第四章 三相正弦交流电路第一节 对称三相正弦电压第二节 三相电源和负载的连接第三节 三相电路中的电压和电流第四节 对称三相电路的计算第五节 不对称三相电路的计算示例第六节 三相电路的功率第七节 不对称三相电压和电流的对称分量第四章 小结第一节 对称三相正弦电压一、对称三相交流电压的产生
◆ 三相制,由三相电源供电的体系。
◆ 三相电源,能够产生三个频率相同、幅值相等而相位不同的电动势（或电压）的交流电源。
◆ 三相电路,由三相电源供电的电路。
三相同步发电机的原理图 发电机的三相绕组及其中的电压、电动势三相电动势的瞬时值表达式：
发电机的对称三相正弦电压的瞬时值表达式：
式中 U＝ E
1 2 0 )tEs i n (2e
1 2 0 )-tEs i n (2e
tEs i n2e
W
V
U
1 2 0 )tU s i n (22 4 0 )-tU s i n (2U
1 2 0 )-tU s i n (2U
tU s i n2U
W
V
U
对称三相正弦电压的相量式：
1 2 0U2 4 0UU
1 2 0UU
0UU
W
V
U
对称三相正弦电压的波形图和相量图
对称三相正弦电压的瞬时值之和及相量之和均为零。 0UUU
0uuu
WVU
WVU
◆ 对称三相正弦量的相序,三相正弦量从超前到滞后的排列次序 。
相序有：正序、负序、零序正序三相电压的波形图和相量图
电力系统一般采用正序，正常运行时系统中的电压都是正序的。往后，若无特殊说明，对称三相电压均按正序处理。
二、对称三相正弦量的相序
1.正序,以三相电压为例，如果对称三相正弦电压 uU,uV,uW的相位关系为,uU超前 uV,uV超前 uW，则称它们的相序为正序或顺序。
负序对称三相电压的波形图和相量图零序对称三相正弦电压的波形图和相量图
2.负序,如果对三相正弦电压 uU,uV,uW的相位关系为,uV超前 uU,
uU 超前 uW，则称它们的相序为负序或逆序。
3.零序,如果对称三相正弦电压 uU,uV,uW彼此间相位差为 0°,即三者同相，则称它们的相序为零序第二节 三相电源和负载的连接三相电源和三相负载的基本连接方式一、三相电源和三相负载的连接星形连接三角形连接
（ a）三相电源的星形连接 （ b）三相负载的星形连接三相电源和三相负载的星形连接
1,星形连接 （ Y形连接）
三相电源的星形连接,将三相电源中三相绕组的末端 U2,V2,W2连接在一起构成一个节点，从三相绕组的首端 U1,V1,W1引出三根导线，
以供与负载或电力网连接的连接方式。
三相负载的星形连接,将三相负载的三个端子连接在一起构成节点，
从三相负载的另外三个端子引出三根端线，以供与电源连接的连接方式。
电源中性点,三相绕组的末端的连接点,N。
中线,从中性点引出的导线。
端线 （相线）：从三相绕组的首端引出的导线，俗称 火线 。
2.三角形连接 (Δ 形连接 )
（ a）三相电源的三角形连接 （ b）三相负载的三角形连接三相电源和三相负载的三角形连接
三相电源的三角形连接,将三相电源中的三相绕组依次首末相接，构成一个回路，从三个连接点引出三根端线，用以连接负载或电力网的连接方式。也称 Δ形连接。
三相负载的三角形连接,将三相负载依次一个接一个地连接起来构成一个回路，再从三个连接点引出三根端线，用以与电源连接的连接方式。
三角形连接的三相电源内部：
若其中一相绕组的极性接反，则三角形回路中的总电动势不等于零，
即
0 WVU eee
0 WVU eee
三角形电源中一相错接的影响根据 KVL，可得到接反后三角形回路中的总电动势为：
WWU EEEEE V
2
例如 W相接反：
1,三相三线制
三相三线制,三相电源与三相负载之间只通过三根端线连接起来的方式。
三相三线制电路二、三相电路的基本接线方式
◆ 三相四线制,三相电源和三相负载均接成星形，电源和负载的各相端子之间及中性点之间均有导线连接。即电源与负载之间共有四根连接导线。
三相四线制电路
2.三相四线制
三相四线制应用,
我国低压配电系统，可向负载提供两种电压
220/380V低压配电系统相电压：相线与中线之间的电压 220伏线电压：两相线之间的电压 380伏第三节 三相电路中的电压和电流一、星形连接的电压和电流
1,线电压与相电压的关系相电压电源的相电压：电源绕组的首端与末端之间的电压，
用 uU,uV,uW表示 。
负载的相电压：负载两端的电压称为负载的相电压，
用 u?U,u?V,u?W表示。
线电压电源的线电压,三相电源的任意两条端线间的电压，
用 uUV,uVW,uWU表示。
负载的线电压：三相负载的任意两条端线间的电压，
用 u?UV,u?VW,u?WU表示。
相电流线电流,流过端线的电流，用 iU,iV,iW表示。
中线电流,流过中线的电流，用 iN表示。
电源的相电流,流过每相电源绕组的电流。对于星形连接的电源，相电流可用 iNU,iNV,iNW表示。
负载的相电流,流过每相负载的电流 。对于星形连接的负载，相电流可用 i?UN,i?VN,i?WN表示。
根据 KVL,Y连接的三相电源相量 关系以三相电源为例，分析 线电压与相电压 之间的关系：
UWWU
WVVW
VUuv
uuu
uuu
uuu
UWWU
WVVW
VUUV
UUU
UUU
UUU
对于星形连接的三相电源或三相负载，无论对称与否：
线电压的瞬时值等于相应的两个相电压的瞬时值之差；
线电压的相量等于相应的两个相电压的相量之差。
瞬时值 关系作出星形连接的对称三相电源的电压相量图由相量图可得
UUUV U3c os 302UU
UL表示线电压的有效值，用 UP表示相电压的有效值，
线电压与相电压数值关系的一般式
PUU 3L?
对称的星形连接的三相电源的电压相量图根据线电压与相电压之间的大小和相位的关系，得：
303
303
303
WWU
VVW
UUV
UU
UU
UU
结论,
对于星形连接的三相电源或三相负载，若相电压是一组对称的正弦电压，
则线电压也是一组对称的正弦电压；在习惯的参考方向下，各线电压在相位上分别超前于相应的相电压 30° ；线电压的有效值等于相电压的有效值的 倍。 3
2,线电流与相电流及中线电流的关系或
PL II?
NWW
NVV
NUU
II
II
II
相电流的有效值线电流的有效值
NWW
NVV
NUU
ii
ii
ii
星形连接的三相电路中的 线电流就是相应的相电流按照图中所选定的参考方向，应用 KCL，可得：
或若线电流是一组正弦对称电流，则有
WVUN IIII
WVUN iiii
0 WVUN IIII
在三相四线制电路中，中线电流的瞬时值（或相量）等于三个线电流的瞬时值（或相量）之和。若线电流为一组对称正弦电流，则中线电流等于零。
二、三角形连接的电压和电流三角形电源的三相电路和电流相量图
1,线电压和相电压的关系
WWU
VVW
UUV
uu
uu
uu
WWU
VVW
UUV
UU
UU
UU
或
LP UU?
三角形连接的三相电源和三相负载的线电压就是相应的相电压
2,线电流与相电流的关系或
WVUWW
VUWVV
UWVUU
iii
iii
iii
WVUWW
VUWVV
UWVUU
III
III
III
结论,
无论三相电源和三相负载是否对称，三角形连接的电源或负载中的线电流的瞬时值（或相量）等于相应的两个相电流的瞬时值（或相量）之差。
应用 KCL，可得：
三角形三相电源的电流相量图线电流与相电流在大小上的关系
VUVUU III 330c o s2 ＝
一般式 PL II 3?
线电流与相电流的相量关系式
303
303
303
UWW
WVV
VUU
II
II
II
前提：三个相电流是一组对称的正弦电流
结论,若三角形连接的三相电源或三相负载的三个相电流是一组对称的正弦电流，则它们的线电流也是一组对称的正弦电流；在习惯的参考方向下，各线电流在相位上分别滞后于相应的相电流 30° ；线电流的有效值等于相电流的有效值的 倍。3
【 例 4－ 1】 一台同步发电机定子三相绕组联成星形。带负载运行时，
三相电压和三相电流均对称，线电压,线电流 iU=115 sin（ 100πt－ 60° ） A，试写出三相电压和三相电流的解析式，并求出每相负载的等效复阻抗。
解
UVu = 6 3 0 0 2 s i n 1 0 0 t V?
