第六章 非正弦周期电流电路第一节 非正弦周期信号第二节 非正弦周期函数的分解第三节 非正弦周期量的有效值、平均值及非正弦周期电流 电路的平均功率第四节 非正弦周期电流电路的计算第六章小结第一节 非正弦周期信号
非正弦周期信号,随时间周期性地按非正弦规律变化的信号。
几种非正弦周期信号的波形
出现非正弦周期电压和电流的主要原因：
电路中存在非线性电源或信号源例如,由于设计和制造上的原因，电力系统中交流发电机发出的电压波形并不是理想的正弦波；无线电通信系统中的信号源所产生的电信号也不是正弦波等。
电路中存在非线性负载元件例如,当二极管两端施加正弦电压时，通过二极管的电流波形却是一个只有正半波的半波整流波；变压器原线圈两端外加正弦电压时，其空载电流为一尖顶波 。
第二节 非正弦周期函数的分解傅里叶级数,若周期为 T，角频率 ω=2π/T的周期函数，满足狄里赫利条件，则的可展开为
∵
T dttfTa 00 )(1
200 )(c o s)(1c o s)(2 ttdktft d tktfTa Tk
200 )(s i n)(1s i n)(2 ttdktft d tktfTb Tk
1
0
22110
)s i nc o s(
s i nc o s2s i n2c o ss i nc o s)(
k
kk
kk
tkbtkaa
tkbtkatbtatbtaatf
)tk(s i nAs i nc o s kk tkbtka kk
)s i n ()2s i n ()s i n ()( 22110 kk tkAtAtAAtf
1
0 )s i n (
k
kk tkAA
∴
利用三角函数形式的变换，得：
kkk
kkk
k
k
k
kkk
Ab
Aa
b
a
baA
aA
c o s
s i n
a r c t a n
22
00
傅里叶系数间的关系
)s i n ()2s i n ()s i n ()( 22110 kk tkAtAtAAtf
1
0 )s i n (
k
kk tkAA
几种非正弦周期函数的傅里叶级数名 称 波 形 傅 里 叶 级 数 有 效 值 平 均 值梯 形 波
f ( t ) =
mA4
(sin α sin ω t +
9
1
sin 3 α sin 3 ω t
+
25
1
sin 5 α sin 5 ω t +…
+
2
k
1
sin k α sin k ω t + …)
（式中 α =
T
d2?
,k 为奇数）
A
m
3
4
1
A
m
(1 －
)
三 角 波
f ( t ) =
2
mA8
(sin ω t －
9
1
sin 3 ω t
+
25
1
sin 5 ω t +…
+
2
2
1k
k
)1(
sin k ω t + …)
（ k 为奇数）
3
A m
2
A m
续表 几种非正弦周期函数的傅里叶级数名 称 波 形 傅 里 叶 级 数 有 效 值 平 均 值矩 形 波
f ( t ) =
mA4
(sin ω t+
3
1
sin 3 ω t
+
5
1
sin 5 ω t +
k
1
sin k ω t + …)
（ k 为奇数）
A
m
A
m
半波整流波
f ( t ) =
mA2
(
2
1
+
4
c o s ωt
+
31
1
c o s2 ωt －
53
1
c o s4 ωt
+
75
1
c o s6 ωt － …)
2
A m
mA
全波整流波
f ( t ) =
mA4
(
2
1
+
31
1
c o s2 ωt
－
53
1
c o s4 ωt +
75
1
c o s6 ωt
－ …)
2
A m
mA2
续表 几种非正弦周期函数的傅里叶级数名 称 波 形 傅 里 叶 级 数 有 效 值 平 均 值锯 齿 波
f ( t ) = A
m
[
2
1
－
1
(sin ω t +
2
1
sin 2 ω t
+
3
1
sin 3 ω t + …) ]
3
A m
2
A m
矩形脉冲波
f ( t ) = A
m
[ α +
2
(sin α π c o s ω t
+
2
1
sin 2 α π c o s2 ω t
+
3
1
sin 3 α π c o s3 ω t + …) ]
A
m
αA m
几种波形具有对称性的周期函数的傅里叶级数
1,奇函数的傅里叶级数奇函数,f(t)=－ f(－ t)；奇函数的波形对称于坐标系的原点。如前表中的梯形波、三角波、矩形波所对应的函数都是奇函数。
奇函数的傅里叶级数只含有正弦项，不含有恒定分量和余弦项，其傅里叶级数展开式为：
1
s in)(
k
k tkbtf?
