第二章 电阻性电路的分析第一节 电路的等效变换第二节 电阻的串联和并联第三节 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换第四节 实际电源的两种模型及其等效变换第五节 支路电流法第六节 网孔电流法第七节 节点电压法第八节 叠加定理第九节 戴维南定理和诺顿定理第二章小结线性网络的分析方法
网络方程法,通过选择适当的未知变量，根据基尔霍夫定律和电路元件的特性，建立一组独立的网络方程，求解该组方程，从而求得所需要的支路电流、支路电压或其他变量。
等效变换法,应用网络定理和网络等效变换的概念，将网络的结构进行适当的变换，使之得以简化，从而较方便地求得待求变量。
电阻性电路,由电阻元件和电源元件组成的电路。
线性网络,是指由线性元件和独立电源组成的网路。
线性电阻性电路,仅含有线性电阻元件、线性受控源和独立电源的电路。
第一节 电路的等效变换一、等效变换
等效变换,如果用一个电路去替代另一个电路中的某一部分，替代后电路中未被替代部分的各支路电流和各节点之间的电压均保持不变的变换。
用 is与 R′并联电路
,等效,是对外部电路而言
us与 R串联电路二、等效网络
等效网络,对应外接端钮之间的电压与对应外接端钮上的电流之间的关系完全相同的两个网络。
结论,两个等效网络对于任一外电路来说都可以等效互换，而等效变换中相互替代的两个网络未必都是等效网络。
等效变换的充分条件：相互替代的两网络是等效网络。
第二节 电阻的串联和并联一、电阻的串联
串联,若干个电阻一个接一个地依次连接起来，构成一条电流通路的连接方式。
电阻串联电路的特点：
（ 1）电阻串联电路中各个电阻流过同一电流。
（ 2）电阻串联电路的总等于各电阻电压之和。
iiii n,,,21
nuuuu21
电阻串联电路的特点
（ 3）电阻串联电路的等效电阻等于各个串联电阻之和。
nRRRR21
（ 4）电阻串联电路中各电阻上的电压与其电阻值成正比。
),2,1k(,kkk nuRRiRu分压公式
（ 5）电阻串联电路中各电阻消耗的功率与其电阻值成正比。
P1,P2,…,Pn= R1,R2,…,Rn
二、电阻的并联
并联,若干个电阻的两端分别连接起来，构成一个具有二个节点和多条支路二端电路的连接方式。
电阻并联电路的特点：
（ 1）电阻并联电路中各电阻承受同一电压。
uuuu n21
（ 2）电阻并联电路的总电流等于各支路电流之和
niiii21
电阻并联电路的特点
（ 3）电阻并联电路的等效电阻的倒数等于各个并联电阻的倒数之和，即电阻并联电路的等效电导等于各个并联电导之和。
nRRRR
1111
21
nGGGG22n个电阻并联电路的等效电导为两个电阻并联电路的等效电阻为
21
21
RR
RRR
电阻并联电路的特点
（ 4）电阻并联电路中各个并联电阻中的电流与其电阻成反比（与其电导成正比）。
),2,1k( niGGuGi kkk分流公式两个电阻并联电路的分流公式
i
RR
R
i
G
G
i
i
RR
R
i
G
G
i
21
12
2
21
21
1
电阻并联电路的特点
（ 5）电阻并联电路中各电阻的功率与其电阻值成反比。
n
n
n GGGRRRPPP,::
1::1:1:::
21
21
21
三、电阻的混联
电阻的混联,电阻的连接中既有串联又有并联，又称为电阻的串、并联。
任一二端网络
（只含有电阻） 等效电阻等效变换混联电路计算
【 例 2－ 1】 有个表头（仪表测量机构），
其满刻度偏转电流为 50μA，内阻 R0为 3kΩ，
如右图所示。若用此表头制成量程为 100V的电压表，应串联多大的附加电阻。
解 满刻度时表头的电压为
VVIRU 15.0 1050103 6300
满刻度时附加电阻的电压为
VVUUU f 85.99 )15.0100(0
附加电阻为
k 1 99 7 109 97.11050 85.99 36IUR ff
混联电路计算
【 例 2－ 2】 用一个满刻度偏转电流为 1mA，内阻 R0为 300Ω的表头制成一个量程为 100mA和 300mA的双量程毫安表，其电路如图所示，试求分流电阻 Rf1和 Rf2 。
解 量程为 100mA时，即 I1=0,I2=100mA时，有
VVIRU ac 3.0 101300 300
03.3 10)1100( 3.0 3
02
21 II
URR aC
ff
量程为 300mA时，即 I2=0,I1=300mA时有
01.1
3 0 0
03.313 0 01
)()(
1
21000
1
10200
1 I
RRIRI
I
RIRRI
R fffff
02.2)01.103.3(2fR
混联电路计算
【 例 2－ 3】 计算下图所示电路的等效电阻。
解
2
63
63
1 2
2
1
67
12
R
R
2
)31(4
)31(4
3
6)42(
6)42(
ab
4 5 6 7
R
R
第三节 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换
电阻的星形（ Y形）连接,将三个电阻中各个电阻的一个端钮连接在一起来构成一个节点，而将它们另一端作为引出端钮的连接方式。
电阻的三角形（△形）连接,将三个电阻依次一个接一个地连接起来构成一个闭合回路，从三个连接点引出三个端线，以供与外电路连接的连接方式。
电阻的星形连接和三角形连接
Y─△ 等效变换
Y─△ 等效变换,Y形电路与△形电路的等效变换。
△ → Y
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
Y─△ 等效变换
Y→ △
2
13
13
2
133221
31
1
32
32
1
133221
23
3
21
21
3
123221
12
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
Y─△ 等效变换
YRRRR 321
RRRR 312312
RR Y 3
1 YRR 3或如果
【 例 2－ 4】 在图 (a) 所 示 电 路 中，已 知 Us=220V,R0=1Ω,R1=40Ω，
R2=36Ω,R3=50Ω,R4=55Ω,R5=10Ω，试求各电阻的电流。
解 将△形连接的电阻 R1,R3,R5等效变换为 Y形连接的电阻 Ra,Rc,Rd，变换后的等效电路如图（ b）所示。根据△ → Y变换式，求得：
5
405010
5010
4
405010
1040
20
405010
4050
135
35
135
51
135
13
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
d
c
a
在图（ b）中,Rc与 R2串联，串联电路等效电阻为
40 )364(22 RRR cc
Rd与 R4的串联等效电阻为
60 )555(44 RRR dd
Rc2与 Rd4并联的等效电阻为
24 6040 6040
42
42
dc
dc
ob RR
RRR
经串并联等效变换后，可得到图（ c）所示电路，该电路中电流为
AARRR UI
obao
S 5
24201
225?
由图（ b）所示电路求得电流
AAI
RR
R
I
AAI
RR
R
I
dc
c
dc
d
2 5
6040
40
3 5
6040
60
42
2
4
42
4
2
再回到图（ a）所示电路，由 KVL可得
VVIRIRU dc 2 )336255(2244
于是可得 R5的电流
AARUI dc 2.0 102
5
5
由 KCL得
AAIII
AAIII
2.2 )8.25(
8.2 )2.03(
13
521
第四节 实际电源的两种模型及其等效变换一、实际电源的数学模型
电源的伏安特性,实际电源的端电压 u与输出电流 i之间的关系，也称外特性。
可通过实验测得实际电源的伏安特性曲线
RIUU 0
KI
UR 0t a nt a n
R
U
R
UI 0
实际电源伏安特性方程
（实际电源的数学模型）
二、实际电源的电路模型
实际电源的电路模型,用以模拟实际电源的理想电路元件的组合体。
RIUU 0 RURUI 0
实际电源的电路模型
结论,
1.一个实际的直流电源，可以用一个电压源与电阻的串联组合来模拟，该电压源的电压等于实际电源的开路电压，此电阻的阻值等于实际电源的内阻。
2.一个实际的直流电源也可用一个电流源与电阻的并联组合来模拟，该电流源的电流等于实际电源的短路电流，此电阻的阻值等于实际电源的内阻。
三、两种实际电源模型的等效变换
RIUU s IRIRU s
等效条件
ss IRU
RR
两种实际电源模型的等效变换注意：
电压源电压的参考方向与电流源电流的参考方向之间的对应关系；
电流源电流的参考方向的流出端应与电压源电压的参考极性的正极相对应。
【 例 2－ 5】 利用等效变换法求图（ a）所示电路中的电流 I。已知 Us1=12V,Us2=36V,R1=2Ω,R2=3Ω，
R=6Ω。
解 先将电压源与电阻串联的支路变换为电流源与电阻并联的支路，变换后的电路如图（ b）所示，
其中
AA
R
U
I
AA
R
U
I
s
s
s
s
12
3
36
6
2
12
2
2
2
1
1
1
再将图（ b）中并联的两个电流源用一个等效电流源来替代，其值为
AAIII sss 18 )126(21
图（ b）中电阻 R1,R2并联，它们的等效电阻为
2.1 32 32
21
21
12 RR
RRR
简化后的电路如图（ c）所示。应用分流公式，求得支路电流 I为
AAIRR RI s 3 1862.1 2.1
12
12
第五节 支路电流法
网络方程法,通过建立电路方程、求解电路方程来求解电路的一种方法。
支路电流法网孔电流法节点电压法以网络中的各支路电流作为未知变量，
根据 KCL,KVL和元件的伏安关系建立电路方程，求解电路方程，求得各支路电流,若有必要，再求其他待求变量。
