2.2 随机过程一般描述
2.3 平稳随机过程
2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱
2.5高斯过程
2.6窄带随机过程
2.7正弦波加窄带高斯噪声
2,8随机过程通过线性系统第 2 章 随机信号分析
§ 2.2 随机过程一般描述确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。
通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。
描述随机信号的数学工具是随机过程，
基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。
随机过程的数学定义：
设随机试验 E的可能结果为 ξ(t)，试验的样本空间 S为 {x1(t),x2(t),…,x n(t),…},xi(t)
是第 i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作 ξ(t)。
两层含义：
随机过程 ξ(t)在任一时刻都是随机变量；
随机过程 ξ(t)是大量样本函数的集合。
随机过程举例：
随机过程基本特征其一，它是一个时间函数；
其二，在固定的某一观察时刻 t1,ξ(t1)是随机变量。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
随机过程 ξ(t)在任一时刻都是随机变量；
随机过程 ξ(t)是大量样本函数的集合。
随机过程的统计描述设 ξ(t)表示随机过程，在任意给定的时刻
t1∈ T,ξ(t1)是一个一维随机变量。
一维分布函数：随机变量 ξ(t1)小于或等于某一数值 x1的概率，即
F1(x1,t1)=P［ ξ(t1)≤x1］
一维概率密度函数
1
111
111
),(),(
x
txFtxf
n维分布函数：
Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)
P｛ ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(t n)≤xn｝
n维概率密度函数
n
nn
n
nn xxx
tttxxF
tttxxxf
.,,
).,,,.,,;,(
).,,,,;.,,,,(
21
2,121
2121
随机过程的一维数字特征数学期望方差
)(),()]([ 1 tadxtxxftE
2
1 )]([),(2 tadxtxfx
2)()()]([ tatEtD
随机过程的二维数字特征自协方差函数
B(t1,t2)=E｛［ ξ(t1)-a(t1)］［ ξ(t2)-a(t2)］｝
自相关函数
R(t1,t2)=E｛ ξ(t1)ξ(t2)｝
设 ξ(t)和 η(t)分别表示两个随机过程，互相关函数
Rξη(t1,t2)=E［ ξ(t1)η(t2)]
§ 2,3平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。
设随机过程 ξ(t),若对于任意 n和任意选定 t1
＜ t2＜ …＜ tn,tk∈ T,k=1,2,…,n，以及 τ为任意值，且 x1,x2,…,xn∈ R
fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)
=fn(x1,x2,…,xn; t1+τ,t2+τ,…,tn+τ )
则称 ξ(t)是平稳随机过程 。
平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。
推论：一维分布与时间 t无关,二维分布只与时间间隔 τ有关。从而有
R(t1,t2)=E［ ξ(t1)ξ(t1+τ)］
=R(t1,t1+τ)=R(τ)
adxxfxtE
1111
),()]([?
广义平稳随机过程平稳随机过程的定义对于一切 n都需成立，
这在实际应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数,自相关函数是 τ的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：
若随机过程 ξ(t)的均值为常数，自相关函数仅是 τ的函数,则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性,称为,各态历经性,。
若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，
则称平稳随机过程具有,各态历经性,。
各态历经性各态历经随机过程
2/
2/
)(1)( lim T
TT
dttxTtxa
2/
2/
)()(1)()()( lim T
TT
dtTXtxTTXtxR
“各态历经,的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此,我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，
而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使,统计平均,
化为,时间平均,,使实际测量和计算的问题大为简化 。
§ 2.4 平稳过程的相关函数与功率谱自相关函数的意义：
平稳随机过程的统计特性，如数字特征等,可通过自相关函数来描述
自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。
自相关函数定义：
R(τ)=E［ (ξ(t)ξ(t+τ)］
自相关函数主要性质：
R(0)=E[ξ2(t)]=S--ξ(t)的平均功率
R(τ)= R(-τ) --偶函数
|R(τ)|≤ R(0) --上界
R(∞)=E2[ξ(t)] ---ξ(t)的直流功率
R(0)-R(∞)=σ2 ---ξ(t)的交流功率。
ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为式中,FT(ω)是 fT(t)的频谱函数； fT(t)是 f(t)的短截函数； f(t)是 ξ(t)的任一实现 。
