第三章 单相正弦交流电路第一节 正弦交流电的基本概念第二节 正弦量的相量表示法第三节 基尔霍夫定律的相量形式第四节 正弦交流电路中的电阻元件第五节 正弦交流电路中的电感元件第六节 正弦交流电路中的电容元件第七节 电阻、电感和电容元件串联的正弦交流电路第八节 复阻抗和复导纳第九节 阻抗的串联和并联第十节 正弦交流电路的功率第十一节 功率因数的提高第十二节 正弦交流电路中的谐振第三章小结第一节 正弦交流电的基本概念
交流电压、交流电流、交流电动势,在一个周期内平均值等于零的周期电压、周期电流、周期电动势。
正弦量,按正弦规律变化的物理量的统称。
正弦电流、正弦电压、正弦电动势,随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势。
正弦交流电,正弦电流、电压、电动势的统称。
交流电路,通过交流电流的电路。
正弦交流电路,电路中所有电压、电流、电动势都是正弦量的电路。
在一定的参考方向下，正弦电流可表示为
)s i n ( im tIi
正弦电流的波形图
正弦量的主要特征,大小,变化的快慢 及 变化的进程一、周期、频率与角频率
周期,正弦量完成一个循环的变化所需要的时间。用 T表示，单位为秒（ s）。
频率,正弦量在单位时间内变化所完成的循环数。用 f表示，单位为赫兹（ Hz）。
角频率,正弦量在单位时间内变化的角度，即每秒变化的弧度数。用
ω表示，单位为弧度 /秒（ rad/s）。
Tf
1?
周期、频率和角频率都是表示正弦量变化快慢的量，周期愈大，正弦量变化愈慢；角频率愈大，频率愈高，正弦量变化愈快。
f2T 2
三者之间的关系：
【 例 3－ 1】 已知电流，试求该电流的周期 T和频率。
解
ss
f
T
HH f
sr a d
ZZ
02.0
50
11
50
2
100
2
100
二、瞬时值、幅值与有效值
瞬时值,随时间变化的电压或电流在某一时刻的数值。
幅值,正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值，又称最大值。大写字母加下标 m来表示，如 I
m,Um,Em。
有效值,如果一个周期性电流 i通过某一电阻 R，在一个周期内产生的热量与另一个直流电流 I通过电阻 R在相等的时间内产生的热量相等，则将此直流电流的数值 I称为该周期性电流的有效值。大写字母表示，如 I、
U,E。
RTI R d ti 2T0 2
由此可得到周期电流的有效值?
T dtiT I 0 21
设 i = Imsin(ωt+ψi)时
2212
11
0
2
0
22 mT
im
T
im
Idt)]t(c o s[I
Tdt)t(s i nIT I
周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，因此有效值又称均方根值。
2
1
0
2 mT Udtu
T U
2
1
0
2 mT Edte
T E
2
1
0
2 mT Idti
T I
【 例 3－ 2】 已知电压 u = 311sin(100πt + ) V，试求电压的有效值 U及 t =0.01s时电压的瞬时值。
解
V 220 UU m 23112
t =0.01s时
V 1 5 5,5
V )
2
1
(-311
V )3 1 1 s i n ( π
V )0,0 1 3 1 1 s i n ( 1 0 0 u
6
6
6
三、相位、初相位与相位差
相位角或相位,正弦量的数学表达式中的角度（ ωt+ψi）
反映正弦量变化的进程。
初相位或初相,t = 0时正弦量的相位角。
初相反映正弦量在计时起点的状态。
初相与参考方向和计时起点的选择有关。
正弦量的三要素,幅值,角频率 （或 频率 ）和 初相位 。
两个同频率正弦量的相位差
u = Umsin(ωt+ψu)
i = Imsin(ωt+ψi)
π≤ ︱ ︱?取值范围
u和 i的相位之差
iuiu tt )()(
相位差,两个同频率的正弦量的相位角之差。
0iu
0iu
超前滞后
u在相位上超前 i角度,或，
i在相位上滞后 u角度 。
u在相位上滞后 i角度,
或,i在相位上超前 u角度 。
0iu iu
电压 u与电流 i同相位，简称 同相 电压 u与电流 i反相
【 例 3－ 3】 已知电路中某条支路的电压 u和电流 i为工频正弦量，它们的最大值分别为 311V,5A，初相分别为 π/ 6和－ π/ 3。（ 1）试写出它们的解析式；（ 2）试求 u与 i的相位差，并说明它们之间的相位关系。
解
。
2
u 滞后i,在相位上，；
2
i超前u在相位上，
236
A )
3
t1 0 0(5 s i n)t(s i nIi
V )
6
t1 0 0(3 1 1 s i n)t(s i nUu
3
6
5AI V 3 1 1U
r a d / s 1 0 0 r a d / s 502 f2
iu
im
um
iu
mm
或者说
第二节 正弦量的相量表示法一、正弦量的旋转矢量表示法
旋转矢量的 长度 代表正弦量的 幅值
旋转矢量的初始位置与横轴正方向的 夹角 代表正弦量的 初相位
旋转矢量的 角速度 代表正弦量的 角频率
旋转矢量任一瞬时在纵轴上的 投影 表示正弦量在该时刻的 瞬时值正弦量 可以用 旋转矢量 来 表示二、正弦量的相量表示法复数 → 正弦量 i
矢量 → 复数
ij
mm e I
I
IIeeII
ii jjmm 22
其中
ijIeI
复数的极坐标形式
iimm II II
正弦量相量,表示正弦量的复数。
正弦量的幅值（最大值）相量,以正弦量的幅值（最大值）为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。
正弦量的有效值相量,以正弦量的有效值为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。
相量图,用复平面上的矢量表示相量的图形。
在相量图中，习惯上用表示相量的符号来表示对应的矢量。
正弦量与复数和矢量之间存在着一一对应的关系。正弦量既可以用复数表示，也可以用矢量表示。但正弦量既不是复数，也不是矢量。
几点说明
只有正弦量（包含余弦量）才能用相量表示，非正弦周期量不能直接用相量表示。
只有同频率的正弦量的相量之间才能进行相量运算，
不同频率的正弦量的相量之间不能进行相量运算。
一般情况下，只有同频率的正弦量的相量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量的相量不能画在同一相量图上，否则无法比较和计算。
作相量图时，往往把坐标轴省略不画。
【 例 3－ 4】 已知正弦电压 u和正弦电流 i的解析式为：
u =220sin(314t+π/6)V,i =5sin(314 t－ π/4)A，试写出它们的有效值相量，并画出它们的相量图。
解 u和 i的有效值相量为
A I
V U
4
5
6
2 2 0
的相量如 图和 I U
【 例 3－ 5】 已知 f = 50HZ，试写出下列相量所代表的正弦量的解析式。
。－，－
，－－，
V jU V U
A jI A jI
)31 1 01 1 0()1 2 03 8 0(
)232()535(
21
21
解
V 6t22tUu
VV U
V ttUu
V U
A ttIi
A A I
AttIi
A A I
r a d / s 100 f2
2U22
U
U
U
i
i
i
i
)0100s i n (20)s i n (2
60
110
3110
a r c t a n220)3110(110
)120100s i n (2380)s i n (2
120380
)150100s i n (24)s i n (2
150
32
2
a r c t a n18042)32(
)30100s i n (210)s i n (2
30
3
1
a r c t a n
35
5
a r c t a n105)35(
2
1
1
22
2
11
1
222
2
22
2
111
1
22
1
第三节 基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫电流定律的相量形式
0I
电流参考方向 指向 节点：取,＋,号电流参考方向 离开 节点：取,－,号
0)(ti
KCL的 瞬时值 形式 KCL的 相量 形式
在正弦稳态电路中，流过任一节点的所有支路电流相量的代数和等于零。
在集中参数电路中，任一时刻，连接于任一节点的所有支路电流的代数和等于零。
二 基尔霍夫电压定律的相量形式
0U
KVL的相量形式
0)t(u
KVL的瞬时值形式
任一时刻，沿集中参数电路中任一回路的所有支路电压的代数和等于零。
在正弦稳态电路中，沿任一回路的所有支路电压相量的代数和等于零。
支路电压的参考方向与回路绕行方向 一致 时，取,＋,
号，反之取,－,号。
【 例 3－ 6】 已知图（ a）所示电路中通过元件 1和 2的电流分别为：
i1 =100sin(314t +2π/3)A,i2 =200sin(314t +π/6)A，
（ 1）用相量式求总电流；（ 2）用相量图求总电流。
解
Ati
AAj
AjjIII
KCL
AjAI
AjAI
IIii
)57.56314s i n (260.223
57.5660.223 )60.18620.123(
)100310035050(
)1003100(
6
200
)35050(
3
2
100
)1(
21
2
1
21
21
＋＝
＋＋＋－＋
得：由
＋＝
＋－＝
来表示：和用相量和用相量式求解，将电流
）所示。如图（
的初相位，流正方向的夹角即为总电与横轴的有效值，的长度代表电流
），表示，且简称为相量相量图，也用的的矢量，即将便，常将表示相量
（为了叙述方的相量就是总电流线
，对角形为两邻边作一平行四边和，以和的相量图和先作出用相量图求解
b
i
OBiOB
II
II
IiOB
O AB C
IIIIii
2121
21
)2(
【 例 3－ 7】 在图示电路中，
。（ 1）用相量式求电路端口电压 u；（ 2）用相量图求电路端口电压 u。
解 （ 1）用相量式求解将 uR,uL和 uC用相量表示：
，,VtuVtu LR )90314s i n(2360314s i n2180
Vtu C )90314s i n (170
VU R?0180
VjU L 3 6 0V903 6 0
VjU C 120V902170
由 KVL得：
VjjjUUUU CLR 1.533 00V)2 401 80(V)1 203 601 80(
Vtu )13.53314s i n(2300
（ 2）用相量图求解的解析式。的初相位，据此可写是角就与实轴正方向之间的夹值，相量的有效的长度代表电压图中相量
）所示。。所作出的相量如图（即为的终点的相量，此相量的起点指向相量；作从相量的相量点，作滞后的起的终点作为相量；再以相量的相量的起点，作超前作为相量的终点；以相量首先作出相量
uu
U
uU
bU
U
UUU
UUU
UU
UU
C
RCR
CLL
RL
RR
90
90
第四节 正弦交流电路中的电阻元件一、电阻元件的电压与电流的关系
u,i取关联参考方向，设 i = Im sinωt
∴ u = Ri = RIm sinωt = Um sinωt
RU m
mmm I RIU 或
u和 i的有效值之间的关系为
RIRIUU mm 22 RIU?