方程未知变量不同网络方程法应用支路电流法求解电路的方法对电路中的节点列出 KCL方程
0
0
321
321
iii
iii
只有一个是独立方程结论：
对于具有 n个节点的电路，其独立 KCL方程的数目为（ n－ 1）。
对具有 n个节点的电路中的任意（ n－ 1）个节点应用 KCL列写出来的 KCL方程都是彼此独立的。
独立节点,对应于独立 KCL方程的节点。
节点数为 n的电路的独立节点数等于（ n－ 1）。
应用支路电流法求解电路的方法对电路中的回路列 KVL方程
13311
23322
212211
s
s
ss
uiR iR
uiRiR
uuiRiR
其中任意两个方程彼此是独立的结论：
对具有 b条支路,n个节点的电路应用 KVL，能够且只能够列出 b-(n-1)
个独立的 KVL方程。
独立回路,与独立回路电压方程对应的回路。
具有 b条支路,n个节点的电路的独立回路数为 b-(n-1)
选取独立回路的方法
方法一,每选取一个新的回路，使此回路至少具有 一条新支路 （即未包含在已选回路中的支路）。
方法二,对于平面电路，选择 网孔 作为独立回路。
独立回路,与独立回路电压方程对应的回路。
支路电流法求解电路的方法步骤
（ 1）设出各支路电流，选定其参考方向并标于电路图中；
（ 2）对电路中（ n－ 1）个独立节点应用 KCL，列出节点电流方程；
（ 3）选取（ b－ n＋ 1）个独立回路，应用 KVL列出回路电压方程；
（ 4）联立求解上述 b个独立方程，求得各支路电流；
（ 5）根据计算的需要，由支路电流再求出其他待求变量。
平面电路：
b条支路
n个节点
m个网孔
【 例 2－ 6】 在图示电路中,US1=130V,R1=1Ω两者串联组合为直流发电机的模型； US2=117V,R2=0.6Ω两者串联组合为蓄电池组的模型；电阻负载 R3=24Ω。试求各支路电流和各元件的功率。
解 （ 1）以支路电流作为未知变量，设电路中的支路电流分别为 i1,i2,i3，选择其参考方向并标以电路图中。
（ 2）对电路中独立节点 a应用 KCL，
列写出节点电流方程
0321 iii
（ 3）选择网孔作为独立回路，选取回路绕行方向如图中所示。对网孔应用 KVL，列写出回路电压方程，并将电阻元件的电压用支路电流来表示，于是可得
1 1 7246.0
131 1 71 3 06.0
32
21
ii
ii
（ 4）联立求解上述方程，求得支路电流
117246.0
136.0
0
32
21
321
ii
ii
iii 解之，可得
Ai
Ai
Ai
5
5
10
3
2
1
（ 5）由支路电流求得各元件的功率。
电压源 US1发出的功率为 WWiuP SS 1300 10130111
电压源 US2发出的功率为 WWiuP SS 585 )5(117222
各电阻接受的功率为
WWiRP
WWiRP
WWiRP
600 524
15 )5(6.0
100 101
22
333
22
222
22
111
（ 6）用电路中功率平衡关系进行验算。
电路的功率平衡原理,在任一个独立的电路中，每一瞬间，各电源发出功率的总和等于各负载吸收功率的总和。
因为负载总功率为
W W PPPP S 1300600151005853212
故有
32121 PPPPP SS
含有电流源的电路应用支路电流法
方法一,增 设电 流源 电压为 未知 变 量。 设 出 电 流源 电压,
并 作 为 未知 变 量列入 KVL方程。（ 独 立方程 数 仍等于未知变 量 数 ）
方法二,将电 流源和 与 之 并联 的 电 阻 构 成的 并联组 合等效变换 成 电压 源 与电 阻的串 联组 合，然后再用支路 电 流法 来求解。（ 对 于含有无伴 电 流源的 电 路 须 另 选 方法 来 求解 ）
方法三,避 开电 流源所在支路,选择 不含 电 流源的 独 立回路,应 用 KVL，建立 KVL方程。（ 独 立方程 数 仍等于未知变 量 数 ）
解 方法一，增设电流源电压为未知变量
（ 1）设电路中的电流源电压为 U，支路电流分别为 I1,I2,I3；选择它们的参考方向选择如图所示。
（ 2）根据电流的参考方向，确定电流源所在支路的电流为 AII S 32
（ 3）对电路中的独立节点 b应用 KCL，得 0321 III
（ 4）选择网孔作为独立回路，选择回路绕行方向如图所示，对两网孔应用 KVL，得
124
2442
32
21
UII
UII
（ 5）联立求解上述方程
3
124
2442
0
2
32
21
321
I
UII
UII
III
求得 A IA IA I 633
321,，
【 例 2－ 7】 用支路电流法求图示电路中各支路电流。
方法二，避开电流源所在支路，选择不含电流源的回路作为独立回路，
列写 KVL方程。
（ 1）根据电流的参考方向，确定电流源所在支路的电流为
AII S 32
（ 2）对电路中独立节点 b应用 KCL，列写 KCL方程为
0321 III
（ 3）对电路中不含电流源的独立回路 abcda应用 KVL，列写 KVL方程为
024122 31 II 即 122 31 II
（ 4）联立求解上述方程
122
3
31
31
II
II 求得 A IA IA I 633 321,，
第六节 网孔电流法
网孔电流,设想在平面电路网孔中循环流动的一个电流。
网孔电流法,以网孔电流作为未知变量，对每一网孔应用 KVL，建立电路方程，求解这些方程，求得网孔电流，再由网孔电流求得支路电 流及其他变量的方法。
一、网孔电流法的一般步骤
（ 1）设出各网孔电流和各支路电流，
选定各支路电流和各网孔电流的参考方向及网孔绕行方向并标于电路图中。
通常以网孔电流参考方向作为网孔的绕行方向。
（ 2）以网孔电流作为未知变量，根据元件的伏安特性和基尔霍夫定律，
建立网孔电流方程。
3223212
2122121
)(
)(
ssmm
ssmm
uuiRRiR
uu iRiRR
代入数据后为
042
1026
21
21
mm
mm
ii
ii
（ 3）联立求解网孔电流方程，求得网孔电流。求解上述方程组，求得：
A iA i mm 1,2 21
（ 4）根据支路电流与网孔电流的关系，由网孔电流求得支路电流，进而求出支路电压及其他变量。支路电流等于通过该支路的所有网孔电流的代数和。当网孔电流的参考方向与支路电流的参考方向一致时，代数和中取“＋”号，反之取“－”号。
A ii
A iii
A ii
m
mm
m
1
121
2
23
122
11
二、网孔电流方程的规范形式具有两个网孔的电阻性网络的网孔电流方程的一般形式
22222121
11212111
smm
smm
uiRiR
uiRiR
32222212122111 RRRRRRRRRR,，，
32222111 ssssss uuuuuu,
自电阻,网孔中的所有电阻之和。
互电阻,两网孔公共支路上的电阻，又称为公共电阻。
具有 m个网孔、电阻性平面电路的网孔电流方程的规范形式
Rkk：第 k个网孔的自电阻，等于第 k个网孔中所有电阻之和。
Rij：网孔 i与网孔 j的互电阻，
在不含受控源的电阻性电路中,Rij的绝对值等于网孔 i和网孔 j的公共支路中所有电阻之和。
当网孔 i和网孔 j之间没有公共支路或虽有公共支路但其电阻为零时，互电阻 Rij＝ 0。
在不含受控源的电阻性电路中,Rij＝ Rji。
uskk：网孔 k的总电压源电压，它等于网孔 k中所有电压源电压的代数和。
当网孔中不含电压源时,uskk取零值。
s m mmmmmmmmm
smmmmm
smmmmm
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
...
...
...
...
2211
222222121
111212111
应用各物理量正负号的确定规则的注意事项
① 上述正负号的确定规则是在网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致的前提下确立的；
② 这种正负号的确定规则是针对式（ 2－ 25）这一特定的方程形式而言的；
③ 方程式左右两边物理量正负号确定规则是相互联系，彼此对应的。
Rkk：总为正值。
Rij：正负视两网孔电流在公共支路上的参考方向是否相同而定。
当两网孔电流在公共支路上的参考方向相同时，互电阻为正；参考方向相反时，互电阻为负。
当电路中所有网孔电流的参考方向均取顺时针或均取逆时针时，互电阻总是取负号。
uskk：当电压源电压的参考方向与网孔电流的参考方向一致时,uskk中相应的电压前面取“－”号，反之，电压前面取“＋”号。
各物理量正负号的确定规则应用规范形式的网孔电流方程求解电路的步骤
（ 1）设定各网孔电流和各支路电流，选定各网孔电流和各支路电流的参考方向并标于电路图中；
（ 2）计算出各网孔的自电阻、两网孔间的互电阻及各网孔总电压源电压；
（ 3）根据网孔电流方程的规范形式列写出网孔电流方程；
（ 4）联立求解网孔电流方程，求得各网孔电流；
（ 5）根据支路电流与网孔电流的关系，求出支路电流，进而求得支路电压及其他待求变量。
【 例 2－ 8】 用网孔电流法求图示电路的各支路电流。
解 （ 1）设定各网孔电流和各支路电流，选择各网孔电流和各支路电流的参考方向，如图所示。
（ 2）计算各网孔的自电阻、两网孔的互电阻及每一网孔的总电压源电压。
VU VU VU
RR R
RR R
RR R
sss 5510
1321
0422
2321
332211
311333
322322
211211
，，
，
，
，
（ 3）将上述计算结果代入式（ 2－ 25），列出网孔电流方程组：
53
542
1023
31
21
321
mm
mm
mmm
II
II
III
（ 4）求解网孔电流方程组，求得网孔电流
