第五章 含有互感元件的电路第一节 互感和互感电压第二节 互感元件的串联和并联第三节 具有互感元件电路的计算第五章小结第一节 互感和互感电压一、互感系数两线圈之间的互感线圈 1的自感磁通 11? 1
线圈 1的漏磁通
21?线圈 1对线圈 2的互感磁通线圈 2的自感磁通 22? 2
线圈 2的漏磁通
21?线圈 2对线圈 1的互感磁通
各类磁通分别通过线圈形成相应的 磁链 。
线圈 1的自感磁链 11? 线圈 1对线圈 2的互感磁链
21?
线圈 1的漏磁链
1
线圈 2的自感磁链 22? 线圈 2对线圈 2的互感磁链
21?
线圈 2的漏磁链
2
◆ 磁耦合,一个线圈电流产生的磁场的磁感应线与另一个线圈交链的现象，即两个线圈之间通过磁场相互联系的现象。
两线圈自感系数分别为：
前提,电流的参考方向和自感磁链的参考方向（即自感磁通的参考方向）符合 右手螺旋定则 。
耦合线圈、互感线圈
2
22
2
1
11
1 iLiL
,
线圈 1对线圈 2的互感系数，用 M21表示
1
21
21 iM
线圈 2对线圈 1的互感 系数,用 M12表示
2
12
12 iM
理论和实验都证明 MMM 1221
耦合线圈的互感系数,互感磁链与产生它的电流之比,M 。
前提：互感磁链的参考方向（即互感磁通的参考方向）与产生互感磁链的电流的参考方向符合右手螺旋定则。
M：两个线圈间的互感系数，简称互感单位都是亨利（ H）
M：
在数值上等于一个线圈流过单位电流时所产生的磁场通过另一个线圈的磁链。
M的大小取决于两线圈的形状、尺寸、匝数、相对位置，线圈周围磁介质的磁导率及磁介质的空间分布情况。
对于结构确定、相对位置固定的两线圈，若线圈周围磁介质的磁导率为常数（磁介质为各向同性的线性物质），则互感系数 M是一个非负实常数。若线圈周围存在铁磁性物质，则互感系数 M与线圈中的电流大小有关。
MMM 1221
互感自感电感二、耦合系数
21LL
MK?
∵
工程上常用耦合系数 K来表示两个线圈之间磁耦合的紧密程度。
11
12
22
21
＝K
∴ 10 K
1
21
2
12
2
222
1
111 iiMiLiL ＝＝，,
2212
1121
0
0
K的大小取决于两线圈的结构、相对位置和线圈周围磁介质的性质、
磁介质的空间分布情况。
K值越大：表明两线圈之间的磁耦合越紧密。
K＝ 0，表明不存在互感磁链（即表明两线圈之间无磁耦合） 。
K＝ 1，表明每一线圈电流所产生的磁通全部与另一线圈交链（全耦合）。
同极性端 (同名端 ),具有磁耦合的两个线圈，在同一变化磁通（指的是同时与两线圈交链的磁感应线所形成的变化磁通）作用下，产生感应电动势，两线圈中同时为感应电动势的正极或同时为感应电动势的负极的两个端点。用点号,·”或星号“＊”来表示。
异名端,互感线圈中不是同名端的两端点。
互感线圈的同名端上图中,a和 d两端点,b和 c两端点为同名端；
a和 c两端点,b和 d两端点为异名端。
三、同名端
1.方法一,根据定义来确定；
2.方法二,设有两个电流各自从分别属于两线圈的两端点流入线圈，若一个线圈的自感磁通的方向与另一个线圈电流产生的互感磁通的方向相同，则两电流的流入端就是两线圈的同名端；若一个线圈的自感磁通的方向与另一个线圈电流产生的互感磁通的方向相反，则两电流的流入端为异名端。
互感线圈同名端的判别
a,c为同名端 a,c为异名端两耦合线圈同名端的判定方法：
四、互感电压两互感线圈的互感电动势及互感电压
自感电动势和自感电压,由于线圈中的电流变化而在线圈自身中引起的感应电动势的现象，称为 自感现象,所产生的感应电动势称为 自感电动势,由此而产生的感应电压称为 自感电压 。
互感电动势,由于一个线圈中的电流变化而在邻近的另一个线圈中产生感应电动势的现象称为 互感现象,所产生的感应电动势称互感电动势 。由于一个线圈中的电流变化而在另一个线圈两端建立的电压称为 互感电压 。
根据电磁感应定律可确定，两个耦合线圈的互感电动势与互感磁链之间的关系为：
dt
d
e
dt
d
e
12
12
21
21