2,偶函数的傅里叶级数偶函数,f(t)=f(－ t) ；偶函数的波形对称于纵轴。如前表中半波整流波、全波整流波及矩形脉冲波所对应的函数都是偶函数。
偶函数的傅里叶级数中只含有恒定分量和余弦项，不含有正弦项，其傅里叶级数展开式为：
1
0 c o s)(
k
k tkaatf?
( k =1,2,3…)
( k =1,2,3…)
3.奇谐波函数的傅里叶级数奇谐波函数,)
2()(
Ttftf
奇谐波函数的波形移动半个周期 后所得到的波形与原波形关于 t轴对称。如 梯形波、三角波及矩形波所对应的函数。
奇谐波函数的傅里叶级数中只含有奇次项，不含有偶次项
（包括恒定分量），其傅里叶级数展开式为：
（ k＝ 1,3,5… ）
tbtatf ks i nkc o s)(
1k
k
1k
k
)ks i n ( k
1k
k
tA
偶谐波函数的傅里叶级数中只有恒定分量和偶次项，而无奇次项。偶谐波函数的傅里叶级数展开式为：
（ k＝ 2,4,6… ）
4,偶谐波函数的傅里叶级数偶谐波函数：
)2()( Ttftf
偶谐波函数的波形后半周期是前半周期的重复。如锯齿波、全波整流波所对应的函数。
tbtaatf ks i nkc o s)(
1k k1k k0
)ks i n ( k
1k
k0
tAA
【 例 6－ 1】 求下图所示矩形波电压的傅里叶级数的展开式。
解 电压 u在一个周期内的表达式为根据傅里叶系数公式有：
0)(111
2
2
000
TT m
T
m
T dtU
TdtUTu d tTa
0kc o s)(
1
)(kc o s
1
)(kc o s
1
2
0
2
0k
t d tUttdU
ttdua
mm
Tt
T
Uu
T
tUu
m
m
2
2
0
例 6－ 1续
)kc o s1(
k
2
)(ks i n)(
1
)(ks i n
1
)(ks i n
1
2
0
2
0
k
m
mm
U
tdtUtdtU
tdtub
k为偶数时 0
k?b
k为奇数时，
k
4
k m
Ub?
u的傅里叶级数展开式为
...)5s in513s in31( s in4 tttUu m
）；（,..,,2,0 TTtt
第三节 非正弦周期量的有效值、平均值及非正弦周期电流 电路的平均功率一、有效值设非正弦周期电流的傅里叶级数展开式为,
1
0 )s in (
k
ikmk tkIIi
代入
2
0
1 TI i d t
T
得
T
k
ikmk
T dttkII
TdtiTI 0
2
1
00
2 ])s in ([11
222120 IIII
非正弦周期电流的有效值等于直流分量的平方和各次谐波有效值的平方之和的平方根。
【 例 6－ 2】 已知非正弦周期电压、电流分别为
Atti
Vttu
)152 0 0s i n (20)451 0 0s i n (605
3 0 0s i n501 0 0s i n1 0 010
试求该电压、电流的有效值。
解
VVUUUU 69.79)250()21 0 0(10 222222120
AAIIII 45)
2
20()
2
60(5 2222
2
2
1
2
0
二、平均值
周期量的平均值,周期量的绝对值在一个周期内的平均值。
Tav dtiTI 01
周期量平均值的几何意义非正弦周期电流的平均值正弦电流 i的平均值
IIIt
T
I
t d t
T
I
dttI
T
dti
T
I
mm
T
m
T
m
T
m
T
av
9.06 3 7.0
2
]c o s[
2
s i n
2
s i n
11
2
0
2
000
正弦量的平均值是幅值的 倍。2
三、平均功率若一个二端网络的端口电压和电流都是非正弦周期量，参考方向选择一致，设其傅里叶级数展开式分别为：
1
0 )s in (
k
ukmk tkUUu
1
0 )s in (
k
ikmk tkIIi
则该二端网络吸收的平均功率为：
1
00 c o s
k
kkk IUIUP?