AIAIAI mmm 5.3,5.1,5.5 321
（ 5）由网孔电流求得各支路电流分别为
A II
A III
A III
A III
A II
A II
m
mm
mm
mm
m
m
5.3
2
2
4
5.1
5.5
36
235
314
213
22
11
用网孔电流法分析含有电流源的电路方法一,如果存在电阻与电流源的并联组合，可将电流源与电阻的并联组合等效变换为电压源与电阻的串联组合，然后，再列写网孔电流方程。
方法二,如果电路中含有无伴电流源，则通常采用增设电流源电压为未知变量的方法来处理。
【 例 2－ 9】 用网孔电流法求图示电路中各支路电流。
（ 1）设出各网孔电流和各支路电流，
选择它们的参考方向，如图中所示。
（ 2）设电流源电压为 U，选择参考方向如图所示。
（ 3）对网孔应用 KVL，列写网孔电流方程。在列写含有电流源的网孔的网孔方程时，把电流源看作是一个电压为 U的电压源。图示电路中两个网孔电流方程为：
解
1065
2057
21
21
UII
UI I
mm
mm
（ 4）根据网孔电流和电流源电流的参考方向，确定电流源电流与相关网孔电流之间的关系，列写网孔电流的附加方程
221 smm III
（ 5）联立求解方程组
2
1065
2057
21
21
21
mm
mm
mm
II
UII
UII
求得 AIAI
mm 24 21
（ 6）由网孔电流求得各支路电流
AII
A II
A II
m
s
m
2
2
4
23
2
11
第七节 节点电压法
节点电压,在电路中任选一个节点作为参考节点，其他节点与参考节点之间的电压。
节点电压法,以节点电压作为未知变量，应用 KCL建立电路方程，求解电路方程，求出节点电压，再由节点电压求得支路电流及其他变量 的方法。
参考节点一、节点电压法的一般步骤
（ 1）选定参考节点，设出各节点电压和各支路电流，选择各节点电压和各支路电流的参考方向，并标于电路图中。
（ 2）对非参考节点应用 KCL，列写节点电流方程。
0
0
6543
4321
iiii
iiii
（ 3）根据 KVL和电路元件的伏安关系，求出各支路电流与节点电压的关系。
6626
6
62
625
5
2
544
2313
3
21
312
2
1
21111
1
11
1
S
S
S
S
S
uGuG
R
uu
i uG
R
u
i ii
uGuG
R
uu
i uG
R
u
i uGuG
R
uu
i
（ 4）将各支路电流与节点电压的关系代入节点电流方程，从而得到以节点电压为未知变量的节点电压方程。
664265313
114231321
)(
)(
SS
SS
uGiuGGGuG
uGiuGuGGG
计算方程系数及常数项
AAuGi
AAuGi
SS
RRR
GGG
SS
R
G
S
RRR
GGG
SS
SS
5.4 )
4
10
2(
5 )
5
15
2(
8.0 )
4
1
20
1
2
1
(
111
5.0
2
11
75.0S )
2
1
20
1
5
1
(
111
664
114
653
653
3
3
321
321
代入数据后的节点电压方程为
5.48.05.0
55.075.0
21
21
uu
uu
（ 5）求解节点电压方程，求出节点电压。解上述方程组，可得
VuVu 5.2 5 21,
（ 6）根据支路电流与节点电压的关系，由节点电压求出支路电流，进而求出其他待求变量。
AA
R
uu
i
AA
R
u
i
Aii
AA
R
uu
i
AA
R
u
i
AA
R
uu
i
S
S
S
875.1
4
105.2
125.0
20
5.2
2
75.3
5
)5.2(5
25.0
20
5
2
5
515
6
62
6
5
2
5
44
3
21
3
2
1
2
1
11
1
二、节点电压方程的规范形式具有两个独立节点、不含受控源的电阻性电路的节点电压方程一般形式
（规范形式）
22222121
11212111
S
S
iuGuG
iuGuG
G11,G22：分别是与节点 1、节点 2相连的所有支路的电导之和；
G12= G21,是跨接在节点 1与节点 2之间的所有支路电导之和的负值；
iS11,iS22：分别是与节点 1、节点 2相连的所有电流源和电压源输送给节点 1、节点 2的电流的代数和。
具有（ n－ 1）个独立节点、不含受控源的电阻性电路的节点电压方程一般形式（规范形式）
Gkk：节点 k的 自电导,等于与节点 k相连的所有支路的电导之和，为正值。
若电流源所在支路的电阻为无穷大，电导等于零。
Gkj：节点 k与节点 j的 互电导,等于直接接于节点 k与节点 j之间的所有支路的电导之和的负值。如果节点 k与节点 j之间没有直接跨接的支路或只含有电流源的支路，则 Gkj=Gjk=0。
iSkk：节点 k的 总电源电流,iSkk=∑iS＋ ∑GuS，包括电流源输送给节点 k的电流和电压源输送给节点 k的电流。
)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(
22)1()1(2222121
11)1()1(1212111
nnSnnnnn
Snn
Snn
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
节点 k的总电源电流
iSkk=∑iS＋ ∑GuS
当电压源的参考方向为 离开节点的，则对应的 GuS前面取,＋,号，否则取,－,
号。
∑iS
电流源输送给节点 k的电流与节点 k相连的各支路中电流源电流的代数和当电流源电流的参考方向 指向节点 k时，该电流源电流 iS前面取,＋,号，否则取“－”号。
∑GuS
电压源输送给节点 k的电流与节点 k相连的各支路中的电压源电压与该支路的电导乘积的代数和应用各物理量正负号确定规则的注意事项
① 应用前提：节点电压的参考方向为从非参考节点指向参考节点。
② 针对一般式（或规范式）这种特定的方程形式而言的。
③ 方程式左右两边物理量正负号的确定规则是相互联系，彼此对应的。
应用规范化节点电压方程求解电路的方法步骤
（ 1）选定参考节点，设出各节点电压和支路电流，选择各节点电压和支路电流的参考方向并标于电路图中；
（ 2）计算各节点的自电导、两节点之间的互电导及电源输送给各节点的电流；
（ 3）将上述计算结果代入规范化的节点电压方程式，写出节点电压方程；
（ 4）求解节点电压方程，求出节点电压；
（ 5）根据 KVL和电路元件的伏安关系，确定支路电流与节点电压之间的关系，从而求出支路电流，再由支路电流求出其他待求变量。
【 例 2－ 10】 图示电路中 R2=4Ω,R4=2Ω,R5=6Ω,R6=3Ω,IS1=5A，
IS3=10A,US4=6V,US6=15V，用节点电压法求电压源 US4发出的功率。
（ 1）选定参考节点，设出各节点电压和支路电流，选择各节点电压和支路电流的参考方向并标于电路图中。
（ 2）计算各节点自电导，两节点之间的互电导及电源输送给各节点的电流。
节点 1,2的自电导和互电导分别为
SS
R
GG
SS
RRR
G
SS
RR
G
5.0
2
11
1)
3
1
6
1
2
1
(
111
75.0)
2
1
4
1
(
11
4
2112
654
22
41
11
解电源供给节点 1,2的总电流分别为
AA
R
U
R
U
II
AA
R
U
III
SS
SS
S
SSS
12)
3
15
2
6
10(
2)
2
6
105(
6
6
4
4
322
4
4
3111
（ 3）将上述计算结果代入规范化的节点电压方程式，写出节点电压方程。
125.0
25.075.0
21
21
UU
UU
（ 4）求解节点电压方程，求出节点电压。解上述方程组，求得
VU VU 168 22,
（ 5）根据 KVL和电路元件的伏安关系，确定支路电流与节点电压之间的关系，从而求出支路电流，再由支路电流求出其他待求变量。根据
KVL和元件的伏安关系，得
02441 UUIRU S
解之得
AA R UUUI S 7)2 6168(
4
421
电压为 US4的电压源发出的功率为
WP 42)7(6
无伴电压源支路的处理
无伴电压源,无电阻与之串联的电压源。
R = 0 G = ∞
无伴电压源支路的电流无法直接用无伴电压源所关联的两个节点的节点电压来表示。
无法直接建立节点电压方程方法：增设无伴电压源的电流作为未知变量
每一个无伴电压源都可以提供一个对其所关联的两个节点的节点电压的约束。
【 例 2－ 11】 用节点电压法求图示电路中电流 I1。
解 （ 1）选择示电路节点 3为参考节点，
设节点 1,2的节点电压分别为 U1和 U2，
设电压源支路的电流为 I，选择它们的参考方向，如图中所标示。
（ 2）计算电路中各节点的自电导，两节点之间的互电导及电源注入各节点的电流。计算时将无伴电压源看作一个电压为已知量、电流为 I的电流源。
II
II
SSGG
SSG
SSG
S
S
22
11
2112
22
11
6
2.0
5
1
45.0 )
4
1
5
1
(
7.0 )
5
1
2
1
(
（ 3）根据节点电压方程的规范形式，写出节点电压方程。
IUU
IUU
21
21
45.02.0
62.07.0 即
045.02.0
62.07.0
21
21
IUU
IUU
（ 4）根据 KVL，确定无伴电压源支路所关联的两节点的节点电压与无伴电压源电压之间的约束关系，建立约束分程。
2421 UU
（ 5）联立求解上述方程，求出节点电压和无伴电压源的电流。
24
045.02.0
62.07.0
21
21
21
UU
IUU
IUU 解得
A 8.6
8
16
2
2
1
I
VU
VU
（ 6）根据 KVL及元件的伏安关系，由节点电压求得支路电流，进而求出其他待求变量
AAUI 8 2162 11