当互感电动势的参考方向与引起该互感电动势的互感磁链的参考方向
（即互感磁通的参考方向）符合右手螺旋定则时，式中取“－”号，
反之取“＋”号。
dt
de
dt
de 12
122121,
dt
de
dt
de 12
122121,
当互感电动势的参考极性的负极性端与产生该互感电动势的电流的参考方向的流入端为同名端时式中取“－”号，反之取“＋”号。
又 ∵ 21 112 2
Mi
Mi
M为常数 dtdiMedtdiMe 212121,
dt
diMe
dt
diMe 2
12
1
21,dt
diMe
dt
diMe 2
12
1
21,
互感电压与互感磁链之间的关系为：
dt
d
u
dt
d
u
12
12
21
21
当互感电压的参考方向和互感电动势的参考方向 一致
12122121 eueu,
当互感电压的参考方向和互感电动势的参考方向 相反
12122121 eueu,
当互感电压的参考方向与产生它的互感磁链的参考方向符合右手螺旋定则时，式中取,＋,号，反之取,－,号。
dt
du
dt
du 12
122121,
dtdudtdu 12122121,
互感电压与产生它的电流之间的关系可表示为：
当互感电压的参考极性的正极性端与产生它的电流的参考方向的流入端为同名端时，式中取,＋,号，反之取,－,号。
dt
diMu
dt
diMu 2
12
1
21,
dt
diMu
dt
diMu 2
12
1
21,dt
diMu
dt
diMu 2
12121,
确定互感线圈的同名端之后，可将互感线圈用电路符号来表示。
互感元件的电路符号四、互感元件的电压与电流的关系
前提：互感元件是线性定常元件。
由 KVL，得：
当线圈的端电压与电流取关联参考方向时，自感电压项取,＋,号，
否则，取,－,号。
当一个线圈电流的参考方向的流入端与另一线圈的端电压的参考极性的正极性端为同名端时，互感电压项取,＋,号；否则，取,－,
号。
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
互感元件,忽略了导线电阻、分布电容和磁介质能耗的互感线圈的理想化电路模型,称为互感元件或耦合电感元件。
互感元件的电压与电流的关系
dt
di
M
dt
di
Luuu
dt
di
M
dt
di
Luuu
12
222122
21
112111
dt
di
M
dt
di
Luuu
dt
di
M
dt
di
Luuu
12
222122
21
112111
正弦交流电路的互感元件的电压与电流的相量关系式：
2212
2111
ILjIMjU
IMjILjU
12
11
21
22
d i d i
u L M
d t d t
d i d i
u L M
d t d t
式中“＋”、“－”号确定方法如前面所述。
【 例 5 － 1 】 如下 图中线圈 1 的电流 Ati?1 0 0s i n101?,线圈 2 开路，
HL 21?,HMHL 132,,试求 1u 和 2u 。
解 在图示参考方向和同名端下，有
Vt
Vt
V
dt
td
dt
di
Mu
Vt
Vt
V
dt
td
dt
di
Lu
)90100s i n (3140
)90100s i n (10010
)100s i n10(
100c o s6280
100c o s210010
)100s i n10(
2
1
2
1
11
第二节 互感元件的串联和并联一、互感元件的串联
1.两种串联方式
互感元件串联,互感元件中的线圈以串联方式连接起来。
顺向串联 反向串联连接方式 反向 串联：两线圈的同名端连接在一起。
顺向 串联：两线圈的异名端连接在一起，也称正向串联。
2.电压与电流的关系
III
21
顺向串联时,2M前取“＋”号；反向串联时,2M前取“－”
号。
IMLLjUUU
IMjILjIMjILjU
IMjILjIMjILjU
)2( 2121
21222
12111
IMLLjUUU
IMjILjIMjILjU
IMjILjIMjILjU
)2( 2121
21222
12111
IMLLjU )2(
21?