k?
式中：
Uk,Ik：第 k次谐波电压、电流的有效值；
：第 k次谐波电压与电流之间的相位差，即 。ikukk
dttkIItkUU
T
u i d t
T
pdt
T
P
k
ikmk
T
k
ukmk
TT
])s i n ([])s i n ([
1
11
1
00
1
0
00
非正弦周期电流电路中任一二端网络的平均功率等于其直流分量构成的功率和各次谐波分量构成的平均功率之和。
不同频率的电压谐波和电流谐波不能构成平均功率，只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。
1
00 c o s
k
kkk IUIUP?
【 例 6－ 3】 已知一个二端网络的端口电压和电流的参考方向一致，端口电压和电流的表达式分别为
Atti
Vtttu
)456 2 8s i n (5)303 1 4s i n (105
9 4 2s i n206 2 8s i n303 1 4s i n6010
试计算该二端网络吸收的平均功率。
解
W
W
IUIUIUP
83.362
)45c o s
2
5
2
30
30c o s
2
10
2
60
510(
c o sc o s 22211100
第四节 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期线性电路的计算傅里叶级数展开法叠加定理谐波分析法谐波分析法的 具体步骤：
（ 1）将给定的非正弦周期电源电压或电流分解为傅里叶级数，并根据精确度的要求，截取有限项；
（ 2）分别计算出电源电压或电流的直流分量和各次谐波分量单独作用时电路中所产生的电压和电流；
（ 3）将计算出来的同一条支路的电压或电流的直流分量和各次谐波分量的瞬时值表达式相加，从而求得在非正弦周期电压或电流作用下的各支路电压和电流。
（ 1）电感和电容对于不同频率的谐波呈现不同的阻抗。
对直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路；
对于 k次谐波，感抗 XLk=kωL=kXL1
容抗
（ 2）应用叠加定理求各支路电压或电流时，只能将同一支路的各电压或电流分量的瞬时值表达式相加，而不能将各电压分量或电流分量的相量相加。
谐波分析法的应用注意：
1k k
1
k
1
CC XCX
【 例 6－ 4】 图（ a）所示电路中，,R=5Ω,
，,求电流 i，电压 u和电压源 us输出的平均功率。?2L?
121C?
解 （ 1）计算电源电压的直流分量单独作用时电路中的电压和电流。
US0=10V单独作用时的等效电路如图（ b）所示，这时电感相当于短路，
电容相当于开路。于是，可得
V0
2
5
10
0
0
0
U
A
R
UI S
V]3s i n220s i n210010[ ttu S
VVjIjXU
jA
A
Z
U
I
jj
jj
jXjX
jXjX
RZ
C
X
LX
VU
S
CL
CL
C
L
S
36.6425.4364.2502.184.2
64.2555.54.2564.2502.18
64.2555.5
0100
122
)12(2
5
)(
12
1
2
0100
1
1
1
1
1
1
11
11
11
1
1
1
（ 2）计算电源电压的基波分量单独作用时电路中的电压和电流。
单独作用时的电路是一个正弦稳态电路，电路的相量模型如图（ c）所示。用相量法计算该电路，计算过程如下,Vtu S?s i n21 0 01?