2
因为对称情况下星形连接的三相电源的线电压的有效值等于相电压的有效值的 倍，所以，相电压的有效值为3
V 41.3637V 363003U3UU UVLP
因为相电压 U在相位上滞后于线电压 UV 30°,所以 U相电压的初相位为
U?U
U相电压的解析式为
V )30t100(s i n241.3637)t(s i nU2u UuPU
根据电压的对称性，可写出 V,W两相电压的解析式
30
Uu
V )90t1 0 0(s i n241.3 6 3 7V )1 2 030t1 0 0(s i n241.3 6 3 7u
V )1 5 0t1 0 0(s i n241.3 6 3 7V )1 2 030t1 0 0(s i n241.3 6 3 7u
W
V
在星形连接的三相电源中，线电流 i
U
就是相电流 i
NU
，因此，有
i
N U
= i
U
=1 1 5 2 sin (10 0 π t － 60 °) A
根据电流的对称性，可写出 V,W 两相电流的解析式
i
N V
= 1 1 5 2 sin (10 0 π t － 60 ° － 120 °) A = － 1 1 5 2 sin 1 0 0 π t A
i
N W
= 1 1 5 2 sin (10 0 π t － 60 ° +1 2 0 °) A = 1 1 5 2 sin (10 0 π t + 6 0 °) A
每相负载等效复阻抗为
82.1539.27 3063.31
06 115
30 36 37,41
j
I
U
Z
U
U?
【 例 4－ 2】 一台三相异步电动机定子绕组为三角形连接，将该电动机接在频率为 50Hz，相电压为 220V的星形连接的对称三相电源上，电动机带负载运行时，线电流为 15A，若设 U相电源电压的初相位为 45°,则 U相电源相电流的初相位为 16.6°,试写出电动机三个相电流的解析式，并求出电动机的功率因数。
解电源电压的角频率为
ω =2 π f = 100π r a d/s
根据对称情况下星形连接的三相电源的线电压与相电压的相位关系，可求得线电压 u UV 的初相位
ψ u = 45 ° + 30 ° = 7 5 °
根据对称情况下三角形连接的三相负载的线电流与相电流的大小和相位上的关系，可求得电动机的相电流 i
UV
的有效值、初相位及解析式
I
U V
=
3
I U
=
3
15
A = 8.66 A
Ψi = 16.6 ° + 30 ° = 46.6 °
i
U V
=
2
I
U v
sin( ω t + ψ
i
) = 8.6 6
2
sin(100π t + 46.6 ° ) A
根据三相电流的对 称性，可写出电动机的其他两相电流
i
VW
= 8.66
2
sin(100π t － 73.4 ° ) A
i
WU
= 8.66
2
sin(100π t + 16 6.6 ° ) A
电动机的功率因数角和功率因数分别为
= ψ
u
－ ψ
i
= 75 ° － 4 6,6 ° = 28.4 °
λ =
c os
= c os28.4 ° = 0.88
第四节 对称三相电路的计算
对称三相电路,由对称三相电源、对称三相负载和复阻抗相等的相线组成的电路。
对称三相电源,三相电动势对称且三相内阻抗相等的电源。
对称三相负载,三相负载的复阻抗相等的三相负载。
三相电路是一个多分支的复杂交流电路。
分析方法计算支路电流法节点电压法电源模型的等效变换叠加定理戴维南定理一,Y－ Y连接的对称三相电路的计算对称的三相四线制电路设三相电压源的电压分别为：
1201200 UUUUUU WVU,，
对称三相负载的复阻抗为：
ZU = ZV = ZW = Z
每根端线的复阻抗为 ZL，中线的复阻抗为 ZN
应用节点电压法（弥尔曼定理）可求得：
0
13
)(
1
1111
L
L
LLL
L'?
N
WVU
NWVU
W
W
lV
V
lU
U
NN
ZZZ
UUU
ZZ
ZZZZZZZ
ZZ
U
ZZ
U
ZZ
U
U
结论,在电源和负载都是星形连接的对称三相电路中，无论中线阻抗为何值，电源中性点 N与负载中性点 N?之间的电压为零。
对称的 Y－ Y连接三电路中电源中性点 N与负载中性点 N? 等电位。
电路中等电位点可以用无阻抗的导线连接起来。
对于 Y－ Y连接的对称三相电路，无论有无中线，无论中线阻抗为何值，
在计算时都可用阻抗为零的导线将电源中性点与负载中性点连接起来。
应用 KVL，可求得各相电流（也即线电流），即：
：每相复阻抗 ZL+Z的辐角。P?
中线电流为：
从计算的角度看，对称的 Y－ Y连接三电路中各相之间彼此无关，相互独立。
)1 2 0(
)1 2 0(
LL
LL
LL
P
W
W
P
V
V
P
U
U
ZZ
U
ZZ
U
I
ZZ
U
ZZ
U
I
ZZ
U
ZZ
U
I
0 WVUN IIII
由欧姆定律求得各相负载电压分别为：
根据星形连接的负载的线电压与相电压的关系，可求得负载上的线电压：
结论,在对称三相电路中，线电压、相电压、线电流、相电流等各组电压和电流都是和电源相电压同相序的对称量。
120
120
UWW
UVV
UU
UIZU
UIZU
IZU
1 2 0303
1 2 0303
303
UVWWU
UVVVW
UUV
UUU
UUU
UU
【 例 4－ 3】 在图示的对称三相四线制电路中，每相负载阻抗
Z=(80+?60)Ω，端线阻抗 ZL = (4+?3)Ω，
中线阻抗 ZN= (8+?6)Ω，电源相电压为 220V，试求负载的相电压、线电压及线电流，并画出负载电压和电流的相量图。
解
（ 1）从三相电路中取出一相，
画出该相的计算电路图。设想用一阻抗为零的导线将电源中性点与负载中性点连接起来，
使三相成为各自独立的电路。
取出 U相，画出该相计算电路图，
如图（ a）所示。注意，计算电路中不应包含中线阻抗 ZN。
设?U U = 220? 0 ° V
Z = ( 80+? 60 ) Ω = 100? 36.87 ° Ω
Z L + Z = ( 4 +? 3 + 80+? 60 ) Ω = ( 84 +? 63 ) Ω
= 105? 36.87 ° Ω
I U =
ZZ
U
L
U
=
87.361 0 5
02 2 0
A
= 2.10? － 36.87 ° A
U? U = Z
I U = 100? 36.87 ° Ω × 2.10? － 36.87 ° A
= 210? 0 ° V
（ 3）根据对称三相电路中的线电压与相电压的关系，由一相电压求出相应的线电压。
U? U V = 3?U? U? 30 ° = 3 × 210? 0 ° ×? 30 ° V = 3 63,7 2? 30 ° V
I V = 2.10 ∠ ( － 36.87 ° － 120 ° ) A = 2.10? － 156.87 ° A
I W = 2.10 ∠ ( － 36.87 ° + 1 20 ° ) A = 2.10? 83.13 ° A
U? V = 210 ∠ ( 0 ° － 120 ° ) V = 210? － 120 ° V
U? W = 210 ∠ ( 0 ° + 120 ° ) V = 210? 120 ° V
U? V W = 363.72 ∠ ( 30 ° － 1 20 ° ) V = 363.72? － 90 ° V
U? W U = 363.72 ∠ ( 30 ° + 1 20 ° ) V = 363.72? 150 ° V
（ 5）根据计算结果画出各电压和电流的相量图，如图（ b）所示。
（ 4）根据对称性，写出另外两相相应的电压和电流及另外两个线电压。
二、△－ Y连接的对称三相电路的计算三相电源的等效变换
△ － Y Y－ Y
△ →Y 电源变 换 三相化一相对称 Y电源与对称△电源之间等效变换的电压计算公式：
Y电源相电压
△ 电源相电压 WUVWUV UUU,,
YWYVYU UUU
,,
30
3
1
30
3
1
30
3
1
WUYW
VWYV
UVYU
UU
UU
UU
三,Y － △连接的对称三相电路的计算
Y － △ 连接的对称三相电路
Y－△ Y－ Y△ → Y 负载变 换 三相化一相
ZZY 31
端线阻抗不为零按照 Y－ Y连接的对称三相电路的计算方法，取出一相，画出一相计算电路图，计算一相电流和一相电压。
1 2 0,1 2 0
1 2 0,1 2 0
UWUV
UWUV
UUUU
IIII
根据对称性，写出另外两相电流和电压
UYU
Y
U
U IZUZZ
UI
,
L
再根据对称三相星形电路的线电压与相电压的关系计算负载线电压
303
303
303
WWU
VVW
UUV
UU
UU
UU
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
WU
WU
VW
VW
UV
UV
或
30
3
1
30
3
1
30
3
1
WWU
VVW
UUV
II
II
II
由原 Y－ △电路，根据欧姆定律或△连接的对称三相电路的线电流与相电流之间的关系，计算△负载的相电流。
端线阻抗为零
直接计算，无须进行负载的等效变换：
（ 1）求电源线电压：根据对称 Y连接的三相电路的线电压与相电压之间的关系。
