第 7 章 模拟信号的数字传输
§ 7.1 引言
§ 7.2 抽样定理
§ 7.3 脉冲振幅调制
§ 7.4 模拟信号的量化
§ 7.5 脉冲编码调制
§ 7.6 差分脉冲编码调制
§ 7.7 增量调制
§ 7.8 DPCM中的量化噪声
§ 7.9 时分复用和多路数字电话系统
§ 7.1 引言目的：数字 通信系统传输可靠、是发展方向 ； 然而自然界的许多信号都是模拟的,将模拟信号转化为数字信号传输可以利用数字传输的的优点。
模拟信号转化为数字信号又称为 A/D变换，
传输到接收端在转换为模拟信号称为 D/A变换。
发端的 A/D变换称为信源编码，收端的 D/A
变换称为信源译码。
模拟信号数字化的方法：波形编码和参量编码两类。
波形编码是直接把时域波形变换为数字代码序列，比特率通常在 16 kb/s~64 kb/s范围内，接收端重建信号的质量好。
参量编码是利用信号处理技术，提取语音信号的特征参量,再变换成数字代码，其比特率在 16 kb/s以下，但接收端重建 (恢复 )
信号的质量不够好。
主要 方法：脉冲编码调制 (PCM)、差分脉冲编码调制 (DPCM)和增量调制 (DM) 。
模拟信息源抽样、量化和编码数字通信系统译码和低通滤波
m ( t ) { s k } { s k } m ( t )
模拟随机信号 数字随机序列 数字随机序列 模拟随机信号
§ 7.2 抽样定理理想低通信号的抽样定理抽样信号的频谱抽样信号的恢复理想带通信号的抽样分类：
根据信号分为：低通抽样定理和带通抽样定理；
根据抽样脉冲序列分：均匀抽样定理和非均匀抽样
根据抽样的脉冲波形：理想抽样和实际抽样。
理想低通信号的抽样定理定理：频带限制在 (0,fh)的时间连续信号
m(t)，如果以 T<1／ 2 fh秒的间隔对它进行等间隔抽样，则 m(t)将被所得到的抽样值完全确定。
意义：若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身,可以只传输按抽样定理得到的抽样值。因此，抽样定理为模拟信号的数字传输奠定了理论基础。
证明：
设：被抽样的信号是 m(t),它的频谱表达式是
M(ω)，频带限制在（ 0,fH)内。理想的抽样就是用单位冲击脉冲序列与被抽样的信号相乘，
即
ms(t)=m(t) δT(t)
这里的抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列，
它可以表示为
δT(t)= δ(t-nTs)
由于 δT(t)是周期性函数，它的频谱 δT(ω) 必然是离散的，不难求得
δT(ω)= δ(ω-nωs),
ωs=2πfs= 2π/Ts
所以,根据冲击函数性质和频率卷积定理，
sT
2
ns
snTM )(2)(2 1
)()(2 1)( Ts MM
n
s
s
nM
T
)(1
m ( t )
t
M (? )
O－?
H
H
T
( t )
t
T
(? )
T
2?
t
m
s
( t )
O
M
s
(? )
H
H
T
2?
( a ) ( b )
( c ) ( d )
( e ) ( f )
如果 ωs＜ 2ωH,即抽样间隔 Ts＞ 1/(2fH),则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠,此时不能无失真地重建原信号 。 因此必须要求满足 Ts≤1/(2fH),m(t)才能被 ms(t)
完全确定,这就证明了抽样定理 。
显然,Ts= 1/(2fH)是最大允许抽样间隔,称为奈奎斯特间隔,相应的最低抽样速率
fs=2fH称为奈奎斯特速率 。
重建：由 ms(t)恢复 m(t)。 令 Ts= 1/(2fH)，
ωs=2ωH,则用截止频率为 fH的理想低通滤波器,即可以由 Ms(ω)中提取出 M(ω)。
理想低通滤波器的传递函数为冲击响应为抽样值序列
)(2 1)()( GfGTH
H
)()( tSath HH
)()()( S
n
Ss nTtnTmtm
理想低通滤波器的输出为重建过程的波形为：
)()( thtm s )( tSa
H
H?
)()(
S
n
S nTtnTm
)()( SH
n
S
H nTtSanTm
m ( t ) m ( t ) 的抽样
( n － 2) T
s
( n － 1) T
s
n T
s
( n ＋ 1) T
s
t
对于带通型信号，如果按 fs≥2fH抽样，虽然能满足频谱不混叠的要求。但这样选择 fs太高了，它会使 0~fL一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。为了提高信道利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，那么 fs到底怎样选择呢？
见图：
理想带通信号的抽样定理负频谱
－ f
H
－ f
L
M (? )
正频谱
f
H
f
L
T
(? )
O
－ f
s
O f
s
正,－ 2 f
s
负,－ f
s
－ f
s
－ f
L
正,－ f
s
负,f
s
O
M
s
(? )
－ f
L
－ f
H
－ f
s
＋ f
L
正,零 正,f
s
负,2 f
s
f
( a )
( b )
( c )
f
f
负，零
f
L
f
H
f
s
－ f
L
f
s
＋ f
L
带通均匀抽样定理：
带通信号 m(t)，其频率限制在 fL与 fH之间，
带宽为 B=fH-fL，如果最小抽样速率 fs=2fH/n，
n是一个不超过 fH/B的最大整数，那么 m(t)
可完全由其抽样值确定。
例如：
fL=460.5KHz,fH=469.5KHz,B=9KHz,
则 fH/B=52.17，可以取 n=52,fs=2fH/n=
9.028KHz。
下面分两种情况加以说明。
（ 1） 若最高频率 fH为带宽的整数倍，即
fH=nB,fL=(n-1)B 。此时 fH/B=n是整数，所以抽样速率 fs=2fH/n=2B。下图画出了 fH=5B
时的频谱图。显然，若 fs再减小，即 fs＜ 2B
时必然会出现混叠失真。
－ f
H
－ f
L
－ 3 f
s
－ 2,5f
s
－ 2 f
s
－ f
s
O f
s
2 f
s
f
L
f
H
2,5 f
s
3 f
s f
( a )
－ 3 f
s
－ 2 f
s
－ f
s
O f
s
2 f
s
3 f
s
f
O
( b )
M (? )
s
(? )
－ 3 f
s
－ 2 f
s
－ f
s
M
s
(? )
f
s
2 f
s
3 f
s f
( c )
（ 2）若最高频率 fH不是带宽的整数倍，即
fH=nB+kB,0<k<1。 n是小于 fH/B的最大整数。
于是 nB <fH<(n+1)B。若取 fs=2B，则搬移后的频谱会产生混迭。为了消除这种混迭，应该 nfs>2fH,所以
)1(2)(22 nkBn kBnBnff Hs
￡ f
L
￡ 3 f
s ￡ 2,5 f
s
￡ 2 f
s
￡ f
s
O f
s
2 f
s
f
L
f
H
2,5 f
s
3 f
s f
fs
M (? )
-f H + nf s
fs 与 fL的关系
4 B
3 B
2 B
O
n ＝ 1 n ＝ 2
B
n ＝ 3
2 B 3 B
n ＝ 4
4 B
n ＝ 5
5 B 6 B
n ＝ 6 n ＝ 7
7 B
…
f
L
f
s
8 B
高频窄带信号,fH大而 B小,fL当然也大。
因此带通信号通常可按 2B速率抽样。
一个宽平稳的随机信号，当其功率谱密度函数限于 fH以内时，若以不大于 1/(2fH)
秒的间隔对它进行均匀抽样，则可得一随机样值序列。如果让该随机样值序列通过一截止频率为 fH的低通滤波器，那么其输出信号与原来的宽平稳随机信号的均方差在统计平均意义下为零。也就是说，从统计观点来看，对频带受限的宽平稳随机信号进行抽样，也服从抽样定理。
§ 7.3 脉冲振幅调制三种基本的脉冲载波调制：脉冲振幅调制（ PAM），脉冲宽度调制 (PWM)，脉冲位置调制（ PPM）。见下页的图：
脉冲振幅调制 —— 脉冲载波的幅度随基带信号变化的一种调制方式。
前面所说的抽样定理，就是载波是由冲激脉冲序列组成的脉冲振幅调制，又可以称为理想抽样。
实际的冲激脉冲串只能采用窄脉冲串来近似实现。窄脉冲序列进行实际抽样的两种脉冲振幅调制方式：自然抽样的脉冲调幅和平顶抽样的脉冲调幅。
自然抽样脉冲振幅调制
ms(t)=m(t)s(t)
连续信号波形与频谱矩形脉冲序列波形与频谱抽样信号波形与频谱频谱表达式对比理想抽样的频谱
)()(2 1)( SMM s )2()( H
n
nMnSaTA
)(?sM )2(1
H
n
nMT
平顶抽样的脉冲调幅,
平顶抽样的频谱,)()()( HMM sH?