或电阻元件的电路图结论：
当电阻元件中通以正弦交流电流时，其端电压为一同频率的正弦量；
当电压和电流取关联参考方向时，电压与电流的相位相同；
电阻元件的电压和电流的瞬时值之比、幅值之比及有效值之比都等于 电阻 R。
电阻元件的电压、电流和瞬时功率的波形图
0 UU?0 II
相量形式
IRRIUU 00
电阻元件的电压相量等于电阻乘以电流相量。
相量电路模型,将电路中的所有正弦电压和电流都用对应的相量替代，将所有电路元件的参数都有复数表示所得的电路模型。
电阻元件的相量模型 电阻元件的电压和电流的相量图
1．瞬时功率
瞬时功率,电路在某一瞬时吸收或发出的功率,p。
电路元件的瞬时功率等于元件端电压的瞬时值与元件中电流的瞬时值 的乘积。
u,i取关联参考方向，电阻元件所吸收的瞬时功率
p = u i = UmImsin2ωt = UI（ 1－ cos2ωt）
电阻元件所吸收的瞬时功率
p是随时间变化的。
电阻元件 R所吸收的瞬时功率恒为非负值。
电阻元件是一个耗能元件。
R元件的电压、电流和瞬时功率的波形图二、电阻元件的功率
平均功率,电路的瞬时功率在一个周期内的平均值,P，
单位为瓦（ W）。
电阻元件的平均功率
UIdttUIUIp d t TT 00 )2c o s(T1P?
∵ U = IR
R
U 22 RIUIP
2．平均功率
【 例 3－ 8】 有一额定电压 UN =220V、额定功率 PN =1000W的电炉，若加在电炉上的电压为 u =200sin(314t +π/4)V，试求通过电炉丝的电流 i和电炉的平均功率 P。
解
A 13.4A
40.48
2 0 0
R
U
I
40.48
1 0 0 0
2 2 0
R
22
N
N
P
U
设电流 i与电压 u取关联参考方向，则有
W8 2 6 W4,1 32 0 0I UP
A )
4
4t5,8 4 s i n ( 3 1
A )
4
4t4,1 3 s i n ( 3 12)I s i n ( 3 1 4 t2i
4
i
ui
第五节 正弦交流电路中的电感元件一、电感元件的电压与电流的关系
u,i取关联参考方向，设电流 i = Imsinωt
)(
)(
2
ts i nU
tc o sLIts i nI
dt
d
L
dt
di
Lu
m
mm
电感元件 u和 i的 幅值 之间的关系为
LU LIU mmm
mI或
u和 i的 有效值 之间的关系为
LIU LI2LIUU mm 或2
电感元件的电路图电感元件的电压、电流和瞬时功率的波形图结论,
当电感元件中的电流按正弦规律变化时，电感元件上的电压也将以同一频率按正弦规律变化。
当电压和电流取关联参考方向时，电压在相位上超前于电流 π/2。
电感元件电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）之比值为 ωL。
ωL,感抗,反映电感元件对正弦电流的抵抗能力,XL,单位 Ω。
XL = ωL = 2πf L
相量式
2,0
UUII?
电感元件电压与电流的相量关系式
IjXLIjjUUU
L?
2
电感元件的相量模型 电感元件的电压和电流的相量图二、电感元件的功率
1．瞬时功率 在关联参考方向下，电感元件所吸收的瞬时功率为
p = ui
= UmImsinωtsin(ωt+π/2 )
=2UI sinωt cosωt
=UI sin2ωt
电感元件的电压、电流和瞬时功率的波形图在正弦交流电路中，电感元件吸收的瞬时功率是一个幅值为 UI，角频率为 2ω的正弦量。
2．平均功率电感元件的平均功率为
0t d tUIT1pdtT1P TT 00 2s i n?
电感元件在与外电路进行往返的能量交换的过程中并不消耗能量。
电感元件是一个 储能 元件。
电感元件的电压、电流和瞬时功率的波形图
3．无功功率衡量储能元件与电源之间进行能量交换的能力,表示能量交换的规模。
无功功率引入
无功功率,在正弦稳态电路中，储能元件与电源之间往返交换能量的最大速率,Q，单位为乏（ var）。
在正弦交流电路中,电感元件的无功功率等于其瞬时功率的最大值。
L
LL X
UIXI UQ 2 2
【 例 3－ 9】 已知电感元件的电感 L = 0.1H，外加电压试求通过电感元件的电流 i及电感元件的无功功率 QL，并画出电压和电流的相量图。
解
V ) 30+ 3 1 4 t s i n (2 2 0=u?2
v a r20.1 5 4 2v a r01.72 2 0
)s i n (91.9)(
04.31
302 2 0
1.03 1 4
302 2 0
UIQ
A 60-t3 1 4A 60-t3 1 4s i n27,0 1i
A 60-7,0 1 A
9
A
jLj
U
I
L
（ 2）电压和电流的相量图如下图所示。
（ 1）
第六节 正弦交流电路中的电容元件一、电容元件的电压与电流的关系
u,i取关联参考方向，设电流 i = Im sinωt
电容元件两端的电压为
u和 i的幅值之间的关系为
u和 i的有效值之间的关系为
CI
UCUI
m
m
mm
1 或
CI
UCUUCII mm
1
22 或电容元件的电路图
)()( 2ts i nItc o sCUts i nUdtdCdtduCi mmm
结论：
当电容元件上的电压为正弦量时，其电流是一个同频率的正弦量。
当电压和电流取关联参考方向时，电流在相位上超前于电压 π/2。
电容元件上的电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）之 比值为 1 / ωC。
电容元件的电压、电流和瞬时功率的波形图
容抗,反映电容元件对正弦电流的抵抗能力,XC,单位 Ω。
fCC
1X
C 2
1
电容元件电压和电流的相量式
2,0
IIUU?
电压与电流的相量关系
IjXU jX
C
1j
I
U
I
U
CC 或
2
0
电容元件的相量模型 电容元件的电压和电流的相量图
1．瞬时功率在关联参考方向下，电容元件所吸收的瞬时功率为
p = ui = UmImsinωt cosωt = 2UIsinωt cosωt = UIsin2ωt
在正弦交流电路中，电容元件吸收的瞬时功率是一个幅值为 UI，
角频率为 2ωt的正弦量。
电容元件的电压、电流和瞬时功率的波形图二、电容元件的功率电容元件所吸收的平均功率为
0t d tUIT1pdtT1p TT 00 2s i n?
电容元件在与外电路进行能量交换的过程中并不消耗能量。
电容元件不是耗能元件，它也是一个储能元件。
2．平均功率
电容元件的无功功率就是电容元件与电源之间往返交换能量的最大速率。
C
2
CC X
UIXUIQ 2
感性 无功功率：电感元件的无功功率容性 无功功率：电容元件的无功功率电容元件的无功功率等于其瞬时功率的最大值。
3．无功功率
【 例 3－ 10】 已知电容元件的电容 C=100μF，电容元件上的电压 u = 20
sin(103t +60° )V，试求电容元件的电流 i和电容元件的无功功率 QC，并画出电压和电流的相量图。
解 （ 1）
v a r 20v a r 2210uiQ
A 150t102 s i ni
A 1502A 90602A
j 1 0
60210
jX
U
I
10
1010010
1
C
1
X
V 210V U
C
3
C
63C
)(
)(
2
20
（ 2）电容元件上的电压和电流的相量图如图所示。
第七节 电阻、电感和电容元件串联的正弦交流电路一、电压与电流的关系
RLC串联的电路 RLC串联电路的相量模型
CLR uuuu
CLR UUUU
各元件的电压与电流的相量关系
IjXU
IjXU
IRU
CC
LL
R
IZIXXjR
IjXIjXIRUUUU
CL
CLCLR
)]([
其中 Z = R＋ j( XL－ XC )
Z的极坐标式式中
ZXRXXRZ CL 2222 )(
R
XX
R
X
XRXXRZ
XXX
CL
CL
CL
a r c t a na r c t a n
)( 2222
s inZ X
c o sZ R
阻抗三角形的幅角，阻抗角：
抗，单位为的虚部，该电路中的电：
阻，单位为的实部，该电路中的电：
的模：复阻抗
：电路的复阻抗
Z
ZX
ZR
ZZ
Z
RLC串联电路：
电压的有效值（或幅值）与电流有效值（或幅值）之比值等于电路复阻抗的模。
在关联参考方向下，电压超前电流的相位角等于复阻抗的辐角。
Z
I
U
I
U ZZ
m
m
I
U
二、电路的性质
RLC串联电路的端电压与电流之间的相位关系取决于 XL与 XC的相对大小。
IZIXXjRIjXIjXIRU
CLCL )]([
电阻性电路：
电容性电路：
电感性电路：
00,XXX
00,XXX
00,XXX
CL
CL
CL
【 例 3－ 11】 在电阻、电感和电容元件串联电路中，已知 R=3Ω，
L=12.74mH,C=398μF，电源电压 U=220V,f=50HZ，选定电源电压为参考正弦量，（ 1）求电路中的电流相量 及电压相量 R,L,C；（ 2）
画出电流及各电压的相量图；（ 3）写出 i,uR,uL,uC的解析式。
解 （ 1）
I?U?U?U
V 02 2 00UU
1.535j 4 )3( )]84(j3[)XX(jRZ
8
103 9 83 1 4
1
C
1
X
4 101 2,7 43 1 4LX
r a d / s 3 1 4 r a d / s 503,1 42f2
CL
6C
3-
L
设各电压和电流的参考方向均一致，故有
V 3 6,9352V 1.5344908V 1.5344j8IjXU
V 1.143176V 1.5344904V 1.5344j4IjXU
V 1.53132V 1.53443IRU
A 1.5344A
1.535
0220
I
U
I
C
C
L
L
R
（ 2）电压、电流的相量图如右图所示。
（ 3）根据电压、电流的相量式，写出对应的解析式为
V )3 6,9-314t(s i n2352u
V )1.143314t(s i n2176u
V )1.53314t(s i n2132u
A )1.53314t(s i n244i
C
L
R
第八节 复阻抗和复导纳一、复阻抗
uUU
iII
Z
I
UZ
端口电压相量端口电流相量输入复阻抗
（ 复阻抗）
输入复阻抗的模
I
UZ?
输入复阻抗的辐角
iu
二端网络的复阻抗输入复阻抗 → 输入阻抗阻抗模 → 阻抗复阻抗 Z的代数式
jXRZ
虚部 X：电抗分量实部 R：电阻分量?c o sZR?
s inZX?