T
FP T
T
s
2)(
)( lim
由于 ξ(t)是无穷多个实现的集合,因此,
某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度 。 过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均,即
ξ(t)的平均功率 S可表示成
T
FEPEP T
T
s
2)(
)]([)( lim
dT
FEdpS T
T
2)(
2
1)(
2
1 lim
由 ξ(t)功率谱密度的定义,很难直接计算功率谱 。 确知信号的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对 。 对于平稳随机过程,也有类似的关系,即
deRP rj)()(
T
FE T 2)(
2/
2/
'2/
2/ ')'()(
1 T
T
tj
T
T
T
tj
T dtetdtetTE
2/
2/
2/
2/
)'( ')'(1 T
T
T
T
ttj dtdtettR
TE
利用二重积分换元法，则上式可化简成：
于是简记为 R(τ) Pξ(ω)。
上称为维纳 -辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域的基本关系式。
' '
2
)(1
)( T
T
jT deR
TT
FE
T
FE
p T
T
2)(
)( l i m
deR j)(
例 2-1随机相位余弦波 ξ(t)=Acos(ωct+θ),其中
A和 ωc均为常数,θ是在 (0,2π)内均匀分布的随机变量 。 求 ξ(t)的自相关函数与功率谱密度 。
解,(1) 先考察 ξ(t)是否广义平稳 。 ξ(t)的数学期望为
dtAtEta c 2 1)c o s ()]([)( 20
dttA cc )s i ns i nc o s( c o s2 20
常数）(0]s i ns i n( c o s[ c o s2 2020 dtdtA cc
ξ(t)的自相关函数为：
)]()([),( 2121 ttEttR
)]s i n ()[ s i n ( 2010 ttE
)]s i n ()[ s i n ( 000 ttE
0c o s21?
令 t1=t,t2=t+τ,
经过推导得：
deRP j)()(
因为 cosωcτ π[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)]
所以,Pξ(ω)= [δ(ω- ωc)+δ(ω+ ωc)]
2
仅与 τ有关 。 由此看出,ξ(t)是宽平稳随机过程 。 它的功率谱密度为：
定义 ——若随机过程 ξ(t)的任意 n维（ n=1,
2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其 n维正态概率密度函数表示如下：
fn(x1,x2,…,x n; t1,t2,…,t n)
§ 2.5 高斯过程
2
1
21
2
1
.,,)2(
1
Bn
)])((
2
1e x p [.
11 k
kk
j
kj
n
k
jk
n
j
axaxB
B
式中,ak=E{ξ(tk)},σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2,|B|为归一化协方差矩阵的行列式,即
B
1 b12 … b 1n
B21 1 … b 2n
Bn1 bn2 … 1
… … … …
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子,
bjk为归一化协方差函数：
jk
kkjj
jk
atatE
b
])(][)([
高斯过程的特点：
高斯过程的 n维分布完全由 n个随机变量的数学期望,方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。
如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，
而与时间起点无关，则它的 M维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。
如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对所有 j≠k，有 bjk=0，于是
=f(x1,t1)·f(x2,t2)…f(x n,tn)
这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，则它们也是统计独立的。
fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=
n
j j
jj
n
j
j
n
ax
1
2
2
1
2 2
)(
e x p
)2(
1
N
j j
jj
j
ax
1
2
2
2
)(
e x p
2
1
常用的是高斯过程的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为概率密度函数的曲线为
2
2
2
)(e x p
2
1)(
axxf
f ( x )
1
2
O
a x
特点
f(x)对称于 x=a这条直线。
,
a表示分布中心,σ表示集中程度,f(x)
图形将随着 σ的减小而变高和变窄。当
a=0,σ=1时，称 f(x)为标准正态分布的密度函数。
正态分布函数
1)( dxxf 21)()( 00 dxxfdxxf
axdzazxF x
2
2
2
)(e x p
2
1)(
这里的称为正态概率积分。 这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：
误差函数互补误差函数
x
z
dzx 2
2
e x p
2
1
x t
dtexe r f
0
22
)(
x
t dtexe r fxe r fc 22)(1)(
几种函数的关系为
)2(22)( xxe r f c
1)2(2)( xxe r f?