)2()(1 H
n
nMHT
§ 7.4 模拟信号的量化采用量化抽样值的方法才能够利用数字传输系统来实现抽样值信息的传播。
用预先规定的有限个电平来表示模拟抽样值的过程称为量化。
这有限个电平称为量化电平。
抽样是把一个时间连续信号变换成时间离散的信号，而量化则是将取值连续的抽样变成取值离散的抽样值序列。
量化会产生量化误差，或称量化噪声。
量化的过程信号的实际值信号的量化值量化误差
q
7
m
6
q
6
m
5
q
5
m
4
q
4
m
3
q
3
m
2
q
2
m
1
q
1
T
s
2 T
s
3 T
s
4 T
s
5 T
s
6 T
s
7 T
s
m
q
( t )
m ( t )
m
q
(6 T
s
)
m (6 T
s
)
t
量化器
{ m ( kT
s
)}
{ m
q
( kT
s
)
}
图中,m(t)是模拟信号 ; 抽样速率为 fs=1/Ts; 抽样值用,·”表示； 第 k个抽样值为 m(kTs)；
mq(t)表示量化信号 ; q1~qM是预先规定好的 M
个量化电平 （ 这里 M=7） ; mi为第 i个量化区间的终点电平 （ 分层电平 ） ; 电平之间的间隔
Δi=mi-mi-1称为量化间隔 。 量化就是将抽样值
m(kTs)转换为 M个规定电平 q1~qM之一：
mq(kTs)=qi,如果 mi-1≤m(kTs)≤mi
mq(t)=mq(kTs),kTs≤t≤(k+1)Ts
从上面结果可以看出,量化后的信号 mq(t)是对原来信号 m(t)的近似,当抽样速率一定,量化级数目 （ 量化电平数 ） 增加并且量化电平选择适当时,可以使 mq(t)与 m(t)的近似程度提高 。
mq(kTs)与 m(kTs)之间的误差称为量化误差 。 对于随机信号,量化误差也是随机的,
它像噪声一样影响通信质量,因此又称为量化噪声,通常用均方误差来度量 。
假设 m(t)是均值为零,概率密度为 f(x)的平稳随机过程,则量化噪声的均方误差 （ 即平均功率 ） 为这是求量化误差的基本公式 。 在给定信源的情况下,f(x)是已知的 。 因此,量化误差的平均功率与量化间隔的分割有关,如何使量化误差的平均功率最小,是量化器的理论所要研究的问题 。
dxxfmxmmEN qqq )(22
把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化 。 在均匀量化中,每个量化区间的量化电平均取在各区间的中点 。
其量化间隔 Δi取决于输入信号的变化范围和量化电平数 。 若设输入信号的最小值和最大值分别用 a和 b表示,量化电平数为 M,则均匀量化时的量化间隔为
7.4.1 均匀量化
M
abvv
i
量化器输出为
mq=qi,mi-1≤m≤mi
式中,mi是第 i个量化区间的终点 （ 也称分层电平 ）,可写成
qi是第 i个量化区间的量化电平,可表示为
Mi
mm
q ii,.,,,2,1,
2
11
viam i
量化器的基本的性能指标是信噪比 （ S/Nq）,
它的定义是输入信号功率与量化噪声的比值 。
下面计算均匀量化器的量化信噪比 。
均匀量化器的量化噪声功率为
ba qqq dxxfmxmmEN )(22
M
i
m
m i
i
i
dxxfqx
1
2
1
)(
viam i
2
vviaq
i
一般来说,量化电平数 M很大，量化间隔 Δ很小，因而可认为在 Δv内不变，以 Pi表示，各层内的概率密度函数于是量化噪声 Nq表示为
M
i
ivia
via iq dxv
PvqiaxN
1
2
)1( )2/1(
v
Pixf
)(
M
i
i
vvP
1
22
1212
信号功率取决于信号的分布。
例 1 若信号在 [-a,a]上均匀分布，即 f(x)=1/(2a)，
则于是,量化信噪比为
ba dxxfxmES )(220
b
a
vMdx
a
x
122
1 222
2
2
22
0
12
12
M
v
vM
N
S
q
例 2 若信号正弦波 m(t)=Acosωct,则信号功率为这时,量化信噪比为
2
2
2
0
AmES
2
2
2
2
2
2
0
2
66
12
2
Ma
A
v
A
v
A
N
S
q
2
2
2
2
3
2
3
M
a
A
M
讨论：
量化信噪比随量化电平数 M的增加而提高。均匀量化器广泛应用于线性 A/D变换接口，例如在计算机的 A/D变换中,N为
A/D变换器的位数，常用的有 8位,12位、
16位等不同精度。
在遥测遥控系统、仪表、图像信号的数字化接口等中，也都使用均匀量化器。
但在语音信号数字化中，均匀量化有一个明显的不足：量化信噪比随信号电平的减小而下降。
非均匀量化是一种在整个动态范围内量化间隔不相等的量化。信号幅度越小，量化间隔 Δv也小；反之亦反。
优点：
首先，当输入信号具有非均匀分布的概率密度 (实际中常常是这样 )时，非均匀量化器的输出端可以得到较高的平均信噪比；
其次，量化噪声功率的均方根值基本上与信号抽样值成比例。因此量化噪声对大、小信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信噪比。
7.4.2 非均匀量化实现方法：实现非均匀量化的方法之一是把输入量化器的信号 x先进行压缩处理，
再把压缩的信号 y进行均匀量化。压缩器就是一个非线性变换电路，弱信号被放大，
强信号被压缩。压缩器的入出关系表示为
y=f(x) 。接收端采用一个与压缩特性相反的扩张器来恢复 x 。常用压缩器大多采用对数式压缩，即 y=lnx。广泛采用的两种对数压扩特性是 μ律压扩和 A律压扩。
1,μ律压扩特性式中
x——压缩器归一化输入电压
y——压缩器归一化输出电压
μ ——压缩器参数
10,
)1ln (
)1ln (
xxy
压缩效果图中对 y是均匀分割的，等效于对 x是非均匀分割的。在每一量化间隔中
'y
dx
dy
x
y
由得于是量化误差信噪比的改善程度
10,
)1ln (
)1ln (
xxy
)1ln ()1(
'
xdx
dyy
)1ln ()1(22
x
yx
)1ln ()1(
xy
xQ
写成分贝形式数值例,μ =100时，对于小信号 x->0,
信噪比的改善程度
62.4
100
)1l n (0
xdx
dy
)1l n ()1(
lg20lg20
xy
xQ
dB
dBQ dB 7.26
62.4
100lg20?
对于大信号 x->1,
信噪比的改善程度结论,小信号时，可以改善量化信噪比，
大信号时，会降低量化信噪比。相当于增加了输入信号的动态范围。如图 7-14
67.4
1
)1l n ()1(1
xdx
dy
dBQ dB 3.13
67.4
1lg20
2,A律压扩特性式中
x——压缩器归一化输入电压
y——压缩器归一化输出电压
μ ——压缩器参数
1/1,
ln1
)ln (1
/10,
ln1
xA
A
Ax
Ax
A
Ax
y
A律压扩特性的导出：
设压扩特性为 y=f(x)，为使小信号时的信噪比不因 x下降而减小，应使各量化间隔随 x
成线性关系，即,而因此,于是解出
ii xx
iii xNdy
dxy
dy
dxx 2
kx
dy
dx? Ckyxln
或者 再由 x=1时 y=1,解出 C=-k，
于是，
但是，当 x?0时 y?-∞,所以需修正上式，
于是得到 A率特性的定义式。
k
Cx
k
y ln1
x
k
y ln11
1/1,
ln1
)ln (1
/10,
ln1
xA
A
Ax
Ax
A
Ax
y
压缩特性的近似实现早期的 A律和 μ律压扩特性是用非线性模拟电路实现的。 电路实现这样的函数规律是相当复杂的，因而精度和稳定度都受到限制。随着数字电路特别是大规模集成电路的发展，另一种压扩技术 ——数字压扩，日益获得广泛的应用。它是利用数字电路形成许多折线来逼近对数压扩特性。
在实际中常采用的方法有两种：一种是采用 13折线近似 A律压缩特性,另一种是采用
15折线近似 μ律压缩特性 。 我国的 PCM30/32
路基群也采用 A律 13折线压缩特性 。 CCITT建议 G.711规定在国际间数字系统相互连接时,
要以 A律为标准 。 因此这里重点介绍 A律 13折线 。
A律 13折线：用 13段折线逼近 A=87.6的 A律压缩特性 。
具体方法是：对 x轴不均匀分成 8段,分段的方法是每次以二分之一对分； 对 y轴在 0~1范围内均匀分成 8段,每段间隔均为 1/8。 然后把
x,y各对应段的交点连接起来构成 8段直线 。
其中第 1,2段斜率相同 (均为 16),因此可视为一条直线段,故实际上只有 7根斜率不同的折线 。
y
1
7
8
6
8
5
8
4
8
3
8
2
8
1
8
1
0
1
1 2 8
1
64
1
16
1
32
11
8
1
4
1
2
x
斜率：
1 段 16
2 段 16
3 段 8
4 段 4
5 段 2
6 段 1
7 段 1 / 2
8 段 1 / 4
2
3
4
5
6
7
第 8 段以上分析的是第一象限,对于双极性语音信号,在第三象限也有对称的一组折线,
也是 7根,但其中靠近零点的 1,2段斜率也都等于 16,与正方向的第 1,2段斜率相同,又可以合并为一根,因此,正,负双向共有
2× (8-1)-1=13折,故称其为 13折线 。
203页表 7-3 A=87.6与 13 折线压缩特性的比较
y 0 1
x 0 1
按折线分段时的 x
0 1
段落
1 2 3 4 5 6 7 8
斜率 16 16 8 4 2 1
21 41
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
128
1
6.60
1
6.30
1
4.15
1
79.7
1
93.3
1
98.1
1
128
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
μ律 15折线：用 15段折线逼近 μ=255的 μ律压缩特性。
具体方法是：
对 y轴均匀分成 8段，第 i个分点在 i/8的位置对 x轴不均匀分成 8段，第 i个分点的位置是其结果如图
2 5 5
12
2 5 5
12 5 6
2 5 5
12 5 6 8?