方法二,若选择节点 2作为参考节点，则节点 1的节点电压为 U1=24V。于是，只需要列出节点 3的节点电压方程，便可使问题得以解决。节点 3的节点电压方程为
6214121 13 ＝）（ UU
解之，得
VUVU 248 13?，＝
AAUUI 82 8242 311 ＝
三、弥尔曼定理只有两个节点的电路，参考点编号为 0，非参考点编号为 1
节点 1的节点电压方程的规范形式
SS GuiuG 1011
解之，得
11
10 G
Guiu SS
k
kkk
10 G
uGiu SS即
k：支路的编号，可取 1,2，．．．,b； b为接于两节点之间支路数。
弥尔曼定理弥尔曼定理
k
kkk
10 G
uGiu SS
∑iSk：各支路中的电流源电流的代数和，凡参考方向是指向非参考节点的电流源电流 iS前面取“＋”号，反之取“－”号。
∑GkuSk：各支路中的电压源电压与该支路电导的乘积的代数和，当电压源电压的参考极性的正极连接到非参考节点（参考方向是离开非参考节点）时，该项 GkuSk前面取“＋”号，反之取“－”号。
∑Gk：所有支路的电导之和。
【 例 2－ 12】 写出图示电路中电压 u的计算公式。
解
543
4
4
3
3
21
k
kkk
111
u
RRR
R
u
R
u
ii
G
uGi
SS
SS
SS
【 例 2－ 13】 用节点电压法计算图示电路中各支路电流。
解
AI
AAI
VVU
2
6.7
2
8.420
8.4
3
1
2
1
224
3
1
20
2
1
3
1
10
AAIII 6.9 )26.7(312
AAI 6.9 3 8.4242或第八节 叠加定理一、定理内容
叠加定理,在任意线性网络中，所有独立电源共同作用时在任一支路中产生的电压或电流，等于各独立电源单独作用时在该支路中产生的电压或电流的代数和。
独立电源单独作用是指依次相继地只保留一个独立电源于电路中，
让其发挥作用，而将其余的独立电源都 置零 。
独立电源置零独立电压源独立电流源相当于 短路电压取零值电流取零值 相当于 开路叠加定理应用分析利用叠加定理求图（ a）所示电路中 R1上的电压 u1
和 R2上的电流 i2
电压源 uS单独作用时的电路如图（ b）所示，得
ss uRRi uRR
Ru
21
2
21
1
1
1
电压源 iS单独作用时的电路如图（ c）所示，得
ss iRR
Ri i
RR
RRu
21
1
2
21
21
1
叠加
ss
ss
i
RR
R
u
RR
iii
i
RR
RR
u
RR
R
uuu
21
1
21
222
21
21
21
1
111
1
二、定理应用
1,应用叠加定理求解电路的步骤
（ 1）画出各独立电源单独作用时的电路图；
（ 2）计算在各独立电源单独作用下产生的，与待求量相对应的电压或电流；
（ 3）将各独立电源单独作用时所产生的电流或电压叠加起来，从而求出所有独立电源共同作用时所产生的电压或电流。
2．应用叠加定理时应注意的问题
（ 1）叠加定理只适用于 线性电路,不适用于非线性电路。
（ 2）叠加定理只适用于计算电路中的 电压 和 电流,不能直接用于计算功率。
（ 3）各个独立电源单独作用时，其他独立电源均应 置零,
即电压源用短路代替，电流源用开路代替，此时电路中的非独立电源元件如受控源、电阻元件等，均应保留在电路中，不应更动。
（ 4）叠加时，应根据电流和电压的参考方向来确定 代数和中的正负号。当独立电源单独作用时产生的电压或电流的参考方向与原电路图中（所有独立电源共同作用时）对应的电压或电流的参考方向一致时，该电压或电流前面取正号，反之取负号。
2．定理应用举例
【 例 2－ 14】 图（ a）所示桥形电路中,R1=2Ω,R2=3Ω,R3=2Ω,R4=1Ω，
US=12V,IS=5A。试用叠加定理计算电路中电压 U和电流 I。
（ 1）画出各独立电源单独作用时的电路图。电压源 US单独作用时的电路如图（ b）所示，电流源 IS单独作用时的电路如图（ c）所示。
（ 2）计算在各独立电源单独作用下产生的，与待求量相对应的电压或电流。
解电压源 US单独作用时：
VVIRIRU
AAIII
AA
RR
U
I
AA
RR
U
I
s
s
3)3332(
6)33(
3
13
12
3
22
12
2211
21
42
2
31
1
电流源 IS单独作用时：
VVIRIRU
AAIII
AAI
RR
R
I
AAI
RR
R
I
s
s
75.8)25.135.22(
25.1)5.225.1(
25.15
13
1
5.25
22
2
2211
12
42
4
2
31
3
1
（ 3）将各独立电源单独作用时所产生的电流或电压叠加
VV UUU
AAIII
75.5)75.83(
25.7)25.1(6
第九节 戴维南定理和诺顿定理一、戴维南定理
（一） 定理内容
戴维南定理,一个由线性电阻、线性受控源和独立电源组成的二端网络，对外电路而言，可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效替代，
此电压源的电压等于二端网络的开路电压，该电阻等于将二端网络内部的所有独立电源置零后，从二端网络端口看进去的等效电阻。
uoc,开路电压 Req,等效电阻
NS：有源二端网络 N0：无源二端网络
（二） 定理应用
1．应用戴维南定理求解电路的步骤
（ 1）移去待求变量所在的支路（或移去一个二端电路），使余下的电路成为一个有源二端网络，用网络分析的一般方法，求得有源二端网络的开路电压 uoc；
（ 2）将有源二端网络中的所有独立电源置零，使其成为无源二端网络，
计算从该无源二端网络端口看进去的等效电阻 Req；
（ 3）根据已求得的有源二端网络的开路电压 uoc和等效电阻 Req，构成戴维南等效电路，并以之替代对应的有源二端网络，画出替代后的等效电路；
（ 4）计算变换后的等效电路，求得待求量。
2．戴维南等效电阻的计算方法
（ 1）将有源二端网络中的所有独立电源置零，使之变为无源二端网络后，采用电阻串并联等效变换,Y－△等效变换等等效变换的方法求得等效电阻。（对含有受控源的网络不适用）
（ 2）将有源二端网络中的所有独立电源置零后，在其端口处外施电压源 uS或电流源 iS，求得端口电流 i或端口电压 u，再用下列式计算戴维南等效电阻。（ 对含有受控源的二端网络较为适宜。 ）
s
eq
s
eq i
uR
i
uR 或
（ 3）计算出有源二端网络的开路电压 uoc和短路电流 isc，再用下列式计算戴维南等效电阻。（ 也适用含有受控源的网络 ）
sc
oc
eq i
uR?
3．定理应用举例
【 例 2－ 15】 用戴维南定理求图（ a）示电路中的电流 I。
解 （ 1） 将图（ a）所示电路中电阻 R支路移去，使余下的电路成为一个有源二端网络，如图（ b）所示。计算该有源二端网络的开路电压
VVVIIU oc 2 )64( )1010 1210126 126(106 12
（ 2）将图（ b）所示有源二端网络中的电压源置零，使之成为一无源二端网络，如图（ c）所示。计算从该无源二端网络端口看进去的等效电阻
9 )45( )126 1261010 1010(eqR
（ 3）用戴维南等效电路替代图（ a）中的有源二端网络，替代后的等效电路如图（ d）所示。计算替代后的等效电路，可得
AA RR UI
eq
oc 2.0
19
2
【 例 2－ 16】 图（ a）所示电路为一个有源二端网络外接一可调电阻 R，
其中 US=36V,IS=2A,R1=4Ω,R2=4Ω,R3=2Ω，试问当 R等于多少时，
它可以从电路中获得最大功率，此最大功率为多少？
解 （ 1）将电阻 R移去，余下的有源二端网络如图（ b）所示，该有源二端网路的开路电压为 VU
oc 32?
（ 2）将图（ b）所示有源二端网络中的电压源用短路代之，电流源用开路代之，从而得到如图（ c）所示的无源二端网络，计算从其端口看进去的等效电阻
3eqR
（ 3）用戴维南等效电路代替有源二端网络后，得到的等效电路如图（ d）
所示。根据图（ d）所示电路，应用求函数最值的方法，可确定当
R=Req=3Ω时，电阻 R获得最大功率，其值为
WWRp
eq
oc 33.85
34
32
4
U 22
m a x
二、诺顿定理
（一） 定理内容
诺顿定理,一个由线性电阻、线性受控源和独立电源组成的二端网络，对外电路而言，可以用一个电流源与电阻的并联组合来等效替代，此电流源的电流等于二端网络的短路电流，该电阻等于将二端网络内部所有独立电源置零后，从二端网络端口看进去的等效电阻。
isc,短路电流 Req,等效电阻
NS：有源二端网络 N0：无源二端网络
（二）定理应用
【 例 2－ 17】 求图（ a）所示二端网络的诺顿等效电路。
解 （ 1）计算有源二端网络的短路电流。 当 a,b两端短路时，通过引出端钮的电流为
AAi sc 4)530602020(
（ 2）将图（ a）所示二端网路内部所有独立电源置零后得到的无源二端网络如图（ b）所示，从该二端网络端口看进去的等效电阻为
122030 2030eqR
（ 3）根据已求得的短路电流 iSC和等效电阻 Req构成诺顿等效电路。图（ a）
所示的有源二端网络的诺顿等效电路如图（ c）所示。
第二章小结
1．网络的等效变换
（ 1）等效变换和等效网络的概念如果用一个电路去替代另一个电路中的某一部分，替代后电路中未被替代部分各支路电流和各节点之间的电压均保持不变，则这种变换称为等效变换。
如果两个网络的对应外接端钮处的电压与电流的关系完全相同，即两网络具有完全相同的外部特性，则这两个网络为等效网络。等效是对等效网络外部电路而言，其内部未必等效。
（ 2） n个电阻串联等效电阻,?
n RR
1k k
分压公式：
uRRu ii?
（ 3） n个电阻并联等效电导,?
n GG
1k k
分流公式：
iGGi ii?