（ 3）计算三次谐波电压单独作用时电路中的电压和电流。
单独作用时电路的相量模型如图（ d）
所示。用相量法计算如下,Vtu S?3s i n2203?
VVjIjXU
AA
Z
U
I
j
jj
jj
jXjX
jXjX
RZ
C
X
LX
VU
S
CL
CL
C
L
S
62.2248.1838.6754.112
38.6754.1
38.6713
020
38.6713125
46
)4(6
5
)(
412
3
11
3
1
6233
020
3
3
3
3
3
1
33
33
3
3
3
3
（ 4）将各次谐波分量的相量转化为瞬时值表达式，再将属于同一支路的电流或电压的直流分量和各次谐波分量相加，从而求得支路电流或电压。
Ati )64.25s i n (202.181
,
Vtu )36.64s i n (225.431
Ati )38.673s i n (254.13
,
Vtu )62.223s i n (248.183
AttiiIi )]38.673s i n (254.1)64.25s i n (202.182[310
VttuuUu )]62.223s i n (248.18)36.64s i n (225.43[210
33311100 co sco s IUIUIUP SSS
W)]38.67c o s (54.12064.25c o s02.18100210[
WW 41.616585.1156.416220
（ 5）由支路电压和支路电流求得其他变量。
电压源 us输出的平均功率为第六章小 结
1,电路中出现非正弦电压或电流的原因
（ 1）电源或信号源产生的电信号是非正弦的；
（ 2）电路中存在非线性元件。
在电工技术所遇到的非正弦周期函数通常都能满足狄里赫利条件，都可以展开为傅里叶级数。角频率为 ω的周期函数 f(t)的傅里叶级数展开式为
1
0 )s i nc o s()(
k
kk tkbtkaatf
或
1
0 )s in ()(
k
kk tkAAtf
其中各项系数可用公式计算，也可通过查表获得。
2,非正弦周期函数的傅里叶级数
（ 1）奇函数傅里叶级数中只含有正弦项；
（ 2）偶函数傅里叶级数中只含有恒定分量和余弦项；
（ 3）奇谐波函数傅里叶级数中只含有奇次项；
（ 4）偶谐波函数傅里叶级数中只含有只含有偶次项（包括恒定分量）。
非正弦周期量的有效值等于直流分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。以电流为例，有
222120 IIII
非正弦周期量的平均值定义为一个周期内的绝对值的平均值。
以电流为例，有
Tav dtiTI 01
正弦量的平均值等于幅值的 2 /π倍。
根据周期函数 f (t)的波形的对称性，可判断它的傅里叶级数含有的谐波分量。
3.几种周期函数的傅立叶级数含有的谐波分量
4,非正弦周期量的有效值
5.非正弦周期量的平均值非正弦周期电流电路吸收的平均功率等于其直流分量的功率和各次谐波分量的平均功率之和。即
1
00 c o s
k
kkk IUIUP?