R
Xa r c ta n
XRZ
22
阻抗三角形其中正弦交流电路，
RLC元件的复阻抗
C
C
C
C
L
L
L
L
R
R
R
jX
Cj
1
I
U
Z
jXLj
I
U
Z
R
I
U
Z
一个二端网络的复阻抗 Z = R+jX可用电阻 R与复数电抗 jX串联的相量电路模型来表示 。
复阻抗的电路图由复阻抗的定义式可得
ra UUIjXIRIZU
有功分量（电阻分量）
无功分量（电抗分量）
电压三角形电压的有功分量和无功分量二、复导纳
复导纳,对于正弦交流电路中的任一不含独立电源的二端网络，在关联参考方向下，其端口电流相量与端口电压相量之比称为该二端网络的输入复导纳，简称二端网络的复导纳，用 Y表示。
Y
U
IY
复导纳的模复导纳的辐角
（导纳角）
U
IY?
ui
复导纳 → 导纳导纳模 → 导纳复导纳 Y的代数式 Y = G+jB
电导分量 电纳分量
复导纳、电导和电纳的单位均为西门子（ S）。
s i nYB
c o sYG
BGY,求和由
G
B
a r ct a n
BGY
YBG
22
、求和由导纳三角形
元件的复导纳,在关联参考方向下，每个元件（非电源元件）上的电流相量与电压相量之比。
R,L和 C元件的复导纳 YR,YL和 YC
C
C
C
C
L
L
L
L
R
R
R
jBCj
U
I
Y
jB
L
1
j
Lj
1
U
I
Y
G
R
1
U
I
Y
BL：电感元件的电纳，简称感纳；
BC：电容元件的电纳，简称容纳。
一个二端网络的复导纳 Y=G+jB可用一个电导 G与复数电纳 jB并联的相量电路模型来表示。
ra IIUjBUGUjBGUYI
)(
有功分量
（电导分量） 无功分量（电纳分量）
电流的有功分量和无功分量电流三角形三、复阻抗与复导纳的转换复阻抗 Z= R+jX 复导纳 Y= G+jB
同一个不含独立电源的二端网络复阻抗和复导纳之间有着互为倒数的关系等效条件 Z Y = 1
1YZ
即
Z→Y
2222
1
XR
Xj
XR
R
jXRjBGY
22
22
XR
X
B
XR
R
G
2222
1
BG
Bj
BG
G
jBGjXRZ
22
22
BG
B
X
BG
G
R
Y → Z
【 例 3－ 12】 在 RLC串联电路中,R=10Ω,L=0.05H,C=100μF，端电压 u的角频率为 ω=314 rad/s。试求电路的复导纳及并联等效电路中各元件的参数。
解
F 1 4 3,3 1 F 1031.1 4 3F
3 1 4
0,0 4 5B
C
71.35
0 2 8.0
1
G
1
R
j 0,0 4 5 ) S0,0 2 8(S 23.580 5 3.0S
23.5800.19
1
Z
1
Y
23.5800.19j 1 6,1 5 )-10(jXRZ
15.16 )85.317.15(XXX
85.31
101 0 03 1 4
1
C
1
X
1 5,7 0,0 53 1 4LX
6
CL
6C
L
第九节 阻抗的串联和并联一、阻抗的串联
阻抗的串联,若干个阻抗依次一个接一个地连接起来，构成一条电流通路的连接方式。
阻抗的串联
IZZZ IZIZIZ
UUUU
nn
n
)( 2121
21
由 KVL，可得：
IZU
正弦交流电路中任意一个不含独立电源的二端网络都可以用一个阻抗来等效替代。
两电路的等效条件阻抗串联电路中第 k个阻抗的电压
nZZZZ21
阻抗串联电路的等效阻抗等于各个串联阻抗之和。
U
Z
ZIZU k
kk
阻抗串联电路的分压公式
U
ZZ
Z
U
U
ZZ
Z
U
2
21
2
21
1
1
对于两个阻抗串联的电路二、阻抗的并联
阻抗的并联,若干个阻抗的两端分别连接在一起，构成一个具有两个节点、多条支路二端网络的连接方式。
根据 KCL，可得
)
111
(
21
21
2
2
1
1
21
n
n
n
n
n
ZZZ
U
Z
U
Z
U
Z
U
Z
U
Z
U
Z
U
IIII
若干个阻抗并联的电路可以用一个阻抗来等效替代
Z
UI
阻抗的并联两电路的等效条件为
nZZZZ
1111
21
即 nYYYY21
阻抗并联电路的等效阻抗的倒数等于各个并联阻抗的倒数之和。
或说，阻抗并联电路的等效导纳等于各个并联支路的导纳之和。
第 k个阻抗 Zk的电流为
IYYIZZZUI k
kk
k
阻抗并联电路的分流公式两个阻抗并联电路的等效阻抗及分流公式分别为
21
21
ZZ
ZZZ
IZZ
ZI
21
21
IZZ
ZI
21
12
【 例 3－ 13】 两个复阻抗 Z1=(5.66 + j9)Ω,Z2 =(3－ j4)Ω，串联后接在电压 = 220∠ 30° V的电源上。试求电路中的电流 和两阻抗的电压 1和 2 。
解
V 5 3,1-1 1 0
V 22 5 3,1-5V 22)j43(IZU
V 5 7,8 32 3 3,8 6
V 22 5 7,8 3-1 0,6 3V 22)j966.5(IZU
A 22A
3010
302 2 0
Z
U
3010 j 5 )66.8(
)]j43()j966.5[(ZZZ
2
2
1
1
21
I
U
I?I?I
【 例 3－ 14】 在 RLC并联电路中,R= 5Ω,L= 10mH,C= 400μF，电路端电压 U= 220V，电压的角频率 ω= 314 rad/s。试求（ 1）电路的复导纳及复阻抗；（ 2）电路中的总电流及各元件电流，并作相量图。
解（ 1）
) 500.j2604.2(
83.43610.3
83.43277.0
1
Y
1
Z
S 83.430,2 7 7)S 192.j00,2(
S 0,3 1 8 ) ]j ( 0,1 2 60,2[)Bj ( BGYYYY
S j 0,1 2 6S 10400j 3 1 4CjjBY
S j 0,3 1 8
1010314
1
j
L
1
jjBY
S
5
1
R
1
G
LC321
6
CC
3LL
－
－－
－－
－－－－
－
－
S
Y
R
A 9072.27A 02 2 0j 0,1 2 6UYI
A 9096.69A 02 2 0j 0,3 1 8UYI
A 044A 02 2 02.0UYI
A 83.4394.60A 02 2 083.432 7 7.0UYI
02 2 0
C
C
L
L
R
R
－－
－－
＝设 VU
根据以上计算结果作出电压和电流的相量图，如下图所示。
（ 2）
第十节 正弦交流电路的功率一、瞬时功率
任一二端网络的瞬时功率等于其端口的瞬时电压与瞬时电流的乘积。
设 tI s i n2i tU s i n2u,）(
该二端网络吸收的瞬时功率为
ra
pp
ts i n 2U I s i ntc o s 2U I c o sU I c o s
ts i n 2U I s i ntc o s 2U I c o sU I c o s
t2U I c o sU I c o s
ts i nt2 U I s i nuip
)(
)(
tc o s 2U I c o sU I c o sp a
无功分量 ts in 2U I s inp
r
有功分量二端网络的瞬时功率及其有功分量、无功分量的波形
瞬时功率 p以两倍电流（或电压）
频率随时间作周期性变化。
当 u,i的实际方向相同时,p＞ 0，
电路从外部吸收功率；
当 u,i的实际方向相反时,p＜ 0，
电路向外部发出功率。
pa代表电路耗能的速率，称为 p的有功分量。
将 pr称为 p的无功分量。
二、有功功率
有功功率,正弦交流电路中任一二端网络消耗或产生电能的平均速率。单位为瓦（Ｗ）。
消耗电能,电路从外部吸收电能并将它转化为其他非电磁形式的能量。
产生电能,电路将其他非电磁形式的能量转化为电能，向外部输送。
平均功率 有功功率
有功功率是电路瞬时功率的有功分量的平均值。
U I c o sdttUIUIT1dtpT1P TT a 00 )2c o sc o sc o s(
结论,对于正弦交流电路中的任意二端网络，在其端口电压和端口电流的参考方向一致的情况下，网络从外部电路吸收的有功功率等于端口电压、端口电流的有效值与端口电压超前端口电流的相位角的余弦的乘积。
U I c o sdttUIUIT1dtpT1P TT a 00 )2c o sc o sc o s(
电压和电流的参考方向一致的情况下
c o s 0 P > 0
c o s 0 P < 0
,则 网 络 吸 收 有 功 功 率
,则 网 络 发 出 有 功 功 率
如果二端网络是一个仅由 R,L,C元件组成的无源网络，则其所吸收的有功功率等于网络中各电阻消耗的有功功率之和。
三、无功功率
无功功率,在正弦交流电路中，任一含有储能元件或电源的二端网络与其外部电路之间往返交换能量的最大速率。
单位为乏（ var）。
无功功率 Q等于瞬时功率的无功分量 pr的最大值。
U I s i nQ?
结论,在端口电压和电流的参考方向一致的情况下，正弦稳态电路中任意二端网络从外部电路吸收的无功功率等于网络的端口电压、
端口电流的有效值与端口电压超前端口电流的相位角的正弦的乘积。
Q是一个代数量?U I s inQ?
电压和电流的参考方向一致发出容性无功功率
Q ＞ 0 吸收感性无功功率
Q ＜ 0
（或说发出感性无功）
网络吸收容性无功功率，，），（若
（或说发出容性无功）
网络吸收感性无功功率，，），（若
0Q 0s i n 0
0Q 0s i n 0
一个仅由 R,L,C元件组成的二端网络所吸收的感性无功功率，等于网络中所有电感元件的无功功率绝对值之和减去所有电容元件的无功功率绝对值之和。
四、视在功率
视在功率,正弦交流电路中任一二端网络的端口电压的有效值与端口电流的有效值的乘积。用 S表示，单位为伏安
（ VA）。
S＝ UI
P
Q
QPS
SQ
SP
t a n
s i n
c o s
22
功率三角形五、功率因数
功率因数,交流电路的有功功率与视在功率的比值，用 λ
表示。
S
P
c o sS/P?
c o s?
在电压和电流的参考方向一致的情况下，正弦交流电路中任意二端网络的功率因数等于网络的端口电压超前端口电流的相位角的余弦。
功率因数角?
对于一个不含独立电源的二端网络，端口电压和端口电流的参考方向一致，功率因数角等于网络等效阻抗的阻抗角。
在正弦交流电路中正弦交流电路功率常用计算式
jXRZ
jBGY
等效阻抗等效导纳
2222
22
22
22
BG
G
XR
R
UYS ZIS
BUQ XIQ
GUP RIP
,功率因数：
，视在功率：
，无功功率：
，有功功率：
已知：
正弦电路的有功功率守恒和无功功率守恒
正弦电路的有功功率守恒,正弦交流电路中各独立电源发出的有功功率之和等于其他所有元件吸收的有功功率之和。
正弦电路的无功功率守恒,正弦交流电路中各独立电源发出的无功功率的代数和等于其他所有元件吸收的无功功率的代数和。
【 例 3－ 15】 用电压表、电流表和功率表去测量一个线圈的参数 R和 L，
测量电路如下图所示。已知电源频率为 50Hz，测得数据为：电压表的读数 100V，电流表的读数为 2A，功率表的读数为 120W。试求 R和 L。
解
H 0,1 2 7H
5014.32
40X
L
40 8.050s i nZX
30 6.050c o sZR
8.01.s i n 5 3s i n
1.536.a r c c o s 0
6.0
2100
120
UI
P
c o s
50
2
100
I
U
Z
第十一节 功率因数的提高一、低功率因数运行的危害
原因,电力系统中存在着大量的功率因数较低的电感性负载。
危害,
1．造成发电设备容量不能充分利用
2．增加线路的电压降落和功率损耗
N
NN
PP c o s
c o sIU3P
：
正常：
负载的有功功率 P和电压 U一定 I c o s,?