（ 4）电阻的 Y─△ 等效变换形中不相关联端的电阻形电阻两两乘积之和
＝
形电阻之和形相邻两电阻的乘积
Y
Y
R
R Y
三个电阻相等时，有 R△ =3RY
（ 5）两种电源模型的等效互换电压源与电阻的串联组合和电流源与电阻的并联组合两者之间可以等效互换。
等效互换条件 sssss iRuRR,
2．网络方程法
（ 1）支路电流法以支路电流作为求解对象，对独立节点和独立回路应用 KCL和 KVL,
建立独立的 KCL方程和 KVL方程，求解电路方程，求得支路电流，进而求得其他变量。
具有 n个节点,b条支路的网络，独立节点数为 n－ 1,独立回路数为 b
－（ n－ 1）。平面电路中网孔就是独立回路。支路电流法对支路较少的电路较为适宜。
（ 2）网孔电流法以网孔电流作为求解对象，对网孔应用 KVL，建立网孔电流方程，
求解网孔电流方程，求得网孔电流，进而求得支路电流及其他变量。
网孔电流法只适用于平面电路，网孔电流法对于网孔数目较少的电路较为适宜。
（ 3）节点电压法以节点电压作为求解对象，用节点电压表示支路电流，对电路中非参考节点应用 KCL，建立节点电压方程，求解节点电压方程，求得节点电压，
进而求得支路电流及其他变量。
节点电压法对节点较少的电路较为适宜。对于只有两个节点的电路，可直接应用节点电压公式来求节点电压，即可用弥尔曼定理求解节点电压，节点电压的计算公式为
k
kkk
10 G
iuGu SS
3．网络定理
（ 1）叠加定理线性网络中，所有独立电源共同作用在电路中任一支路中所产生的电流或电压，等于各个独立电源单独作用在该支路中所产生的电流或电 压的代数和。
（ 2）戴维南定理含独立电源的线性电阻性二端网络，对外电路而言，可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效替代。该电压源电压等于有源二端网络的开路电压，电阻等于有源二端网络内部的所有独立电源置零后，从端口 看进去的等效电阻。
（ 3）诺顿定理含独立电源的线性电阻性二端网络，对外电路而言，可以用一个电流源与电阻的并联组合来等效替代。该电流源电流等于有源二端网络的短路电流，电阻等于将有源二端网络内部的所有独立电源置零后，从端 口看进去的等效电阻。
求二端网络的戴维南等效电阻的方法有三种：①等效变换法；②外加电源法；③求开路电压与短路电流的比值法。
网络方程法,通过选择适当的未知变量，根据基尔霍夫定律和电路元件的特性，建立一组独立的网络方程，求解该组方程，从而求得所需要的支路电流、支路电压或其他变量。
等效变换法,应用网络定理和网络等效变换的概念，将网络的结构进行适当的变换，使之得以简化，从而较方便地求得待求变量。
电阻性电路,由电阻元件和电源元件组成的电路。
线性网络,是指由线性元件和独立电源组成的网路。
线性电阻性电路,仅含有线性电阻元件、线性受控源和独立电源的电路。
第一节 电路的等效变换一、等效变换
等效变换,如果用一个电路去替代另一个电路中的某一部分，替代后电路中未被替代部分的各支路电流和各节点之间的电压均保持不变的变换。
用 is与 R′并联电路
,等效,是对外部电路而言
us与 R串联电路二、等效网络
等效网络,对应外接端钮之间的电压与对应外接端钮上的电流之间的关系完全相同的两个网络。
结论,两个等效网络对于任一外电路来说都可以等效互换，而等效变换中相互替代的两个网络未必都是等效网络。
等效变换的充分条件：相互替代的两网络是等效网络。
第二节 电阻的串联和并联一、电阻的串联
串联,若干个电阻一个接一个地依次连接起来，构成一条电流通路的连接方式。
电阻串联电路的特点：
（ 1）电阻串联电路中各个电阻流过同一电流。
（ 2）电阻串联电路的总等于各电阻电压之和。
iiii n,,,21
nuuuu21
电阻串联电路的特点
（ 3）电阻串联电路的等效电阻等于各个串联电阻之和。
nRRRR21
（ 4）电阻串联电路中各电阻上的电压与其电阻值成正比。
),2,1k(,kkk nuRRiRu分压公式
（ 5）电阻串联电路中各电阻消耗的功率与其电阻值成正比。
P1,P2,…,Pn= R1,R2,…,Rn
二、电阻的并联
并联,若干个电阻的两端分别连接起来，构成一个具有二个节点和多条支路二端电路的连接方式。
电阻并联电路的特点：
（ 1）电阻并联电路中各电阻承受同一电压。
uuuu n21
（ 2）电阻并联电路的总电流等于各支路电流之和
niiii21
电阻并联电路的特点
（ 3）电阻并联电路的等效电阻的倒数等于各个并联电阻的倒数之和，即电阻并联电路的等效电导等于各个并联电导之和。
nRRRR
1111
21
nGGGG22n个电阻并联电路的等效电导为两个电阻并联电路的等效电阻为
21
21
RR
RRR
电阻并联电路的特点
（ 4）电阻并联电路中各个并联电阻中的电流与其电阻成反比（与其电导成正比）。
),2,1k( niGGuGi kkk分流公式两个电阻并联电路的分流公式
i
RR
R
i
G
G
i
i
RR
R
i
G
G
i
21
12
2
21
21
1
电阻并联电路的特点
（ 5）电阻并联电路中各电阻的功率与其电阻值成反比。
n
n
n GGGRRRPPP,::
1::1:1:::
21
21
21
三、电阻的混联
电阻的混联,电阻的连接中既有串联又有并联，又称为电阻的串、并联。
任一二端网络
（只含有电阻） 等效电阻等效变换混联电路计算
【 例 2－ 1】 有个表头（仪表测量机构），
其满刻度偏转电流为 50μA，内阻 R0为 3kΩ，
如右图所示。若用此表头制成量程为 100V的电压表，应串联多大的附加电阻。
解 满刻度时表头的电压为
VVIRU 15.0 1050103 6300
满刻度时附加电阻的电压为
VVUUU f 85.99 )15.0100(0
附加电阻为
k 1 99 7 109 97.11050 85.99 36IUR ff
混联电路计算
【 例 2－ 2】 用一个满刻度偏转电流为 1mA，内阻 R0为 300Ω的表头制成一个量程为 100mA和 300mA的双量程毫安表，其电路如图所示，试求分流电阻 Rf1和 Rf2 。
解 量程为 100mA时，即 I1=0,I2=100mA时，有
VVIRU ac 3.0 101300 300
03.3 10)1100( 3.0 3
02
21 II
URR aC
ff
量程为 300mA时，即 I2=0,I1=300mA时有
01.1
3 0 0
03.313 0 01
)()(
1
21000
1
10200
1 I
RRIRI
I
RIRRI
R fffff
02.2)01.103.3(2fR
混联电路计算
【 例 2－ 3】 计算下图所示电路的等效电阻。
解
2
63
63
1 2
2
1
67
12
R
R
2
)31(4
)31(4
3
6)42(
6)42(
ab
4 5 6 7
R
R
第三节 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换
电阻的星形（ Y形）连接,将三个电阻中各个电阻的一个端钮连接在一起来构成一个节点，而将它们另一端作为引出端钮的连接方式。
电阻的三角形（△形）连接,将三个电阻依次一个接一个地连接起来构成一个闭合回路，从三个连接点引出三个端线，以供与外电路连接的连接方式。
电阻的星形连接和三角形连接
Y─△ 等效变换
Y─△ 等效变换,Y形电路与△形电路的等效变换。
△ → Y
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
Y─△ 等效变换
Y→ △
2
13
13
2
133221
31
1
32
32
1
133221
23
3
21
21
3
123221
12
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
Y─△ 等效变换
YRRRR 321
RRRR 312312
RR Y 3
1 YRR 3或如果
【 例 2－ 4】 在图 (a) 所 示 电 路 中，已 知 Us=220V,R0=1Ω,R1=40Ω，
R2=36Ω,R3=50Ω,R4=55Ω,R5=10Ω，试求各电阻的电流。
解 将△形连接的电阻 R1,R3,R5等效变换为 Y形连接的电阻 Ra,Rc,Rd，变换后的等效电路如图（ b）所示。根据△ → Y变换式，求得：
5
405010
5010
4
405010
1040
20
405010
4050
135
35
135
51
135
13
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
d
c
a
在图（ b）中,Rc与 R2串联，串联电路等效电阻为
40 )364(22 RRR cc
Rd与 R4的串联等效电阻为
60 )555(44 RRR dd
Rc2与 Rd4并联的等效电阻为
24 6040 6040
42
42
dc
dc
ob RR
RRR
经串并联等效变换后，可得到图（ c）所示电路，该电路中电流为
AARRR UI
obao
S 5
24201
225?
由图（ b）所示电路求得电流
AAI
RR
R
I
AAI
RR
R
I
dc
c
dc
d
2 5
6040
40
3 5
6040
60
42
2
4
42
4
2
再回到图（ a）所示电路，由 KVL可得
VVIRIRU dc 2 )336255(2244
于是可得 R5的电流
AARUI dc 2.0 102
5
5
由 KCL得
AAIII
AAIII
2.2 )8.25(
8.2 )2.03(
13
521
第四节 实际电源的两种模型及其等效变换一、实际电源的数学模型
电源的伏安特性,实际电源的端电压 u与输出电流 i之间的关系，也称外特性。
可通过实验测得实际电源的伏安特性曲线
RIUU 0
KI
UR 0t a nt a n
R
U
R
UI 0
实际电源伏安特性方程
（实际电源的数学模型）
二、实际电源的电路模型
实际电源的电路模型,用以模拟实际电源的理想电路元件的组合体。
RIUU 0 RURUI 0
实际电源的电路模型
结论,
1.一个实际的直流电源，可以用一个电压源与电阻的串联组合来模拟，该电压源的电压等于实际电源的开路电压，此电阻的阻值等于实际电源的内阻。
2.一个实际的直流电源也可用一个电流源与电阻的并联组合来模拟，该电流源的电流等于实际电源的短路电流，此电阻的阻值等于实际电源的内阻。
三、两种实际电源模型的等效变换
RIUU s IRIRU s
等效条件
ss IRU
RR
两种实际电源模型的等效变换注意：
电压源电压的参考方向与电流源电流的参考方向之间的对应关系；
电流源电流的参考方向的流出端应与电压源电压的参考极性的正极相对应。
【 例 2－ 5】 利用等效变换法求图（ a）所示电路中的电流 I。已知 Us1=12V,Us2=36V,R1=2Ω,R2=3Ω，
R=6Ω。