应注意到，不同次谐波的电压和电流不构成平均功率，只有同次谐波的电压和电流才能构成平均功率。
7,计算在非正弦周期信号作用下的线性电路的步骤
（ 1）将给定的非正弦周期电源电压或电流分解为傅里叶级数，并根据精确度的要求，截取有限项；
（ 2）分别计算出电源电压或电流的直流分量和各次谐波分量单独作用时电路中所产生的电压和电流；
（ 3）将计算出来的同一条支路的电压或电流的直流分量和各次谐波分量的瞬时值表达式相加，从而求得在非正弦周期电压或电流作用下的各支路电压和电流。
6,非正弦周期电流电路的平均功率计算非正弦周期电流电路时应注意的问题是：
（ 1）电感和电容对于不同频率的谐波呈现不同的阻抗。对直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路；对于 K次谐波，感抗,
容抗 。
1LLK KXLKX
111 CCK XKCKX
（ 2）应用叠加定理求各支路电压或电流时，只能将同一支路的各电压或电流分量的瞬时值表达式相加，而不能将各电压分量或电流分量的相量相加。
非正弦周期信号,随时间周期性地按非正弦规律变化的信号。
几种非正弦周期信号的波形
出现非正弦周期电压和电流的主要原因：
电路中存在非线性电源或信号源例如,由于设计和制造上的原因，电力系统中交流发电机发出的电压波形并不是理想的正弦波；无线电通信系统中的信号源所产生的电信号也不是正弦波等。
电路中存在非线性负载元件例如,当二极管两端施加正弦电压时，通过二极管的电流波形却是一个只有正半波的半波整流波；变压器原线圈两端外加正弦电压时，其空载电流为一尖顶波 。
第二节 非正弦周期函数的分解傅里叶级数,若周期为 T，角频率 ω=2π/T的周期函数，满足狄里赫利条件，则的可展开为
∵
T dttfTa 00 )(1
200 )(c o s)(1c o s)(2 ttdktft d tktfTa Tk
200 )(s i n)(1s i n)(2 ttdktft d tktfTb Tk
1
0
22110
)s i nc o s(
s i nc o s2s i n2c o ss i nc o s)(
k
kk
kk
tkbtkaa
tkbtkatbtatbtaatf
)tk(s i nAs i nc o s kk tkbtka kk
)s i n ()2s i n ()s i n ()( 22110 kk tkAtAtAAtf
1
0 )s i n (
k
kk tkAA
∴
利用三角函数形式的变换，得：
kkk
kkk
k
k
k
kkk
Ab
Aa
b
a
baA
aA
c o s
s i n
a r c t a n
22
00
傅里叶系数间的关系
)s i n ()2s i n ()s i n ()( 22110 kk tkAtAtAAtf
1
0 )s i n (
k
kk tkAA
几种非正弦周期函数的傅里叶级数名 称 波 形 傅 里 叶 级 数 有 效 值 平 均 值梯 形 波
f ( t ) =
mA4
(sin α sin ω t +
9
1
sin 3 α sin 3 ω t
+
25
1
sin 5 α sin 5 ω t +…
+
2
k
1
sin k α sin k ω t + …)
（式中 α =
T
d2?
,k 为奇数）
A
m
3
4
1
A
m
(1 －
)
三 角 波
f ( t ) =
2
mA8
(sin ω t －
9
1
sin 3 ω t
+
25
1
sin 5 ω t +…
+
2
2
1k
k
)1(
sin k ω t + …)
（ k 为奇数）
3
A m
2
A m
续表 几种非正弦周期函数的傅里叶级数名 称 波 形 傅 里 叶 级 数 有 效 值 平 均 值矩 形 波
f ( t ) =
mA4
(sin ω t+
3
1
sin 3 ω t
+
5
1
sin 5 ω t +
k
1
sin k ω t + …)
（ k 为奇数）
A
m
A
m
半波整流波
f ( t ) =
mA2
(
2
1
+
4
c o s ωt
+
31
1
c o s2 ωt －
53
1
c o s4 ωt
+
75
1
c o s6 ωt － …)
2
A m
mA
全波整流波
f ( t ) =
mA4
(
2
1
+
31
1
c o s2 ωt
－
53
1
c o s4 ωt +
75
1
c o s6 ωt
－ …)
2
A m
mA2
续表 几种非正弦周期函数的傅里叶级数名 称 波 形 傅 里 叶 级 数 有 效 值 平 均 值锯 齿 波
f ( t ) = A
m
[
2
1
－
1
(sin ω t +
2
1
sin 2 ω t
+
3
1
sin 3 ω t + …) ]
3
A m
2
A m
矩形脉冲波
f ( t ) = A
m
[ α +
2
(sin α π c o s ω t
+
2
1
sin 2 α π c o s2 ω t
+
3
1
sin 3 α π c o s3 ω t + …) ]
A
m
αA m
几种波形具有对称性的周期函数的傅里叶级数
1,奇函数的傅里叶级数奇函数,f(t)=－ f(－ t)；奇函数的波形对称于坐标系的原点。如前表中的梯形波、三角波、矩形波所对应的函数都是奇函数。
奇函数的傅里叶级数只含有正弦项，不含有恒定分量和余弦项，其傅里叶级数展开式为：
1
s in)(
k
k tkbtf?