i
iy
y
1
7
8
6
8
5
8
4
8
3
8
2
8
1
8
1
0
1
25 5
3
25 5
7
25 5
15
25 5
31
25 5
63
25 5
12 7
25 5
x1
2
3
4
5
6
7
第 8 段
μ律 15折线性能：
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0 1
按折线分段时的 x
0 1
段落
1
斜率 1 2 3 4 5 6 7 8
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
255
1
255
3
255
7 25515
255
31
255
63
255
127
21 321 641
12818
1 16141
把量化的电平值表示成二进制码组的过程称为编码。
将模拟信号的经过抽样、量化变换为数字信号，然后再变换成代码传输，这种方式称为脉冲编码调制 (PCM)。
举例如下：
§ 7.5 脉冲编码调制
7.5.1 脉冲编码调制原理码字和码型：
二进制码抗干扰、易产生。因此,PCM中一般采用二进制码。
M个量化电平，可以用 N位二进制码元来表示,N位码元组成一个码组或称为一个码字。
码型指的是量化电平的编码。其量化电平与码字的对应关系的整体就称为码型。
在 PCM中常用的二进制码型有三种：自然二进码、折叠二进码和格雷二进码（反射二进码）。如下表表 6 – 4 常用二进制码型样值脉冲极性 格雷二进制 自然二进码 折叠二进码 量化级序号正极性部分
1000
1001
1011
1010
1110
1111
1101
1100
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
15
14
13
12
11
10
9
8
负极性部分
0100
0101
0111
0110
0010
0011
0001
0000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
7
6
5
4
3
2
1
0
自然二进码就是一般的十进制正整数的二进制表示，编码简单、易记，而且译码可以逐比特独立进行。若把自然二进码从低位到高位依次给以 2倍的加权，就可变换为十进数。如设二进码为 (an-1,an-2,…,a1,a0)
则 D=an-12n-1+an-22n-2+…+a121+a020
便是其对应的十进数 （ 表示量化电平值 ） 。
这种,可加性,可简化编译码器的结构 。
折叠二进码是一种符号幅度码。
左边第一位表示信号的极性，信号为正用,1”
表示，信号为负用,0”表示；第二位至最后一位表示信号的幅度。
正、负绝对值相同时，折叠码的上半部分与下半部分相对零电平对称折叠，故名折叠码。
其幅度码从小到大按自然二进码规则编码。
折叠优点是，传输中误码对小信号影响较小。
折叠二进码是一种符号幅度码。第一位表示极性,,1”表示正,,0”表示负；第二位至最后一位表示信号的幅度。幅度码从小到大按自然二进码规则编码。
正、负绝对值相同时，折叠码的上半部分与下半部分相对零电平对称折叠，故名折叠码。
折叠码优点：
对于双极性信号，只要绝对值相同，则可以采用单极性编码的方法，使编码过程大大简化。
传输中误码对小信号影响较小。
格雷二进码的特点是任何相邻电平的码组只有一位码位不同，即相邻码字的距离恒为 1。
译码时，若传输或判决有误，量化电平的误差小。
除极性码外，绝对值相等时，其幅度码相同，
故又称反射二进码。
但这种码不是,可加的,,不能逐比特独立进行,需先转换为自然二进码后再译码。
在 PCM中,A律 13折线 PCM 30/32路基群设备中所采用折叠二进码。
码位数决定了量化分层的数量。在信号变化范围一定时，用的码位数越多，量化分层越细，量化误差就越小，通信质量当然就更好。
但码位数越多，设备越复杂，同时还会使总的传码率增加，传输带宽加大。
在 A律 13折线 PCM 编码中，采用 8位二进制码，对应有 M=28=256个量化级。这需要将 13
折线中的每个折线段再均匀划分 16个量化级，
由于每个段落长度不均匀，因此正或负输入的 8个段落被划分成 8× 16=128个不均匀的量化级。
8位码的安排如下：
极性码 段落码 段内码
C1 C2C3C4 C5C6C7C8
段落序号段落码
C2 C3 C4
8
7
6
5
4
3
2
1
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
Ⅷ
Ⅶ
Ⅵ
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
段落码
x
Ⅱ
特点：
段内的 16个量化级均匀划分，段落长度不等，属于非均匀的量化级。小信号时，段落短，量化间隔小。大信号时，段落长，
量化间隔大。
第一,二段最短，只有归一化的 1/128，再将它等分 16小段，每一小段长度为最小的量化级间隔 Δ,它是输入信号归一化值的 1/2048，代表一个量化单位。
2048
1
16
1
128
1
第八段最长，它是归一化值的 1/2，将它等分 16小段后，每一小段归一化长度为
1/32,包含 64个最小量化间隔，记为
64Δ。
逐次比较编码原理电平序号 段内码 电平序号 段内码
c5c6c7c8 c5c6c7c8
15
14
13
12
11
10
9
8
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 1 1
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
逐次比较编码原理工作过程,（略）
例 7.5.1 设输入信号抽样值 Is=+1270Δ（ Δ为一个量化单位,表示输入信号归一化值的
1/2048）,采用逐次比较型编码器,按 A律 13折线编成 8位码 C1C2C3C4C5C6C7C8。
解 编码过程如下：
（ 1） 确定极性码 C1：由于输入信号抽样值
Is为正,故极性码 C1=1。
（ 2） 确定段落码 C2C3C4：
参看表 7-9可知,段落码 C2C3C4表示抽样值
Is处于 13折线中的 8个段落 。
段落 1 2 3 4 5 6 7 8
起点电平
0 16 32 64 128 256 512 1024
因 1270>1024,落在第 8 段,所以段落码
C2C3C4=111。
（ 3） 确定段内码 C5C6C7C8
在 1024和 2048内有 8个量化间隔,起点依次为
1024+n× 64，
（ 3） 确定段内码 C5C6C7C8
在 1024和 2048内有 8个量化间隔,均匀划分,
起点依次为 1024+n× 64，
1024+3× 64=1216< 1270< 1024+4× 64=1280
落在第三个量化间隔内,段内码为 0011。
总的编码结果为 1,111,0011。 对应的量化电平为 1024+3× 64+32=1248,量化误差为
1270-1248=22。
11位线性编码为 10011100000。
PCM系统性能涉及两种噪声：量化噪声和信道加性噪声。考虑两种噪声时,PCM系统接收端低通滤波器的输出为
=m(t)+nq(t)+ne(t)
m(t)——输出端所需信号成分；
nq(t) ——量化噪声的输出，其功率 Nq；
ne(t) — 信道噪声引起的输出噪声，功率 Ne。
7.5.2 PCM系统的抗噪声性能
)(tm?
PCM系统总的输出信噪比为：
两种噪声的产生机理不同，可认为互相独立。
先分析量化噪声。
抽样序列为：
量化序列为：
可以写为
)]([)]([
)]([
22
2
0
0
0
tnEtnE
tmE
N
S
eq?
k
ss kTttmtm )()()(?
k
sqsq kTttmtm )()()(?
k
sq kTttmtmtm )()()()(?
k
ssq
k
ss kTtkTekTtkTm )()()()(
附录 A证明,量化误差的功率谱为
12
)(1)(1)( 22 v
T
kTeE
T
fGe sq
由于量化引起的均方误差 E{e2q(kTs)}将取决于信号的统计特性和量化方法。
在输入信号区间 [-a,a]均匀分布、并对它均匀量化，其量化电平数为 M。那么，
量化噪声功率为于是
12
)()( 22 vkTeE
sq
不考虑信道噪声，接收端低通滤波器输出的量化噪声成分 eq(t)的功率谱密度为
12
)(1 2v
T
fG
s
eq
2)( fHrfGfG eqnq?
于是低通滤波器输出的量化噪声功率为
12
)(1
12
)(1 2
2
2 v
T
df
v
T
dffGN
s
f
f s
f
f nqq
s
s
s
s
再求接收端低通滤波器输出的信号功率：
tm
Ttm s
1
0?