解 先将电压源与电阻串联的支路变换为电流源与电阻并联的支路，变换后的电路如图（ b）所示，
其中
AA
R
U
I
AA
R
U
I
s
s
s
s
12
3
36
6
2
12
2
2
2
1
1
1
再将图（ b）中并联的两个电流源用一个等效电流源来替代，其值为
AAIII sss 18 )126(21
图（ b）中电阻 R1,R2并联，它们的等效电阻为
2.1 32 32
21
21
12 RR
RRR
简化后的电路如图（ c）所示。应用分流公式，求得支路电流 I为
AAIRR RI s 3 1862.1 2.1
12
12
第五节 支路电流法
网络方程法,通过建立电路方程、求解电路方程来求解电路的一种方法。
支路电流法网孔电流法节点电压法以网络中的各支路电流作为未知变量，
根据 KCL,KVL和元件的伏安关系建立电路方程，求解电路方程，求得各支路电流,若有必要，再求其他待求变量。
方程未知变量不同网络方程法应用支路电流法求解电路的方法对电路中的节点列出 KCL方程
0
0
321
321
iii
iii
只有一个是独立方程结论：
对于具有 n个节点的电路，其独立 KCL方程的数目为（ n－ 1）。
对具有 n个节点的电路中的任意（ n－ 1）个节点应用 KCL列写出来的 KCL方程都是彼此独立的。
独立节点,对应于独立 KCL方程的节点。
节点数为 n的电路的独立节点数等于（ n－ 1）。
应用支路电流法求解电路的方法对电路中的回路列 KVL方程
13311
23322
212211
s
s
ss
uiR iR
uiRiR
uuiRiR
其中任意两个方程彼此是独立的结论：
对具有 b条支路,n个节点的电路应用 KVL，能够且只能够列出 b-(n-1)
个独立的 KVL方程。
独立回路,与独立回路电压方程对应的回路。
具有 b条支路,n个节点的电路的独立回路数为 b-(n-1)
选取独立回路的方法
方法一,每选取一个新的回路，使此回路至少具有 一条新支路 （即未包含在已选回路中的支路）。
方法二,对于平面电路，选择 网孔 作为独立回路。
独立回路,与独立回路电压方程对应的回路。
支路电流法求解电路的方法步骤
（ 1）设出各支路电流，选定其参考方向并标于电路图中；
（ 2）对电路中（ n－ 1）个独立节点应用 KCL，列出节点电流方程；
（ 3）选取（ b－ n＋ 1）个独立回路，应用 KVL列出回路电压方程；
（ 4）联立求解上述 b个独立方程，求得各支路电流；
（ 5）根据计算的需要，由支路电流再求出其他待求变量。
平面电路：
b条支路
n个节点
m个网孔
【 例 2－ 6】 在图示电路中,US1=130V,R1=1Ω两者串联组合为直流发电机的模型； US2=117V,R2=0.6Ω两者串联组合为蓄电池组的模型；电阻负载 R3=24Ω。试求各支路电流和各元件的功率。
解 （ 1）以支路电流作为未知变量，设电路中的支路电流分别为 i1,i2,i3，选择其参考方向并标以电路图中。
（ 2）对电路中独立节点 a应用 KCL，
列写出节点电流方程
0321 iii
（ 3）选择网孔作为独立回路，选取回路绕行方向如图中所示。对网孔应用 KVL，列写出回路电压方程，并将电阻元件的电压用支路电流来表示，于是可得
1 1 7246.0
131 1 71 3 06.0
32
21
ii
ii
（ 4）联立求解上述方程，求得支路电流
117246.0
136.0
0
32
21
321
ii
ii
iii 解之，可得
Ai
Ai
Ai
5
5
10
3
2
1
（ 5）由支路电流求得各元件的功率。
电压源 US1发出的功率为 WWiuP SS 1300 10130111
电压源 US2发出的功率为 WWiuP SS 585 )5(117222
各电阻接受的功率为
WWiRP
WWiRP
WWiRP
600 524
15 )5(6.0
100 101
22
333
22
222
22
111
（ 6）用电路中功率平衡关系进行验算。
电路的功率平衡原理,在任一个独立的电路中，每一瞬间，各电源发出功率的总和等于各负载吸收功率的总和。
因为负载总功率为
W W PPPP S 1300600151005853212
故有
32121 PPPPP SS
含有电流源的电路应用支路电流法
方法一,增 设电 流源 电压为 未知 变 量。 设 出 电 流源 电压,
并 作 为 未知 变 量列入 KVL方程。（ 独 立方程 数 仍等于未知变 量 数 ）
方法二,将电 流源和 与 之 并联 的 电 阻 构 成的 并联组 合等效变换 成 电压 源 与电 阻的串 联组 合，然后再用支路 电 流法 来求解。（ 对 于含有无伴 电 流源的 电 路 须 另 选 方法 来 求解 ）
方法三,避 开电 流源所在支路,选择 不含 电 流源的 独 立回路,应 用 KVL，建立 KVL方程。（ 独 立方程 数 仍等于未知变 量 数 ）
解 方法一，增设电流源电压为未知变量
（ 1）设电路中的电流源电压为 U，支路电流分别为 I1,I2,I3；选择它们的参考方向选择如图所示。
（ 2）根据电流的参考方向，确定电流源所在支路的电流为 AII S 32
（ 3）对电路中的独立节点 b应用 KCL，得 0321 III
（ 4）选择网孔作为独立回路，选择回路绕行方向如图所示，对两网孔应用 KVL，得
124
2442
32
21
UII
UII
（ 5）联立求解上述方程
3
124
2442
0
2
32
21
321
I
UII
UII
III
求得 A IA IA I 633
321,，
【 例 2－ 7】 用支路电流法求图示电路中各支路电流。
方法二，避开电流源所在支路，选择不含电流源的回路作为独立回路，
列写 KVL方程。
（ 1）根据电流的参考方向，确定电流源所在支路的电流为
AII S 32
（ 2）对电路中独立节点 b应用 KCL，列写 KCL方程为
0321 III
（ 3）对电路中不含电流源的独立回路 abcda应用 KVL，列写 KVL方程为
024122 31 II 即 122 31 II
（ 4）联立求解上述方程
122
3
31
31
II
II 求得 A IA IA I 633 321,，
第六节 网孔电流法
网孔电流,设想在平面电路网孔中循环流动的一个电流。
网孔电流法,以网孔电流作为未知变量，对每一网孔应用 KVL，建立电路方程，求解这些方程，求得网孔电流，再由网孔电流求得支路电 流及其他变量的方法。
一、网孔电流法的一般步骤
（ 1）设出各网孔电流和各支路电流，
选定各支路电流和各网孔电流的参考方向及网孔绕行方向并标于电路图中。
通常以网孔电流参考方向作为网孔的绕行方向。
（ 2）以网孔电流作为未知变量，根据元件的伏安特性和基尔霍夫定律，
建立网孔电流方程。
3223212
2122121
)(
)(
ssmm
ssmm
uuiRRiR
uu iRiRR
代入数据后为
042
1026
21
21
mm
mm
ii
ii
（ 3）联立求解网孔电流方程，求得网孔电流。求解上述方程组，求得：
A iA i mm 1,2 21
（ 4）根据支路电流与网孔电流的关系，由网孔电流求得支路电流，进而求出支路电压及其他变量。支路电流等于通过该支路的所有网孔电流的代数和。当网孔电流的参考方向与支路电流的参考方向一致时，代数和中取“＋”号，反之取“－”号。
A ii
A iii
A ii
m
mm
m
1
121
2
23
122
11
二、网孔电流方程的规范形式具有两个网孔的电阻性网络的网孔电流方程的一般形式
22222121
11212111
smm
smm
uiRiR
uiRiR
32222212122111 RRRRRRRRRR,，，
32222111 ssssss uuuuuu,
自电阻,网孔中的所有电阻之和。
互电阻,两网孔公共支路上的电阻，又称为公共电阻。
具有 m个网孔、电阻性平面电路的网孔电流方程的规范形式
Rkk：第 k个网孔的自电阻，等于第 k个网孔中所有电阻之和。
Rij：网孔 i与网孔 j的互电阻，
在不含受控源的电阻性电路中,Rij的绝对值等于网孔 i和网孔 j的公共支路中所有电阻之和。
当网孔 i和网孔 j之间没有公共支路或虽有公共支路但其电阻为零时，互电阻 Rij＝ 0。
在不含受控源的电阻性电路中,Rij＝ Rji。
uskk：网孔 k的总电压源电压，它等于网孔 k中所有电压源电压的代数和。
当网孔中不含电压源时,uskk取零值。
s m mmmmmmmmm
smmmmm
smmmmm
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
...
...
...
...
2211
222222121
111212111
应用各物理量正负号的确定规则的注意事项
① 上述正负号的确定规则是在网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致的前提下确立的；
② 这种正负号的确定规则是针对式（ 2－ 25）这一特定的方程形式而言的；
③ 方程式左右两边物理量正负号确定规则是相互联系，彼此对应的。
Rkk：总为正值。
Rij：正负视两网孔电流在公共支路上的参考方向是否相同而定。
当两网孔电流在公共支路上的参考方向相同时，互电阻为正；参考方向相反时，互电阻为负。
当电路中所有网孔电流的参考方向均取顺时针或均取逆时针时，互电阻总是取负号。
uskk：当电压源电压的参考方向与网孔电流的参考方向一致时,uskk中相应的电压前面取“－”号，反之，电压前面取“＋”号。
各物理量正负号的确定规则应用规范形式的网孔电流方程求解电路的步骤
（ 1）设定各网孔电流和各支路电流，选定各网孔电流和各支路电流的参考方向并标于电路图中；
（ 2）计算出各网孔的自电阻、两网孔间的互电阻及各网孔总电压源电压；
（ 3）根据网孔电流方程的规范形式列写出网孔电流方程；
（ 4）联立求解网孔电流方程，求得各网孔电流；
（ 5）根据支路电流与网孔电流的关系，求出支路电流，进而求得支路电压及其他待求变量。
【 例 2－ 8】 用网孔电流法求图示电路的各支路电流。
解 （ 1）设定各网孔电流和各支路电流，选择各网孔电流和各支路电流的参考方向，如图所示。
（ 2）计算各网孔的自电阻、两网孔的互电阻及每一网孔的总电压源电压。
VU VU VU
RR R
RR R
RR R
sss 5510
1321
0422
2321
332211
311333
322322
211211
，，
，
，
，
（ 3）将上述计算结果代入式（ 2－ 25），列出网孔电流方程组：
53
542
1023
31
21
321
mm
mm
mmm
II
II
III
（ 4）求解网孔电流方程组，求得网孔电流
AIAIAI mmm 5.3,5.1,5.5 321
（ 5）由网孔电流求得各支路电流分别为
A II
A III
A III
A III
A II
A II
m