2,偶函数的傅里叶级数偶函数,f(t)=f(－ t) ；偶函数的波形对称于纵轴。如前表中半波整流波、全波整流波及矩形脉冲波所对应的函数都是偶函数。
偶函数的傅里叶级数中只含有恒定分量和余弦项，不含有正弦项，其傅里叶级数展开式为：
1
0 c o s)(
k
k tkaatf?
( k =1,2,3…)
( k =1,2,3…)
3.奇谐波函数的傅里叶级数奇谐波函数,)
2()(
Ttftf
奇谐波函数的波形移动半个周期 后所得到的波形与原波形关于 t轴对称。如 梯形波、三角波及矩形波所对应的函数。
奇谐波函数的傅里叶级数中只含有奇次项，不含有偶次项
（包括恒定分量），其傅里叶级数展开式为：
（ k＝ 1,3,5… ）
tbtatf ks i nkc o s)(
1k
k
1k
k
)ks i n ( k
1k
k
tA
偶谐波函数的傅里叶级数中只有恒定分量和偶次项，而无奇次项。偶谐波函数的傅里叶级数展开式为：
（ k＝ 2,4,6… ）
4,偶谐波函数的傅里叶级数偶谐波函数：
)2()( Ttftf
偶谐波函数的波形后半周期是前半周期的重复。如锯齿波、全波整流波所对应的函数。
tbtaatf ks i nkc o s)(
1k k1k k0
)ks i n ( k
1k
k0
tAA
【 例 6－ 1】 求下图所示矩形波电压的傅里叶级数的展开式。
解 电压 u在一个周期内的表达式为根据傅里叶系数公式有：
0)(111
2
2
000
TT m
T
m
T dtU
TdtUTu d tTa
0kc o s)(
1
)(kc o s
1
)(kc o s
1
2
0
2
0k
t d tUttdU
ttdua
mm
Tt
T
Uu
T
tUu
m
m
2
2
0
例 6－ 1续
)kc o s1(
k
2
)(ks i n)(
1
)(ks i n
1
)(ks i n
1
2
0
2
0
k
m
mm
U
tdtUtdtU
tdtub
k为偶数时 0
k?b
k为奇数时，
k
4
k m
Ub?
u的傅里叶级数展开式为
...)5s in513s in31( s in4 tttUu m
）；（,..,,2,0 TTtt
第三节 非正弦周期量的有效值、平均值及非正弦周期电流 电路的平均功率一、有效值设非正弦周期电流的傅里叶级数展开式为,
1
0 )s in (
k
ikmk tkIIi
代入
2
0
1 TI i d t
T
得
T
k
ikmk
T dttkII
TdtiTI 0
2
1
00
2 ])s in ([11
222120 IIII
非正弦周期电流的有效值等于直流分量的平方和各次谐波有效值的平方之和的平方根。
【 例 6－ 2】 已知非正弦周期电压、电流分别为
Atti
Vttu
)152 0 0s i n (20)451 0 0s i n (605
3 0 0s i n501 0 0s i n1 0 010
试求该电压、电流的有效值。
解
VVUUUU 69.79)250()21 0 0(10 222222120
AAIIII 45)
2
20()
2
60(5 2222
2
2
1
2
0
二、平均值
周期量的平均值,周期量的绝对值在一个周期内的平均值。
Tav dtiTI 01
周期量平均值的几何意义非正弦周期电流的平均值正弦电流 i的平均值
IIIt
T
I
t d t
T
I
dttI
T
dti
T
I
mm
T
m
T
m
T
m
T
av
9.06 3 7.0
2
]c o s[
2
s i n
2
s i n
11
2
0
2
000
正弦量的平均值是幅值的 倍。2
三、平均功率若一个二端网络的端口电压和电流都是非正弦周期量，参考方向选择一致，设其傅里叶级数展开式分别为：
1
0 )s in (
k
ukmk tkUUu
1
0 )s in (
k
ikmk tkIIi
则该二端网络吸收的平均功率为：
1
00 c o s
k
kkk IUIUP?