高斯白噪声一类特殊的高斯过程 ——高斯白噪声,它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
,它是一个理想的宽带随机过程 。 式中 n0为一常数,
单位是瓦 /赫 。 显然,白噪声的自相关函数可借助于下式求得,即
,2)( 0nP
随机过程通过以 fc为中心频率的窄带系统的输出,即是窄带过程 。 所谓窄带系统,是指其通带宽度
Δ f<<fc,且 fc远离零频率的系统 。 实际中,大多数通信系统都是窄带型的,通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的,如果这时的信号或噪声又是随机的,则称它们为窄带随机过程 。 如用示波器观察一个实现的波形,则如图 2 - 4所示,它是一个频率近似为 fc,包络和相位随机缓变的正弦波 。
§ 2.6 窄带随机 过程图 2-4 窄带过程的频谱及示意波形
－ f
c
O
S ( f )
f? f
f
c f
( a )
t
O
S ( f ) 缓慢变化的包络 [ a ( t ) ]
频率近似为 f
c
( b )
因此,窄带随机过程 ξ(t)可用下式表示,
ξ(t)=aξ(t) cos［ ωct+υξ(t)］,aξ(t)≥0 (2.6 - 1)
等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct (2.6 - 2)
其中 ξc(t)=aξ(t)cosυξ(t) (2.6 - 3)
ξs(t)=aξ(t) sinυξ(t) (2.6 - 4)
式中,aξ(t)及 υξ(t)分别是 ξ(t)的包络函数和随机相位函数,
ξc(t)及 ξs(t)分别称为 ξ(t)的同相分量和正交分量 。
由式 （ 2.6 - 1） 至 (2.6 - 4)看出,ξ(t)的统计特性可由 aξ(t),υξ(t)或 ξc(t),ξs(t)的统计特性确定 。 反之,如果已知 ξ(t)的统计特性则可确定 aξ(t),υξ(t)以及 ξc(t),ξs(t)
的统计特性 。
设窄带过程 ξ(t)是平稳高斯窄带过程,且均值为零,方差为 σ2ξ。 下面将证明它的同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)也是零均值的平稳高斯过程,而且与 ξ(t)具有相同的方差 。
1,数学期望对式 （ 2.6 - 2） 求数学期望,
E[ξ(t)]=E[ξc(t)]cosωct-E[ξs(t)]sinωct (2.6- 5)
可得
E[ξc(t)]=0 E[ξs(t)]= 0 (2.6 - 6)
2,自相关函数
Rξ(t,t+τ)=E［ ξ(t)ξ(t+τ)］
=E｛［ ξc(t)cosωct-ξs(t) sinωct］
·［ ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝
=Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-
Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-
Rξc(t,t+τ)sinωctcosωc(t+τ)
Rξs(t,t+τ)sinωctsinωc(t+τ) (2.6-7)
=Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-
Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-
Rξc(t,t+τ) sinωctcosωc(t+τ)
Rξs(t,t+τ) sinωctsinωc(t+τ)
式中
Rξc(t,t+τ)=E［ ξc(t)ξc(t+τ)］
Rξcξs(t,t+τ)=E［ ξc(t)ξs(t+τ)］
Rξsξc(t,t+τ)=E［ ξs(t)ξc(t+τ)］
Rξs(t,t+τ)=E［ ξs(t)ξs(t+τ)］
ξ(t)是平稳的,故有 Rξ(t,t+τ)=Rξ (τ)
这就要求式 （ 2.6 - 7） 的右边也应该与 t无关,而仅与时间间隔 τ有关 。 若取使 sinωct=0 的所有 t值,则式 （ 2.6 - 7） 应变为
Rξ(τ)=[Rξc(t,t+τ)]cosωcτ-
[Rξcξs(t,t+τ)]sinωcτ (2.6 - 8)
这时,显然应有
Rξc(t,t+τ)=Rξc(τ)
Rξcξs(t,t+τ)=Rξcξs(τ)
所以，式（ 2.6 - 8
Rξ(τ)=Rξc(τ)cosωcτ-
Rξcξs(τ) sinωcτ (2.6 - 9)
再取使 cosωct=0的所有 t
Rξ(τ)=Rξs(τ)cosωcτ+
Rξsξc(τ)sinωcτ (2.6 -10）
由以上的数学期望和自相关函数分析可知,如果窄带过程 ξ(t)是平稳的,则 ξc(t)与 ξs(t)也必将是平稳的 。
进一步分析,式 （ 2.6 - 9） 和式 （ 2.6 - 10） 应同时成立,
故有 Rξc(τ)=Rξs(τ) (2.6 - 11)
Rξcξs(τ)=－ Rξsξc(τ) (2.6 - 12)