顺向串联反向串联
3.等效电路和等效电感顺向串联反向串联
互感元件串联电路可以用一个无互感耦合的电路来等效替代。
互感元件串联电路的等效阻抗为：
)2( 21 MLLj
I
UZ
eq
互感元件串联电路的等效电感为：
)2( 21 MLLL eq
顺向串联时,2M前取“＋”号，反向串联时,2M前取“－”号。
IMLLjU )2(
21?
由 KVL，得：
二、互感元件的并联
互感元件并联,互感元件中的线圈以并联的方式连接起来。
同侧并联电路 异侧并联电路
1,两种并联方式并联方式同侧 并联：同名端连接在一起的并联。
异侧 并联：异名端连接在一起的并联。
2.
电压与电的关系同侧并联电路将 看作已知量，求解上述方程组，可得：MLLU,,,,21
122
211
21
IMjILjU
IMjILjU
III
U
)(
)2(
U
)(
U
)(
21
22
21
21
22
1
2
21
22
2
1
LLM
MLLj
I
LLM
MjLj
I
LLM
MjLj
I
异侧并联电路
122
211
21
IMjILjU
IMjILjU
III
U
)(
)2(
U
)(
U
)(
21
22
21
21
22
1
2
21
22
2
1
LLM
MLLj
I
LLM
MjLj
I
LLM
MjLj
I
3,等效电路和等效电感同侧并联异侧并联
互感元件并联电路可用无互感耦合的电路来等效替代。
IMjIMLjU
IMjIMLjU
＋）－（
＋）－（
22
11
同侧并联 异侧并联
IMjIMLjU
IMjIMLjU
－）（
－）（
22
11
互感元件并联电路的 等效阻抗 )2(
21
21
MLL
MLLj
I
UZ
eq
互感元件并联电路的 等效电感
MLL
MLLL
eq 2
21
21
注,同侧并联时,2M前取“－”号，异侧并联时 2M前取“＋”
号。
【 例 5－ 2】 将两个互感线圈串联后接到 220V的工频正弦交流电源上，
顺向串联时测得电路电流为 2A，有功功率为 100W，反向串联时，测得电路电流为 5A，求两线圈的互感。
解 因为电路吸收有功功率，表明电路中存在电阻，计入线圈电阻时，
互感为 M的两互感线圈串联电路的复阻抗为顺向串联时 反向串联时
)2()( 2121 MLLjRRZ
H
H
RRZ
MLLL
I
U
Z
I
P
RR
F
F
F
F
F
F
341.0
25110
100
1
)(
1
2
110
2
220
25
2
100
22
2
21
2
21
2221
HH
LL
M
HH
RRZ
MLLL
I
U
Z
RF
R
R
R
R
057.0
4
115.0341.0
4
115.02544
100
1
)(
1
2
44
5
220
22
2
21
2
21
第三节 具有互感元件电路的计算支路电流法网孔电流法节点电压法等效变换法含有互感元件电路的分析计算方法网络方程法具有互感元件电路的 特殊性,
每个互感线圈的电压不仅包含自感电压，还包含互感电压；
一个线圈的互感电压的大小和初相位取决于其他线圈中的电流（互感线圈的电压不仅与本线圈电流有关，还与其他线圈中的电流有关）。
列写 KVL方程时不要漏计互感电压，且要正确地确定式中互感电压项的正负号解 这里我们应用支路电流法来求解此电路。对电路中节点 a应用
KCL，对两网孔分别应用 KVL，可列出下列方程组
0
0
32221
3211
321
IjXIRILjIMj
UIjXIMjILj
III
c
sc
【 例 5－ 3】 如图所示电路中，
2 0 0,3 0sU V R，求各支路电流。
,10,5,20,10 21 MXLL c
代入数据，得
05)2030(10
02051010
0
321
0
321
321
IjIjIj
IjIjIj
III
解方程组，得
AI
AjI
AjI
4
4541.11
43.1816.33
3
0
2
0
1
等效变换法互感元件串并联电路含有互感元件的电路 无互感的电路
互感消去法,将互感耦合电路等效变换为无互感电路来进行分析计算的方法。
去耦等效电路等效变换等效变换
对于互感元件串并联电路及三支路共一节点的互感耦合电路，可采用互感消去法进行分析计算。