k?
式中：
Uk,Ik：第 k次谐波电压、电流的有效值；
：第 k次谐波电压与电流之间的相位差，即 。ikukk
dttkIItkUU
T
u i d t
T
pdt
T
P
k
ikmk
T
k
ukmk
TT
])s i n ([])s i n ([
1
11
1
00
1
0
00
非正弦周期电流电路中任一二端网络的平均功率等于其直流分量构成的功率和各次谐波分量构成的平均功率之和。
不同频率的电压谐波和电流谐波不能构成平均功率，只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。
1
00 c o s
k
kkk IUIUP?
【 例 6－ 3】 已知一个二端网络的端口电压和电流的参考方向一致，端口电压和电流的表达式分别为
Atti
Vtttu
)456 2 8s i n (5)303 1 4s i n (105
9 4 2s i n206 2 8s i n303 1 4s i n6010
试计算该二端网络吸收的平均功率。
解
W
W
IUIUIUP
83.362
)45c o s
2
5
2
30
30c o s
2
10
2
60
510(
c o sc o s 22211100
第四节 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期线性电路的计算傅里叶级数展开法叠加定理谐波分析法谐波分析法的 具体步骤：
（ 1）将给定的非正弦周期电源电压或电流分解为傅里叶级数，并根据精确度的要求，截取有限项；
（ 2）分别计算出电源电压或电流的直流分量和各次谐波分量单独作用时电路中所产生的电压和电流；
（ 3）将计算出来的同一条支路的电压或电流的直流分量和各次谐波分量的瞬时值表达式相加，从而求得在非正弦周期电压或电流作用下的各支路电压和电流。
（ 1）电感和电容对于不同频率的谐波呈现不同的阻抗。
对直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路；
对于 k次谐波，感抗 XLk=kωL=kXL1
容抗
（ 2）应用叠加定理求各支路电压或电流时，只能将同一支路的各电压或电流分量的瞬时值表达式相加，而不能将各电压分量或电流分量的相量相加。
谐波分析法的应用注意：
1k k
1
k
1
CC XCX
【 例 6－ 4】 图（ a）所示电路中，,R=5Ω,
，,求电流 i，电压 u和电压源 us输出的平均功率。?2L?
121C?
解 （ 1）计算电源电压的直流分量单独作用时电路中的电压和电流。
US0=10V单独作用时的等效电路如图（ b）所示，这时电感相当于短路，
电容相当于开路。于是，可得
V0
2
5
10
0
0
0
U
A
R
UI S
V]3s i n220s i n210010[ ttu S
VVjIjXU
jA
A
Z
U
I
jj
jj
jXjX
jXjX
RZ
C
X
LX
VU
S
CL
CL
C
L
S
36.6425.4364.2502.184.2
64.2555.54.2564.2502.18
64.2555.5
0100
122
)12(2
5
)(
12
1
2
0100
1
1
1
1
1
1
11
11
11
1
1
1
（ 2）计算电源电压的基波分量单独作用时电路中的电压和电流。
单独作用时的电路是一个正弦稳态电路，电路的相量模型如图（ c）所示。用相量法计算该电路，计算过程如下,Vtu S?s i n21 0 01?
（ 3）计算三次谐波电压单独作用时电路中的电压和电流。
单独作用时电路的相量模型如图（ d）
所示。用相量法计算如下,Vtu S?3s i n2203?