可见,同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)具有相同的自相关函数,而且根据互相关函数的性质,应有
Rξcξs(τ)=Rξsξc(-τ)
将上式代入式 （ 2.6 - 12）,可得
Rξsξc(τ)=-Rξsξc(-τ) (2.6- 13)
同理可推得
Rξcξs(τ)=-Rξcξs(-τ) (2.5 - 14)
式 （ 2.6 - 13）,（ 2.6- 14） 说明,ξc(t),ξs(t)的互相关函数 Rξsξc(τ),Rξcξs(τ)都是 τ的奇函数,在 τ=0时
Rξsξc(0)=Rξcξs(0)=0 (2.6 - 15)
于是,由式（ 2.6 - 9）及式（ 2.6 - 10）得到
Rξ(0)=Rξc(0)=Rξs(0) (2.6 - 16)
即 σ2ξ=σ2ξc=σ2ξs (2.6 - 17)
这表明 ξ(t),ξc(t)和 ξs(t)具有相同的平均功率或方差 （ 因为均值为 0） 。
另外,因为 ξ(t)是平稳的,所以 ξ(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量,故在式 （ 2.6 - 2）
中有当 t=t1=0 时,ξ(t1)=ξc(t1)
当 t=t2=π/2ωc时,ξ(t2)=-ξs(t2)
所以 ξc(t1),ξs(t2)也是高斯随机变量,从而 ξc(t)、
ξs(t)也是高斯随机过程 。 又根据式 （ 2.6- 15） 可知,
ξc(t),ξs(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量,因而它们还是统计独立的 。
综上所述,我们得到一个重要结论,一个均值为零的窄带平稳高斯过程 ξ(t),它的同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)也是平稳高斯过程,而且均值都为零,
方差也相同 。 此外,在同一时刻上得到的 ξc和 ξs是互不相关的或统计独立的 。
由上面的分析可知,ξc和 ξs的联合概率密度函数为
)
2
e x p (
2
1),(
2
22
2
cscsf
设 aξ,υξ的联合概率密度函数为 f(aξ,υξ),则利用概率论知识,有
),(
),(
),(),(
a
faf cssc
根据式 （ 2.6 - 3） 和式 （ 2.6 - 4） 的关系
ξc=aξcosυξ ξs=aξsinυξ
(2.6-18）
得到于是
]
2
e x p [
2
]
2
)s in()c o s(
e x p [
2
),(),(
2
2
2
2
22
2
aa
aaa
faaf
cs
a
aa
aa
sc
c
s
c
c
a
sc?
c o ss in
s inc o s
),(
),(
(2.6-19）
注意,这里 aξ≥0,而 在 (0,2π)内取值,再利用概率论中边际分布知识可分别求得
d
aa
dafaf ]
2
e x p [
2
),()(
2
0 22
)()(faf 及
0]
2
e x p [ 2
2
2
a
aa
可见 aξ服从瑞利分布；而
])
2
e x p ([
2
1
),()(
0 22?
da
aa
daaff
(2.6-20）
上式方括号中的积分值为 1(根据瑞利分布的性质 )，故
20
2
1)(＝f
(2.6-21）
可见,υξ服从均匀分布 。
综上所述,我们又得到一个重要结论：一个均值为零,方差为 σ2ξ的窄带平稳高斯过程 ξ(t),其包络 aξ(t)的一维分布是瑞利分布,相位 υξ(t)的一维分布是均匀分布,并且就一维分布而言,aξ(t)与
υξ(t)是统计独立的,即有下式成立：
f(aξ,υξ)=f(aξ)·f(υξ)
信号在信道中传输时,常会遇到这样一类噪声,
它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内,即
Pξ(ω)= (2.6 - 22)
这种噪声被称为白噪声,它是一个理想的宽带随机过程 。 式中 n0为一常数,单位是瓦 /赫 。 显然,
白噪声的自相关函数可借助于式 (2.4-10)求得,即
2
0n
R(τ)=
)(20n
这说明,白噪声只有在 τ=0时才相关,而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的 。 图 2 - 5
画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形 。
如果白噪声被限制在 (-f0,f0)之内,即在该频率区上有 Pξ(ω)= n0/2,而在该区间之外 Pξ(ω)= 0,则这样的白噪声被称为带限白噪声 。 带限白噪声的自相关函数为
0
0
00
20 s in
2
)( 0
0
nfdfenR fj
f
f
(2.6-24)
00 2 f ＝
式中,由此看到，带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的自相关函数与功率谱密度如图 2-5(b)所示。
),3,2,1(2/ 0kfk＝?