等效变换的证明如下：
根据 KCL和 KVL，由图（ a）所示电路可列出下列方程
12223
21113
21
IMjILjU
IMjILjU
III
对上述方程进行变量代换，可得：
IMjIMLjU
IMjIMLjU
＋）－（
＋）
2223
1113 (
根据该方程可给出如图（ b）所示的电路。
对图（ c）所示电路，应用 KCL和 KVL可得：
12223
21113
21
IMjILjU
IMjILjU
III
经变换可得
IMjIMLjU
IMjIMLjU
2223
1113 (
）（
）
根据该方程可作出如图（ d）所示电路。
【 例 5－ 4】 用互感消去法求下图所示电路中各支路电流。
解 用互感消去法将左图所示电路等效变换为一个无互感耦合的阻抗混联电路。
从电压源两端看出去电路的等效阻抗为：
2
1
2
1
21
2
( ) [ ( ) ]
()
( ) ( )
15 ( 30 30) 10 10
20
15 30 30 2
20( 2 )
( 3 ) 31.6 18.4 3
10 10
()
( ) ( )
15
( 3 )
30 15
( 1 ) 1.41
c
c
c
c
j M X R j L M
Z j L M
j M X R j L M
j j j
j
j j j
Uj
I j A A
Zj
j M X
II
j M X R j L M
j
jA
j
jA
3 1 2
45
( 3 1 ) 4
A
I I I j j A A
第五章小结
1.互感系数
2.同名端当同时穿越两线圈的磁感应线所形成的磁通量变化时，两线圈中产生感应电动势，两线圈中同时为感应电动势正极或同时为感应电动势负极的两端点称为同极性端，常称为同名端。
判断同名端的方法之一：设有两个电流分别通入两个线圈，若每个线圈的自感磁通方向与互感磁通的方向相同，则两电流的流入端是同名端；若每个线圈的自感磁通方向与互感磁通的方向相反，则两电流的流入端是异名端。
MMMiMiM 2112
1
21
21
2
12
12,,
3.互感电压在正弦交流电路中，有当互感电压的参考方向和产生该互感电压的电流的参考方向相对同名端一致时，以上式中取“＋”号，反之取“－”号。
4.互感元件的电压与电流的关系
1211u,d i d iLMd t d t dt
diM
dt
diL 12
22 u
在正弦交流电路中，有
121 1,U j L I j M I 1222 IMjILjU
当线圈电压与电流取关联参考方向时，以上式中自感电压项取“＋”
号，反之取“－”号；当一个线圈电压和另一个线圈电流的参考方向相对同名端一致时，以上式中互感电压项取“＋”号，反之取“－”号。
dt
diMu
dt
diMu 2
12121,
212121, IMjUIMjU
5.互感元件的串联和并联
（ 1）串联时顺向串联，式中 2M前取“＋”号，反向串联，式中 2M前取“－”
号。
（ 2）并联时 21
122 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
,
( ) ( )
,
22e q e q
j L j M j L j M
I U I U
M L L M L L
L L M L L M
Z j L
L L M L L M
同侧并联，式中取上面的正负号；异侧并联，式中取下面的正负号。
具有互感元件的电路与无互感电路一样，可采用各种网络分析的方法进行分析计算。计算时注意，不要漏计互感电压，且要正确地确定其正负。
对于两互感线圈各有一端与第三条支路的一端连接在一起，构成三条支路共一节点的互感电路，可用互感消去法进行等效变换，将具有互感耦合的电路变成无互感电路来进行计算。
MLLLMLLjZIMLLjU eqeq 2 )2( )2( 212121
6.具有互感元件电路的计算
线圈 1的漏磁通
21?线圈 1对线圈 2的互感磁通线圈 2的自感磁通 22? 2
线圈 2的漏磁通
21?线圈 2对线圈 1的互感磁通
各类磁通分别通过线圈形成相应的 磁链 。
线圈 1的自感磁链 11? 线圈 1对线圈 2的互感磁链
21?