电压降落,
功率损耗 ΔP,ΔP＝ 3I2 Rl
ΔU ↗
ΔP ↗
U
LZIU
提高功率因数的意义
① 提高发电设备的有功出力，充分利用发电设备的容量；
②降低功率损耗，减少电能损失，从而提高输电效率；
③ 减少线路电压降落，从而改善电压质量。
提高自然功率因数如：合理地选择电动机和变压器的容量，改进电动机运行方式，改善配电电路的布局，采用同步电动机等。
人工补偿如,在用户变电所或消耗无功功率较大的用电设备附近安装电容器。
提高功率因数的 方法不添置任何补偿设备，采取措施减少供电系统的无功功率的需要量。
利用补偿装置对供用电设备所需的无功功率进行人工补偿。
二、并联电容器提高功率因数的原理由相量图可见，在感性负载两端并联电容器后
电路总的无功电流减小 I2r＝ I1r－ Ic＜ I1r
电路的总电流减小 I2＜ I1
功率因数角减小
功率因数提高
21
并联电容器提高功率因数的电路图 并联电容器提高功率因数的相量图
21 c o sc o s
21
利用功率关系说明电容器的无功补偿作用未并联电容器
△ ABC,P1,Q1,S1
并联电容器提高功率因数的功率三角形并联电容器之后，电容器的无功功率为 QC △ DBC
P2 = P1
Q1→ Q 2（ Q2＝ Q1－ QC）
S1 → S 2 （ S2＜ S1）
)c o s( c o sc o s c o s 2121
补偿电容器的补偿容量
)t an( t a n 21121 PQQQ C
2 CUQ C )t a nt a n(C
212
1
U
P
流。容器并联前后的线路电
）电和电容；（）并联电容器的补偿量，试求：（提高到
。若将电路的功率因数，功率因数＝其有功功率的正弦交流电源上，＝、＝有一感性负载，接在－例
219.0c o s
6.0c o s15
50220 163
2
1
kWP
HfVU Z
F 8 3 7,5F 10375.8 F
220502
12735
U
Q
C
v a r12735 v a r)84.t a n 2 513.t a n 5 3(1015
)t a nt a n(PQ
84.25 9.0c o s
13.53 6.0c o s
4
22
C
3
211C
22
11
解 （ 1）
A 76.75A
9.02 2 0
1015
c o s
I
A 1 1 3,6 4A
6.02 2 0
1015
c o s
I
3
2
1
2
3
1
1
1
U
P
U
P
（ 2）
第十二节 正弦交流电路中的谐振
谐振,正弦交流电路中任一具有电感和电容元件的不含独立电源的二端网络，在某一特定条件下，出现网络的端口电压和端口电流同相位的现象。
谐振电路,发生谐振的电路。
串联谐振并联谐振串并联谐振谐振电路分类
（按连接方式分）
一、串联谐振
串联谐振,串联电路发生的谐振。
串联谐振电路及其相量图谐振条件：电路的总电抗为零。
0 CL XXX
CL
1?或
感抗和容抗相等时,RLC串联电路发生谐振。
谐振角频率,发生谐振时的电源的角频率。
LC
1
0
谐振频率,发生谐振时的电源频率。
LCf?2
1
0?
2．串联谐振电路的特征
（ 1）谐振时电路复阻抗 Z等于电路中的电阻 R，阻抗模 ︱ Z︱
最小。
RXXjRZ CL )(复阻抗阻抗模 ︱ Z︱ ＝ R
电抗、阻抗随角频率变化的曲线谐振时，即 ω = ω0时，
X＝ 0,︱ Z︱ 达到最小值。
（ 2）谐振时电路中的电流 I0达到最大值，其值为 U/ R。
RLC串联电路的电流的有效值为
22
)
1
(
C
LR
U
XR
U
Z
U
I
22
谐振时的电流值
R
UI?
0
电流随角频率变化的曲线
RLC串联电路谐振时电感元件和电容元件的电压有效值
。等于电源电压电阻元件的电压相位相反、相互抵消，
大小相等、与电容元件的电压压）谐振时电感元件的电（
UU
UU
R
CL3
QUX
R
U
XIU
QUX
R
U
XIU
CCC
LLL
0
0
CRR
L
R
XQ L
0
0 1
谐振电路的 品质因数谐振时 UL = UC
CL UU
RCLR UUUUU
（ 4）谐振时电感元件吸收的感性无功功率 QL等于电容元件吸收的容性无功功率 QC，能量互换完全发生在电感元件与电容元件之间，电源与谐振电路之间不发生能量互换。
QL＝ I02 XL
QC＝ I02 XC
XL＝ XC
QL＝ QC
Q＝ QL－ QC＝ 0
二、并联谐振
并联谐振,并联电路发生的谐振。
并联谐振电路及其相量图谐振条件
]
LR
L
-Cj[
LR
R
Cj
LjR
Y
2222 ））?
((
1
22 )( LR
LC
即
22 )( LR
LC
谐振角频率
L
CR1
LC
1
L
R
LC
2
2
2
0
1?
谐振频率
L
CR
LCf
2
0 12
1
2．并联谐振电路的特征
（ 1）谐振时电路的复阻抗 Z＝ L / CR。
谐振时电路的复导纳
L
CR
L
L
R
LC
R
R
LR
RY?
2
2
2
2
2
0
2
)1()(?
CR
LZ?
谐振时电容元件中的电流
。中的电流的有功分量串联支路等于电流相互抵消，电路中的总大小相等、相位相反、
与电容元件中的电流功分量串联支路中的电流的无并联谐振时
a
C
r
I
RLII
IRL
1
1)2(
ULR L
LR
L
LR
Us i nII
111r 2
02
0
202
0
202 )()()(?
谐振时 RL串联支路中的电流的无功分量
ULR LCUI 0C 2
02
0
)(?
C1r II
谐振时电路中的总电流
U
L
CR
Z
U
I
IIIIIII
0
1aC1r1aC10
（ 3）谐振时电感元件吸收的感性无功功率 QL等于电容元件吸收的容性无功功率 QC，能量互换完全发生在电感元件与电容元件之间，谐振电路与电源之间不发生能量互换。
C1r
CC
1rI11L
II
UIQ
IUs i nUIQ
0QQQ
QQ
CL
CL
第三章小结
1．正弦量 i = Imsin(ωt +ψi)的特征量
（ 1）反映变化快慢的量：角频率 ω、频率 f、周期 T，它们之间关系为
Tf f2
1,
（ 2）表示大小的量：瞬时值 i、幅值 Im、有效值 I
I2I
dti
T
I
m
T
0
21
。、相位差、初相位相位）反映变化进程的量：（ iit?3
Im,ω（或 f）,ψi称为正弦量 i的三要素。
2．正弦量的四种表示方法
（ 1）解析式,i = Im sin(ωt +ψi ) =I sin(ωt +ψi )。
（ 2）波形图：表示正弦函数的图象。
（ 3）相量式：
（ 4）相量图：用有向线段表示正弦量相量的图形。
iII
ui
u i u i
3,2 s in ( t ) i 2 I s in ( t )
( t ) ( t )
0 u i
0 u i
0 u i
u i
uU
同 频 率 的 两 个 正 弦 量 ＝ 和 的 相 位 关 系它 们 的 相 位 差当 时,称 电 压 超 前 电 流 角 度 ；
当 时,称 电 压 滞 后 电 流 角 度 ；
当 时,称 电 压 与 电 流 同 相 ；
当 时,称 电 压 与 电 流 反 相 。
4．电路元件 R,L,C的电压与电流的关系及各元件的功率在关联参考方向下，各元件的电压与电流的关系式分别为
RR
RR
IRU
Riu
LX
IjXU
dt
di
Lu
L
LLL
L
L
C
1
X
IjXU
dt
du
Ci
C
C
CC
C
C
各元件吸收的有功功率和无功功率分别为
C
2
C2
CCCCCC
L
2
L2
LLLLLL
R
2
2
RRRR
X
U
IXIUQ 0P
X
U
IXIUQ 0P
0Q RIIUP
，
，
，
R
U R
5．正弦交流电路中不含独立电源的二端网络的复阻抗和复导纳在关联参考方向下以 R和 X作为直角边，以 ︱ Z︱ 作为斜边的直角三角形称为阻抗三角形。
R
X
a r c t a n XR
I
U
Z
jXR Z Z
I
U
Z
iu
22
X＞ 0，电路为电感性；
X＜ 0，电路为电容性；
X＝ 0，电路发生谐振，电路为电阻性。
G
B
a r c t a n BG
U
I
Y
jBGY Y
U
I
Z
1
Y
ui
22
直角边为 G和 B，斜边为 ︱ Y︱ 的直角三角形称为导纳三角形。
阻抗 Z与导纳 Y之间等效互换的条件为 ZY＝ 1。
6．阻抗串联、并联电路的等效阻抗的计算公式、分压公式及分流公式
n个阻抗串联的电路的等效阻抗计算公式及分压公式分别为
U
Z
ZU ZZZZ k
kn21,,.
两个阻抗串联的电路的等效阻抗计算公式及分压公式分别为
UZZ
ZU U
ZZ
ZU ZZZ
21
22
21
11
21
n个阻抗并联的电路的等效导纳计算公式及分流公式分别为两个阻抗并联的电路的等效阻抗计算公式及分流公式分别为
I
Y
YI YYYY k
kn21,..
IZZ
ZI I
ZZ
ZI
ZZ
ZZZ
21
12
21
21
21
21
7．正弦交流电路的功率及功率因数在关联参考方向下，正弦交流电路中任一二端网络吸收的有功功率、无功功率及视在功率分别为
UI SU Is i nQ U Ic osP
直角边为 P和 Q，斜边为 S的直角三角形称为功率三角形。
正弦交流电路中的任一二端网络的功率因数为
c o sSP
是在关联参考方向下网络的端口电压超前于端口电流的相位角，称为功率因数角。对于不含独立电源的正弦二端网络，功率因数角等于二端网络的阻抗角。
8．并联电容器提高功率因数的原理及补偿容量的计算并联电容器提高功率因数的实质就是利用电容元件的超前的无功电流去补偿感性负载的滞后的无功电流，以减小电路总电流的无功分量。也可以说是利用电容元件的容性无功功率去补偿感性负载的感性无功功率，以减少电路从电源吸收的无功功率。
欲将电路的功率因数从 cos 提高到 cos,并联电容器的补偿容量和电容应为 1? 2?
)()( 2121211C t a n-t a nUPC t a n-t a nPQ
9．谐振条件及谐振电路的特征
（ 1） RLC串联电路的谐振条件、谐振角频率和谐振频率分别为
LC2
1f
LC
1 0
CLXXX 00CL
1
（ 2） RLC串联谐振电路的特征：
1）复阻抗 Z＝ R为纯电阻，阻抗模 ︱ Z︱ ＝ R为最小值。
2）电路的电流 0＝ / R,I0＝ U/ R为最大。
3）电感元件和电容元件的电压大小相等、相位相反、相互抵消，即
L =－ C。
4）电感元件和电容元件的无功功率正好相互补偿，谐振电路吸收的无功功率为零，即 QL＝ QC,Q＝ QL－ QC＝ 0。
I?U
U?U
（ 3） RL串联支路与 C并联的电路的谐振条件、谐振角频率、谐振频率分别为
L
CR
LC
f
L
CR
1
LC
1
L
R
LC
LR
L
C
LR
L
C
2
22
2
02
2
0
22
1
2
11
)()(
1）复导纳为,复阻抗为 。
（ 4）并联谐振电路的特征为：
LCRY? CRLZ?