输出信号功率为由 (7,2— 6)，接收端低通滤波器输出信号为
12
)(1 22
200
vM
T
tmS
s
输出信噪比为
N
q
M
tnE
tmE
N
s 22
2
2
0
0 2
)]([
)]([
式中,二进码位数 N与量化级数 M的关系为
M=2N。 由此可见,PCM系统输出的量化信噪比依赖于每一个码组的位数 N,并随 N按指数增加 。
对于频带限制在 fH的信号,抽样定理要求抽样速率不小于 2fH,每一个码组 N位二进脉冲,为此二进制码元的速率为 2NfH,所需传输带宽 B至少等于 NfH,故信噪比还可写成
H
f
B
qN
S
2
0 2
信道加性噪声的影响：
在加性高斯白噪声条件下，可以认为误码是独立的，并设每个码元的误码率皆为 Pe。
出现多于 1位误码的概率很低，所以通常只需要考虑仅有 1位误码的码组错误。
由于码组中各位码元的权值不同，因此，误差的大小取决于误码发生在码组的哪一位上，
而且与码型有关。
信道噪声 误码 抽样值误差以 N位自然二进码为例，自最低位到最高位的加权值分别为 20,21,22,2i-1,…,2N-1，若量化间隔为 Δ，则发生在第 i位上的误码所造成的误差为 ± (2i-1Δ),所产生的噪声功率是 (2i-1Δ) 2。显然，发生误码的位置越高，造成的误差越大。
由于已假设每位码元所产生的误码率 Pe是相同的，所以一个码组中如有一位误码产生的平均功率为由于错误码元之间的平均间隔为 1／ Pe个码元、而一个码组又包括有 N个码元，故错误码组之间的平均间隔为 1/NPe个码组，其平均间隔时间为
eNP
s
a
TT?
N
i
i v
N
QE
1
212 21
N
i
i
N
v
1
212 2
223 12 vNN2232 vNN
这相当于每隔 Ta时间，出现一个错误脉冲抽样，这个脉冲抽样序列的功率谱密度为
21 QET
a
2
2
3
2 v
NTs
N P e N
于是，在理想低通滤波器输出端，由误码引起的噪声功率谱密度为
H
H
N
th
ff
ffv
NTs
N P e
fG
,0
,
3
2
)(
2
2
0
输出噪声功率为
22
2
0 3
2)( v
Ts
PedffGNe Nf
f th
H
H
总的输出信噪比为
2
222
2
22
2
0
3
)(2
12
)(1
12
)(1
s
N
s
s
T
vPev
T
vM
T
NqNe
S
NPe
M
2
2
241?
NPe
M
N
S
2
2
0
0
241?
大信噪比时近似
2
0
0 M
N
S?
小信噪比时近似
PePe
M
N
S
N 4
1
24 2
2
0
0
7.6 差分脉冲编码调制
mk
mk-1mk-2
m’k
ek
t
DPCM的基本思想是：利用相邻抽样值之间的相关性 。 具体的方法是：用前面若干时刻传输的抽样值来预测当前要传输的样值,然后对预测的误差而不是样值本身进行编码,
传输 。 在接收端再用接收的预测误差来修正当前的预测值 。
系统的框图如下：
DPCM的工作过程：参照上图和前页波形 。
量化台阶不变的情况下（即量化噪声不变），
编码位数减少，压缩信号带宽。
在编码位数不变的情况下，量化间隔减小，
量化噪声降低。
DPCM系统的量化误差为
kqk
kkqkk
kkkk
pe
pmem
mmmmkq
0
0 ]'[]'[
~'~)(
量化信噪比为
)}({
)}({
2
2
0
0
kqE
kmE
N
S?
DPCM的总量化误差 qk仅与差值信号 ek的量化误差有关 。 qk与 ek都是随机变量,因此 DPCM
系统总的量化信噪比可表示为
)}({
)}({)(
2
2
kqE
kmE
N
S
D P C M?
P C MP N
SG )(?
)}({
)}({
)}({
)}({
2
2
2
2
kmE
keE
keE
kmE
Gp称为预测增益,可理解为 DPCM系统相对于 PCM系统而言的信噪比增益 。 如果差值功率 E{ek}小于信号功率 E{mk},Gp就会大于 1，
该系统就能获得增益 。
预测的基本的方法是线性预测，即
p
i
ikik mam
1
'
如果能够选择合理的预测规律,就能获得增益 。 对 DPCM系统的研究就是围绕着如何使
Gp和 (S/N)q 这两个参数取最大值而逐步完善起来的 。 通常 Gp约为 6～ 11 dB。
ADPCM
为了在大的动态范围内以最佳的预测和量化来获得最佳的性能,在 DPCM基础上引入自适应技术,称为自适应差分脉冲编码调制,简称 ADPCM。 ADPCM包括自适应预测和自适应量化 。
自适应预测：预测器系数随信号的统计特性而自适应调整,提高了预测信号的精度,从而得到高预测增益 。
自适应量化：指量化间隔随信号的变化而变化,
使量化误差达到最小 。
在相同语音质量下,ADPCM允许用 32 kb/s比特率编码,这是标准 64kb/s PCM的一半 。 已经成为 CCITT的标准,参见 G.721,G.726等规范建议 。
增量调制简称 ΔM或 DM。 是另一种模拟信号数字化的方法 。
在 PCM中,用一个码组来表示抽样,码组位数大于 1；而 ΔM仅使用一位码组来表示抽样 。
ΔM又可以看成 DPCM的特例,即量化电平取两个,且预测器是一个延迟为 T的延迟线的
DPCM系统调制系统 。
由 DPCM的一般原理框图简化可以得到增量调制 ΔM的原理框图 。
7.7 增量 调制 （ ΔM）
编译码的基本原理用相邻样值的相对大小 （ 增量 ） 同样能反映信号的变化规律 。 将增量编码传输的方式称为 ΔM。
为了说明 ΔM概念,见下页波形 。 图中,
m(t)代表时间连续变化的模拟信号,我们可以用一个时间间隔为 Δt,相邻幅度差为 +σ或 -σ的阶梯波形 m′(t)来逼近它 。 只要 Δt足够小,即抽样速率 fs=1/Δt足够高,且 σ足够小,则阶梯波
m′(t)可近似代替 m(t)。 其中,σ为量化台阶,
Δt=Ts为抽样间隔 。
ΔM系统的工作过程
m ( t )
s
0
0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0
t
t
12
t
11
t
10
t
9
t
8
t
7
t
6
t
5
t
4
t
3
t
2
t
1
m ( t )
m ( t )
m
1
( t )
t
ΔM系统的量化噪声：过载量化噪声和一般量化噪声,m ( t )
m ( t )′
e
q
( t )
( a )
m ( t )
m ( t )′
t
t
( b )
e
q
( t )
1.过载量化噪声最大跟踪斜率为：
不产生过载的条件若输入信号是单频正弦信号，即时，不产生过载的条件成为
s
s
K fTA s
s?
tAtm k?s i n)(?
sftK s
s
)(' tmK?
为了不发生过载,必须增大 σ和 fs。 但 σ
增大，一般量化误差也大，由于简单增量调制的量阶 σ是固定的，因此很难同时满足两方面的要求。
提高 fs对减小一般量化误差和减小过载噪声都有利。因此,ΔM系统中的抽样速率要比 PCM系统中的抽样速率高的多。典型的 ΔM系统抽样率为 16kHz或 32kHz，
相应单话路编码比特率为 16 kb/s或 32kb/s。
2.一般量化噪声：分析模型与波形如下图在不过载情况下，误差 eq(t)=m(t)-m'(t)限制在 -σ到 σ范围内变化，若假定 eq(t)值在此范围均匀分布，即则量化噪声的平均功率为上述的量化噪声功率并不是系统最终输出的量化噪声功率，因为积分器后面还有低通滤波器。 eq(t)的脉冲宽度可能是 Ts,2Ts,
sss eef q,2 1)(
32 1)( 222 ss ss deeteE q
eq(t)的脉冲宽度可能是 Ts,2Ts……,因此 eq(t)
的功率谱在（ 0,fs）区间上近似看作是均匀分布，可表示为若接收端低通滤波器的截止频率为 fm，则经低通滤波器后输出的量化噪声功率为量化噪声功率与 σ及 (fm/fk)有关，与信号幅度无关。
s
s
e ffffp 0,3)(
2s
)(
3
2
s
m
e f
fN s?
信号越大，信噪比越大。对于频率为 fk的正弦信号,临界过载振
Amax=
所以信号功率的最大值为 k
s
k
s
f
ff
s
s
2
22
222
m a x
82
k
f
fA s
s?
因此在临界振幅条件下,系统最大的量化信噪比为
mk
s
mk
s
q ff
f
ff
f
N
S
2
3
2
3
2
0 04.0
8
3
)04.0l g (10)( 2
3
0
mk
s
dB
q ff
f
N
s?