线圈 1的漏磁链
1
线圈 2的自感磁链 22? 线圈 2对线圈 2的互感磁链
21?
线圈 2的漏磁链
2
◆ 磁耦合,一个线圈电流产生的磁场的磁感应线与另一个线圈交链的现象，即两个线圈之间通过磁场相互联系的现象。
两线圈自感系数分别为：
前提,电流的参考方向和自感磁链的参考方向（即自感磁通的参考方向）符合 右手螺旋定则 。
耦合线圈、互感线圈
2
22
2
1
11
1 iLiL
,
线圈 1对线圈 2的互感系数，用 M21表示
1
21
21 iM
线圈 2对线圈 1的互感 系数,用 M12表示
2
12
12 iM
理论和实验都证明 MMM 1221
耦合线圈的互感系数,互感磁链与产生它的电流之比,M 。
前提：互感磁链的参考方向（即互感磁通的参考方向）与产生互感磁链的电流的参考方向符合右手螺旋定则。
M：两个线圈间的互感系数，简称互感单位都是亨利（ H）
M：
在数值上等于一个线圈流过单位电流时所产生的磁场通过另一个线圈的磁链。
M的大小取决于两线圈的形状、尺寸、匝数、相对位置，线圈周围磁介质的磁导率及磁介质的空间分布情况。
对于结构确定、相对位置固定的两线圈，若线圈周围磁介质的磁导率为常数（磁介质为各向同性的线性物质），则互感系数 M是一个非负实常数。若线圈周围存在铁磁性物质，则互感系数 M与线圈中的电流大小有关。
MMM 1221
互感自感电感二、耦合系数
21LL
MK?
∵
工程上常用耦合系数 K来表示两个线圈之间磁耦合的紧密程度。
11
12
22
21
＝K
∴ 10 K
1
21
2
12
2
222
1
111 iiMiLiL ＝＝，,
2212
1121
0
0
K的大小取决于两线圈的结构、相对位置和线圈周围磁介质的性质、
磁介质的空间分布情况。
K值越大：表明两线圈之间的磁耦合越紧密。
K＝ 0，表明不存在互感磁链（即表明两线圈之间无磁耦合） 。
K＝ 1，表明每一线圈电流所产生的磁通全部与另一线圈交链（全耦合）。
同极性端 (同名端 ),具有磁耦合的两个线圈，在同一变化磁通（指的是同时与两线圈交链的磁感应线所形成的变化磁通）作用下，产生感应电动势，两线圈中同时为感应电动势的正极或同时为感应电动势的负极的两个端点。用点号,·”或星号“＊”来表示。
异名端,互感线圈中不是同名端的两端点。
互感线圈的同名端上图中,a和 d两端点,b和 c两端点为同名端；
a和 c两端点,b和 d两端点为异名端。
三、同名端
1.方法一,根据定义来确定；
2.方法二,设有两个电流各自从分别属于两线圈的两端点流入线圈，若一个线圈的自感磁通的方向与另一个线圈电流产生的互感磁通的方向相同，则两电流的流入端就是两线圈的同名端；若一个线圈的自感磁通的方向与另一个线圈电流产生的互感磁通的方向相反，则两电流的流入端为异名端。
互感线圈同名端的判别
a,c为同名端 a,c为异名端两耦合线圈同名端的判定方法：
四、互感电压两互感线圈的互感电动势及互感电压
自感电动势和自感电压,由于线圈中的电流变化而在线圈自身中引起的感应电动势的现象，称为 自感现象,所产生的感应电动势称为 自感电动势,由此而产生的感应电压称为 自感电压 。
互感电动势,由于一个线圈中的电流变化而在邻近的另一个线圈中产生感应电动势的现象称为 互感现象,所产生的感应电动势称互感电动势 。由于一个线圈中的电流变化而在另一个线圈两端建立的电压称为 互感电压 。
根据电磁感应定律可确定，两个耦合线圈的互感电动势与互感磁链之间的关系为：
dt
d
e
dt
d
e
12
12
21
21
当互感电动势的参考方向与引起该互感电动势的互感磁链的参考方向
（即互感磁通的参考方向）符合右手螺旋定则时，式中取“－”号，
反之取“＋”号。
dt
de
dt
de 12
122121,
dt
de
dt
de 12
122121,
