图（ e ） 电路可求得从电容元件两端看出去的等效电阻
kkR 10201010 20)1010(
s1.010101010 63RC?
（ 6）将所求得三个要素的数值代入三要素公式，从而求得待求响应变量。
0 )75.025.0(
)25.05.0(25.0)0()0()(
tmAe
mAeeiitii
t
tt
SS
【 例 7 － 8 】 图（ a ）所示电路中,t =0 时开关 S 闭合，已知 )s i n (2 uS tUu,
设 R 和 L 为已知量，试求 t ＞ 0 时电路的电流 i 。
（ 1）根据换路前的电路计算电感元件的电流 iL，确定
t=0-时电感元件的电流 i (0-)。开关闭合前 i=0，所以
0)0(i
（ 2）根据换路定律，确定电感元件电流的初始值 i(0+)。
因为开关闭合时电感元件的电压不可能是无穷大，所以
0)0()0( ii
（ 3）画出换路后的稳态等效电路，应用稳态电路的分析方法，计算出响应变量的稳态分量；将 t=0+代入稳态分量的函数式中，求得稳态分量的初始值。本例中换路后的稳态电路是一个正弦稳态电路，可用相量模型表示，如图（ b）所示。稳态响应可按正弦稳态电路的计算方法来求解。
解电路的复阻抗为 ZLjRZ
式中
R
LLRZ a r c t a n222 ；
电源电压的相量为
uUU
稳态电流的相量为
)()(
uu
u
S IZ
U
Z
U
Z
UI
其中，稳态电流的有效值为
Z
UI?
稳态电流的函数式为 )s i n (2)( uS tIti
将 t=0+代入稳态电流的函数式，求得稳态电流得初始值为
)s i n (2)0( uS Ii
（ 4）计算换路后的电路的时间常数
R
L
（ 5）将所求得的三个要素的数值代入三要素公式，写出待求响应变量的表达式。电路电流的表达式为
0 )s i n (2)s i n (2
)0()0()(
teItI
eiitii
t
uu
t
SS
此时，电 流中没有暂态分量。电路没有过渡过程，开关闭合后立即进入稳定状态。
RL串联电路与正弦电压接通时，电路中电流的暂态分量的大小与开关闭合的时刻有关，即换路后电路的过渡过程与开关动作的时刻有关。
若开关闭合时，有u,则电流的暂态分量
0)s i n (2)( tut eIti
所以，电路中的电流等于其稳态分量，即
tItii S?s i n2)(
若开关闭合时，有?90 u,则电流的暂态分量
tt
ut eIeIti
2)s i n (2)(
电路中的电流为
02c o s2
2)90s i n (2)()(
tIetI
IetItitii
t
t
tS
若开关闭合时，,则合闸后电流的暂态分量最大；合闸后大约经过半个周期的时间，电路中电流的瞬时绝对值达到最大，其值接近于稳态电流幅值的 两倍 。
90 u
第六节 RLC串联电路的零输入响应以图示电路为例来说明二阶电路的分析方法及 RLC串联电路暂态过程的特性。
RLC串联电路的零输入响应开关 S在 t=0时打开，开关打开前电路达到稳态。
二阶电路,含有两个独立的储能元件的电路。
一、暂态过程的数学分析二、物理过程分析一、暂态过程的数学分析
（ 1）选择合适的电路变量作为直接求解变量，根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，建立描述电路的微分方程。
0 CRL uuu
由元件的伏安关系得出：
代入 KVL方程，整理后得通常以电容元件电压 uC或电感元件电流 iL作为直接求解的变量，这里选择 uC作为直接求解变量。在图示参考方向下，根据 KVL可得
LR
C
CL
L
L
iRu
td
ud
Cii
td
id
Lu
0
2
CCC utd udRCtd udLC
根据换路前的电路，求出换路前电容元件的电压和电感元件的电流，确定 t=0-时电容元件的电压和电感元件的电流分别为
0
0
)0( UURR Ru SC
0)0(Li
根据换路定律，确定电容元件电压和电感元件电流的初始值为：
0)0()0( Uuu CC 0)0()0( LL ii
（ 2）根据换路定律，确定电路的初始条件。
该微分方程的特征方程为特征根为
LCL
R
L
R
S
LCL
R
L
R
S
1
22
1
22
2
2
2
1
012 R C SL C S
（ 3）求齐次微分方程的通解。
二阶线性常系数齐次微分方程求其通解的过程如下：
0
2
CCC utdudRCtd udLC
L
Ra
2?