用分贝表示为
14lg10lg20lg30 mks fff
上式表明：
（ 1） ΔM的信噪比与抽样速率 fs成立方关系,
即 fs每提高一倍,量化信噪比提高 9dB。 因此,
ΔM系统的抽样速率至少要在 16kHz以上,才能使量化信噪比达到 15dB以上,而抽样速率在
32kHz时,量化信噪比约为 26 dB,只能满足一般通信质量的要求 。
（ 2）量化信噪比与信号频率 fk的平方成反比，
即 fk每提高一倍,量化信噪比下降 6 dB。因此，
简单 ΔM时语音高频段的量化信噪比下降。
§ 7.1 引言
§ 7.2 抽样定理
§ 7.3 脉冲振幅调制
§ 7.4 模拟信号的量化
§ 7.5 脉冲编码调制
§ 7.6 差分脉冲编码调制
§ 7.7 增量调制
§ 7.8 DPCM中的量化噪声
§ 7.9 时分复用和多路数字电话系统
§ 7.1 引言目的：数字 通信系统传输可靠、是发展方向 ； 然而自然界的许多信号都是模拟的,将模拟信号转化为数字信号传输可以利用数字传输的的优点。
模拟信号转化为数字信号又称为 A/D变换，
传输到接收端在转换为模拟信号称为 D/A变换。
发端的 A/D变换称为信源编码，收端的 D/A
变换称为信源译码。
模拟信号数字化的方法：波形编码和参量编码两类。
波形编码是直接把时域波形变换为数字代码序列，比特率通常在 16 kb/s~64 kb/s范围内，接收端重建信号的质量好。
参量编码是利用信号处理技术，提取语音信号的特征参量,再变换成数字代码，其比特率在 16 kb/s以下，但接收端重建 (恢复 )
信号的质量不够好。
主要 方法：脉冲编码调制 (PCM)、差分脉冲编码调制 (DPCM)和增量调制 (DM) 。
模拟信息源抽样、量化和编码数字通信系统译码和低通滤波
m ( t ) { s k } { s k } m ( t )
模拟随机信号 数字随机序列 数字随机序列 模拟随机信号
§ 7.2 抽样定理理想低通信号的抽样定理抽样信号的频谱抽样信号的恢复理想带通信号的抽样分类：
根据信号分为：低通抽样定理和带通抽样定理；
根据抽样脉冲序列分：均匀抽样定理和非均匀抽样
根据抽样的脉冲波形：理想抽样和实际抽样。
理想低通信号的抽样定理定理：频带限制在 (0,fh)的时间连续信号
m(t)，如果以 T<1／ 2 fh秒的间隔对它进行等间隔抽样，则 m(t)将被所得到的抽样值完全确定。
意义：若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身,可以只传输按抽样定理得到的抽样值。因此，抽样定理为模拟信号的数字传输奠定了理论基础。
证明：
设：被抽样的信号是 m(t),它的频谱表达式是
M(ω)，频带限制在（ 0,fH)内。理想的抽样就是用单位冲击脉冲序列与被抽样的信号相乘，
即
ms(t)=m(t) δT(t)
这里的抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列，
它可以表示为
δT(t)= δ(t-nTs)
由于 δT(t)是周期性函数，它的频谱 δT(ω) 必然是离散的，不难求得
δT(ω)= δ(ω-nωs),
ωs=2πfs= 2π/Ts
所以,根据冲击函数性质和频率卷积定理，
sT
2
ns
snTM )(2)(2 1
)()(2 1)( Ts MM
n
s
s
nM
T
)(1
m ( t )
t
M (? )
O－?
H
H
T
( t )
t
T
(? )
T
2?
t
m
s
( t )
O
M
s
(? )
H
H
T
2?
( a ) ( b )
( c ) ( d )
( e ) ( f )
如果 ωs＜ 2ωH,即抽样间隔 Ts＞ 1/(2fH),则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠,此时不能无失真地重建原信号 。 因此必须要求满足 Ts≤1/(2fH),m(t)才能被 ms(t)
完全确定,这就证明了抽样定理 。
显然,Ts= 1/(2fH)是最大允许抽样间隔,称为奈奎斯特间隔,相应的最低抽样速率
fs=2fH称为奈奎斯特速率 。
重建：由 ms(t)恢复 m(t)。 令 Ts= 1/(2fH)，
ωs=2ωH,则用截止频率为 fH的理想低通滤波器,即可以由 Ms(ω)中提取出 M(ω)。
理想低通滤波器的传递函数为冲击响应为抽样值序列
)(2 1)()( GfGTH
H
)()( tSath HH
)()()( S
n
Ss nTtnTmtm
理想低通滤波器的输出为重建过程的波形为：
)()( thtm s )( tSa
H
H?
)()(
S
n
S nTtnTm
)()( SH
n
S
H nTtSanTm
m ( t ) m ( t ) 的抽样
( n － 2) T
s
( n － 1) T
s
n T
s
( n ＋ 1) T
s
t
对于带通型信号，如果按 fs≥2fH抽样，虽然能满足频谱不混叠的要求。但这样选择 fs太高了，它会使 0~fL一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。为了提高信道利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，那么 fs到底怎样选择呢？
见图：
理想带通信号的抽样定理负频谱
－ f
H
－ f
L
M (? )
正频谱
f
H
f
L
T
(? )
O
－ f
s
O f
s
正,－ 2 f
s
负,－ f
s
－ f
s
－ f
L
正,－ f
s
负,f
s
O
M
s
(? )
－ f
L
－ f
H
－ f
s
＋ f
L
正,零 正,f
s
负,2 f
s
f
( a )
( b )
( c )
f
f
负，零
f
L
f
H
f
s
－ f
L
f
s
＋ f
L
带通均匀抽样定理：
带通信号 m(t)，其频率限制在 fL与 fH之间，
带宽为 B=fH-fL，如果最小抽样速率 fs=2fH/n，
n是一个不超过 fH/B的最大整数，那么 m(t)
可完全由其抽样值确定。
例如：
fL=460.5KHz,fH=469.5KHz,B=9KHz,
则 fH/B=52.17，可以取 n=52,fs=2fH/n=
9.028KHz。
下面分两种情况加以说明。
（ 1） 若最高频率 fH为带宽的整数倍，即
fH=nB,fL=(n-1)B 。此时 fH/B=n是整数，所以抽样速率 fs=2fH/n=2B。下图画出了 fH=5B
时的频谱图。显然，若 fs再减小，即 fs＜ 2B
时必然会出现混叠失真。
－ f
H
－ f
L
－ 3 f
s
－ 2,5f
s
－ 2 f
s
－ f
s
O f
s
2 f
s
f
L
f
H
2,5 f
s
3 f
s f
( a )
－ 3 f
s
－ 2 f
s
－ f
s
O f
s
2 f
s
3 f
s
f
O
( b )
M (? )
s
(? )
－ 3 f
s
－ 2 f
s
－ f
s
M
s
(? )
f
s
2 f
s
3 f
s f
( c )
（ 2）若最高频率 fH不是带宽的整数倍，即
fH=nB+kB,0<k<1。 n是小于 fH/B的最大整数。
于是 nB <fH<(n+1)B。若取 fs=2B，则搬移后的频谱会产生混迭。为了消除这种混迭，应该 nfs>2fH,所以
)1(2)(22 nkBn kBnBnff Hs
￡ f
L
￡ 3 f
s ￡ 2,5 f
s
￡ 2 f
s
￡ f
s
O f
s
2 f
s
f
L
f
H
2,5 f
s
3 f
s f
fs
M (? )
-f H + nf s
fs 与 fL的关系
4 B
3 B
2 B
O
n ＝ 1 n ＝ 2
B
n ＝ 3
2 B 3 B
n ＝ 4
4 B
n ＝ 5
5 B 6 B
n ＝ 6 n ＝ 7
7 B
…
f
L
f
s
8 B
高频窄带信号,fH大而 B小,fL当然也大。
因此带通信号通常可按 2B速率抽样。
一个宽平稳的随机信号，当其功率谱密度函数限于 fH以内时，若以不大于 1/(2fH)
秒的间隔对它进行均匀抽样，则可得一随机样值序列。如果让该随机样值序列通过一截止频率为 fH的低通滤波器，那么其输出信号与原来的宽平稳随机信号的均方差在统计平均意义下为零。也就是说，从统计观点来看，对频带受限的宽平稳随机信号进行抽样，也服从抽样定理。
§ 7.3 脉冲振幅调制三种基本的脉冲载波调制：脉冲振幅调制（ PAM），脉冲宽度调制 (PWM)，脉冲位置调制（ PPM）。见下页的图：
脉冲振幅调制 —— 脉冲载波的幅度随基带信号变化的一种调制方式。
前面所说的抽样定理，就是载波是由冲激脉冲序列组成的脉冲振幅调制，又可以称为理想抽样。
实际的冲激脉冲串只能采用窄脉冲串来近似实现。窄脉冲序列进行实际抽样的两种脉冲振幅调制方式：自然抽样的脉冲调幅和平顶抽样的脉冲调幅。
自然抽样脉冲振幅调制
ms(t)=m(t)s(t)
连续信号波形与频谱矩形脉冲序列波形与频谱抽样信号波形与频谱频谱表达式对比理想抽样的频谱
)()(2 1)( SMM s )2()( H
n
nMnSaTA
)(?sM )2(1
H
n
nMT
平顶抽样的脉冲调幅,
平顶抽样的频谱,)()()( HMM sH?