（ 2）求负载相电流：因线路阻抗为零，电源线电压就是负载线电压，也就是负载相电压；再利用欧姆定律。
（ 3）求线电流：根据对称△连接的三相电路中的线电流与相电流的关系，由相电流求得线电流，进而求得其他变量。
【 例 4 － 4 】 在图（ a ）所示三相电路中。已知, )43(
L jZ )2424( jZ
，
电源线电压为 3 8 0 V 。试求负载的线电流、线电压和相电流。
解 （ 1）将△负载变换成等效 Y负载。变换后的电路如图（ b）所示，等效 Y负载阻抗为：
4528)88(3 24243 jjZZ Y
AAZIU YUU 49.283.152)452849.4751.13(
AA
ZZ
U
I
jjjZZ
YL
U
U
YL
49.4751.13
49.4728.16
0220
49.4728.16)1211()8843(
（ 2）根据等效的 Y－ Y三相电路中的一相计算电路，计算一相电流和相电压。
设：
VU U 02 2 0033 8 0
（ 3）根据对称性，写出另外两相电流。
（ 4）根据对称性，写出等效星形负载的另外两相电压。
AAII
AAII
UW
UV
51.7251.13)1 2 049.47(51.131 2 0
49.1 6 751.13)1 2 049.47(51.131 2 0
VVUU
VVUU
UW
UV
51.1 1 783.1 5 2)1 2 049.2(83.1 5 21 2 0
49.1 2 283.1 5 2)1 2 049.2(83.1 5 21 2 0
（ 5）根据对称三相星形电路的线电压与相电压的关系，计算负载线电压。
,VW WUUU 也可根据对称性和 UVU 直接写出。
（ 6）根据欧姆定律，求得负载相电流。
VVUU
VVUU
VVUU
WWU
VVW
UUV
51.1 4 770.2 6 4)3051.1 1 7(83.1 5 23303
49.9270.2 6 4)3049.1 2 2(83.1 5 23303
51.2770.2 6 4)3049.2(83.1 5 23303
AA
Z
U
I
AA
Z
U
I
AA
Z
U
I
WU
WU
VW
VW
UV
UV
51.1028.7
45224
51.14770.264
49.1378.7
45224
49.9270.264
49.1780.7
45224
51.2770.264
,UV WUII 也可由 UVI,根据对称性直接写出。
因为电源线电压就是负载相电压，故可直接由电源线电压计算出负载相电流，再根据对称三角形负载线电流与相电流的关系，计算负载线电流，
进而求得其他变量。
（ 1）应先将 △ 电源和 △ 负载分别变换为等效的 Y电源和 Y负载，将 △－
△ 连接的三相电路变换成等效的 Y － Y连接的三相电路；
（ 2）应用计算对称的 Y － Y连接三相电路的方法计算出负载线电流和线电压。
（ 3）再回到原电路，根据对称 △ 电路的线电流与相电流的关系或根据欧姆定律，求得负载和电源的相电流以及端线阻抗压降等待求变量。
四,△ －△连接的对称三相电路的计算
端线路阻抗 为零 的 △ －△ 连接的对称三相电路
端线阻抗 不为零 的 △ －△ 连接的对称三相电路
（ 1）将对称三相电源看成对称星形 Y电源或变换成等效的对称 Y电源。
（ 2）将对称的△负载变换成等效的对称的 Y负载，从而将三相电路系统变换为 Y － Y系统。
（ 3）从等效变换后的三相系统中取出其中一相电路，画出该相计算电路图，计算出一相电路中的电压和电流。
（ 4）根据对称性求出其他两相相应的电压和电流。
（ 5）根据对称三相电路中的线电压与相电压、线电流与相电流之间的关系，计算出相应的线电压和线电流，进而求得其他变量。
计算对称三相正弦交流电路的一般方法步骤第五节 不对称三相电路的计算示例
（ a） (b) (c)
不对称的三相四线制电路三相四线制电路；
三相电源电压 不对称或三相负载复阻抗 不相等WVU ZZZ,,WVU UUU,、
1.应用弥尔曼定理，求得负载中性点
N′与电源中性点 N之间的电压
'
1 1 1 1
U V W
U V W
NN
U V W N
U U U
Z Z Z
U
Z Z Z Z
2.应用 KVL求得三相负载上的相电压
NNWW
NNVV
NNUU
UUU
UUU
UUU
3.根据负载端电压，应用欧姆定律可求得三相负载的相电流，负载线电流等于相电流 WWWV VVU UU ZUIZUIZUI
,，
4.用 KCL（或欧姆定律）计算中线电流 WNUN IIII 或
N
NN
N Z
UI
分析结果中线阻抗不为零的不对称的 Y－ Y连接的三相电路中：
负载中性点 N′和电源中性点 N之间的电压不等于零，即负载中性点 N′和电源中性点 N的电位不相等。
中线具有减小三相负载电压不对称程度，使负载电压对称或接近于对称的作用。
不对称的三相四线制电路中线电流一般不等于零。（即中线的另一个作用就是用以传导这种不平衡电流。）
中性点位移,电源中性点电位和负载中性点电位的 N点和
N′点不重合的现象。
中性点位移电压
NNU?
中线的作用
（ 1）用以为单相用电设备提供相电压。
（ 2）用以传导三相系统中的不平衡电流或单相电流。
（ 3）用以减小中性点位移电压，使星形连接的不对称三相负载的相电压对称或接近于对称。
应避免中线断路
中线应具有足够的机械强度；
中线上不应装设熔断器和开关。
【 例 4－ 5】 图（ a）所示电路为一不对称 Y－ Y连接的三相三线制电路，设三相电源电压对称，相电压为 UP，电容器的电容为 C，白炽灯的电阻为 R,R＝
1/ωC，试求各个白炽灯和电容上的电压。
解 设?U
U ＝ U P? 0 °
中性点位移电压,?U
N? N ＝
R
1
R
1
Cj
U
R
1
U
R
1
UCj WVU
＝
2j
UUUj WVU
＝
2j
U)1j( U
＝ 0.632 U
P? 108.4 °
U相电容上的电压：
U? U ＝?U U －?U N? N ＝ U P? 0 °－ 0.632 U P? 108.4 °≈ 1.3 U P? － 26.6 °
V相白炽灯上的电压：
U? V ＝?U V －?U N? N ＝ U P? － 120 °－ 0.632 U P? 108.4 ° ≈ 1.5 U P? － 101.6 °
W相白炽灯上的电压：
U? W ＝?U W －?U N? N ＝ U P? 120 °－ 0.632 U P? 108.4 °≈ 0.4 U P? 138.5 °
由计算结果可以看出，当 U相接电容时,V相白炽灯上的电压比 W相白炽灯的电压高，因此,V相灯要比 W相灯亮。利用这一电路可以确定三相电源的相序。实际测量时，任意指定一相电源为 U相，将电容接至该相，将白炽灯接到其他两相。根据两相灯泡的亮度来确定 V相和 W相，对于正序三相电源而言，灯泡较亮的一相为 V相，灯泡较暗的一相为 W相。
各电压的相量图如图（ b）所示。
【 例 4－ 6】 有一三相四线制电路，中线和端线阻抗为零，三相负载阻抗分别为 ZU＝ 11Ω,ZV＝ 11Ω,ZW＝ j22Ω，电源相电压为 220V。试求各相电流和中线电流。
解 设 U 相电源电压?U U ＝ 220 0 ° V,三相电流分别为
I U ＝
U
U
Z
U
＝
11
02 2 0 A ＝ 20 ∠ 0 ° A
I V ＝
V
V
Z
U
＝
11
1 2 02 2 0 A ＝ 20 ∠ － 120 ° A
I W ＝
W
W
Z
U
＝
22
1 2 02 2 0
j
A ＝ 10 ∠ 30 ° A
中线电流为,
I N ＝?I U ＋?I V ＋?I W
＝ ( 20 ∠ 0 ° + 20 ∠ － 120 ° + 10 ∠ 30 ° ) A ＝ 22.36 ∠ － 33.43 ° A
第六节 三相电路的功率一、一般三相电路的功率
三相电路的总的有功功率、无功功率都分别等于各相的有功功率、
无功功率之和，即：
三相正弦交流电路总的有功功率、无功功率可表示为：
PwPwPwPVPVPVPUPUPU
PwPwPwPVPVPVPUPUPU
IUIUIUQ
IUIUIUP
s ins ins in
c o sc o sc o s
三相正弦交流电路的视在功率为：
WVU
WVU
QQQQ
PPPP
22 Q + P S?
因对称三相正弦交流电路中三相电压和三相电流都是对称的，故有：
PPU
PPPU
PPPU
IUSQPS
IUQQ
IUPP
33
s i n33
c o s33
22
二、对称三相电路的功率
PPWPVPU
PPWPVPU
PPWPVPU
IIII
UUUU
＝＝＝
结论,对称三相电路的总的有功功率、无功功率及视在功率分别等于一相有功功率、无功功率及视在功率的三倍。
常用线电压和线电流来表示功率。
当对称三相电源或负载是 Y连接时，有
PP IIUU LL,3
当对称三相电源或负载是△连接时，有
PP IIUU 3,LL
PPU
PPPU
PPPU
IUSQPS
IUQQ
IUPP
33
s i n33
c o s33
22
LL
LL
LL
3
s i n3
c o s3
IUS
IUQ
IUP
P
P
：相电压与相电流之间的相位差P?