mm
mm
mm
m
m
5.3
2
2
4
5.1
5.5
36
235
314
213
22
11
用网孔电流法分析含有电流源的电路方法一,如果存在电阻与电流源的并联组合，可将电流源与电阻的并联组合等效变换为电压源与电阻的串联组合，然后，再列写网孔电流方程。
方法二,如果电路中含有无伴电流源，则通常采用增设电流源电压为未知变量的方法来处理。
【 例 2－ 9】 用网孔电流法求图示电路中各支路电流。
（ 1）设出各网孔电流和各支路电流，
选择它们的参考方向，如图中所示。
（ 2）设电流源电压为 U，选择参考方向如图所示。
（ 3）对网孔应用 KVL，列写网孔电流方程。在列写含有电流源的网孔的网孔方程时，把电流源看作是一个电压为 U的电压源。图示电路中两个网孔电流方程为：
解
1065
2057
21
21
UII
UI I
mm
mm
（ 4）根据网孔电流和电流源电流的参考方向，确定电流源电流与相关网孔电流之间的关系，列写网孔电流的附加方程
221 smm III
（ 5）联立求解方程组
2
1065
2057
21
21
21
mm
mm
mm
II
UII
UII
求得 AIAI
mm 24 21
（ 6）由网孔电流求得各支路电流
AII
A II
A II
m
s
m
2
2
4
23
2
11
第七节 节点电压法
节点电压,在电路中任选一个节点作为参考节点，其他节点与参考节点之间的电压。
节点电压法,以节点电压作为未知变量，应用 KCL建立电路方程，求解电路方程，求出节点电压，再由节点电压求得支路电流及其他变量 的方法。
参考节点一、节点电压法的一般步骤
（ 1）选定参考节点，设出各节点电压和各支路电流，选择各节点电压和各支路电流的参考方向，并标于电路图中。
（ 2）对非参考节点应用 KCL，列写节点电流方程。
0
0
6543
4321
iiii
iiii
（ 3）根据 KVL和电路元件的伏安关系，求出各支路电流与节点电压的关系。
6626
6
62
625
5
2
544
2313
3
21
312
2
1
21111
1
11
1
S
S
S
S
S
uGuG
R
uu
i uG
R
u
i ii
uGuG
R
uu
i uG
R
u
i uGuG
R
uu
i
（ 4）将各支路电流与节点电压的关系代入节点电流方程，从而得到以节点电压为未知变量的节点电压方程。
664265313
114231321
)(
)(
SS
SS
uGiuGGGuG
uGiuGuGGG
计算方程系数及常数项
AAuGi
AAuGi
SS
RRR
GGG
SS
R
G
S
RRR
GGG
SS
SS
5.4 )
4
10
2(
5 )
5
15
2(
8.0 )
4
1
20
1
2
1
(
111
5.0
2
11
75.0S )
2
1
20
1
5
1
(
111
664
114
653
653
3
3
321
321
代入数据后的节点电压方程为
5.48.05.0
55.075.0
21
21
uu
uu
（ 5）求解节点电压方程，求出节点电压。解上述方程组，可得
VuVu 5.2 5 21,
（ 6）根据支路电流与节点电压的关系，由节点电压求出支路电流，进而求出其他待求变量。
AA
R
uu
i
AA
R
u
i
Aii
AA
R
uu
i
AA
R
u
i
AA
R
uu
i
S
S
S
875.1
4
105.2
125.0
20
5.2
2
75.3
5
)5.2(5
25.0
20
5
2
5
515
6
62
6
5
2
5
44
3
21
3
2
1
2
1
11
1
二、节点电压方程的规范形式具有两个独立节点、不含受控源的电阻性电路的节点电压方程一般形式
（规范形式）
22222121
11212111
S
S
iuGuG
iuGuG
G11,G22：分别是与节点 1、节点 2相连的所有支路的电导之和；
G12= G21,是跨接在节点 1与节点 2之间的所有支路电导之和的负值；
iS11,iS22：分别是与节点 1、节点 2相连的所有电流源和电压源输送给节点 1、节点 2的电流的代数和。
具有（ n－ 1）个独立节点、不含受控源的电阻性电路的节点电压方程一般形式（规范形式）
Gkk：节点 k的 自电导,等于与节点 k相连的所有支路的电导之和，为正值。
若电流源所在支路的电阻为无穷大，电导等于零。
Gkj：节点 k与节点 j的 互电导,等于直接接于节点 k与节点 j之间的所有支路的电导之和的负值。如果节点 k与节点 j之间没有直接跨接的支路或只含有电流源的支路，则 Gkj=Gjk=0。
iSkk：节点 k的 总电源电流,iSkk=∑iS＋ ∑GuS，包括电流源输送给节点 k的电流和电压源输送给节点 k的电流。
)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(
22)1()1(2222121
11)1()1(1212111
nnSnnnnn
Snn
Snn
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
节点 k的总电源电流
iSkk=∑iS＋ ∑GuS
当电压源的参考方向为 离开节点的，则对应的 GuS前面取,＋,号，否则取,－,
号。
∑iS
电流源输送给节点 k的电流与节点 k相连的各支路中电流源电流的代数和当电流源电流的参考方向 指向节点 k时，该电流源电流 iS前面取,＋,号，否则取“－”号。
∑GuS
电压源输送给节点 k的电流与节点 k相连的各支路中的电压源电压与该支路的电导乘积的代数和应用各物理量正负号确定规则的注意事项
① 应用前提：节点电压的参考方向为从非参考节点指向参考节点。
② 针对一般式（或规范式）这种特定的方程形式而言的。
③ 方程式左右两边物理量正负号的确定规则是相互联系，彼此对应的。
应用规范化节点电压方程求解电路的方法步骤
（ 1）选定参考节点，设出各节点电压和支路电流，选择各节点电压和支路电流的参考方向并标于电路图中；
（ 2）计算各节点的自电导、两节点之间的互电导及电源输送给各节点的电流；
（ 3）将上述计算结果代入规范化的节点电压方程式，写出节点电压方程；
（ 4）求解节点电压方程，求出节点电压；
（ 5）根据 KVL和电路元件的伏安关系，确定支路电流与节点电压之间的关系，从而求出支路电流，再由支路电流求出其他待求变量。
【 例 2－ 10】 图示电路中 R2=4Ω,R4=2Ω,R5=6Ω,R6=3Ω,IS1=5A，
IS3=10A,US4=6V,US6=15V，用节点电压法求电压源 US4发出的功率。
（ 1）选定参考节点，设出各节点电压和支路电流，选择各节点电压和支路电流的参考方向并标于电路图中。
（ 2）计算各节点自电导，两节点之间的互电导及电源输送给各节点的电流。
节点 1,2的自电导和互电导分别为
SS
R
GG
SS
RRR
G
SS
RR
G
5.0
2
11
1)
3
1
6
1
2
1
(
111
75.0)
2
1
4
1
(
11
4
2112
654
22
41
11
解电源供给节点 1,2的总电流分别为
AA
R
U
R
U
II
AA
R
U
III
SS
SS
S
SSS
12)
3
15
2
6
10(
2)
2
6
105(
6
6
4
4
322
4
4
3111
（ 3）将上述计算结果代入规范化的节点电压方程式，写出节点电压方程。
125.0
25.075.0
21
21
UU
UU
（ 4）求解节点电压方程，求出节点电压。解上述方程组，求得
VU VU 168 22,
（ 5）根据 KVL和电路元件的伏安关系，确定支路电流与节点电压之间的关系，从而求出支路电流，再由支路电流求出其他待求变量。根据
KVL和元件的伏安关系，得
02441 UUIRU S
解之得
AA R UUUI S 7)2 6168(
4
421
电压为 US4的电压源发出的功率为
WP 42)7(6
无伴电压源支路的处理
无伴电压源,无电阻与之串联的电压源。
R = 0 G = ∞
无伴电压源支路的电流无法直接用无伴电压源所关联的两个节点的节点电压来表示。
无法直接建立节点电压方程方法：增设无伴电压源的电流作为未知变量
每一个无伴电压源都可以提供一个对其所关联的两个节点的节点电压的约束。
【 例 2－ 11】 用节点电压法求图示电路中电流 I1。
解 （ 1）选择示电路节点 3为参考节点，
设节点 1,2的节点电压分别为 U1和 U2，
设电压源支路的电流为 I，选择它们的参考方向，如图中所标示。
（ 2）计算电路中各节点的自电导，两节点之间的互电导及电源注入各节点的电流。计算时将无伴电压源看作一个电压为已知量、电流为 I的电流源。
II
II
SSGG
SSG
SSG
S
S
22
11
2112
22
11
6
2.0
5
1
45.0 )
4
1
5
1
(
7.0 )
5
1
2
1
(
（ 3）根据节点电压方程的规范形式，写出节点电压方程。
IUU
IUU
21
21
45.02.0
62.07.0 即
045.02.0
62.07.0
21
21
IUU
IUU
（ 4）根据 KVL，确定无伴电压源支路所关联的两节点的节点电压与无伴电压源电压之间的约束关系，建立约束分程。
2421 UU
（ 5）联立求解上述方程，求出节点电压和无伴电压源的电流。
24
045.02.0
62.07.0
21
21
21
UU
IUU
IUU 解得
A 8.6
8
16
2
2
1
I
VU
VU
（ 6）根据 KVL及元件的伏安关系，由节点电压求得支路电流，进而求出其他待求变量
AAUI 8 2162 11
方法二,若选择节点 2作为参考节点，则节点 1的节点电压为 U1=24V。于是，只需要列出节点 3的节点电压方程，便可使问题得以解决。节点 3的节点电压方程为
6214121 13 ＝）（ UU
解之，得
VUVU 248 13?，＝
AAUUI 82 8242 311 ＝
三、弥尔曼定理只有两个节点的电路，参考点编号为 0，非参考点编号为 1
节点 1的节点电压方程的规范形式
SS GuiuG 1011
解之，得
11
10 G
Guiu SS
k
kkk
10 G
uGiu SS即
k：支路的编号，可取 1,2，．．．,b； b为接于两节点之间支路数。
弥尔曼定理弥尔曼定理
k
kkk
10 G
uGiu SS
∑iSk：各支路中的电流源电流的代数和，凡参考方向是指向非参考节点的电流源电流 iS前面取“＋”号，反之取“－”号。
∑GkuSk：各支路中的电压源电压与该支路电导的乘积的代数和，当电压源电压的参考极性的正极连接到非参考节点（参考方向是离开非参考节点）时，该项 GkuSk前面取“＋”号，反之取“－”号。
∑Gk：所有支路的电导之和。
【 例 2－ 12】 写出图示电路中电压 u的计算公式。
解
543
4
4
3
3
21
k
kkk
111
u
RRR
R
u
R
u
ii
G
uGi
SS