2）电容元件电流与电感元件所在支路的电流的无功分量大小相等，
相位相反，相互抵消，电路中的总电流等于电感元件所在支路电流的有功分量。即
U
L
CRI II II
01a0C1r
3）电感元件和电容元件的无功功率相互补偿，谐振电路吸收的无功功率为零，即 QL＝ QC,Q＝ QL－ QC＝ 0。
交流电压、交流电流、交流电动势,在一个周期内平均值等于零的周期电压、周期电流、周期电动势。
正弦量,按正弦规律变化的物理量的统称。
正弦电流、正弦电压、正弦电动势,随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势。
正弦交流电,正弦电流、电压、电动势的统称。
交流电路,通过交流电流的电路。
正弦交流电路,电路中所有电压、电流、电动势都是正弦量的电路。
在一定的参考方向下，正弦电流可表示为
)s i n ( im tIi
正弦电流的波形图
正弦量的主要特征,大小,变化的快慢 及 变化的进程一、周期、频率与角频率
周期,正弦量完成一个循环的变化所需要的时间。用 T表示，单位为秒（ s）。
频率,正弦量在单位时间内变化所完成的循环数。用 f表示，单位为赫兹（ Hz）。
角频率,正弦量在单位时间内变化的角度，即每秒变化的弧度数。用
ω表示，单位为弧度 /秒（ rad/s）。
Tf
1?
周期、频率和角频率都是表示正弦量变化快慢的量，周期愈大，正弦量变化愈慢；角频率愈大，频率愈高，正弦量变化愈快。
f2T 2
三者之间的关系：
【 例 3－ 1】 已知电流，试求该电流的周期 T和频率。
解
ss
f
T
HH f
sr a d
ZZ
02.0
50
11
50
2
100
2
100
二、瞬时值、幅值与有效值
瞬时值,随时间变化的电压或电流在某一时刻的数值。
幅值,正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值，又称最大值。大写字母加下标 m来表示，如 I
m,Um,Em。
有效值,如果一个周期性电流 i通过某一电阻 R，在一个周期内产生的热量与另一个直流电流 I通过电阻 R在相等的时间内产生的热量相等，则将此直流电流的数值 I称为该周期性电流的有效值。大写字母表示，如 I、
U,E。
RTI R d ti 2T0 2
由此可得到周期电流的有效值?
T dtiT I 0 21
设 i = Imsin(ωt+ψi)时
2212
11
0
2
0
22 mT
im
T
im
Idt)]t(c o s[I
Tdt)t(s i nIT I
周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，因此有效值又称均方根值。
2
1
0
2 mT Udtu
T U
2
1
0
2 mT Edte
T E
2
1
0
2 mT Idti
T I
【 例 3－ 2】 已知电压 u = 311sin(100πt + ) V，试求电压的有效值 U及 t =0.01s时电压的瞬时值。
解
V 220 UU m 23112
t =0.01s时
V 1 5 5,5
V )
2
1
(-311
V )3 1 1 s i n ( π
V )0,0 1 3 1 1 s i n ( 1 0 0 u
6
6
6
三、相位、初相位与相位差
相位角或相位,正弦量的数学表达式中的角度（ ωt+ψi）
反映正弦量变化的进程。
初相位或初相,t = 0时正弦量的相位角。
初相反映正弦量在计时起点的状态。
初相与参考方向和计时起点的选择有关。
正弦量的三要素,幅值,角频率 （或 频率 ）和 初相位 。
两个同频率正弦量的相位差
u = Umsin(ωt+ψu)
i = Imsin(ωt+ψi)
π≤ ︱ ︱?取值范围
u和 i的相位之差
iuiu tt )()(
相位差,两个同频率的正弦量的相位角之差。
0iu
0iu
超前滞后
u在相位上超前 i角度,或，
i在相位上滞后 u角度 。
u在相位上滞后 i角度,
或,i在相位上超前 u角度 。
0iu iu
电压 u与电流 i同相位，简称 同相 电压 u与电流 i反相
【 例 3－ 3】 已知电路中某条支路的电压 u和电流 i为工频正弦量，它们的最大值分别为 311V,5A，初相分别为 π/ 6和－ π/ 3。（ 1）试写出它们的解析式；（ 2）试求 u与 i的相位差，并说明它们之间的相位关系。
解
。
2
u 滞后i,在相位上，；
2
i超前u在相位上，
236
A )
3
t1 0 0(5 s i n)t(s i nIi
V )
6
t1 0 0(3 1 1 s i n)t(s i nUu
3
6
5AI V 3 1 1U
r a d / s 1 0 0 r a d / s 502 f2
iu
im
um
iu
mm
或者说
第二节 正弦量的相量表示法一、正弦量的旋转矢量表示法
旋转矢量的 长度 代表正弦量的 幅值
旋转矢量的初始位置与横轴正方向的 夹角 代表正弦量的 初相位
旋转矢量的 角速度 代表正弦量的 角频率
旋转矢量任一瞬时在纵轴上的 投影 表示正弦量在该时刻的 瞬时值正弦量 可以用 旋转矢量 来 表示二、正弦量的相量表示法复数 → 正弦量 i
矢量 → 复数
ij
mm e I
I
IIeeII
ii jjmm 22
其中
ijIeI
复数的极坐标形式
iimm II II
正弦量相量,表示正弦量的复数。
正弦量的幅值（最大值）相量,以正弦量的幅值（最大值）为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。
正弦量的有效值相量,以正弦量的有效值为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。
相量图,用复平面上的矢量表示相量的图形。
在相量图中，习惯上用表示相量的符号来表示对应的矢量。
正弦量与复数和矢量之间存在着一一对应的关系。正弦量既可以用复数表示，也可以用矢量表示。但正弦量既不是复数，也不是矢量。
几点说明
只有正弦量（包含余弦量）才能用相量表示，非正弦周期量不能直接用相量表示。
只有同频率的正弦量的相量之间才能进行相量运算，
不同频率的正弦量的相量之间不能进行相量运算。
一般情况下，只有同频率的正弦量的相量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量的相量不能画在同一相量图上，否则无法比较和计算。
作相量图时，往往把坐标轴省略不画。
【 例 3－ 4】 已知正弦电压 u和正弦电流 i的解析式为：
u =220sin(314t+π/6)V,i =5sin(314 t－ π/4)A，试写出它们的有效值相量，并画出它们的相量图。
解 u和 i的有效值相量为
A I
V U
4
5
6
2 2 0
的相量如 图和 I U
【 例 3－ 5】 已知 f = 50HZ，试写出下列相量所代表的正弦量的解析式。
。－，－
，－－，
V jU V U
A jI A jI
)31 1 01 1 0()1 2 03 8 0(
)232()535(
21
21
解
V 6t22tUu
VV U
V ttUu
V U
A ttIi
A A I
AttIi
A A I
r a d / s 100 f2
2U22
U
U
U
i
i
i
i
)0100s i n (20)s i n (2
60
110
3110
a r c t a n220)3110(110
)120100s i n (2380)s i n (2
120380
)150100s i n (24)s i n (2
150
32
2
a r c t a n18042)32(
)30100s i n (210)s i n (2
30
3
1
a r c t a n
35
5
a r c t a n105)35(
2
1
1
22
2
11
1
222
2
22
2
111
1
22
1
第三节 基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫电流定律的相量形式
0I
电流参考方向 指向 节点：取,＋,号电流参考方向 离开 节点：取,－,号
0)(ti
KCL的 瞬时值 形式 KCL的 相量 形式
在正弦稳态电路中，流过任一节点的所有支路电流相量的代数和等于零。
在集中参数电路中，任一时刻，连接于任一节点的所有支路电流的代数和等于零。
二 基尔霍夫电压定律的相量形式
0U
KVL的相量形式
0)t(u
KVL的瞬时值形式
任一时刻，沿集中参数电路中任一回路的所有支路电压的代数和等于零。
在正弦稳态电路中，沿任一回路的所有支路电压相量的代数和等于零。
支路电压的参考方向与回路绕行方向 一致 时，取,＋,
号，反之取,－,号。
【 例 3－ 6】 已知图（ a）所示电路中通过元件 1和 2的电流分别为：
i1 =100sin(314t +2π/3)A,i2 =200sin(314t +π/6)A，
（ 1）用相量式求总电流；（ 2）用相量图求总电流。
解
Ati
AAj
AjjIII
KCL
AjAI
AjAI
IIii
)57.56314s i n (260.223
57.5660.223 )60.18620.123(
)100310035050(
)1003100(
6
200
)35050(
3
2
100
)1(
21
2
1
21
21
＋＝
＋＋＋－＋
得：由
＋＝
＋－＝
来表示：和用相量和用相量式求解，将电流
）所示。如图（
的初相位，流正方向的夹角即为总电与横轴的有效值，的长度代表电流
），表示，且简称为相量相量图，也用的的矢量，即将便，常将表示相量
（为了叙述方的相量就是总电流线
，对角形为两邻边作一平行四边和，以和的相量图和先作出用相量图求解
b
i
OBiOB
II
II
IiOB
O AB C
IIIIii
2121
21
)2(
【 例 3－ 7】 在图示电路中，
。（ 1）用相量式求电路端口电压 u；（ 2）用相量图求电路端口电压 u。
解 （ 1）用相量式求解将 uR,uL和 uC用相量表示：
，,VtuVtu LR )90314s i n(2360314s i n2180
Vtu C )90314s i n (170
VU R?0180
VjU L 3 6 0V903 6 0
VjU C 120V902170
由 KVL得：
VjjjUUUU CLR 1.533 00V)2 401 80(V)1 203 601 80(
Vtu )13.53314s i n(2300
（ 2）用相量图求解的解析式。的初相位，据此可写是角就与实轴正方向之间的夹值，相量的有效的长度代表电压图中相量
）所示。。所作出的相量如图（即为的终点的相量，此相量的起点指向相量；作从相量的相量点，作滞后的起的终点作为相量；再以相量的相量的起点，作超前作为相量的终点；以相量首先作出相量
uu
U
uU
bU
U
UUU
UUU
UU
UU
C
RCR
CLL
RL
RR
90
90
第四节 正弦交流电路中的电阻元件一、电阻元件的电压与电流的关系
u,i取关联参考方向，设 i = Im sinωt
∴ u = Ri = RIm sinωt = Um sinωt
RU m
mmm I RIU 或
u和 i的有效值之间的关系为
RIRIUU mm 22 RIU?
或电阻元件的电路图结论：
当电阻元件中通以正弦交流电流时，其端电压为一同频率的正弦量；
当电压和电流取关联参考方向时，电压与电流的相位相同；
电阻元件的电压和电流的瞬时值之比、幅值之比及有效值之比都等于 电阻 R。
电阻元件的电压、电流和瞬时功率的波形图
0 UU?0 II
相量形式
IRRIUU 00
电阻元件的电压相量等于电阻乘以电流相量。
相量电路模型,将电路中的所有正弦电压和电流都用对应的相量替代，将所有电路元件的参数都有复数表示所得的电路模型。
电阻元件的相量模型 电阻元件的电压和电流的相量图
1．瞬时功率
瞬时功率,电路在某一瞬时吸收或发出的功率,p。
电路元件的瞬时功率等于元件端电压的瞬时值与元件中电流的瞬时值 的乘积。
u,i取关联参考方向，电阻元件所吸收的瞬时功率
p = u i = UmImsin2ωt = UI（ 1－ cos2ωt）
电阻元件所吸收的瞬时功率
p是随时间变化的。
电阻元件 R所吸收的瞬时功率恒为非负值。
电阻元件是一个耗能元件。
R元件的电压、电流和瞬时功率的波形图二、电阻元件的功率
平均功率,电路的瞬时功率在一个周期内的平均值,P，
单位为瓦（ W）。
电阻元件的平均功率
UIdttUIUIp d t TT 00 )2c o s(T1P?