三相电路的总瞬时功率
无论对称与否，三相电路的总瞬时功率应等于各相瞬时功率之和。
WWVVUUWVU iuiuiupppp
对称三相正弦交流电路
PPPP IUIUp c os3c os3 LL
结论,对称三相正弦交流电路的瞬时功率是一个不随时间变化的常数，其值恰好等于有功功率（平均功率）。
【 例 4－ 7 】 有一对称三相负载，每相阻抗 Z =32+j24Ω，一对称三相电源的线电压 UL=380V，试求下述两种情况下负载的相电流、线电流、有功功率、
无功功率和视在功率：（ 1）负载连成星形，接于三相电源上；（ 2）负载连成三角形，接于三相电源上。
解 （ 1）负载作星形连接时
6.0
40
24
s i n
8.0
40
32
c o s 5.5
5.5
40
2 2 0
2432
2 2 0
2 2 0
3
3 8 0
3
L
22
L
Z
X
Z
R
AII
AAA
Z
U
IVV
U
U
P
PP
P
PP
VAVAIUS
V a rV a rIUQ
WWIUP
P
P
88.36195.538033
93.21716.05.53803s i n3
90.28958.05.53803c o s3
LL
LL
LL
（ 2）负载连成三角形时
VAVAIUS
V a rV a rIUQ
WWIUP
P
P
73.1082645.1638033
04.64966.05.4.163803s i n3
39.86618.045.163803c o s3
LL
LL
LL
6.0
40
24
s i n
8.0
40
32
c o s
45.165.933
5.9
40
380
380
L
L
Z
X
Z
R
AAII
AA
Z
U
I
VUU
P
P
P
P
P
P
第七节 不对称三相电压和电流的对称分量不同相序的对称三相正弦量的相加一组不对称的三相正弦量若干组相序相同的对称三相正弦量
（指各相分别相加） 一组同相序的对称三相正弦量若干组相序不同的对称三相正弦量 相加相加
任意一组不对称的三相正弦量都可以分解为正序、负序和零序三组对称的三相正弦量。
对称分量正序分量负序分量零序分量一组不对称的三相正弦量正序、负序和零序三组对称的三相正弦量如何分解？
WVU,、
021
021
021
WWW
VVV
UUU
、、
、、
、、
如何分解？
0 0 0
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
,
,
U V W
V a U W a U
V a U W a U
2
2
10210
21
2
0210
210
UaUaUWWWW
UaUaUVVVV
UUUU
对称三相正弦量的定义
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
2
2
2
1
0
WaVaUU
WaVaUU
WVUU
021 UUU
,、
021021 WWWVVV
,、、、、
实际计算结果表明，除正序分量外，负序分量和零序分量有可能为零，即负序分量和零序分量有可能不存在。
对称三相正弦量的相量分解对于任一局部不对称的三相电路的计算步骤
（ 1）用一组不对称的三相电压源替代三相电路中的不对称部分；
（ 2）将该组不对称的三相电压源电压分解为正序、负序和零序三组对称分量；
（ 3）应用叠加定理，分别计算出各组对称分量单独作用时所产生的电压和电流，在计算每一组对称分量单独作用的结果时，可应用对称三 相电路化归单相电路的计算方法来进行计算；
（ 4）将相应的电压分量或电流分量叠加起来，可求得原电路中的电压或电流。
对称分量法只适用于 线性 电路。
对称分量法解
【 例 4－ 8】 已知一组不对称三相电压,
试求它们的对称分量，并绘出相量图。
VUVUVU WVU 0,1202200220,
VVj
VUaUaUU
VV
VUaUaUU
VVj
VUUUU
WVUU
WVUU
WVUU
6033.73)52.1 9 01 1 0(
3
1
)2 4 01 2 02 2 002 2 0(
3
1
)(
3
1
67.1 4 6)2 2 02 2 0(
3
1
)1 2 01 2 02 2 002 2 0(
3
1
)(
3
1
6033.73 )52.1 9 01 1 0(
3
1
)1 2 02 2 002 2 0(
3
1
)(
3
1
2
2
2
1
0
各电压的相量图如下图所示：
VUaU
VUaU
VUaU
VUaU
VUU
UW
UV
UW
UV
WV
6033.73
33.73
12067.146
12067.146
6033.73
2
2
2
22
11
1
2
1
00
第四章小结三相电源和三相负载的基本连接方式有两种：星形连接和三角形连接。
无论对称与否，在习惯参考方向下，星形连接的电源或负载的线电流就是相应的相电流，其线电压的相量（或瞬时值）等于相应的两个相电压的相量（或瞬时值）之差；三角形连接的电源或负载的线电流的相量（或瞬时值）等于相应的两个相电流的相量（或瞬时值）之差，
其线电压就是相应的相电压；三相四线制电路中中线电流的相量（或 瞬时值）等于三个线电流的相量（或瞬时值）之和。
2.三相电路的连接方式及线电压与相电压、线电流与相电流的关系
1.对称三相正弦量的相序频率相同、幅值相等、彼此间相位差角相等的三个正弦量，称为对称 三相正弦量。对称三相正弦量的相序有三种：正序（ U→V→W ），
负序（ V→U→W ）和零序（ U,V,W相正弦量同相）。
3.对称三相正弦交流电路的基本特点
（ 1）电路中各组电压和电流都是和电源电压同频率、同相序的对称量。
（ 2）负载或电源为星形连接时，线电压的有效值等于相电压的有效值的 倍；在习惯参考方向下，线电压在相位上超前于相应的相电压 30° ；线电流等于相应的相电流。负载或电源为三角形连接时，线电压等于相应的相电压；线电流的有效值等于相电流的有效值的 倍；
在习惯参考方向下，线电流在相位上滞后于相应的相电流 30° 。
（ 3）对于对称的 Y－ Y系统，无论中线阻抗为何值，负载中性点 N?与电源中性点 N都是等电位的，中线电流总是等于零。
3
3
4.分析计算对称三相正弦交流电路的一般方法
（ 1）将对称三相电源看成（已知三相电源线电压时）或变换成（电源为三角形连接时）等效的星形连接的对称三相电源。等效星形电源的相电压的有效值等于电源线电压的有效值的 1/,等效星形电源的相电压在相位上滞后相应的电源线电压 30° ；
（ 2）将对称的三角形连接的三相负载变换成等效的星形连接的对称三相负载，使三相电路系统变为对称的 Y－ Y系统。等效星形负载的每相负载阻抗 ZY与三角形负载的每相负载阻抗
Z△ 的关系为 ZY ＝ 1/3Z△ ；
（ 3）将电源中性点与负载中性点用无阻抗的导线连接起来，
形成三相各自独立的电路，取出其中一相（如 U相）电路，
画出该相的计算电路图；
（ 4）应用单相交流电路的计算方法，计算出一相电路中的电压和电流，根据对称性求出其他两相相应的电压和电流；
（ 5）根据对称三相电路中的线电压与相电压、线电流与相电流之间的关系，求出相应的线电压和线电流，进而求得其他变量。
3
负载中性点 N?的电位与电源中性点 N的电位不相等,位形图上出现 N?点与 N
点不重合的现象，称为中性点位移。电源中性点与负载中性点间的电压
N?N称为中性点位移电压。
NWVU
W
W
V
V
U
U
NN
ZZZZ
U
Z
U
Z
U
ZU
1111
111
U
端线阻抗为零的不对称的 Y－ Y连接的三相系统中各相负载电压的计算式为
NNWWNNVVNNUU UUUUUUUUU?