2.7正弦波加窄带高斯过程现在我们来求正弦波加窄带高斯噪声的包络及相应的概率密度函数 。 在这种情况下,被考察的混合信号形式为
ty ( t ) ] s i nωs i n[tx ( t ) ] c o sω[ A c o sθ
ty ( t ) s i n ωt[ x ( t ) c o sωθ)tA c o s (ω
n ( t )θ)tA c o s (ωr ( t )
cc
ccc
c
A(2.7-1)
式中,为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的 θ在 (0,2π )上均匀分布
，且假定振幅 A和频率已知。显然，信号 r(t)的包络函数为
ty ( t ) s i nωtωco s)()( cc txtn
1 / 222 }y ( t ) ]s i n[Ax ( t ) ]A c o s θc{[z ( t )
则有令 ),(s i n)(),(c o s)( tyAtztxAtz sc
)()()( 22 tztztz sc
利用上一节的结果，如果 θ值已给定，则 zc及 zs都是相互独立的随机变量，故有
E［ zc］ =Acosθ
E［ zs］ =Asinθ
的方差)(2 tnDzDz sc
所以,在给定相位 θ的条件下的 zc和 zs的联合概
f(zc,zs/θ)=
])s in()c o s[(
2
1e x p
2
1 22
22 AzAz sc
因为式 （ 2.7-1)可以改写成 r(t)=zcos(ωct+υ)的形式,所以其包络随机变量为
022 zzzz sc
而其相位随机变量为
20a r c t a n
c
s
z
z
s i nc o s zzzz sc于是
)]c o s (2[e x p
2
22
2
1
2 2 AzAz
z
所以，以相位 θ为条件的 z和 υ的联合概率密度函数为
zzzfzz z
z
z
z
zzfzf sc
sc
sc
sc )/,()/,()/,(?
而以相位 θ为条件的包络 z的概率密度为
dzfzf )/,()/( 20
202 e x p2 z dAzAz )]c o s (2[ 222 1 2
dAzAzz )]c o s (e x p [)2e x p (2 2
0 22
22
2?
由于
)(]c o se x p [2 1 02
0
xIdx
故有
)(2)]c o s (e x p [ 202
0 2?
AzIdAz
n
（ 2.7-2)
式中,I0(x)为零阶修正贝塞尔函数 。 当 x≥0时,
I0(x)是单调上升函数,且有 I0(0)=1。 因此
f(z/θ)=
由上式可见,f(z/θ)与 θ无关,故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为
)()](2 1e x p [ 202222 AzIAzz
0)()](2 1e x p [)( 202222 zAzIAzzzf
这个概率密度函数称为广义瑞利分布,也称莱斯
（ Rice ） 密度函数 。 如果 A＝ 0,则上式便是式
（ 2.6-20）,即为瑞利公式,这是预料的结果 。
(2.7-3)
现在来求 f(υ/θ),它可由下式得到,
dzAzz
Adzzfzf
}2/)]c o s ([e x p {
)](s in)2/(e x p [)2/1()/,()/(
22
0
0
2222
]}
2
)c o s (
[1)]{(s i n
2
e x p [
)2(2
)c o s (
2
)2/e x p (
)/(
2/1
2
2
2
2/1
22
A
e r f
A
AA
zf
上式经积分和整理后得到
(2.7-4)
dzexe r f x z 0 2)/2()(?式中因为 f(υ,θ)=f(υ/θ)f(θ),所以正弦波加窄带高斯过程得相位概率密度函数 f(υ)为
dffdff )()/()/()( 2020
这个积分比较复杂，这里就不再演算了。
图 2-6绘出了在几个特定的 下的 f(z)曲线及 f(υ/θ)曲线。
22 2/?A
(2.7-5)
图 2 – 6 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布
n
f ( z )
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
r ＝ 0
n
A z
( a )
－0
r ＝ 0
f ( )
( b )
0
r ＞ ＞ 1
r ＞ ＞ 1
－?