阻尼系数：
LC
1
0
谐振角频,
2
0
2
2
2
0
2
1
aaS
aaS
根据特征根的不同情形写出齐次微分方程的 通解,
1 ）当
0a
，即
C
L
R 2?
时，称为 过阻尼 。 S 1 和 S 2 为两个不相等的负实数，微分方程的通解为 tStS
C eAeAu
21
21
2 ）当
0a
，即
C
L
R 2?
时，称为 临界阻尼 。 S 1,S 2 为两个相等的负实数，即
aSS 21
，这种情况下微分方程的通解为
at
C etAAu
)(
21
L
Ra
2?
阻尼系数：
LC
1
0
谐振角频：
2
0
2
2
2
0
2
1
aaS
aaS
3 ）当
0a
，即
C
L
R 2?
时，称为 欠阻尼 。 S
1
,S
2
为一对共轭复数，
即
dd jaSjaS 11,； （式中
22
0 ad
,自由谐振角频率 )
这种情况下微分方程的通解为
tStS
C
eAeAu 21
21
也可写成
teAteAu datdatC s i nc o s 21
或
)s i n ( tAeu datC
（式中
a
d
a r c t a n?
）
4 ）当
0?a
及 R=0 时，称为 无阻尼 或 无损耗 。 S
1
,S
2
为模相等的两个虚数，即
0201, jSjS
。 这种情况下微分方程的通解为
)s i n ( 0 tAu C
（ 4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，
从而求出微分方程的特解－－待求响应变量，再由此响应求出其他响应变量。
1） 过阻尼 情况
∵ 0)0( Uu C
0)0(Li
tStSC eAeAu 21 21
0
21
1
2
0
21
2
1
U
SS
S
A
U
SS
S
A
tStSC eAeAu 21 21
0)0()0(
)0(
2211
0
021
ACSACS
dt
du
Cii
UAAu
t
C
CL
0)( 21
21
12
12
0
21
1
0
21
2
0
teSeS
SS
U
e
SS
S
Ue
SS
S
Uu
tStS
tStS
C
①
②
③
Li tStSC
C eeSSL
U
td
ud
Ci 21(
)( 12
0?
)
0?t
)( 21 21
12
0 tStSL
L eSeSSS
U
td
id
Lu?
0?t
)(
)(
21
12
0 tStS
LR eeSSL
RU
iRu?
0?t
过阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形
④
2） 临界阻尼 情况
∵
0)0( Uu C
0)0(Li
atC etAAu )( 21
02
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①
② ③
④
3） 欠阻尼 情况
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①
② ③
④
4） 无损耗 情况
∵ 0)0( Uu C
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① ②
③
④
二、物理过程分析
1.过阻尼 情况过阻尼情况下的能量转换过程 过阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形过阻尼情况下：
电容元件始终处于放电状态。
放电过程中电容元件上的电压和电路中的电流大小变化而方向不变，它们的变化是非周期性的。
过渡过程中电容元件与电感元件之间的能量传递是单向的而不是往返的周期性的互换。
非周期放电过程非振荡放电过程或
2.临界阻尼 情况过阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形临界阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形
波形图,临界阻尼 与 过阻尼 情况下 uC,uL,uR和 iL的波形相似。
物理过程,临界阻尼 与 过阻尼 电路中所发生的物理过程也类似。
临界阻尼情况下，电路中的过渡过程仍是非周期性的，非振荡的。
临界的非振荡放电过程
3.欠阻尼 情况欠阻尼情况下的能量转换过程图 （ a）所示
10 tt 期间,0?Cu,0 CL ii,0?Lu 。
图 （ b）所示
21 ttt 期间,0?Cu,0?Lu,0 CL ii 。
图 （ c）所示
32 ttt 期间,0?Cu,0?Lu,0 CL ii 。
欠阻尼情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形