,，
各相负载电流的计算式为
W
W
W
V
V
V
U
U
U Z
UI
Z
UI
Z
UI,，
对于无中线或中线阻抗不为零的不对称 Y－ Y连接的三相系统，负载中性点 N?与电源中性点 N之间的电压不等于零，其值为：
5.不对称的 Y— Y连接的三相电路的计算
6.中线的作用
（ 1）用以接单相用电设备，提供相电压；
（ 2）用以传导三相系统中的不平衡电流或单相电流；
（ 3）用以减小中性点位移电压，使不对称星形负载的相电压对称或接近于对称。
7,三相正弦交流电路功率的计算计算三相正弦交流电路的功率，要注意区分对称与不对称两种情况，一般三相正弦交流电路（无论对称与否）的功率计算式为：
22 Q + P
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
S
IUIUIUQ
IUIUIUP
PWPWPWPVPVPVpUPUPU
PWPWPWPVPVPVpUPUPU
对称三相正弦交流电路的功率计算式为：
llPP
pllpPP
pllpPP
IUIUS
IUIUQ
IUIUP
33
s i n3s i n3
c o s3c o s3
对称三相正弦交流电路的瞬时功率等于其有功功率。
8．对称分量法任意一组不对称的三相正弦量都可以分解为正序、负序和零序三组对称的三相正弦量。
各对称分量的计算公式为：
0
2
1
2
2
0 0 0
2
1 1 1 1
2
2 1 1 1
1
()
3
1
()
3
1
()
3
,
,
U U V W
U U a V a W
U U a V a W
U V W
V a U W a U
V a U W a U
◆ 三相制,由三相电源供电的体系。
◆ 三相电源,能够产生三个频率相同、幅值相等而相位不同的电动势（或电压）的交流电源。
◆ 三相电路,由三相电源供电的电路。
三相同步发电机的原理图 发电机的三相绕组及其中的电压、电动势三相电动势的瞬时值表达式：
发电机的对称三相正弦电压的瞬时值表达式：
式中 U＝ E
1 2 0 )tEs i n (2e
1 2 0 )-tEs i n (2e
tEs i n2e
W
V
U
1 2 0 )tU s i n (22 4 0 )-tU s i n (2U
1 2 0 )-tU s i n (2U
tU s i n2U
W
V
U
对称三相正弦电压的相量式：
1 2 0U2 4 0UU
1 2 0UU
0UU
W
V
U
对称三相正弦电压的波形图和相量图
对称三相正弦电压的瞬时值之和及相量之和均为零。 0UUU
0uuu
WVU
WVU
◆ 对称三相正弦量的相序,三相正弦量从超前到滞后的排列次序 。
相序有：正序、负序、零序正序三相电压的波形图和相量图
电力系统一般采用正序，正常运行时系统中的电压都是正序的。往后，若无特殊说明，对称三相电压均按正序处理。
二、对称三相正弦量的相序
1.正序,以三相电压为例，如果对称三相正弦电压 uU,uV,uW的相位关系为,uU超前 uV,uV超前 uW，则称它们的相序为正序或顺序。
负序对称三相电压的波形图和相量图零序对称三相正弦电压的波形图和相量图
2.负序,如果对三相正弦电压 uU,uV,uW的相位关系为,uV超前 uU,
uU 超前 uW，则称它们的相序为负序或逆序。
3.零序,如果对称三相正弦电压 uU,uV,uW彼此间相位差为 0°,即三者同相，则称它们的相序为零序第二节 三相电源和负载的连接三相电源和三相负载的基本连接方式一、三相电源和三相负载的连接星形连接三角形连接
（ a）三相电源的星形连接 （ b）三相负载的星形连接三相电源和三相负载的星形连接
1,星形连接 （ Y形连接）
三相电源的星形连接,将三相电源中三相绕组的末端 U2,V2,W2连接在一起构成一个节点，从三相绕组的首端 U1,V1,W1引出三根导线，
以供与负载或电力网连接的连接方式。
三相负载的星形连接,将三相负载的三个端子连接在一起构成节点，
从三相负载的另外三个端子引出三根端线，以供与电源连接的连接方式。
电源中性点,三相绕组的末端的连接点,N。
中线,从中性点引出的导线。
端线 （相线）：从三相绕组的首端引出的导线，俗称 火线 。
2.三角形连接 (Δ 形连接 )
（ a）三相电源的三角形连接 （ b）三相负载的三角形连接三相电源和三相负载的三角形连接
三相电源的三角形连接,将三相电源中的三相绕组依次首末相接，构成一个回路，从三个连接点引出三根端线，用以连接负载或电力网的连接方式。也称 Δ形连接。
三相负载的三角形连接,将三相负载依次一个接一个地连接起来构成一个回路，再从三个连接点引出三根端线，用以与电源连接的连接方式。
三角形连接的三相电源内部：
若其中一相绕组的极性接反，则三角形回路中的总电动势不等于零，
即
0 WVU eee
0 WVU eee
三角形电源中一相错接的影响根据 KVL，可得到接反后三角形回路中的总电动势为：
WWU EEEEE V
2
例如 W相接反：
1,三相三线制
三相三线制,三相电源与三相负载之间只通过三根端线连接起来的方式。
三相三线制电路二、三相电路的基本接线方式
◆ 三相四线制,三相电源和三相负载均接成星形，电源和负载的各相端子之间及中性点之间均有导线连接。即电源与负载之间共有四根连接导线。
三相四线制电路
2.三相四线制
三相四线制应用,
我国低压配电系统，可向负载提供两种电压
220/380V低压配电系统相电压：相线与中线之间的电压 220伏线电压：两相线之间的电压 380伏第三节 三相电路中的电压和电流一、星形连接的电压和电流
1,线电压与相电压的关系相电压电源的相电压：电源绕组的首端与末端之间的电压，
用 uU,uV,uW表示 。
负载的相电压：负载两端的电压称为负载的相电压，
用 u?U,u?V,u?W表示。
线电压电源的线电压,三相电源的任意两条端线间的电压，
用 uUV,uVW,uWU表示。
负载的线电压：三相负载的任意两条端线间的电压，
用 u?UV,u?VW,u?WU表示。
相电流线电流,流过端线的电流，用 iU,iV,iW表示。
中线电流,流过中线的电流，用 iN表示。
电源的相电流,流过每相电源绕组的电流。对于星形连接的电源，相电流可用 iNU,iNV,iNW表示。
负载的相电流,流过每相负载的电流 。对于星形连接的负载，相电流可用 i?UN,i?VN,i?WN表示。
根据 KVL,Y连接的三相电源相量 关系以三相电源为例，分析 线电压与相电压 之间的关系：
UWWU
WVVW
VUuv
uuu
uuu
uuu
UWWU
WVVW
VUUV
UUU
UUU
UUU
对于星形连接的三相电源或三相负载，无论对称与否：
线电压的瞬时值等于相应的两个相电压的瞬时值之差；
线电压的相量等于相应的两个相电压的相量之差。
瞬时值 关系作出星形连接的对称三相电源的电压相量图由相量图可得
UUUV U3c os 302UU
UL表示线电压的有效值，用 UP表示相电压的有效值，
线电压与相电压数值关系的一般式
PUU 3L?
对称的星形连接的三相电源的电压相量图根据线电压与相电压之间的大小和相位的关系，得：
303
303
303
WWU
VVW
UUV
UU
UU
UU
结论,
对于星形连接的三相电源或三相负载，若相电压是一组对称的正弦电压，
则线电压也是一组对称的正弦电压；在习惯的参考方向下，各线电压在相位上分别超前于相应的相电压 30° ；线电压的有效值等于相电压的有效值的 倍。 3
2,线电流与相电流及中线电流的关系或
PL II?
NWW
NVV
NUU
II
II
II
相电流的有效值线电流的有效值
NWW
NVV
NUU
ii
ii
ii
星形连接的三相电路中的 线电流就是相应的相电流按照图中所选定的参考方向，应用 KCL，可得：
或若线电流是一组正弦对称电流，则有
WVUN IIII
WVUN iiii
0 WVUN IIII
在三相四线制电路中，中线电流的瞬时值（或相量）等于三个线电流的瞬时值（或相量）之和。若线电流为一组对称正弦电流，则中线电流等于零。
二、三角形连接的电压和电流三角形电源的三相电路和电流相量图
1,线电压和相电压的关系
WWU
VVW
UUV
uu
uu
uu
WWU
VVW
UUV
UU
UU
UU
或
LP UU?
三角形连接的三相电源和三相负载的线电压就是相应的相电压
2,线电流与相电流的关系或
WVUWW
VUWVV
UWVUU
iii
iii
iii
WVUWW
VUWVV
UWVUU
III
III
III
结论,
无论三相电源和三相负载是否对称，三角形连接的电源或负载中的线电流的瞬时值（或相量）等于相应的两个相电流的瞬时值（或相量）之差。
应用 KCL，可得：
三角形三相电源的电流相量图线电流与相电流在大小上的关系
VUVUU III 330c o s2 ＝
一般式 PL II 3?
线电流与相电流的相量关系式
303
303
303
UWW
WVV
VUU
II
II
II
前提：三个相电流是一组对称的正弦电流
结论,若三角形连接的三相电源或三相负载的三个相电流是一组对称的正弦电流，则它们的线电流也是一组对称的正弦电流；在习惯的参考方向下，各线电流在相位上分别滞后于相应的相电流 30° ；线电流的有效值等于相电流的有效值的 倍。3
【 例 4－ 1】 一台同步发电机定子三相绕组联成星形。带负载运行时，
三相电压和三相电流均对称，线电压,线电流 iU=115 sin（ 100πt－ 60° ） A，试写出三相电压和三相电流的解析式，并求出每相负载的等效复阻抗。
解
UVu = 6 3 0 0 2 s i n 1 0 0 t V?