SS
SS
【 例 2－ 13】 用节点电压法计算图示电路中各支路电流。
解
AI
AAI
VVU
2
6.7
2
8.420
8.4
3
1
2
1
224
3
1
20
2
1
3
1
10
AAIII 6.9 )26.7(312
AAI 6.9 3 8.4242或第八节 叠加定理一、定理内容
叠加定理,在任意线性网络中，所有独立电源共同作用时在任一支路中产生的电压或电流，等于各独立电源单独作用时在该支路中产生的电压或电流的代数和。
独立电源单独作用是指依次相继地只保留一个独立电源于电路中，
让其发挥作用，而将其余的独立电源都 置零 。
独立电源置零独立电压源独立电流源相当于 短路电压取零值电流取零值 相当于 开路叠加定理应用分析利用叠加定理求图（ a）所示电路中 R1上的电压 u1
和 R2上的电流 i2
电压源 uS单独作用时的电路如图（ b）所示，得
ss uRRi uRR
Ru
21
2
21
1
1
1
电压源 iS单独作用时的电路如图（ c）所示，得
ss iRR
Ri i
RR
RRu
21
1
2
21
21
1
叠加
ss
ss
i
RR
R
u
RR
iii
i
RR
RR
u
RR
R
uuu
21
1
21
222
21
21
21
1
111
1
二、定理应用
1,应用叠加定理求解电路的步骤
（ 1）画出各独立电源单独作用时的电路图；
（ 2）计算在各独立电源单独作用下产生的，与待求量相对应的电压或电流；
（ 3）将各独立电源单独作用时所产生的电流或电压叠加起来，从而求出所有独立电源共同作用时所产生的电压或电流。
2．应用叠加定理时应注意的问题
（ 1）叠加定理只适用于 线性电路,不适用于非线性电路。
（ 2）叠加定理只适用于计算电路中的 电压 和 电流,不能直接用于计算功率。
（ 3）各个独立电源单独作用时，其他独立电源均应 置零,
即电压源用短路代替，电流源用开路代替，此时电路中的非独立电源元件如受控源、电阻元件等，均应保留在电路中，不应更动。
（ 4）叠加时，应根据电流和电压的参考方向来确定 代数和中的正负号。当独立电源单独作用时产生的电压或电流的参考方向与原电路图中（所有独立电源共同作用时）对应的电压或电流的参考方向一致时，该电压或电流前面取正号，反之取负号。
2．定理应用举例
【 例 2－ 14】 图（ a）所示桥形电路中,R1=2Ω,R2=3Ω,R3=2Ω,R4=1Ω，
US=12V,IS=5A。试用叠加定理计算电路中电压 U和电流 I。
（ 1）画出各独立电源单独作用时的电路图。电压源 US单独作用时的电路如图（ b）所示，电流源 IS单独作用时的电路如图（ c）所示。
（ 2）计算在各独立电源单独作用下产生的，与待求量相对应的电压或电流。
解电压源 US单独作用时：
VVIRIRU
AAIII
AA
RR
U
I
AA
RR
U
I
s
s
3)3332(
6)33(
3
13
12
3
22
12
2211
21
42
2
31
1
电流源 IS单独作用时：
VVIRIRU
AAIII
AAI
RR
R
I
AAI
RR
R
I
s
s
75.8)25.135.22(
25.1)5.225.1(
25.15
13
1
5.25
22
2
2211
12
42
4
2
31
3
1
（ 3）将各独立电源单独作用时所产生的电流或电压叠加
VV UUU
AAIII
75.5)75.83(
25.7)25.1(6
第九节 戴维南定理和诺顿定理一、戴维南定理
（一） 定理内容
戴维南定理,一个由线性电阻、线性受控源和独立电源组成的二端网络，对外电路而言，可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效替代，
此电压源的电压等于二端网络的开路电压，该电阻等于将二端网络内部的所有独立电源置零后，从二端网络端口看进去的等效电阻。
uoc,开路电压 Req,等效电阻
NS：有源二端网络 N0：无源二端网络
（二） 定理应用
1．应用戴维南定理求解电路的步骤
（ 1）移去待求变量所在的支路（或移去一个二端电路），使余下的电路成为一个有源二端网络，用网络分析的一般方法，求得有源二端网络的开路电压 uoc；
（ 2）将有源二端网络中的所有独立电源置零，使其成为无源二端网络，
计算从该无源二端网络端口看进去的等效电阻 Req；
（ 3）根据已求得的有源二端网络的开路电压 uoc和等效电阻 Req，构成戴维南等效电路，并以之替代对应的有源二端网络，画出替代后的等效电路；
（ 4）计算变换后的等效电路，求得待求量。
2．戴维南等效电阻的计算方法
（ 1）将有源二端网络中的所有独立电源置零，使之变为无源二端网络后，采用电阻串并联等效变换,Y－△等效变换等等效变换的方法求得等效电阻。（对含有受控源的网络不适用）
（ 2）将有源二端网络中的所有独立电源置零后，在其端口处外施电压源 uS或电流源 iS，求得端口电流 i或端口电压 u，再用下列式计算戴维南等效电阻。（ 对含有受控源的二端网络较为适宜。 ）
s
eq
s
eq i
uR
i
uR 或
（ 3）计算出有源二端网络的开路电压 uoc和短路电流 isc，再用下列式计算戴维南等效电阻。（ 也适用含有受控源的网络 ）
sc
oc
eq i
uR?
3．定理应用举例
【 例 2－ 15】 用戴维南定理求图（ a）示电路中的电流 I。
解 （ 1） 将图（ a）所示电路中电阻 R支路移去，使余下的电路成为一个有源二端网络，如图（ b）所示。计算该有源二端网络的开路电压
VVVIIU oc 2 )64( )1010 1210126 126(106 12
（ 2）将图（ b）所示有源二端网络中的电压源置零，使之成为一无源二端网络，如图（ c）所示。计算从该无源二端网络端口看进去的等效电阻
9 )45( )126 1261010 1010(eqR
（ 3）用戴维南等效电路替代图（ a）中的有源二端网络，替代后的等效电路如图（ d）所示。计算替代后的等效电路，可得
AA RR UI
eq
oc 2.0
19
2
【 例 2－ 16】 图（ a）所示电路为一个有源二端网络外接一可调电阻 R，
其中 US=36V,IS=2A,R1=4Ω,R2=4Ω,R3=2Ω，试问当 R等于多少时，
它可以从电路中获得最大功率，此最大功率为多少？
解 （ 1）将电阻 R移去，余下的有源二端网络如图（ b）所示，该有源二端网路的开路电压为 VU
oc 32?
（ 2）将图（ b）所示有源二端网络中的电压源用短路代之，电流源用开路代之，从而得到如图（ c）所示的无源二端网络，计算从其端口看进去的等效电阻
3eqR
（ 3）用戴维南等效电路代替有源二端网络后，得到的等效电路如图（ d）
所示。根据图（ d）所示电路，应用求函数最值的方法，可确定当
R=Req=3Ω时，电阻 R获得最大功率，其值为
WWRp
eq
oc 33.85
34
32
4
U 22
m a x
二、诺顿定理
（一） 定理内容
诺顿定理,一个由线性电阻、线性受控源和独立电源组成的二端网络，对外电路而言，可以用一个电流源与电阻的并联组合来等效替代，此电流源的电流等于二端网络的短路电流，该电阻等于将二端网络内部所有独立电源置零后，从二端网络端口看进去的等效电阻。
isc,短路电流 Req,等效电阻
NS：有源二端网络 N0：无源二端网络
（二）定理应用
【 例 2－ 17】 求图（ a）所示二端网络的诺顿等效电路。
解 （ 1）计算有源二端网络的短路电流。 当 a,b两端短路时，通过引出端钮的电流为
AAi sc 4)530602020(
（ 2）将图（ a）所示二端网路内部所有独立电源置零后得到的无源二端网络如图（ b）所示，从该二端网络端口看进去的等效电阻为
122030 2030eqR
（ 3）根据已求得的短路电流 iSC和等效电阻 Req构成诺顿等效电路。图（ a）
所示的有源二端网络的诺顿等效电路如图（ c）所示。
第二章小结
1．网络的等效变换
（ 1）等效变换和等效网络的概念如果用一个电路去替代另一个电路中的某一部分，替代后电路中未被替代部分各支路电流和各节点之间的电压均保持不变，则这种变换称为等效变换。
如果两个网络的对应外接端钮处的电压与电流的关系完全相同，即两网络具有完全相同的外部特性，则这两个网络为等效网络。等效是对等效网络外部电路而言，其内部未必等效。
（ 2） n个电阻串联等效电阻,?
n RR
1k k
分压公式：
uRRu ii?
（ 3） n个电阻并联等效电导,?
n GG
1k k
分流公式：
iGGi ii?
（ 4）电阻的 Y─△ 等效变换形中不相关联端的电阻形电阻两两乘积之和
＝
形电阻之和形相邻两电阻的乘积
Y
Y
R
R Y
三个电阻相等时，有 R△ =3RY
（ 5）两种电源模型的等效互换电压源与电阻的串联组合和电流源与电阻的并联组合两者之间可以等效互换。
等效互换条件 sssss iRuRR,
2．网络方程法
（ 1）支路电流法以支路电流作为求解对象，对独立节点和独立回路应用 KCL和 KVL,
建立独立的 KCL方程和 KVL方程，求解电路方程，求得支路电流，进而求得其他变量。
具有 n个节点,b条支路的网络，独立节点数为 n－ 1,独立回路数为 b
－（ n－ 1）。平面电路中网孔就是独立回路。支路电流法对支路较少的电路较为适宜。
（ 2）网孔电流法以网孔电流作为求解对象，对网孔应用 KVL，建立网孔电流方程，
求解网孔电流方程，求得网孔电流，进而求得支路电流及其他变量。
网孔电流法只适用于平面电路，网孔电流法对于网孔数目较少的电路较为适宜。
（ 3）节点电压法以节点电压作为求解对象，用节点电压表示支路电流，对电路中非参考节点应用 KCL，建立节点电压方程，求解节点电压方程，求得节点电压，
进而求得支路电流及其他变量。
节点电压法对节点较少的电路较为适宜。对于只有两个节点的电路，可直接应用节点电压公式来求节点电压，即可用弥尔曼定理求解节点电压，节点电压的计算公式为
k
kkk
10 G
iuGu SS
3．网络定理
（ 1）叠加定理线性网络中，所有独立电源共同作用在电路中任一支路中所产生的电流或电压，等于各个独立电源单独作用在该支路中所产生的电流或电 压的代数和。
（ 2）戴维南定理含独立电源的线性电阻性二端网络，对外电路而言，可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效替代。该电压源电压等于有源二端网络的开路电压，电阻等于有源二端网络内部的所有独立电源置零后，从端口 看进去的等效电阻。
（ 3）诺顿定理含独立电源的线性电阻性二端网络，对外电路而言，可以用一个电流源与电阻的并联组合来等效替代。该电流源电流等于有源二端网络的短路电流，电阻等于将有源二端网络内部的所有独立电源置零后，从端 口看进去的等效电阻。
求二端网络的戴维南等效电阻的方法有三种：①等效变换法；②外加电源法；③求开路电压与短路电流的比值法。