当互感电动势的参考极性的负极性端与产生该互感电动势的电流的参考方向的流入端为同名端时式中取“－”号，反之取“＋”号。
又 ∵ 21 112 2
Mi
Mi
M为常数 dtdiMedtdiMe 212121,
dt
diMe
dt
diMe 2
12
1
21,dt
diMe
dt
diMe 2
12
1
21,
互感电压与互感磁链之间的关系为：
dt
d
u
dt
d
u
12
12
21
21
当互感电压的参考方向和互感电动势的参考方向 一致
12122121 eueu,
当互感电压的参考方向和互感电动势的参考方向 相反
12122121 eueu,
当互感电压的参考方向与产生它的互感磁链的参考方向符合右手螺旋定则时，式中取,＋,号，反之取,－,号。
dt
du
dt
du 12
122121,
dtdudtdu 12122121,
互感电压与产生它的电流之间的关系可表示为：
当互感电压的参考极性的正极性端与产生它的电流的参考方向的流入端为同名端时，式中取,＋,号，反之取,－,号。
dt
diMu
dt
diMu 2
12
1
21,
dt
diMu
dt
diMu 2
12
1
21,dt
diMu
dt
diMu 2
12121,
确定互感线圈的同名端之后，可将互感线圈用电路符号来表示。
互感元件的电路符号四、互感元件的电压与电流的关系
前提：互感元件是线性定常元件。
由 KVL，得：
当线圈的端电压与电流取关联参考方向时，自感电压项取,＋,号，
否则，取,－,号。
当一个线圈电流的参考方向的流入端与另一线圈的端电压的参考极性的正极性端为同名端时，互感电压项取,＋,号；否则，取,－,
号。
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
互感元件,忽略了导线电阻、分布电容和磁介质能耗的互感线圈的理想化电路模型,称为互感元件或耦合电感元件。
互感元件的电压与电流的关系
dt
di
M
dt
di
Luuu
dt
di
M
dt
di
Luuu
12
222122
21
112111
dt
di
M
dt
di
Luuu
dt
di
M
dt
di
Luuu
12
222122
21
112111
正弦交流电路的互感元件的电压与电流的相量关系式：
2212
2111
ILjIMjU
IMjILjU
12
11
21
22
d i d i
u L M
d t d t
d i d i
u L M
d t d t
式中“＋”、“－”号确定方法如前面所述。
【 例 5 － 1 】 如下 图中线圈 1 的电流 Ati?1 0 0s i n101?,线圈 2 开路，
HL 21?,HMHL 132,,试求 1u 和 2u 。
解 在图示参考方向和同名端下，有
Vt
Vt
V
dt
td
dt
di
Mu
Vt
Vt
V
dt
td
dt
di
Lu
)90100s i n (3140
)90100s i n (10010
)100s i n10(
100c o s6280
100c o s210010
)100s i n10(
2
1
2
1
11
第二节 互感元件的串联和并联一、互感元件的串联
1.两种串联方式
互感元件串联,互感元件中的线圈以串联方式连接起来。
顺向串联 反向串联连接方式 反向 串联：两线圈的同名端连接在一起。
顺向 串联：两线圈的异名端连接在一起，也称正向串联。
2.电压与电流的关系
III
21
顺向串联时,2M前取“＋”号；反向串联时,2M前取“－”
号。
IMLLjUUU
IMjILjIMjILjU
IMjILjIMjILjU
)2( 2121
21222
12111
IMLLjUUU
IMjILjIMjILjU
IMjILjIMjILjU
)2( 2121
21222
12111
IMLLjU )2(
21?