2
因为对称情况下星形连接的三相电源的线电压的有效值等于相电压的有效值的 倍，所以，相电压的有效值为3
V 41.3637V 363003U3UU UVLP
因为相电压 U在相位上滞后于线电压 UV 30°,所以 U相电压的初相位为
U?U
U相电压的解析式为
V )30t100(s i n241.3637)t(s i nU2u UuPU
根据电压的对称性，可写出 V,W两相电压的解析式
30
Uu
V )90t1 0 0(s i n241.3 6 3 7V )1 2 030t1 0 0(s i n241.3 6 3 7u
V )1 5 0t1 0 0(s i n241.3 6 3 7V )1 2 030t1 0 0(s i n241.3 6 3 7u
W
V
在星形连接的三相电源中，线电流 i
U
就是相电流 i
NU
，因此，有
i
N U
= i
U
=1 1 5 2 sin (10 0 π t － 60 °) A
根据电流的对称性，可写出 V,W 两相电流的解析式
i
N V
= 1 1 5 2 sin (10 0 π t － 60 ° － 120 °) A = － 1 1 5 2 sin 1 0 0 π t A
i
N W
= 1 1 5 2 sin (10 0 π t － 60 ° +1 2 0 °) A = 1 1 5 2 sin (10 0 π t + 6 0 °) A
每相负载等效复阻抗为
82.1539.27 3063.31
06 115
30 36 37,41
j
I
U
Z
U
U?
【 例 4－ 2】 一台三相异步电动机定子绕组为三角形连接，将该电动机接在频率为 50Hz，相电压为 220V的星形连接的对称三相电源上，电动机带负载运行时，线电流为 15A，若设 U相电源电压的初相位为 45°,则 U相电源相电流的初相位为 16.6°,试写出电动机三个相电流的解析式，并求出电动机的功率因数。
解电源电压的角频率为
ω =2 π f = 100π r a d/s
根据对称情况下星形连接的三相电源的线电压与相电压的相位关系，可求得线电压 u UV 的初相位
ψ u = 45 ° + 30 ° = 7 5 °
根据对称情况下三角形连接的三相负载的线电流与相电流的大小和相位上的关系，可求得电动机的相电流 i
UV
的有效值、初相位及解析式
I
U V
=
3
I U
=
3
15
A = 8.66 A
Ψi = 16.6 ° + 30 ° = 46.6 °
i
U V
=
2
I
U v
sin( ω t + ψ
i
) = 8.6 6
2
sin(100π t + 46.6 ° ) A
根据三相电流的对 称性，可写出电动机的其他两相电流
i
VW
= 8.66
2
sin(100π t － 73.4 ° ) A
i
WU
= 8.66
2
sin(100π t + 16 6.6 ° ) A
电动机的功率因数角和功率因数分别为
= ψ
u
－ ψ
i
= 75 ° － 4 6,6 ° = 28.4 °
λ =
c os
= c os28.4 ° = 0.88
第四节 对称三相电路的计算
对称三相电路,由对称三相电源、对称三相负载和复阻抗相等的相线组成的电路。
对称三相电源,三相电动势对称且三相内阻抗相等的电源。
对称三相负载,三相负载的复阻抗相等的三相负载。
三相电路是一个多分支的复杂交流电路。
分析方法计算支路电流法节点电压法电源模型的等效变换叠加定理戴维南定理一,Y－ Y连接的对称三相电路的计算对称的三相四线制电路设三相电压源的电压分别为：
1201200 UUUUUU WVU,，
对称三相负载的复阻抗为：
ZU = ZV = ZW = Z
每根端线的复阻抗为 ZL，中线的复阻抗为 ZN
应用节点电压法（弥尔曼定理）可求得：
0
13
)(
1
1111
L
L
LLL
L'?
N
WVU
NWVU
W
W
lV
V
lU
U
NN
ZZZ
UUU
ZZ
ZZZZZZZ
ZZ
U
ZZ
U
ZZ
U
U
结论,在电源和负载都是星形连接的对称三相电路中，无论中线阻抗为何值，电源中性点 N与负载中性点 N?之间的电压为零。
对称的 Y－ Y连接三电路中电源中性点 N与负载中性点 N? 等电位。
电路中等电位点可以用无阻抗的导线连接起来。
对于 Y－ Y连接的对称三相电路，无论有无中线，无论中线阻抗为何值，
在计算时都可用阻抗为零的导线将电源中性点与负载中性点连接起来。
应用 KVL，可求得各相电流（也即线电流），即：
：每相复阻抗 ZL+Z的辐角。P?
中线电流为：
从计算的角度看，对称的 Y－ Y连接三电路中各相之间彼此无关，相互独立。
)1 2 0(
)1 2 0(
LL
LL
LL
P
W
W
P
V
V
P
U
U
ZZ
U
ZZ
U
I
ZZ
U
ZZ
U
I
ZZ
U
ZZ
U
I
0 WVUN IIII
由欧姆定律求得各相负载电压分别为：
根据星形连接的负载的线电压与相电压的关系，可求得负载上的线电压：
结论,在对称三相电路中，线电压、相电压、线电流、相电流等各组电压和电流都是和电源相电压同相序的对称量。
120
120
UWW
UVV
UU
UIZU
UIZU
IZU
1 2 0303
1 2 0303
303
UVWWU
UVVVW
UUV
UUU
UUU
UU
【 例 4－ 3】 在图示的对称三相四线制电路中，每相负载阻抗
Z=(80+?60)Ω，端线阻抗 ZL = (4+?3)Ω，
中线阻抗 ZN= (8+?6)Ω，电源相电压为 220V，试求负载的相电压、线电压及线电流，并画出负载电压和电流的相量图。
解
（ 1）从三相电路中取出一相，
画出该相的计算电路图。设想用一阻抗为零的导线将电源中性点与负载中性点连接起来，
使三相成为各自独立的电路。
取出 U相，画出该相计算电路图，
如图（ a）所示。注意，计算电路中不应包含中线阻抗 ZN。
设?U U = 220? 0 ° V
Z = ( 80+? 60 ) Ω = 100? 36.87 ° Ω
Z L + Z = ( 4 +? 3 + 80+? 60 ) Ω = ( 84 +? 63 ) Ω
= 105? 36.87 ° Ω
I U =
ZZ
U
L
U
=
87.361 0 5
02 2 0
A
= 2.10? － 36.87 ° A
U? U = Z
I U = 100? 36.87 ° Ω × 2.10? － 36.87 ° A
= 210? 0 ° V
（ 3）根据对称三相电路中的线电压与相电压的关系，由一相电压求出相应的线电压。
U? U V = 3?U? U? 30 ° = 3 × 210? 0 ° ×? 30 ° V = 3 63,7 2? 30 ° V
I V = 2.10 ∠ ( － 36.87 ° － 120 ° ) A = 2.10? － 156.87 ° A
I W = 2.10 ∠ ( － 36.87 ° + 1 20 ° ) A = 2.10? 83.13 ° A
U? V = 210 ∠ ( 0 ° － 120 ° ) V = 210? － 120 ° V
U? W = 210 ∠ ( 0 ° + 120 ° ) V = 210? 120 ° V
U? V W = 363.72 ∠ ( 30 ° － 1 20 ° ) V = 363.72? － 90 ° V
U? W U = 363.72 ∠ ( 30 ° + 1 20 ° ) V = 363.72? 150 ° V
（ 5）根据计算结果画出各电压和电流的相量图，如图（ b）所示。
（ 4）根据对称性，写出另外两相相应的电压和电流及另外两个线电压。
二、△－ Y连接的对称三相电路的计算三相电源的等效变换
△ － Y Y－ Y
△ →Y 电源变 换 三相化一相对称 Y电源与对称△电源之间等效变换的电压计算公式：
Y电源相电压
△ 电源相电压 WUVWUV UUU,,
YWYVYU UUU
,,
30
3
1
30
3
1
30
3
1
WUYW
VWYV
UVYU
UU
UU
UU
三,Y － △连接的对称三相电路的计算
Y － △ 连接的对称三相电路
Y－△ Y－ Y△ → Y 负载变 换 三相化一相
ZZY 31
端线阻抗不为零按照 Y－ Y连接的对称三相电路的计算方法，取出一相，画出一相计算电路图，计算一相电流和一相电压。
1 2 0,1 2 0
1 2 0,1 2 0
UWUV
UWUV
UUUU
IIII
根据对称性，写出另外两相电流和电压
UYU
Y
U
U IZUZZ
UI
,
L
再根据对称三相星形电路的线电压与相电压的关系计算负载线电压
303
303
303
WWU
VVW
UUV
UU
UU
UU
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
WU
WU
VW
VW
UV
UV
或
30
3
1
30
3
1
30
3
1
WWU
VVW
UUV
II
II
II
由原 Y－ △电路，根据欧姆定律或△连接的对称三相电路的线电流与相电流之间的关系，计算△负载的相电流。
端线阻抗为零
直接计算，无须进行负载的等效变换：
（ 1）求电源线电压：根据对称 Y连接的三相电路的线电压与相电压之间的关系。