VVjIjXU
AA
Z
U
I
j
jj
jj
jXjX
jXjX
RZ
C
X
LX
VU
S
CL
CL
C
L
S
62.2248.1838.6754.112
38.6754.1
38.6713
020
38.6713125
46
)4(6
5
)(
412
3
11
3
1
6233
020
3
3
3
3
3
1
33
33
3
3
3
3
（ 4）将各次谐波分量的相量转化为瞬时值表达式，再将属于同一支路的电流或电压的直流分量和各次谐波分量相加，从而求得支路电流或电压。
Ati )64.25s i n (202.181
,
Vtu )36.64s i n (225.431
Ati )38.673s i n (254.13
,
Vtu )62.223s i n (248.183
AttiiIi )]38.673s i n (254.1)64.25s i n (202.182[310
VttuuUu )]62.223s i n (248.18)36.64s i n (225.43[210
33311100 co sco s IUIUIUP SSS
W)]38.67c o s (54.12064.25c o s02.18100210[
WW 41.616585.1156.416220
（ 5）由支路电压和支路电流求得其他变量。
电压源 us输出的平均功率为第六章小 结
1,电路中出现非正弦电压或电流的原因
（ 1）电源或信号源产生的电信号是非正弦的；
（ 2）电路中存在非线性元件。
在电工技术所遇到的非正弦周期函数通常都能满足狄里赫利条件，都可以展开为傅里叶级数。角频率为 ω的周期函数 f(t)的傅里叶级数展开式为
1
0 )s i nc o s()(
k
kk tkbtkaatf
或
1
0 )s in ()(
k
kk tkAAtf
其中各项系数可用公式计算，也可通过查表获得。
2,非正弦周期函数的傅里叶级数
（ 1）奇函数傅里叶级数中只含有正弦项；
（ 2）偶函数傅里叶级数中只含有恒定分量和余弦项；
（ 3）奇谐波函数傅里叶级数中只含有奇次项；
（ 4）偶谐波函数傅里叶级数中只含有只含有偶次项（包括恒定分量）。
非正弦周期量的有效值等于直流分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。以电流为例，有
222120 IIII
非正弦周期量的平均值定义为一个周期内的绝对值的平均值。
以电流为例，有
Tav dtiTI 01
正弦量的平均值等于幅值的 2 /π倍。
根据周期函数 f (t)的波形的对称性，可判断它的傅里叶级数含有的谐波分量。
3.几种周期函数的傅立叶级数含有的谐波分量
4,非正弦周期量的有效值
5.非正弦周期量的平均值非正弦周期电流电路吸收的平均功率等于其直流分量的功率和各次谐波分量的平均功率之和。即
1
00 c o s
k
kkk IUIUP?
应注意到，不同次谐波的电压和电流不构成平均功率，只有同次谐波的电压和电流才能构成平均功率。
7,计算在非正弦周期信号作用下的线性电路的步骤
（ 1）将给定的非正弦周期电源电压或电流分解为傅里叶级数，并根据精确度的要求，截取有限项；
（ 2）分别计算出电源电压或电流的直流分量和各次谐波分量单独作用时电路中所产生的电压和电流；
（ 3）将计算出来的同一条支路的电压或电流的直流分量和各次谐波分量的瞬时值表达式相加，从而求得在非正弦周期电压或电流作用下的各支路电压和电流。
6,非正弦周期电流电路的平均功率计算非正弦周期电流电路时应注意的问题是：
（ 1）电感和电容对于不同频率的谐波呈现不同的阻抗。对直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路；对于 K次谐波，感抗,
容抗 。
1LLK KXLKX
111 CCK XKCKX
（ 2）应用叠加定理求各支路电压或电流时，只能将同一支路的各电压或电流分量的瞬时值表达式相加，而不能将各电压分量或电流分量的相量相加。