∵ U = IR
R
U 22 RIUIP
2．平均功率
【 例 3－ 8】 有一额定电压 UN =220V、额定功率 PN =1000W的电炉，若加在电炉上的电压为 u =200sin(314t +π/4)V，试求通过电炉丝的电流 i和电炉的平均功率 P。
解
A 13.4A
40.48
2 0 0
R
U
I
40.48
1 0 0 0
2 2 0
R
22
N
N
P
U
设电流 i与电压 u取关联参考方向，则有
W8 2 6 W4,1 32 0 0I UP
A )
4
4t5,8 4 s i n ( 3 1
A )
4
4t4,1 3 s i n ( 3 12)I s i n ( 3 1 4 t2i
4
i
ui
第五节 正弦交流电路中的电感元件一、电感元件的电压与电流的关系
u,i取关联参考方向，设电流 i = Imsinωt
)(
)(
2
ts i nU
tc o sLIts i nI
dt
d
L
dt
di
Lu
m
mm
电感元件 u和 i的 幅值 之间的关系为
LU LIU mmm
mI或
u和 i的 有效值 之间的关系为
LIU LI2LIUU mm 或2
电感元件的电路图电感元件的电压、电流和瞬时功率的波形图结论,
当电感元件中的电流按正弦规律变化时，电感元件上的电压也将以同一频率按正弦规律变化。
当电压和电流取关联参考方向时，电压在相位上超前于电流 π/2。
电感元件电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）之比值为 ωL。
ωL,感抗,反映电感元件对正弦电流的抵抗能力,XL,单位 Ω。
XL = ωL = 2πf L
相量式
2,0
UUII?
电感元件电压与电流的相量关系式
IjXLIjjUUU
L?
2
电感元件的相量模型 电感元件的电压和电流的相量图二、电感元件的功率
1．瞬时功率 在关联参考方向下，电感元件所吸收的瞬时功率为
p = ui
= UmImsinωtsin(ωt+π/2 )
=2UI sinωt cosωt
=UI sin2ωt
电感元件的电压、电流和瞬时功率的波形图在正弦交流电路中，电感元件吸收的瞬时功率是一个幅值为 UI，角频率为 2ω的正弦量。
2．平均功率电感元件的平均功率为
0t d tUIT1pdtT1P TT 00 2s i n?
电感元件在与外电路进行往返的能量交换的过程中并不消耗能量。
电感元件是一个 储能 元件。
电感元件的电压、电流和瞬时功率的波形图
3．无功功率衡量储能元件与电源之间进行能量交换的能力,表示能量交换的规模。
无功功率引入
无功功率,在正弦稳态电路中，储能元件与电源之间往返交换能量的最大速率,Q，单位为乏（ var）。
在正弦交流电路中,电感元件的无功功率等于其瞬时功率的最大值。
L
LL X
UIXI UQ 2 2
【 例 3－ 9】 已知电感元件的电感 L = 0.1H，外加电压试求通过电感元件的电流 i及电感元件的无功功率 QL，并画出电压和电流的相量图。
解
V ) 30+ 3 1 4 t s i n (2 2 0=u?2
v a r20.1 5 4 2v a r01.72 2 0
)s i n (91.9)(
04.31
302 2 0
1.03 1 4
302 2 0
UIQ
A 60-t3 1 4A 60-t3 1 4s i n27,0 1i
A 60-7,0 1 A
9
A
jLj
U
I
L
（ 2）电压和电流的相量图如下图所示。
（ 1）
第六节 正弦交流电路中的电容元件一、电容元件的电压与电流的关系
u,i取关联参考方向，设电流 i = Im sinωt
电容元件两端的电压为
u和 i的幅值之间的关系为
u和 i的有效值之间的关系为
CI
UCUI
m
m
mm
1 或
CI
UCUUCII mm
1
22 或电容元件的电路图
)()( 2ts i nItc o sCUts i nUdtdCdtduCi mmm
结论：
当电容元件上的电压为正弦量时，其电流是一个同频率的正弦量。
当电压和电流取关联参考方向时，电流在相位上超前于电压 π/2。
电容元件上的电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）之 比值为 1 / ωC。
电容元件的电压、电流和瞬时功率的波形图
容抗,反映电容元件对正弦电流的抵抗能力,XC,单位 Ω。
fCC
1X
C 2
1
电容元件电压和电流的相量式
2,0
IIUU?
电压与电流的相量关系
IjXU jX
C
1j
I
U
I
U
CC 或
2
0
电容元件的相量模型 电容元件的电压和电流的相量图
1．瞬时功率在关联参考方向下，电容元件所吸收的瞬时功率为
p = ui = UmImsinωt cosωt = 2UIsinωt cosωt = UIsin2ωt
在正弦交流电路中，电容元件吸收的瞬时功率是一个幅值为 UI，
角频率为 2ωt的正弦量。
电容元件的电压、电流和瞬时功率的波形图二、电容元件的功率电容元件所吸收的平均功率为
0t d tUIT1pdtT1p TT 00 2s i n?
电容元件在与外电路进行能量交换的过程中并不消耗能量。
电容元件不是耗能元件，它也是一个储能元件。
2．平均功率
电容元件的无功功率就是电容元件与电源之间往返交换能量的最大速率。
C
2
CC X
UIXUIQ 2
感性 无功功率：电感元件的无功功率容性 无功功率：电容元件的无功功率电容元件的无功功率等于其瞬时功率的最大值。
3．无功功率
【 例 3－ 10】 已知电容元件的电容 C=100μF，电容元件上的电压 u = 20
sin(103t +60° )V，试求电容元件的电流 i和电容元件的无功功率 QC，并画出电压和电流的相量图。
解 （ 1）
v a r 20v a r 2210uiQ
A 150t102 s i ni
A 1502A 90602A
j 1 0
60210
jX
U
I
10
1010010
1
C
1
X
V 210V U
C
3
C
63C
)(
)(
2
20
（ 2）电容元件上的电压和电流的相量图如图所示。
第七节 电阻、电感和电容元件串联的正弦交流电路一、电压与电流的关系
RLC串联的电路 RLC串联电路的相量模型
CLR uuuu
CLR UUUU
各元件的电压与电流的相量关系
IjXU
IjXU
IRU
CC
LL
R
IZIXXjR
IjXIjXIRUUUU
CL
CLCLR
)]([
其中 Z = R＋ j( XL－ XC )
Z的极坐标式式中
ZXRXXRZ CL 2222 )(
R
XX
R
X
XRXXRZ
XXX
CL
CL
CL
a r c t a na r c t a n
)( 2222
s inZ X
c o sZ R
阻抗三角形的幅角，阻抗角：
抗，单位为的虚部，该电路中的电：
阻，单位为的实部，该电路中的电：
的模：复阻抗
：电路的复阻抗
Z
ZX
ZR
ZZ
Z
RLC串联电路：
电压的有效值（或幅值）与电流有效值（或幅值）之比值等于电路复阻抗的模。
在关联参考方向下，电压超前电流的相位角等于复阻抗的辐角。
Z
I
U
I
U ZZ
m
m
I
U
二、电路的性质
RLC串联电路的端电压与电流之间的相位关系取决于 XL与 XC的相对大小。
IZIXXjRIjXIjXIRU
CLCL )]([
电阻性电路：
电容性电路：
电感性电路：
00,XXX
00,XXX
00,XXX
CL
CL
CL
【 例 3－ 11】 在电阻、电感和电容元件串联电路中，已知 R=3Ω，
L=12.74mH,C=398μF，电源电压 U=220V,f=50HZ，选定电源电压为参考正弦量，（ 1）求电路中的电流相量 及电压相量 R,L,C；（ 2）
画出电流及各电压的相量图；（ 3）写出 i,uR,uL,uC的解析式。
解 （ 1）
I?U?U?U
V 02 2 00UU
1.535j 4 )3( )]84(j3[)XX(jRZ
8
103 9 83 1 4
1
C
1
X
4 101 2,7 43 1 4LX
r a d / s 3 1 4 r a d / s 503,1 42f2
CL
6C
3-
L
设各电压和电流的参考方向均一致，故有
V 3 6,9352V 1.5344908V 1.5344j8IjXU
V 1.143176V 1.5344904V 1.5344j4IjXU
V 1.53132V 1.53443IRU
A 1.5344A
1.535
0220
I
U
I
C
C
L
L
R
（ 2）电压、电流的相量图如右图所示。
（ 3）根据电压、电流的相量式，写出对应的解析式为
V )3 6,9-314t(s i n2352u
V )1.143314t(s i n2176u
V )1.53314t(s i n2132u
A )1.53314t(s i n244i
C
L
R
第八节 复阻抗和复导纳一、复阻抗
uUU
iII
Z
I
UZ
端口电压相量端口电流相量输入复阻抗
（ 复阻抗）
输入复阻抗的模
I
UZ?
输入复阻抗的辐角
iu
二端网络的复阻抗输入复阻抗 → 输入阻抗阻抗模 → 阻抗复阻抗 Z的代数式
jXRZ
虚部 X：电抗分量实部 R：电阻分量?c o sZR?
s inZX?