)2()(1 H
n
nMHT
§ 7.4 模拟信号的量化采用量化抽样值的方法才能够利用数字传输系统来实现抽样值信息的传播。
用预先规定的有限个电平来表示模拟抽样值的过程称为量化。
这有限个电平称为量化电平。
抽样是把一个时间连续信号变换成时间离散的信号，而量化则是将取值连续的抽样变成取值离散的抽样值序列。
量化会产生量化误差，或称量化噪声。
量化的过程信号的实际值信号的量化值量化误差
q
7
m
6
q
6
m
5
q
5
m
4
q
4
m
3
q
3
m
2
q
2
m
1
q
1
T
s
2 T
s
3 T
s
4 T
s
5 T
s
6 T
s
7 T
s
m
q
( t )
m ( t )
m
q
(6 T
s
)
m (6 T
s
)
t
量化器
{ m ( kT
s
)}
{ m
q
( kT
s
)
}
图中,m(t)是模拟信号 ; 抽样速率为 fs=1/Ts; 抽样值用,·”表示； 第 k个抽样值为 m(kTs)；
mq(t)表示量化信号 ; q1~qM是预先规定好的 M
个量化电平 （ 这里 M=7） ; mi为第 i个量化区间的终点电平 （ 分层电平 ） ; 电平之间的间隔
Δi=mi-mi-1称为量化间隔 。 量化就是将抽样值
m(kTs)转换为 M个规定电平 q1~qM之一：
mq(kTs)=qi,如果 mi-1≤m(kTs)≤mi
mq(t)=mq(kTs),kTs≤t≤(k+1)Ts
从上面结果可以看出,量化后的信号 mq(t)是对原来信号 m(t)的近似,当抽样速率一定,量化级数目 （ 量化电平数 ） 增加并且量化电平选择适当时,可以使 mq(t)与 m(t)的近似程度提高 。
mq(kTs)与 m(kTs)之间的误差称为量化误差 。 对于随机信号,量化误差也是随机的,
它像噪声一样影响通信质量,因此又称为量化噪声,通常用均方误差来度量 。
假设 m(t)是均值为零,概率密度为 f(x)的平稳随机过程,则量化噪声的均方误差 （ 即平均功率 ） 为这是求量化误差的基本公式 。 在给定信源的情况下,f(x)是已知的 。 因此,量化误差的平均功率与量化间隔的分割有关,如何使量化误差的平均功率最小,是量化器的理论所要研究的问题 。
dxxfmxmmEN qqq )(22
把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化 。 在均匀量化中,每个量化区间的量化电平均取在各区间的中点 。
其量化间隔 Δi取决于输入信号的变化范围和量化电平数 。 若设输入信号的最小值和最大值分别用 a和 b表示,量化电平数为 M,则均匀量化时的量化间隔为
7.4.1 均匀量化
M
abvv
i
量化器输出为
mq=qi,mi-1≤m≤mi
式中,mi是第 i个量化区间的终点 （ 也称分层电平 ）,可写成
qi是第 i个量化区间的量化电平,可表示为
Mi
mm
q ii,.,,,2,1,
2
11
viam i
量化器的基本的性能指标是信噪比 （ S/Nq）,
它的定义是输入信号功率与量化噪声的比值 。
下面计算均匀量化器的量化信噪比 。
均匀量化器的量化噪声功率为
ba qqq dxxfmxmmEN )(22
M
i
m
m i
i
i
dxxfqx
1
2
1
)(
viam i
2
vviaq
i
一般来说,量化电平数 M很大，量化间隔 Δ很小，因而可认为在 Δv内不变，以 Pi表示，各层内的概率密度函数于是量化噪声 Nq表示为
M
i
ivia
via iq dxv
PvqiaxN
1
2
)1( )2/1(
v
Pixf
)(
M
i
i
vvP
1
22
1212
信号功率取决于信号的分布。
例 1 若信号在 [-a,a]上均匀分布，即 f(x)=1/(2a)，
则于是,量化信噪比为
ba dxxfxmES )(220
b
a
vMdx
a
x
122
1 222
2
2
22
0
12
12
M
v
vM
N
S
q
例 2 若信号正弦波 m(t)=Acosωct,则信号功率为这时,量化信噪比为
2
2
2
0
AmES
2
2
2
2
2
2
0
2
66
12
2
Ma
A
v
A
v
A
N
S
q
2
2
2
2
3
2
3
M
a
A
M
讨论：
量化信噪比随量化电平数 M的增加而提高。均匀量化器广泛应用于线性 A/D变换接口，例如在计算机的 A/D变换中,N为
A/D变换器的位数，常用的有 8位,12位、
16位等不同精度。
在遥测遥控系统、仪表、图像信号的数字化接口等中，也都使用均匀量化器。
但在语音信号数字化中，均匀量化有一个明显的不足：量化信噪比随信号电平的减小而下降。
非均匀量化是一种在整个动态范围内量化间隔不相等的量化。信号幅度越小，量化间隔 Δv也小；反之亦反。
优点：
首先，当输入信号具有非均匀分布的概率密度 (实际中常常是这样 )时，非均匀量化器的输出端可以得到较高的平均信噪比；
其次，量化噪声功率的均方根值基本上与信号抽样值成比例。因此量化噪声对大、小信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信噪比。
7.4.2 非均匀量化实现方法：实现非均匀量化的方法之一是把输入量化器的信号 x先进行压缩处理，
再把压缩的信号 y进行均匀量化。压缩器就是一个非线性变换电路，弱信号被放大，
强信号被压缩。压缩器的入出关系表示为
y=f(x) 。接收端采用一个与压缩特性相反的扩张器来恢复 x 。常用压缩器大多采用对数式压缩，即 y=lnx。广泛采用的两种对数压扩特性是 μ律压扩和 A律压扩。
1,μ律压扩特性式中
x——压缩器归一化输入电压
y——压缩器归一化输出电压
μ ——压缩器参数
10,
)1ln (
)1ln (
xxy
压缩效果图中对 y是均匀分割的，等效于对 x是非均匀分割的。在每一量化间隔中
'y
dx
dy
x
y
由得于是量化误差信噪比的改善程度
10,
)1ln (
)1ln (
xxy
)1ln ()1(
'
xdx
dyy
)1ln ()1(22
x
yx
)1ln ()1(
xy
xQ
写成分贝形式数值例,μ =100时，对于小信号 x->0,
信噪比的改善程度
62.4
100
)1l n (0
xdx
dy
)1l n ()1(
lg20lg20
xy
xQ
dB
dBQ dB 7.26
62.4
100lg20?
对于大信号 x->1,
信噪比的改善程度结论,小信号时，可以改善量化信噪比，
大信号时，会降低量化信噪比。相当于增加了输入信号的动态范围。如图 7-14
67.4
1
)1l n ()1(1
xdx
dy
dBQ dB 3.13
67.4
1lg20
2,A律压扩特性式中
x——压缩器归一化输入电压
y——压缩器归一化输出电压
μ ——压缩器参数
1/1,
ln1
)ln (1
/10,
ln1
xA
A
Ax
Ax
A
Ax
y
A律压扩特性的导出：
设压扩特性为 y=f(x)，为使小信号时的信噪比不因 x下降而减小，应使各量化间隔随 x
成线性关系，即,而因此,于是解出
ii xx
iii xNdy
dxy
dy
dxx 2
kx
dy
dx? Ckyxln
或者 再由 x=1时 y=1,解出 C=-k，
于是，
但是，当 x?0时 y?-∞,所以需修正上式，
于是得到 A率特性的定义式。
k
Cx
k
y ln1
x
k
y ln11
1/1,
ln1
)ln (1
/10,
ln1
xA
A
Ax
Ax
A
Ax
y
压缩特性的近似实现早期的 A律和 μ律压扩特性是用非线性模拟电路实现的。 电路实现这样的函数规律是相当复杂的，因而精度和稳定度都受到限制。随着数字电路特别是大规模集成电路的发展，另一种压扩技术 ——数字压扩，日益获得广泛的应用。它是利用数字电路形成许多折线来逼近对数压扩特性。
在实际中常采用的方法有两种：一种是采用 13折线近似 A律压缩特性,另一种是采用
15折线近似 μ律压缩特性 。 我国的 PCM30/32
路基群也采用 A律 13折线压缩特性 。 CCITT建议 G.711规定在国际间数字系统相互连接时,
要以 A律为标准 。 因此这里重点介绍 A律 13折线 。
A律 13折线：用 13段折线逼近 A=87.6的 A律压缩特性 。
具体方法是：对 x轴不均匀分成 8段,分段的方法是每次以二分之一对分； 对 y轴在 0~1范围内均匀分成 8段,每段间隔均为 1/8。 然后把
x,y各对应段的交点连接起来构成 8段直线 。
其中第 1,2段斜率相同 (均为 16),因此可视为一条直线段,故实际上只有 7根斜率不同的折线 。
y
1
7
8
6
8
5
8
4
8
3
8
2
8
1
8
1
0
1
1 2 8
1
64
1
16
1
32
11
8
1
4
1
2
x
斜率：
1 段 16
2 段 16
3 段 8
4 段 4
5 段 2
6 段 1
7 段 1 / 2
8 段 1 / 4
2
3
4
5
6
7
第 8 段以上分析的是第一象限,对于双极性语音信号,在第三象限也有对称的一组折线,
也是 7根,但其中靠近零点的 1,2段斜率也都等于 16,与正方向的第 1,2段斜率相同,又可以合并为一根,因此,正,负双向共有
2× (8-1)-1=13折,故称其为 13折线 。
203页表 7-3 A=87.6与 13 折线压缩特性的比较
y 0 1
x 0 1
按折线分段时的 x
0 1
段落
1 2 3 4 5 6 7 8
斜率 16 16 8 4 2 1
21 41
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
128
1
6.60
1
6.30
1
4.15
1
79.7
1
93.3
1
98.1
1
128
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
μ律 15折线：用 15段折线逼近 μ=255的 μ律压缩特性。
具体方法是：
对 y轴均匀分成 8段，第 i个分点在 i/8的位置对 x轴不均匀分成 8段，第 i个分点的位置是其结果如图
2 5 5
12
2 5 5
12 5 6
2 5 5
12 5 6 8?