4.无损耗 情况无损耗 情况下的 uC,uL,uR和 iL的波形 0 0
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L
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无损耗情况下：
uC,uL和 iL的为幅值恒定的正弦量。
电容元件与电感元件之间永不停息地进行着往返的周期性的能量互换。
无阻尼振荡过程或等幅振荡过程第七章小结
1.换路定律换路定律的内容：若换路瞬间电容元件的电流为有限值，则电容元件的电压在换路瞬间不可能发生跃变；若换路瞬间电感元件的电压为有限值，则电感元件的电流在换路瞬间不可能发生跃变。
换路定律的数学表达式为：
2.初始值的计算
（ 1）由换路前的电路计算出电容元件 uC的电压和电感元件 iL的电流，
确定它们在 t=0-时的值 uC(0-)和 iL(0-) ；
（ 2）根据换路定律，确定电容元件电压和电感元件电流的初始值 uC(0+)
和 iL(0+) ；
（ 3）画出换路后初始瞬间（即 t=0+时刻）的等效电路，在等效电路中，
原电路中的电容元件用一个电压为 uC(0+) 的电压源替代，电感元件用电流为 iL(0+) 的电流源替代。
（ 4）采用计算电阻性电路的方法，计算换路后初始瞬间的等效电路，
求出所需要的电路变量的初始值。
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LL
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ii
uu
3.时间常数时间常数 τ就是按衰减型指数函数 衰减的物理量。从其任一数值开始，衰减到原来值的 1/e（约 36.8％）所需要的时间。时间常数 τ越小,衰减越快。
一阶 RC电路的时间常数 τ=RC；一阶 RL电路的时间常数 τ=L/R。对于只含有一个储能元件的电路或经等效变换能够变换为只有一个储能元件的电路，计算时间常数的方法如下：
（ 1）计算从储能元件两端向其外部电路看进去的戴维南等效电阻 R；
（ 2）应用 RC电路的时间常数计算公式 τ=RC 或 RL电路的时间常数的计算公式 τ=L/R，计算出时间常数 τ。
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电路达到稳定状态时的响应称为电路的稳态响应。不能够达到稳定状态的电路不存在稳态响应。稳态响应的计算方法如下：
（ 1）画出换路后的稳态等效电路；
（ 2）应用稳态电路的计算方法，如直流稳态、正弦稳态电路的计算方法，计算换路后的稳态等效电路，求得待求的稳态响应。
4.电路的稳态响应
5.用经典法分析动态电路过渡过程的一般步骤
（ 1）根据换路定律，确定电路的初始条件；
（ 2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安特性，建立描述换路后的电路的微分方程；
（ 3）求解微分方程，求出微分方程的通解；
（ 4）根据电路的初始条件，确定通解中的积分常数，从而求得微分方程的特解，即求得电路的响应；
（ 5）由直接求解的电路响应求得其他待求响应。
全响应＝零输入响应＋零状态响应全响应＝暂态分量＋稳态分量
6.一阶电路全响应的分解
7.一阶电路的三要素法三要素公式：
式中 f(t)为待求变量； fS(t)为待求变量的稳态分量； f(0+)为待求变量的初始值； fS(0+)为待求变量稳态分量的初始值； τ为电路的时间常数。
三要素法：
求出响应变量的三要素 fS(t),f(0+) 和 τ，根据三要素公式直接写出响应变量。
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用经典法分析二阶电路过渡过程的一般步骤与分析一阶电路的一般步骤相同。二阶线性定常 RLC电路过渡过程可分为四种情况：过阻尼情况（非振荡情况），临界阻尼情况（临界非振荡情况），欠阻尼情况（衰减振荡情况）和无损耗情况（无阻尼振荡或等幅振荡）。
RLC串联电路零输入情况下的过渡过程：
8.二阶 RLC电路
（ 1） 时，为非振荡放电过程或过阻尼放电过程；
（ 2） 时，为 临界 非振荡放电过程或 临界 阻尼放电过程；
（ 3） 时，为衰减振荡放电过程或欠阻尼放电过程；
（ 4） R = 0时，为等幅振荡过程或无阻尼振荡过程。
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C
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