顺向串联反向串联
3.等效电路和等效电感顺向串联反向串联
互感元件串联电路可以用一个无互感耦合的电路来等效替代。
互感元件串联电路的等效阻抗为：
)2( 21 MLLj
I
UZ
eq
互感元件串联电路的等效电感为：
)2( 21 MLLL eq
顺向串联时,2M前取“＋”号，反向串联时,2M前取“－”号。
IMLLjU )2(
21?
由 KVL，得：
二、互感元件的并联
互感元件并联,互感元件中的线圈以并联的方式连接起来。
同侧并联电路 异侧并联电路
1,两种并联方式并联方式同侧 并联：同名端连接在一起的并联。
异侧 并联：异名端连接在一起的并联。
2.
电压与电的关系同侧并联电路将 看作已知量，求解上述方程组，可得：MLLU,,,,21
122
211
21
IMjILjU
IMjILjU
III
U
)(
)2(
U
)(
U
)(
21
22
21
21
22
1
2
21
22
2
1
LLM
MLLj
I
LLM
MjLj
I
LLM
MjLj
I
异侧并联电路
122
211
21
IMjILjU
IMjILjU
III
U
)(
)2(
U
)(
U
)(
21
22
21
21
22
1
2
21
22
2
1
LLM
MLLj
I
LLM
MjLj
I
LLM
MjLj
I
3,等效电路和等效电感同侧并联异侧并联
互感元件并联电路可用无互感耦合的电路来等效替代。
IMjIMLjU
IMjIMLjU
＋）－（
＋）－（
22
11
同侧并联 异侧并联
IMjIMLjU
IMjIMLjU
－）（
－）（
22
11
互感元件并联电路的 等效阻抗 )2(
21
21
MLL
MLLj
I
UZ
eq
互感元件并联电路的 等效电感
MLL
MLLL
eq 2
21
21
注,同侧并联时,2M前取“－”号，异侧并联时 2M前取“＋”
号。
【 例 5－ 2】 将两个互感线圈串联后接到 220V的工频正弦交流电源上，
顺向串联时测得电路电流为 2A，有功功率为 100W，反向串联时，测得电路电流为 5A，求两线圈的互感。
解 因为电路吸收有功功率，表明电路中存在电阻，计入线圈电阻时，
互感为 M的两互感线圈串联电路的复阻抗为顺向串联时 反向串联时
)2()( 2121 MLLjRRZ
H
H
RRZ
MLLL
I
U
Z
I
P
RR
F
F
F
F
F
F
341.0
25110
100
1
)(
1
2
110
2
220
25
2
100
22
2
21
2
21
2221
HH
LL
M
HH
RRZ
MLLL
I
U
Z
RF
R
R
R
R
057.0
4
115.0341.0
4
115.02544
100
1
)(
1
2
44
5
220
22
2
21
2
21
第三节 具有互感元件电路的计算支路电流法网孔电流法节点电压法等效变换法含有互感元件电路的分析计算方法网络方程法具有互感元件电路的 特殊性,
每个互感线圈的电压不仅包含自感电压，还包含互感电压；
一个线圈的互感电压的大小和初相位取决于其他线圈中的电流（互感线圈的电压不仅与本线圈电流有关，还与其他线圈中的电流有关）。
列写 KVL方程时不要漏计互感电压，且要正确地确定式中互感电压项的正负号解 这里我们应用支路电流法来求解此电路。对电路中节点 a应用
KCL，对两网孔分别应用 KVL，可列出下列方程组
0
0
32221
3211
321
IjXIRILjIMj
UIjXIMjILj
III
c
sc
【 例 5－ 3】 如图所示电路中，
2 0 0,3 0sU V R，求各支路电流。
,10,5,20,10 21 MXLL c
代入数据，得
05)2030(10
02051010
0
321
0
321
321
IjIjIj
IjIjIj
III
解方程组，得
AI
AjI
AjI
4
4541.11
43.1816.33
3
0
2
0
1
等效变换法互感元件串并联电路含有互感元件的电路 无互感的电路