i
iy
y
1
7
8
6
8
5
8
4
8
3
8
2
8
1
8
1
0
1
25 5
3
25 5
7
25 5
15
25 5
31
25 5
63
25 5
12 7
25 5
x1
2
3
4
5
6
7
第 8 段
μ律 15折线性能：
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0 1
按折线分段时的 x
0 1
段落
1
斜率 1 2 3 4 5 6 7 8
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
255
1
255
3
255
7 25515
255
31
255
63
255
127
21 321 641
12818
1 16141
把量化的电平值表示成二进制码组的过程称为编码。
将模拟信号的经过抽样、量化变换为数字信号，然后再变换成代码传输，这种方式称为脉冲编码调制 (PCM)。
举例如下：
§ 7.5 脉冲编码调制
7.5.1 脉冲编码调制原理码字和码型：
二进制码抗干扰、易产生。因此,PCM中一般采用二进制码。
M个量化电平，可以用 N位二进制码元来表示,N位码元组成一个码组或称为一个码字。
码型指的是量化电平的编码。其量化电平与码字的对应关系的整体就称为码型。
在 PCM中常用的二进制码型有三种：自然二进码、折叠二进码和格雷二进码（反射二进码）。如下表表 6 – 4 常用二进制码型样值脉冲极性 格雷二进制 自然二进码 折叠二进码 量化级序号正极性部分
1000
1001
1011
1010
1110
1111
1101
1100
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
15
14
13
12
11
10
9
8
负极性部分
0100
0101
0111
0110
0010
0011
0001
0000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
7
6
5
4
3
2
1
0
自然二进码就是一般的十进制正整数的二进制表示，编码简单、易记，而且译码可以逐比特独立进行。若把自然二进码从低位到高位依次给以 2倍的加权，就可变换为十进数。如设二进码为 (an-1,an-2,…,a1,a0)
则 D=an-12n-1+an-22n-2+…+a121+a020
便是其对应的十进数 （ 表示量化电平值 ） 。
这种,可加性,可简化编译码器的结构 。
折叠二进码是一种符号幅度码。
左边第一位表示信号的极性，信号为正用,1”
表示，信号为负用,0”表示；第二位至最后一位表示信号的幅度。
正、负绝对值相同时，折叠码的上半部分与下半部分相对零电平对称折叠，故名折叠码。
其幅度码从小到大按自然二进码规则编码。
折叠优点是，传输中误码对小信号影响较小。
折叠二进码是一种符号幅度码。第一位表示极性,,1”表示正,,0”表示负；第二位至最后一位表示信号的幅度。幅度码从小到大按自然二进码规则编码。
正、负绝对值相同时，折叠码的上半部分与下半部分相对零电平对称折叠，故名折叠码。
折叠码优点：
对于双极性信号，只要绝对值相同，则可以采用单极性编码的方法，使编码过程大大简化。
传输中误码对小信号影响较小。
格雷二进码的特点是任何相邻电平的码组只有一位码位不同，即相邻码字的距离恒为 1。
译码时，若传输或判决有误，量化电平的误差小。
除极性码外，绝对值相等时，其幅度码相同，
故又称反射二进码。
但这种码不是,可加的,,不能逐比特独立进行,需先转换为自然二进码后再译码。
在 PCM中,A律 13折线 PCM 30/32路基群设备中所采用折叠二进码。
码位数决定了量化分层的数量。在信号变化范围一定时，用的码位数越多，量化分层越细，量化误差就越小，通信质量当然就更好。
但码位数越多，设备越复杂，同时还会使总的传码率增加，传输带宽加大。
在 A律 13折线 PCM 编码中，采用 8位二进制码，对应有 M=28=256个量化级。这需要将 13
折线中的每个折线段再均匀划分 16个量化级，
由于每个段落长度不均匀，因此正或负输入的 8个段落被划分成 8× 16=128个不均匀的量化级。
8位码的安排如下：
极性码 段落码 段内码
C1 C2C3C4 C5C6C7C8
段落序号段落码
C2 C3 C4
8
7
6
5
4
3
2
1
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
Ⅷ
Ⅶ
Ⅵ
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
段落码
x
Ⅱ
特点：
段内的 16个量化级均匀划分，段落长度不等，属于非均匀的量化级。小信号时，段落短，量化间隔小。大信号时，段落长，
量化间隔大。
第一,二段最短，只有归一化的 1/128，再将它等分 16小段，每一小段长度为最小的量化级间隔 Δ,它是输入信号归一化值的 1/2048，代表一个量化单位。
2048
1
16
1
128
1
第八段最长，它是归一化值的 1/2，将它等分 16小段后，每一小段归一化长度为
1/32,包含 64个最小量化间隔，记为
64Δ。
逐次比较编码原理电平序号 段内码 电平序号 段内码
c5c6c7c8 c5c6c7c8
15
14
13
12
11
10
9
8
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 1 1
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
逐次比较编码原理工作过程,（略）
例 7.5.1 设输入信号抽样值 Is=+1270Δ（ Δ为一个量化单位,表示输入信号归一化值的
1/2048）,采用逐次比较型编码器,按 A律 13折线编成 8位码 C1C2C3C4C5C6C7C8。
解 编码过程如下：
（ 1） 确定极性码 C1：由于输入信号抽样值
Is为正,故极性码 C1=1。
（ 2） 确定段落码 C2C3C4：
参看表 7-9可知,段落码 C2C3C4表示抽样值
Is处于 13折线中的 8个段落 。
段落 1 2 3 4 5 6 7 8
起点电平
0 16 32 64 128 256 512 1024
因 1270>1024,落在第 8 段,所以段落码
C2C3C4=111。
（ 3） 确定段内码 C5C6C7C8
在 1024和 2048内有 8个量化间隔,起点依次为
1024+n× 64，
（ 3） 确定段内码 C5C6C7C8
在 1024和 2048内有 8个量化间隔,均匀划分,
起点依次为 1024+n× 64，
1024+3× 64=1216< 1270< 1024+4× 64=1280
落在第三个量化间隔内,段内码为 0011。
总的编码结果为 1,111,0011。 对应的量化电平为 1024+3× 64+32=1248,量化误差为
1270-1248=22。
11位线性编码为 10011100000。
PCM系统性能涉及两种噪声：量化噪声和信道加性噪声。考虑两种噪声时,PCM系统接收端低通滤波器的输出为
=m(t)+nq(t)+ne(t)
m(t)——输出端所需信号成分；
nq(t) ——量化噪声的输出，其功率 Nq；
ne(t) — 信道噪声引起的输出噪声，功率 Ne。
7.5.2 PCM系统的抗噪声性能
)(tm?
PCM系统总的输出信噪比为：
两种噪声的产生机理不同，可认为互相独立。
先分析量化噪声。
抽样序列为：
量化序列为：
可以写为
)]([)]([
)]([
22
2
0
0
0
tnEtnE
tmE
N
S
eq?
k
ss kTttmtm )()()(?
k
sqsq kTttmtm )()()(?
k
sq kTttmtmtm )()()()(?
k
ssq
k
ss kTtkTekTtkTm )()()()(
附录 A证明,量化误差的功率谱为
12
)(1)(1)( 22 v
T
kTeE
T
fGe sq
由于量化引起的均方误差 E{e2q(kTs)}将取决于信号的统计特性和量化方法。
在输入信号区间 [-a,a]均匀分布、并对它均匀量化，其量化电平数为 M。那么，
量化噪声功率为于是
12
)()( 22 vkTeE
sq
不考虑信道噪声，接收端低通滤波器输出的量化噪声成分 eq(t)的功率谱密度为
12
)(1 2v
T
fG
s
eq
2)( fHrfGfG eqnq?
于是低通滤波器输出的量化噪声功率为
12
)(1
12
)(1 2
2
2 v
T
df
v
T
dffGN
s
f
f s
f
f nqq
s
s
s
s
再求接收端低通滤波器输出的信号功率：
tm
Ttm s
1
0?