（ 2）求负载相电流：因线路阻抗为零，电源线电压就是负载线电压，也就是负载相电压；再利用欧姆定律。
（ 3）求线电流：根据对称△连接的三相电路中的线电流与相电流的关系，由相电流求得线电流，进而求得其他变量。
【 例 4 － 4 】 在图（ a ）所示三相电路中。已知, )43(
L jZ )2424( jZ
，
电源线电压为 3 8 0 V 。试求负载的线电流、线电压和相电流。
解 （ 1）将△负载变换成等效 Y负载。变换后的电路如图（ b）所示，等效 Y负载阻抗为：
4528)88(3 24243 jjZZ Y
AAZIU YUU 49.283.152)452849.4751.13(
AA
ZZ
U
I
jjjZZ
YL
U
U
YL
49.4751.13
49.4728.16
0220
49.4728.16)1211()8843(
（ 2）根据等效的 Y－ Y三相电路中的一相计算电路，计算一相电流和相电压。
设：
VU U 02 2 0033 8 0
（ 3）根据对称性，写出另外两相电流。
（ 4）根据对称性，写出等效星形负载的另外两相电压。
AAII
AAII
UW
UV
51.7251.13)1 2 049.47(51.131 2 0
49.1 6 751.13)1 2 049.47(51.131 2 0
VVUU
VVUU
UW
UV
51.1 1 783.1 5 2)1 2 049.2(83.1 5 21 2 0
49.1 2 283.1 5 2)1 2 049.2(83.1 5 21 2 0
（ 5）根据对称三相星形电路的线电压与相电压的关系，计算负载线电压。
,VW WUUU 也可根据对称性和 UVU 直接写出。
（ 6）根据欧姆定律，求得负载相电流。
VVUU
VVUU
VVUU
WWU
VVW
UUV
51.1 4 770.2 6 4)3051.1 1 7(83.1 5 23303
49.9270.2 6 4)3049.1 2 2(83.1 5 23303
51.2770.2 6 4)3049.2(83.1 5 23303
AA
Z
U
I
AA
Z
U
I
AA
Z
U
I
WU
WU
VW
VW
UV
UV
51.1028.7
45224
51.14770.264
49.1378.7
45224
49.9270.264
49.1780.7
45224
51.2770.264
,UV WUII 也可由 UVI,根据对称性直接写出。
因为电源线电压就是负载相电压，故可直接由电源线电压计算出负载相电流，再根据对称三角形负载线电流与相电流的关系，计算负载线电流，
进而求得其他变量。
（ 1）应先将 △ 电源和 △ 负载分别变换为等效的 Y电源和 Y负载，将 △－
△ 连接的三相电路变换成等效的 Y － Y连接的三相电路；
（ 2）应用计算对称的 Y － Y连接三相电路的方法计算出负载线电流和线电压。
（ 3）再回到原电路，根据对称 △ 电路的线电流与相电流的关系或根据欧姆定律，求得负载和电源的相电流以及端线阻抗压降等待求变量。
四,△ －△连接的对称三相电路的计算
端线路阻抗 为零 的 △ －△ 连接的对称三相电路
端线阻抗 不为零 的 △ －△ 连接的对称三相电路
（ 1）将对称三相电源看成对称星形 Y电源或变换成等效的对称 Y电源。
（ 2）将对称的△负载变换成等效的对称的 Y负载，从而将三相电路系统变换为 Y － Y系统。
（ 3）从等效变换后的三相系统中取出其中一相电路，画出该相计算电路图，计算出一相电路中的电压和电流。
（ 4）根据对称性求出其他两相相应的电压和电流。
（ 5）根据对称三相电路中的线电压与相电压、线电流与相电流之间的关系，计算出相应的线电压和线电流，进而求得其他变量。
计算对称三相正弦交流电路的一般方法步骤第五节 不对称三相电路的计算示例
（ a） (b) (c)
不对称的三相四线制电路三相四线制电路；
三相电源电压 不对称或三相负载复阻抗 不相等WVU ZZZ,,WVU UUU,、
1.应用弥尔曼定理，求得负载中性点
N′与电源中性点 N之间的电压
'
1 1 1 1
U V W
U V W
NN
U V W N
U U U
Z Z Z
U
Z Z Z Z
2.应用 KVL求得三相负载上的相电压
NNWW
NNVV
NNUU
UUU
UUU
UUU
3.根据负载端电压，应用欧姆定律可求得三相负载的相电流，负载线电流等于相电流 WWWV VVU UU ZUIZUIZUI
,，
4.用 KCL（或欧姆定律）计算中线电流 WNUN IIII 或
N
NN
N Z
UI
分析结果中线阻抗不为零的不对称的 Y－ Y连接的三相电路中：
负载中性点 N′和电源中性点 N之间的电压不等于零，即负载中性点 N′和电源中性点 N的电位不相等。
中线具有减小三相负载电压不对称程度，使负载电压对称或接近于对称的作用。
不对称的三相四线制电路中线电流一般不等于零。（即中线的另一个作用就是用以传导这种不平衡电流。）
中性点位移,电源中性点电位和负载中性点电位的 N点和
N′点不重合的现象。
中性点位移电压
NNU?
中线的作用
（ 1）用以为单相用电设备提供相电压。
（ 2）用以传导三相系统中的不平衡电流或单相电流。
（ 3）用以减小中性点位移电压，使星形连接的不对称三相负载的相电压对称或接近于对称。
应避免中线断路
中线应具有足够的机械强度；
中线上不应装设熔断器和开关。
【 例 4－ 5】 图（ a）所示电路为一不对称 Y－ Y连接的三相三线制电路，设三相电源电压对称，相电压为 UP，电容器的电容为 C，白炽灯的电阻为 R,R＝
1/ωC，试求各个白炽灯和电容上的电压。
解 设?U
U ＝ U P? 0 °
中性点位移电压,?U
N? N ＝
R
1
R
1
Cj
U
R
1
U
R
1
UCj WVU
＝
2j
UUUj WVU
＝
2j
U)1j( U
＝ 0.632 U
P? 108.4 °
U相电容上的电压：
U? U ＝?U U －?U N? N ＝ U P? 0 °－ 0.632 U P? 108.4 °≈ 1.3 U P? － 26.6 °
V相白炽灯上的电压：
U? V ＝?U V －?U N? N ＝ U P? － 120 °－ 0.632 U P? 108.4 ° ≈ 1.5 U P? － 101.6 °
W相白炽灯上的电压：
U? W ＝?U W －?U N? N ＝ U P? 120 °－ 0.632 U P? 108.4 °≈ 0.4 U P? 138.5 °
由计算结果可以看出，当 U相接电容时,V相白炽灯上的电压比 W相白炽灯的电压高，因此,V相灯要比 W相灯亮。利用这一电路可以确定三相电源的相序。实际测量时，任意指定一相电源为 U相，将电容接至该相，将白炽灯接到其他两相。根据两相灯泡的亮度来确定 V相和 W相，对于正序三相电源而言，灯泡较亮的一相为 V相，灯泡较暗的一相为 W相。
各电压的相量图如图（ b）所示。
【 例 4－ 6】 有一三相四线制电路，中线和端线阻抗为零，三相负载阻抗分别为 ZU＝ 11Ω,ZV＝ 11Ω,ZW＝ j22Ω，电源相电压为 220V。试求各相电流和中线电流。
解 设 U 相电源电压?U U ＝ 220 0 ° V,三相电流分别为
I U ＝
U
U
Z
U
＝
11
02 2 0 A ＝ 20 ∠ 0 ° A
I V ＝
V
V
Z
U
＝
11
1 2 02 2 0 A ＝ 20 ∠ － 120 ° A
I W ＝
W
W
Z
U
＝
22
1 2 02 2 0
j
A ＝ 10 ∠ 30 ° A
中线电流为,
I N ＝?I U ＋?I V ＋?I W
＝ ( 20 ∠ 0 ° + 20 ∠ － 120 ° + 10 ∠ 30 ° ) A ＝ 22.36 ∠ － 33.43 ° A
第六节 三相电路的功率一、一般三相电路的功率
三相电路的总的有功功率、无功功率都分别等于各相的有功功率、
无功功率之和，即：
三相正弦交流电路总的有功功率、无功功率可表示为：
PwPwPwPVPVPVPUPUPU
PwPwPwPVPVPVPUPUPU
IUIUIUQ
IUIUIUP
s ins ins in
c o sc o sc o s
三相正弦交流电路的视在功率为：
WVU
WVU
QQQQ
PPPP
22 Q + P S?
因对称三相正弦交流电路中三相电压和三相电流都是对称的，故有：
PPU
PPPU
PPPU
IUSQPS
IUQQ
IUPP
33
s i n33
c o s33
22
二、对称三相电路的功率
PPWPVPU
PPWPVPU
PPWPVPU
IIII
UUUU
＝＝＝
结论,对称三相电路的总的有功功率、无功功率及视在功率分别等于一相有功功率、无功功率及视在功率的三倍。
常用线电压和线电流来表示功率。
当对称三相电源或负载是 Y连接时，有
PP IIUU LL,3
当对称三相电源或负载是△连接时，有
PP IIUU 3,LL
PPU
PPPU
PPPU
IUSQPS
IUQQ
IUPP
33
s i n33
c o s33
22
LL
LL
LL
3
s i n3
c o s3
IUS
IUQ
IUP
P
P
：相电压与相电流之间的相位差P?