R
Xa r c ta n
XRZ
22
阻抗三角形其中正弦交流电路，
RLC元件的复阻抗
C
C
C
C
L
L
L
L
R
R
R
jX
Cj
1
I
U
Z
jXLj
I
U
Z
R
I
U
Z
一个二端网络的复阻抗 Z = R+jX可用电阻 R与复数电抗 jX串联的相量电路模型来表示 。
复阻抗的电路图由复阻抗的定义式可得
ra UUIjXIRIZU
有功分量（电阻分量）
无功分量（电抗分量）
电压三角形电压的有功分量和无功分量二、复导纳
复导纳,对于正弦交流电路中的任一不含独立电源的二端网络，在关联参考方向下，其端口电流相量与端口电压相量之比称为该二端网络的输入复导纳，简称二端网络的复导纳，用 Y表示。
Y
U
IY
复导纳的模复导纳的辐角
（导纳角）
U
IY?
ui
复导纳 → 导纳导纳模 → 导纳复导纳 Y的代数式 Y = G+jB
电导分量 电纳分量
复导纳、电导和电纳的单位均为西门子（ S）。
s i nYB
c o sYG
BGY,求和由
G
B
a r ct a n
BGY
YBG
22
、求和由导纳三角形
元件的复导纳,在关联参考方向下，每个元件（非电源元件）上的电流相量与电压相量之比。
R,L和 C元件的复导纳 YR,YL和 YC
C
C
C
C
L
L
L
L
R
R
R
jBCj
U
I
Y
jB
L
1
j
Lj
1
U
I
Y
G
R
1
U
I
Y
BL：电感元件的电纳，简称感纳；
BC：电容元件的电纳，简称容纳。
一个二端网络的复导纳 Y=G+jB可用一个电导 G与复数电纳 jB并联的相量电路模型来表示。
ra IIUjBUGUjBGUYI
)(
有功分量
（电导分量） 无功分量（电纳分量）
电流的有功分量和无功分量电流三角形三、复阻抗与复导纳的转换复阻抗 Z= R+jX 复导纳 Y= G+jB
同一个不含独立电源的二端网络复阻抗和复导纳之间有着互为倒数的关系等效条件 Z Y = 1
1YZ
即
Z→Y
2222
1
XR
Xj
XR
R
jXRjBGY
22
22
XR
X
B
XR
R
G
2222
1
BG
Bj
BG
G
jBGjXRZ
22
22
BG
B
X
BG
G
R
Y → Z
【 例 3－ 12】 在 RLC串联电路中,R=10Ω,L=0.05H,C=100μF，端电压 u的角频率为 ω=314 rad/s。试求电路的复导纳及并联等效电路中各元件的参数。
解
F 1 4 3,3 1 F 1031.1 4 3F
3 1 4
0,0 4 5B
C
71.35
0 2 8.0
1
G
1
R
j 0,0 4 5 ) S0,0 2 8(S 23.580 5 3.0S
23.5800.19
1
Z
1
Y
23.5800.19j 1 6,1 5 )-10(jXRZ
15.16 )85.317.15(XXX
85.31
101 0 03 1 4
1
C
1
X
1 5,7 0,0 53 1 4LX
6
CL
6C
L
第九节 阻抗的串联和并联一、阻抗的串联
阻抗的串联,若干个阻抗依次一个接一个地连接起来，构成一条电流通路的连接方式。
阻抗的串联
IZZZ IZIZIZ
UUUU
nn
n
)( 2121
21
由 KVL，可得：
IZU
正弦交流电路中任意一个不含独立电源的二端网络都可以用一个阻抗来等效替代。
两电路的等效条件阻抗串联电路中第 k个阻抗的电压
nZZZZ21
阻抗串联电路的等效阻抗等于各个串联阻抗之和。
U
Z
ZIZU k
kk
阻抗串联电路的分压公式
U
ZZ
Z
U
U
ZZ
Z
U
2
21
2
21
1
1
对于两个阻抗串联的电路二、阻抗的并联
阻抗的并联,若干个阻抗的两端分别连接在一起，构成一个具有两个节点、多条支路二端网络的连接方式。
根据 KCL，可得
)
111
(
21
21
2
2
1
1
21
n
n
n
n
n
ZZZ
U
Z
U
Z
U
Z
U
Z
U
Z
U
Z
U
IIII
若干个阻抗并联的电路可以用一个阻抗来等效替代
Z
UI
阻抗的并联两电路的等效条件为
nZZZZ
1111
21
即 nYYYY21
阻抗并联电路的等效阻抗的倒数等于各个并联阻抗的倒数之和。
或说，阻抗并联电路的等效导纳等于各个并联支路的导纳之和。
第 k个阻抗 Zk的电流为
IYYIZZZUI k
kk
k
阻抗并联电路的分流公式两个阻抗并联电路的等效阻抗及分流公式分别为
21
21
ZZ
ZZZ
IZZ
ZI
21
21
IZZ
ZI
21
12
【 例 3－ 13】 两个复阻抗 Z1=(5.66 + j9)Ω,Z2 =(3－ j4)Ω，串联后接在电压 = 220∠ 30° V的电源上。试求电路中的电流 和两阻抗的电压 1和 2 。
解
V 5 3,1-1 1 0
V 22 5 3,1-5V 22)j43(IZU
V 5 7,8 32 3 3,8 6
V 22 5 7,8 3-1 0,6 3V 22)j966.5(IZU
A 22A
3010
302 2 0
Z
U
3010 j 5 )66.8(
)]j43()j966.5[(ZZZ
2
2
1
1
21
I
U
I?I?I
【 例 3－ 14】 在 RLC并联电路中,R= 5Ω,L= 10mH,C= 400μF，电路端电压 U= 220V，电压的角频率 ω= 314 rad/s。试求（ 1）电路的复导纳及复阻抗；（ 2）电路中的总电流及各元件电流，并作相量图。
解（ 1）
) 500.j2604.2(
83.43610.3
83.43277.0
1
Y
1
Z
S 83.430,2 7 7)S 192.j00,2(
S 0,3 1 8 ) ]j ( 0,1 2 60,2[)Bj ( BGYYYY
S j 0,1 2 6S 10400j 3 1 4CjjBY
S j 0,3 1 8
1010314
1
j
L
1
jjBY
S
5
1
R
1
G
LC321
6
CC
3LL
－
－－
－－
－－－－
－
－
S
Y
R
A 9072.27A 02 2 0j 0,1 2 6UYI
A 9096.69A 02 2 0j 0,3 1 8UYI
A 044A 02 2 02.0UYI
A 83.4394.60A 02 2 083.432 7 7.0UYI
02 2 0
C
C
L
L
R
R
－－
－－
＝设 VU
根据以上计算结果作出电压和电流的相量图，如下图所示。
（ 2）
第十节 正弦交流电路的功率一、瞬时功率
任一二端网络的瞬时功率等于其端口的瞬时电压与瞬时电流的乘积。
设 tI s i n2i tU s i n2u,）(
该二端网络吸收的瞬时功率为
ra
pp
ts i n 2U I s i ntc o s 2U I c o sU I c o s
ts i n 2U I s i ntc o s 2U I c o sU I c o s
t2U I c o sU I c o s
ts i nt2 U I s i nuip
)(
)(
tc o s 2U I c o sU I c o sp a
无功分量 ts in 2U I s inp
r
有功分量二端网络的瞬时功率及其有功分量、无功分量的波形
瞬时功率 p以两倍电流（或电压）
频率随时间作周期性变化。
当 u,i的实际方向相同时,p＞ 0，
电路从外部吸收功率；
当 u,i的实际方向相反时,p＜ 0，
电路向外部发出功率。
pa代表电路耗能的速率，称为 p的有功分量。
将 pr称为 p的无功分量。
二、有功功率
有功功率,正弦交流电路中任一二端网络消耗或产生电能的平均速率。单位为瓦（Ｗ）。
消耗电能,电路从外部吸收电能并将它转化为其他非电磁形式的能量。
产生电能,电路将其他非电磁形式的能量转化为电能，向外部输送。
平均功率 有功功率
有功功率是电路瞬时功率的有功分量的平均值。
U I c o sdttUIUIT1dtpT1P TT a 00 )2c o sc o sc o s(
结论,对于正弦交流电路中的任意二端网络，在其端口电压和端口电流的参考方向一致的情况下，网络从外部电路吸收的有功功率等于端口电压、端口电流的有效值与端口电压超前端口电流的相位角的余弦的乘积。
U I c o sdttUIUIT1dtpT1P TT a 00 )2c o sc o sc o s(
电压和电流的参考方向一致的情况下
c o s 0 P > 0
c o s 0 P < 0
,则 网 络 吸 收 有 功 功 率
,则 网 络 发 出 有 功 功 率
如果二端网络是一个仅由 R,L,C元件组成的无源网络，则其所吸收的有功功率等于网络中各电阻消耗的有功功率之和。
三、无功功率
无功功率,在正弦交流电路中，任一含有储能元件或电源的二端网络与其外部电路之间往返交换能量的最大速率。
单位为乏（ var）。
无功功率 Q等于瞬时功率的无功分量 pr的最大值。
U I s i nQ?
结论,在端口电压和电流的参考方向一致的情况下，正弦稳态电路中任意二端网络从外部电路吸收的无功功率等于网络的端口电压、
端口电流的有效值与端口电压超前端口电流的相位角的正弦的乘积。
Q是一个代数量?U I s inQ?
电压和电流的参考方向一致发出容性无功功率
Q ＞ 0 吸收感性无功功率
Q ＜ 0
（或说发出感性无功）
网络吸收容性无功功率，，），（若
（或说发出容性无功）
网络吸收感性无功功率，，），（若
0Q 0s i n 0
0Q 0s i n 0
一个仅由 R,L,C元件组成的二端网络所吸收的感性无功功率，等于网络中所有电感元件的无功功率绝对值之和减去所有电容元件的无功功率绝对值之和。
四、视在功率
视在功率,正弦交流电路中任一二端网络的端口电压的有效值与端口电流的有效值的乘积。用 S表示，单位为伏安
（ VA）。
S＝ UI
P
Q
QPS
SQ
SP
t a n
s i n
c o s
22
功率三角形五、功率因数
功率因数,交流电路的有功功率与视在功率的比值，用 λ
表示。
S
P
c o sS/P?
c o s?
在电压和电流的参考方向一致的情况下，正弦交流电路中任意二端网络的功率因数等于网络的端口电压超前端口电流的相位角的余弦。
功率因数角?
对于一个不含独立电源的二端网络，端口电压和端口电流的参考方向一致，功率因数角等于网络等效阻抗的阻抗角。
在正弦交流电路中正弦交流电路功率常用计算式
jXRZ
jBGY
等效阻抗等效导纳
2222
22
22
22
BG
G
XR
R
UYS ZIS
BUQ XIQ
GUP RIP
,功率因数：
，视在功率：
，无功功率：
，有功功率：
已知：
正弦电路的有功功率守恒和无功功率守恒
正弦电路的有功功率守恒,正弦交流电路中各独立电源发出的有功功率之和等于其他所有元件吸收的有功功率之和。
正弦电路的无功功率守恒,正弦交流电路中各独立电源发出的无功功率的代数和等于其他所有元件吸收的无功功率的代数和。
【 例 3－ 15】 用电压表、电流表和功率表去测量一个线圈的参数 R和 L，
测量电路如下图所示。已知电源频率为 50Hz，测得数据为：电压表的读数 100V，电流表的读数为 2A，功率表的读数为 120W。试求 R和 L。
解
H 0,1 2 7H
5014.32
40X
L
40 8.050s i nZX
30 6.050c o sZR
8.01.s i n 5 3s i n
1.536.a r c c o s 0
6.0
2100
120
UI
P
c o s
50
2
100
I
U
Z
第十一节 功率因数的提高一、低功率因数运行的危害
原因,电力系统中存在着大量的功率因数较低的电感性负载。
危害,
1．造成发电设备容量不能充分利用
2．增加线路的电压降落和功率损耗
N
NN
PP c o s
c o sIU3P
：
正常：
负载的有功功率 P和电压 U一定 I c o s,?