输出信号功率为由 (7,2— 6)，接收端低通滤波器输出信号为
12
)(1 22
200
vM
T
tmS
s
输出信噪比为
N
q
M
tnE
tmE
N
s 22
2
2
0
0 2
)]([
)]([
式中,二进码位数 N与量化级数 M的关系为
M=2N。 由此可见,PCM系统输出的量化信噪比依赖于每一个码组的位数 N,并随 N按指数增加 。
对于频带限制在 fH的信号,抽样定理要求抽样速率不小于 2fH,每一个码组 N位二进脉冲,为此二进制码元的速率为 2NfH,所需传输带宽 B至少等于 NfH,故信噪比还可写成
H
f
B
qN
S
2
0 2
信道加性噪声的影响：
在加性高斯白噪声条件下，可以认为误码是独立的，并设每个码元的误码率皆为 Pe。
出现多于 1位误码的概率很低，所以通常只需要考虑仅有 1位误码的码组错误。
由于码组中各位码元的权值不同，因此，误差的大小取决于误码发生在码组的哪一位上，
而且与码型有关。
信道噪声 误码 抽样值误差以 N位自然二进码为例，自最低位到最高位的加权值分别为 20,21,22,2i-1,…,2N-1，若量化间隔为 Δ，则发生在第 i位上的误码所造成的误差为 ± (2i-1Δ),所产生的噪声功率是 (2i-1Δ) 2。显然，发生误码的位置越高，造成的误差越大。
由于已假设每位码元所产生的误码率 Pe是相同的，所以一个码组中如有一位误码产生的平均功率为由于错误码元之间的平均间隔为 1／ Pe个码元、而一个码组又包括有 N个码元，故错误码组之间的平均间隔为 1/NPe个码组，其平均间隔时间为
eNP
s
a
TT?
N
i
i v
N
QE
1
212 21
N
i
i
N
v
1
212 2
223 12 vNN2232 vNN
这相当于每隔 Ta时间，出现一个错误脉冲抽样，这个脉冲抽样序列的功率谱密度为
21 QET
a
2
2
3
2 v
NTs
N P e N
于是，在理想低通滤波器输出端，由误码引起的噪声功率谱密度为
H
H
N
th
ff
ffv
NTs
N P e
fG
,0
,
3
2
)(
2
2
0
输出噪声功率为
22
2
0 3
2)( v
Ts
PedffGNe Nf
f th
H
H
总的输出信噪比为
2
222
2
22
2
0
3
)(2
12
)(1
12
)(1
s
N
s
s
T
vPev
T
vM
T
NqNe
S
NPe
M
2
2
241?
NPe
M
N
S
2
2
0
0
241?
大信噪比时近似
2
0
0 M
N
S?
小信噪比时近似
PePe
M
N
S
N 4
1
24 2
2
0
0
7.6 差分脉冲编码调制
mk
mk-1mk-2
m’k
ek
t
DPCM的基本思想是：利用相邻抽样值之间的相关性 。 具体的方法是：用前面若干时刻传输的抽样值来预测当前要传输的样值,然后对预测的误差而不是样值本身进行编码,
传输 。 在接收端再用接收的预测误差来修正当前的预测值 。
系统的框图如下：
DPCM的工作过程：参照上图和前页波形 。
量化台阶不变的情况下（即量化噪声不变），
编码位数减少，压缩信号带宽。
在编码位数不变的情况下，量化间隔减小，
量化噪声降低。
DPCM系统的量化误差为
kqk
kkqkk
kkkk
pe
pmem
mmmmkq
0
0 ]'[]'[
~'~)(
量化信噪比为
)}({
)}({
2
2
0
0
kqE
kmE
N
S?
DPCM的总量化误差 qk仅与差值信号 ek的量化误差有关 。 qk与 ek都是随机变量,因此 DPCM
系统总的量化信噪比可表示为
)}({
)}({)(
2
2
kqE
kmE
N
S
D P C M?
P C MP N
SG )(?
)}({
)}({
)}({
)}({
2
2
2
2
kmE
keE
keE
kmE
Gp称为预测增益,可理解为 DPCM系统相对于 PCM系统而言的信噪比增益 。 如果差值功率 E{ek}小于信号功率 E{mk},Gp就会大于 1，
该系统就能获得增益 。
预测的基本的方法是线性预测，即
p
i
ikik mam
1
'
如果能够选择合理的预测规律,就能获得增益 。 对 DPCM系统的研究就是围绕着如何使
Gp和 (S/N)q 这两个参数取最大值而逐步完善起来的 。 通常 Gp约为 6～ 11 dB。
ADPCM
为了在大的动态范围内以最佳的预测和量化来获得最佳的性能,在 DPCM基础上引入自适应技术,称为自适应差分脉冲编码调制,简称 ADPCM。 ADPCM包括自适应预测和自适应量化 。
自适应预测：预测器系数随信号的统计特性而自适应调整,提高了预测信号的精度,从而得到高预测增益 。
自适应量化：指量化间隔随信号的变化而变化,
使量化误差达到最小 。
在相同语音质量下,ADPCM允许用 32 kb/s比特率编码,这是标准 64kb/s PCM的一半 。 已经成为 CCITT的标准,参见 G.721,G.726等规范建议 。
增量调制简称 ΔM或 DM。 是另一种模拟信号数字化的方法 。
在 PCM中,用一个码组来表示抽样,码组位数大于 1；而 ΔM仅使用一位码组来表示抽样 。
ΔM又可以看成 DPCM的特例,即量化电平取两个,且预测器是一个延迟为 T的延迟线的
DPCM系统调制系统 。
由 DPCM的一般原理框图简化可以得到增量调制 ΔM的原理框图 。
7.7 增量 调制 （ ΔM）
编译码的基本原理用相邻样值的相对大小 （ 增量 ） 同样能反映信号的变化规律 。 将增量编码传输的方式称为 ΔM。
为了说明 ΔM概念,见下页波形 。 图中,
m(t)代表时间连续变化的模拟信号,我们可以用一个时间间隔为 Δt,相邻幅度差为 +σ或 -σ的阶梯波形 m′(t)来逼近它 。 只要 Δt足够小,即抽样速率 fs=1/Δt足够高,且 σ足够小,则阶梯波
m′(t)可近似代替 m(t)。 其中,σ为量化台阶,
Δt=Ts为抽样间隔 。
ΔM系统的工作过程
m ( t )
s
0
0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0
t
t
12
t
11
t
10
t
9
t
8
t
7
t
6
t
5
t
4
t
3
t
2
t
1
m ( t )
m ( t )
m
1
( t )
t
ΔM系统的量化噪声：过载量化噪声和一般量化噪声,m ( t )
m ( t )′
e
q
( t )
( a )
m ( t )
m ( t )′
t
t
( b )
e
q
( t )
1.过载量化噪声最大跟踪斜率为：
不产生过载的条件若输入信号是单频正弦信号，即时，不产生过载的条件成为
s
s
K fTA s
s?
tAtm k?s i n)(?
sftK s
s
)(' tmK?
为了不发生过载,必须增大 σ和 fs。 但 σ
增大，一般量化误差也大，由于简单增量调制的量阶 σ是固定的，因此很难同时满足两方面的要求。
提高 fs对减小一般量化误差和减小过载噪声都有利。因此,ΔM系统中的抽样速率要比 PCM系统中的抽样速率高的多。典型的 ΔM系统抽样率为 16kHz或 32kHz，
相应单话路编码比特率为 16 kb/s或 32kb/s。
2.一般量化噪声：分析模型与波形如下图在不过载情况下，误差 eq(t)=m(t)-m'(t)限制在 -σ到 σ范围内变化，若假定 eq(t)值在此范围均匀分布，即则量化噪声的平均功率为上述的量化噪声功率并不是系统最终输出的量化噪声功率，因为积分器后面还有低通滤波器。 eq(t)的脉冲宽度可能是 Ts,2Ts,
sss eef q,2 1)(
32 1)( 222 ss ss deeteE q
eq(t)的脉冲宽度可能是 Ts,2Ts……,因此 eq(t)
的功率谱在（ 0,fs）区间上近似看作是均匀分布，可表示为若接收端低通滤波器的截止频率为 fm，则经低通滤波器后输出的量化噪声功率为量化噪声功率与 σ及 (fm/fk)有关，与信号幅度无关。
s
s
e ffffp 0,3)(
2s
)(
3
2
s
m
e f
fN s?
信号越大，信噪比越大。对于频率为 fk的正弦信号,临界过载振
Amax=
所以信号功率的最大值为 k
s
k
s
f
ff
s
s
2
22
222
m a x
82
k
f
fA s
s?
因此在临界振幅条件下,系统最大的量化信噪比为
mk
s
mk
s
q ff
f
ff
f
N
S
2
3
2
3
2
0 04.0
8
3
)04.0l g (10)( 2
3
0
mk
s
dB
q ff
f
N
s?
用分贝表示为
14lg10lg20lg30 mks fff
上式表明：
（ 1） ΔM的信噪比与抽样速率 fs成立方关系,
即 fs每提高一倍,量化信噪比提高 9dB。 因此,
ΔM系统的抽样速率至少要在 16kHz以上,才能使量化信噪比达到 15dB以上,而抽样速率在
32kHz时,量化信噪比约为 26 dB,只能满足一般通信质量的要求 。
（ 2）量化信噪比与信号频率 fk的平方成反比，
即 fk每提高一倍,量化信噪比下降 6 dB。因此，
简单 ΔM时语音高频段的量化信噪比下降。