三相电路的总瞬时功率
无论对称与否，三相电路的总瞬时功率应等于各相瞬时功率之和。
WWVVUUWVU iuiuiupppp
对称三相正弦交流电路
PPPP IUIUp c os3c os3 LL
结论,对称三相正弦交流电路的瞬时功率是一个不随时间变化的常数，其值恰好等于有功功率（平均功率）。
【 例 4－ 7 】 有一对称三相负载，每相阻抗 Z =32+j24Ω，一对称三相电源的线电压 UL=380V，试求下述两种情况下负载的相电流、线电流、有功功率、
无功功率和视在功率：（ 1）负载连成星形，接于三相电源上；（ 2）负载连成三角形，接于三相电源上。
解 （ 1）负载作星形连接时
6.0
40
24
s i n
8.0
40
32
c o s 5.5
5.5
40
2 2 0
2432
2 2 0
2 2 0
3
3 8 0
3
L
22
L
Z
X
Z
R
AII
AAA
Z
U
IVV
U
U
P
PP
P
PP
VAVAIUS
V a rV a rIUQ
WWIUP
P
P
88.36195.538033
93.21716.05.53803s i n3
90.28958.05.53803c o s3
LL
LL
LL
（ 2）负载连成三角形时
VAVAIUS
V a rV a rIUQ
WWIUP
P
P
73.1082645.1638033
04.64966.05.4.163803s i n3
39.86618.045.163803c o s3
LL
LL
LL
6.0
40
24
s i n
8.0
40
32
c o s
45.165.933
5.9
40
380
380
L
L
Z
X
Z
R
AAII
AA
Z
U
I
VUU
P
P
P
P
P
P
第七节 不对称三相电压和电流的对称分量不同相序的对称三相正弦量的相加一组不对称的三相正弦量若干组相序相同的对称三相正弦量
（指各相分别相加） 一组同相序的对称三相正弦量若干组相序不同的对称三相正弦量 相加相加
任意一组不对称的三相正弦量都可以分解为正序、负序和零序三组对称的三相正弦量。
对称分量正序分量负序分量零序分量一组不对称的三相正弦量正序、负序和零序三组对称的三相正弦量如何分解？
WVU,、
021
021
021
WWW
VVV
UUU
、、
、、
、、
如何分解？
0 0 0
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
,
,
U V W
V a U W a U
V a U W a U
2
2
10210
21
2
0210
210
UaUaUWWWW
UaUaUVVVV
UUUU
对称三相正弦量的定义
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
2
2
2
1
0
WaVaUU
WaVaUU
WVUU
021 UUU
,、
021021 WWWVVV
,、、、、
实际计算结果表明，除正序分量外，负序分量和零序分量有可能为零，即负序分量和零序分量有可能不存在。
对称三相正弦量的相量分解对于任一局部不对称的三相电路的计算步骤
（ 1）用一组不对称的三相电压源替代三相电路中的不对称部分；
（ 2）将该组不对称的三相电压源电压分解为正序、负序和零序三组对称分量；
（ 3）应用叠加定理，分别计算出各组对称分量单独作用时所产生的电压和电流，在计算每一组对称分量单独作用的结果时，可应用对称三 相电路化归单相电路的计算方法来进行计算；
（ 4）将相应的电压分量或电流分量叠加起来，可求得原电路中的电压或电流。
对称分量法只适用于 线性 电路。
对称分量法解
【 例 4－ 8】 已知一组不对称三相电压,
试求它们的对称分量，并绘出相量图。
VUVUVU WVU 0,1202200220,
VVj
VUaUaUU
VV
VUaUaUU
VVj
VUUUU
WVUU
WVUU
WVUU
6033.73)52.1 9 01 1 0(
3
1
)2 4 01 2 02 2 002 2 0(
3
1
)(
3
1
67.1 4 6)2 2 02 2 0(
3
1
)1 2 01 2 02 2 002 2 0(
3
1
)(
3
1
6033.73 )52.1 9 01 1 0(
3
1
)1 2 02 2 002 2 0(
3
1
)(
3
1
2
2
2
1
0
各电压的相量图如下图所示：
VUaU
VUaU
VUaU
VUaU
VUU
UW
UV
UW
UV
WV
6033.73
33.73
12067.146
12067.146
6033.73
2
2
2
22
11
1
2
1
00
第四章小结三相电源和三相负载的基本连接方式有两种：星形连接和三角形连接。
无论对称与否，在习惯参考方向下，星形连接的电源或负载的线电流就是相应的相电流，其线电压的相量（或瞬时值）等于相应的两个相电压的相量（或瞬时值）之差；三角形连接的电源或负载的线电流的相量（或瞬时值）等于相应的两个相电流的相量（或瞬时值）之差，
其线电压就是相应的相电压；三相四线制电路中中线电流的相量（或 瞬时值）等于三个线电流的相量（或瞬时值）之和。
2.三相电路的连接方式及线电压与相电压、线电流与相电流的关系
1.对称三相正弦量的相序频率相同、幅值相等、彼此间相位差角相等的三个正弦量，称为对称 三相正弦量。对称三相正弦量的相序有三种：正序（ U→V→W ），
负序（ V→U→W ）和零序（ U,V,W相正弦量同相）。
3.对称三相正弦交流电路的基本特点
（ 1）电路中各组电压和电流都是和电源电压同频率、同相序的对称量。
（ 2）负载或电源为星形连接时，线电压的有效值等于相电压的有效值的 倍；在习惯参考方向下，线电压在相位上超前于相应的相电压 30° ；线电流等于相应的相电流。负载或电源为三角形连接时，线电压等于相应的相电压；线电流的有效值等于相电流的有效值的 倍；
在习惯参考方向下，线电流在相位上滞后于相应的相电流 30° 。
（ 3）对于对称的 Y－ Y系统，无论中线阻抗为何值，负载中性点 N?与电源中性点 N都是等电位的，中线电流总是等于零。
3
3
4.分析计算对称三相正弦交流电路的一般方法
（ 1）将对称三相电源看成（已知三相电源线电压时）或变换成（电源为三角形连接时）等效的星形连接的对称三相电源。等效星形电源的相电压的有效值等于电源线电压的有效值的 1/,等效星形电源的相电压在相位上滞后相应的电源线电压 30° ；
（ 2）将对称的三角形连接的三相负载变换成等效的星形连接的对称三相负载，使三相电路系统变为对称的 Y－ Y系统。等效星形负载的每相负载阻抗 ZY与三角形负载的每相负载阻抗
Z△ 的关系为 ZY ＝ 1/3Z△ ；
（ 3）将电源中性点与负载中性点用无阻抗的导线连接起来，
形成三相各自独立的电路，取出其中一相（如 U相）电路，
画出该相的计算电路图；
（ 4）应用单相交流电路的计算方法，计算出一相电路中的电压和电流，根据对称性求出其他两相相应的电压和电流；
（ 5）根据对称三相电路中的线电压与相电压、线电流与相电流之间的关系，求出相应的线电压和线电流，进而求得其他变量。
3
负载中性点 N?的电位与电源中性点 N的电位不相等,位形图上出现 N?点与 N
点不重合的现象，称为中性点位移。电源中性点与负载中性点间的电压
N?N称为中性点位移电压。
NWVU
W
W
V
V
U
U
NN
ZZZZ
U
Z
U
Z
U
ZU
1111
111
U
端线阻抗为零的不对称的 Y－ Y连接的三相系统中各相负载电压的计算式为
NNWWNNVVNNUU UUUUUUUUU?
,，
各相负载电流的计算式为
W
W
W
V
V
V
U
U
U Z
UI
Z
UI
Z
UI,，
对于无中线或中线阻抗不为零的不对称 Y－ Y连接的三相系统，负载中性点 N?与电源中性点 N之间的电压不等于零，其值为：
5.不对称的 Y— Y连接的三相电路的计算
6.中线的作用
（ 1）用以接单相用电设备，提供相电压；
（ 2）用以传导三相系统中的不平衡电流或单相电流；
（ 3）用以减小中性点位移电压，使不对称星形负载的相电压对称或接近于对称。
7,三相正弦交流电路功率的计算计算三相正弦交流电路的功率，要注意区分对称与不对称两种情况，一般三相正弦交流电路（无论对称与否）的功率计算式为：
22 Q + P
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
S
IUIUIUQ
IUIUIUP
PWPWPWPVPVPVpUPUPU
PWPWPWPVPVPVpUPUPU
对称三相正弦交流电路的功率计算式为：
llPP
pllpPP
pllpPP
IUIUS
IUIUQ
IUIUP
33
s i n3s i n3
c o s3c o s3
对称三相正弦交流电路的瞬时功率等于其有功功率。
8．对称分量法任意一组不对称的三相正弦量都可以分解为正序、负序和零序三组对称的三相正弦量。
各对称分量的计算公式为：
0
2
1
2
2
0 0 0
2
1 1 1 1
2
2 1 1 1
1
()
3
1
()
3
1
()
3
,
,
U U V W
U U a V a W
U U a V a W
U V W
V a U W a U
V a U W a U