电压降落,
功率损耗 ΔP,ΔP＝ 3I2 Rl
ΔU ↗
ΔP ↗
U
LZIU
提高功率因数的意义
① 提高发电设备的有功出力，充分利用发电设备的容量；
②降低功率损耗，减少电能损失，从而提高输电效率；
③ 减少线路电压降落，从而改善电压质量。
提高自然功率因数如：合理地选择电动机和变压器的容量，改进电动机运行方式，改善配电电路的布局，采用同步电动机等。
人工补偿如,在用户变电所或消耗无功功率较大的用电设备附近安装电容器。
提高功率因数的 方法不添置任何补偿设备，采取措施减少供电系统的无功功率的需要量。
利用补偿装置对供用电设备所需的无功功率进行人工补偿。
二、并联电容器提高功率因数的原理由相量图可见，在感性负载两端并联电容器后
电路总的无功电流减小 I2r＝ I1r－ Ic＜ I1r
电路的总电流减小 I2＜ I1
功率因数角减小
功率因数提高
21
并联电容器提高功率因数的电路图 并联电容器提高功率因数的相量图
21 c o sc o s
21
利用功率关系说明电容器的无功补偿作用未并联电容器
△ ABC,P1,Q1,S1
并联电容器提高功率因数的功率三角形并联电容器之后，电容器的无功功率为 QC △ DBC
P2 = P1
Q1→ Q 2（ Q2＝ Q1－ QC）
S1 → S 2 （ S2＜ S1）
)c o s( c o sc o s c o s 2121
补偿电容器的补偿容量
)t an( t a n 21121 PQQQ C
2 CUQ C )t a nt a n(C
212
1
U
P
流。容器并联前后的线路电
）电和电容；（）并联电容器的补偿量，试求：（提高到
。若将电路的功率因数，功率因数＝其有功功率的正弦交流电源上，＝、＝有一感性负载，接在－例
219.0c o s
6.0c o s15
50220 163
2
1
kWP
HfVU Z
F 8 3 7,5F 10375.8 F
220502
12735
U
Q
C
v a r12735 v a r)84.t a n 2 513.t a n 5 3(1015
)t a nt a n(PQ
84.25 9.0c o s
13.53 6.0c o s
4
22
C
3
211C
22
11
解 （ 1）
A 76.75A
9.02 2 0
1015
c o s
I
A 1 1 3,6 4A
6.02 2 0
1015
c o s
I
3
2
1
2
3
1
1
1
U
P
U
P
（ 2）
第十二节 正弦交流电路中的谐振
谐振,正弦交流电路中任一具有电感和电容元件的不含独立电源的二端网络，在某一特定条件下，出现网络的端口电压和端口电流同相位的现象。
谐振电路,发生谐振的电路。
串联谐振并联谐振串并联谐振谐振电路分类
（按连接方式分）
一、串联谐振
串联谐振,串联电路发生的谐振。
串联谐振电路及其相量图谐振条件：电路的总电抗为零。
0 CL XXX
CL
1?或
感抗和容抗相等时,RLC串联电路发生谐振。
谐振角频率,发生谐振时的电源的角频率。
LC
1
0
谐振频率,发生谐振时的电源频率。
LCf?2
1
0?
2．串联谐振电路的特征
（ 1）谐振时电路复阻抗 Z等于电路中的电阻 R，阻抗模 ︱ Z︱
最小。
RXXjRZ CL )(复阻抗阻抗模 ︱ Z︱ ＝ R
电抗、阻抗随角频率变化的曲线谐振时，即 ω = ω0时，
X＝ 0,︱ Z︱ 达到最小值。
（ 2）谐振时电路中的电流 I0达到最大值，其值为 U/ R。
RLC串联电路的电流的有效值为
22
)
1
(
C
LR
U
XR
U
Z
U
I
22
谐振时的电流值
R
UI?
0
电流随角频率变化的曲线
RLC串联电路谐振时电感元件和电容元件的电压有效值
。等于电源电压电阻元件的电压相位相反、相互抵消，
大小相等、与电容元件的电压压）谐振时电感元件的电（
UU
UU
R
CL3
QUX
R
U
XIU
QUX
R
U
XIU
CCC
LLL
0
0
CRR
L
R
XQ L
0
0 1
谐振电路的 品质因数谐振时 UL = UC
CL UU
RCLR UUUUU
（ 4）谐振时电感元件吸收的感性无功功率 QL等于电容元件吸收的容性无功功率 QC，能量互换完全发生在电感元件与电容元件之间，电源与谐振电路之间不发生能量互换。
QL＝ I02 XL
QC＝ I02 XC
XL＝ XC
QL＝ QC
Q＝ QL－ QC＝ 0
二、并联谐振
并联谐振,并联电路发生的谐振。
并联谐振电路及其相量图谐振条件
]
LR
L
-Cj[
LR
R
Cj
LjR
Y
2222 ））?
((
1
22 )( LR
LC
即
22 )( LR
LC
谐振角频率
L
CR1
LC
1
L
R
LC
2
2
2
0
1?
谐振频率
L
CR
LCf
2
0 12
1
2．并联谐振电路的特征
（ 1）谐振时电路的复阻抗 Z＝ L / CR。
谐振时电路的复导纳
L
CR
L
L
R
LC
R
R
LR
RY?
2
2
2
2
2
0
2
)1()(?
CR
LZ?
谐振时电容元件中的电流
。中的电流的有功分量串联支路等于电流相互抵消，电路中的总大小相等、相位相反、
与电容元件中的电流功分量串联支路中的电流的无并联谐振时
a
C
r
I
RLII
IRL
1
1)2(
ULR L
LR
L
LR
Us i nII
111r 2
02
0
202
0
202 )()()(?
谐振时 RL串联支路中的电流的无功分量
ULR LCUI 0C 2
02
0
)(?
C1r II
谐振时电路中的总电流
U
L
CR
Z
U
I
IIIIIII
0
1aC1r1aC10
（ 3）谐振时电感元件吸收的感性无功功率 QL等于电容元件吸收的容性无功功率 QC，能量互换完全发生在电感元件与电容元件之间，谐振电路与电源之间不发生能量互换。
C1r
CC
1rI11L
II
UIQ
IUs i nUIQ
0QQQ
CL
CL
第三章小结
1．正弦量 i = Imsin(ωt +ψi)的特征量
（ 1）反映变化快慢的量：角频率 ω、频率 f、周期 T，它们之间关系为
Tf f2
1,
（ 2）表示大小的量：瞬时值 i、幅值 Im、有效值 I
I2I
dti
T
I
m
T
0
21
。、相位差、初相位相位）反映变化进程的量：（ iit?3
Im,ω（或 f）,ψi称为正弦量 i的三要素。
2．正弦量的四种表示方法
（ 1）解析式,i = Im sin(ωt +ψi ) =I sin(ωt +ψi )。
（ 2）波形图：表示正弦函数的图象。
（ 3）相量式：
（ 4）相量图：用有向线段表示正弦量相量的图形。
iII
ui
u i u i
3,2 s in ( t ) i 2 I s in ( t )
( t ) ( t )
0 u i
0 u i
0 u i
u i
uU
同 频 率 的 两 个 正 弦 量 ＝ 和 的 相 位 关 系它 们 的 相 位 差当 时,称 电 压 超 前 电 流 角 度 ；
当 时,称 电 压 滞 后 电 流 角 度 ；
当 时,称 电 压 与 电 流 同 相 ；
当 时,称 电 压 与 电 流 反 相 。
4．电路元件 R,L,C的电压与电流的关系及各元件的功率在关联参考方向下，各元件的电压与电流的关系式分别为
RR
RR
IRU
Riu
LX
IjXU
dt
di
Lu
L
LLL
L
L
C
1
X
IjXU
dt
du
Ci
C
C
CC
C
C
各元件吸收的有功功率和无功功率分别为
C
2
C2
CCCCCC
L
2
L2
LLLLLL
R
2
2
RRRR
X
U
IXIUQ 0P
X
U
IXIUQ 0P
0Q RIIUP
，
，
，
R
U R
5．正弦交流电路中不含独立电源的二端网络的复阻抗和复导纳在关联参考方向下以 R和 X作为直角边，以 ︱ Z︱ 作为斜边的直角三角形称为阻抗三角形。
R
X
a r c t a n XR
I
U
Z
jXR Z Z
I
U
Z
iu
22
X＞ 0，电路为电感性；
X＜ 0，电路为电容性；
X＝ 0，电路发生谐振，电路为电阻性。
G
B
a r c t a n BG
U
I
Y
jBGY Y
U
I
Z
1
Y
ui
22
直角边为 G和 B，斜边为 ︱ Y︱ 的直角三角形称为导纳三角形。
阻抗 Z与导纳 Y之间等效互换的条件为 ZY＝ 1。
6．阻抗串联、并联电路的等效阻抗的计算公式、分压公式及分流公式
n个阻抗串联的电路的等效阻抗计算公式及分压公式分别为
U
Z
ZU ZZZZ k
kn21,,.
两个阻抗串联的电路的等效阻抗计算公式及分压公式分别为
UZZ
ZU U
ZZ
ZU ZZZ
21
22
21
11
21
n个阻抗并联的电路的等效导纳计算公式及分流公式分别为两个阻抗并联的电路的等效阻抗计算公式及分流公式分别为
I
Y
YI YYYY k
kn21,..
IZZ
ZI I
ZZ
ZI
ZZ
ZZZ
21
12
21
21
21
21
7．正弦交流电路的功率及功率因数在关联参考方向下，正弦交流电路中任一二端网络吸收的有功功率、无功功率及视在功率分别为
UI SU Is i nQ U Ic osP
直角边为 P和 Q，斜边为 S的直角三角形称为功率三角形。
正弦交流电路中的任一二端网络的功率因数为
c o sSP
是在关联参考方向下网络的端口电压超前于端口电流的相位角，称为功率因数角。对于不含独立电源的正弦二端网络，功率因数角等于二端网络的阻抗角。
8．并联电容器提高功率因数的原理及补偿容量的计算并联电容器提高功率因数的实质就是利用电容元件的超前的无功电流去补偿感性负载的滞后的无功电流，以减小电路总电流的无功分量。也可以说是利用电容元件的容性无功功率去补偿感性负载的感性无功功率，以减少电路从电源吸收的无功功率。
欲将电路的功率因数从 cos 提高到 cos,并联电容器的补偿容量和电容应为 1? 2?
)()( 2121211C t a n-t a nUPC t a n-t a nPQ
9．谐振条件及谐振电路的特征
（ 1） RLC串联电路的谐振条件、谐振角频率和谐振频率分别为
LC2
1f
LC
1 0
CLXXX 00CL
1
（ 2） RLC串联谐振电路的特征：
1）复阻抗 Z＝ R为纯电阻，阻抗模 ︱ Z︱ ＝ R为最小值。
2）电路的电流 0＝ / R,I0＝ U/ R为最大。
3）电感元件和电容元件的电压大小相等、相位相反、相互抵消，即
L =－ C。
4）电感元件和电容元件的无功功率正好相互补偿，谐振电路吸收的无功功率为零，即 QL＝ QC,Q＝ QL－ QC＝ 0。
I?U
U?U
（ 3） RL串联支路与 C并联的电路的谐振条件、谐振角频率、谐振频率分别为
L
CR
LC
f
L
CR
1
LC
1
L
R
LC
LR
L
C
LR
L
C
2
22
2
02
2
0
22
1
2
11
)()(
1）复导纳为,复阻抗为 。
（ 4）并联谐振电路的特征为：
LCRY? CRLZ?
2）电容元件电流与电感元件所在支路的电流的无功分量大小相等，
相位相反，相互抵消，电路中的总电流等于电感元件所在支路电流的有功分量。即
U
L
CRI II II
01a0C1r
3）电感元件和电容元件的无功功率相互补偿，谐振电路吸收的无功功率为零，即 QL＝ QC,Q＝ QL－ QC＝ 0。