互感消去法,将互感耦合电路等效变换为无互感电路来进行分析计算的方法。
去耦等效电路等效变换等效变换
对于互感元件串并联电路及三支路共一节点的互感耦合电路，可采用互感消去法进行分析计算。
等效变换的证明如下：
根据 KCL和 KVL，由图（ a）所示电路可列出下列方程
12223
21113
21
IMjILjU
IMjILjU
III
对上述方程进行变量代换，可得：
IMjIMLjU
IMjIMLjU
＋）－（
＋）
2223
1113 (
根据该方程可给出如图（ b）所示的电路。
对图（ c）所示电路，应用 KCL和 KVL可得：
12223
21113
21
IMjILjU
IMjILjU
III
经变换可得
IMjIMLjU
IMjIMLjU
2223
1113 (
）（
）
根据该方程可作出如图（ d）所示电路。
【 例 5－ 4】 用互感消去法求下图所示电路中各支路电流。
解 用互感消去法将左图所示电路等效变换为一个无互感耦合的阻抗混联电路。
从电压源两端看出去电路的等效阻抗为：
2
1
2
1
21
2
( ) [ ( ) ]
()
( ) ( )
15 ( 30 30) 10 10
20
15 30 30 2
20( 2 )
( 3 ) 31.6 18.4 3
10 10
()
( ) ( )
15
( 3 )
30 15
( 1 ) 1.41
c
c
c
c
j M X R j L M
Z j L M
j M X R j L M
j j j
j
j j j
Uj
I j A A
Zj
j M X
II
j M X R j L M
j
jA
j
jA
3 1 2
45
( 3 1 ) 4
A
I I I j j A A
第五章小结
1.互感系数
2.同名端当同时穿越两线圈的磁感应线所形成的磁通量变化时，两线圈中产生感应电动势，两线圈中同时为感应电动势正极或同时为感应电动势负极的两端点称为同极性端，常称为同名端。
判断同名端的方法之一：设有两个电流分别通入两个线圈，若每个线圈的自感磁通方向与互感磁通的方向相同，则两电流的流入端是同名端；若每个线圈的自感磁通方向与互感磁通的方向相反，则两电流的流入端是异名端。
MMMiMiM 2112
1
21
21
2
12
12,,
3.互感电压在正弦交流电路中，有当互感电压的参考方向和产生该互感电压的电流的参考方向相对同名端一致时，以上式中取“＋”号，反之取“－”号。
4.互感元件的电压与电流的关系
1211u,d i d iLMd t d t dt
diM
dt
diL 12
22 u
在正弦交流电路中，有
121 1,U j L I j M I 1222 IMjILjU
当线圈电压与电流取关联参考方向时，以上式中自感电压项取“＋”
号，反之取“－”号；当一个线圈电压和另一个线圈电流的参考方向相对同名端一致时，以上式中互感电压项取“＋”号，反之取“－”号。
dt
diMu
dt
diMu 2
12121,
212121, IMjUIMjU
5.互感元件的串联和并联
（ 1）串联时顺向串联，式中 2M前取“＋”号，反向串联，式中 2M前取“－”
号。
（ 2）并联时 21
122 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
,
( ) ( )
,
22e q e q
j L j M j L j M
I U I U
M L L M L L
L L M L L M
Z j L
L L M L L M
同侧并联，式中取上面的正负号；异侧并联，式中取下面的正负号。
具有互感元件的电路与无互感电路一样，可采用各种网络分析的方法进行分析计算。计算时注意，不要漏计互感电压，且要正确地确定其正负。
对于两互感线圈各有一端与第三条支路的一端连接在一起，构成三条支路共一节点的互感电路，可用互感消去法进行等效变换，将具有互感耦合的电路变成无互感电路来进行计算。
MLLLMLLjZIMLLjU eqeq 2 )2( )2( 212121
6.具有互感元件电路的计算