2.8随机过程通过线性系统通信的目的在于传输信号,通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统 （ 或网络 ） 后,
输出过程将是什么样的过程？ 这里,我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况 。 随机信号通过线性系统的分析,完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的 。 我们知道,线性系统的响应
vo(t)等于输入信号 vi(t)与系统的单位冲激响应 h(t)的卷积,即
vo(t)=vi(t)*h(t)=
dthv i )()(
(2.8-1)
若 vo(t)? Vo(ω),vi(t)?V i(ω),h(t)?H(ω),则有
Vo(ω)=H(ω)Vi(ω) (2.8 - 2)
若线性系统是物理可实现的,则
vo(t)=
dthvt i )()(
或
dtvhtv i )()()( 00
如果把 vi(t)看作是输入随机过程的一个样本,则
vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本 。 显然,输入过程 ξi(t)的每个样本与输出过程 ξo(t)的相应样本之间都满足下式
(2.8 - 3)
ξo(t)= (2.8 - 4)
假定输入 ξi(t)是平稳随机过程,现在来分析系统的输出过程 ξo(t)的统计特性 。 我们先确定输出过程的数学期望,自相关函数及功率谱密度,然后讨论输出过程的概率分布问题 。
1,输出过程 ξo(t)的数学期望根据式 （ 2.2 - 3） 的定义,有
dth i )()(0
000 )]([)(])()([)([ dtEhdthEtE ii
dtthtE i )()]([ 00 (2.8-5)
0 )()( dtethH tj
因为由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与 H(0)的乘积,且 E[ξo(t)]与 t无关 。
再利用了平稳性假设 E[ξi(t-τ)]=E[ξi(t)]=μi(常数 )故上式为求得
0 )()0( dtthH
所以
)0()]([ 0 HtE i
(2.8-6)
2,输出过程 ξo(t)的自相关函数根据自相关函数的定义，则有
＝)]()([),( 1010110 ttEttR
ddttEhh
dthdthE
ii
ii
)()([)()(
)()()()(
11
0 0
1
00
1
根据平稳性
0 00110
11
)()()()(),(
)()]()([
RddRhahttR
RttE
i
iii 于是
(2.8-7)
可见,ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔 τ而与时间起点 t1无关 。 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明,若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平稳的 。
3,输出过程 ξo(t)的功率谱密度对式 （ 2.4 - 9） 进行傅里叶变换,有
deRP j )()( 00
deRhahdad ji ])()()([0 0
令 则有
deRdehdeahP jijaj '000 )()()()(
)()()()()( 2 iPHPHH i
(2.8-8)
[例 2.8.1] 试求功率谱密度为 n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度,自相关函数和噪声平均功率 。
理想低通的传输特性为
其他,0
,)( 0 Htj deKH
HKH,)( 20
2可见根据式 (2.8-8)输出功率谱密度为
H
nKPHP
i
,2)()()( 0202
0
而自相关函数 R(τ )为
)/( s in
)4/)(
2
1
)(
0
2
0
0
2
00 0
HHH
jj
fnK
denKdePR
H
H
（
2
H
Hf?其中
HfnkRN 0200 )0(?
于是,输出噪声功率 N即为 R0(0),即
dth i )()(
00
总可以确定输出过程的分布 。 其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的,则系统的输出过程也是高斯型的 。
因为从积分原理来看,上式可表示为一个和式的极限,
即
kkk
kr
htt
k
)()(lim)(
0
100
4,输出过程 ξo(t)的概率分布从原理上看,在已知输入过程分布的情况下,
通过式 （ 2.8 - 4）,即
(2.8-9)
由于 ξi(t)已假设是高斯型的,所以,在任一时刻的每项 ξi(t-τk)h(τk)Δτk都是一个高斯随机变量 。 因此,
输出过程在任一时刻得到的每一随机变量,都是无限多个高斯随机变量之和 。 由概率论得知,这个
,和,的随机变量也是高斯随机变量 。 这就证明,
高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程 。
更一般地说,高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程 。 但要注意,由于线性系统的介入,与输入高斯过程相比,输出过程的数字特征已经改变了 。
2.3 平稳随机过程
2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱
2.5高斯过程
2.6窄带随机过程
2.7正弦波加窄带高斯噪声
2,8随机过程通过线性系统第 2 章 随机信号分析
§ 2.2 随机过程一般描述确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。
通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。
描述随机信号的数学工具是随机过程，
基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。
随机过程的数学定义：
设随机试验 E的可能结果为 ξ(t)，试验的样本空间 S为 {x1(t),x2(t),…,x n(t),…},xi(t)
是第 i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作 ξ(t)。
两层含义：
随机过程 ξ(t)在任一时刻都是随机变量；
随机过程 ξ(t)是大量样本函数的集合。
随机过程举例：
随机过程基本特征其一，它是一个时间函数；
其二，在固定的某一观察时刻 t1,ξ(t1)是随机变量。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
随机过程 ξ(t)在任一时刻都是随机变量；
随机过程 ξ(t)是大量样本函数的集合。
随机过程的统计描述设 ξ(t)表示随机过程，在任意给定的时刻
t1∈ T,ξ(t1)是一个一维随机变量。
一维分布函数：随机变量 ξ(t1)小于或等于某一数值 x1的概率，即
F1(x1,t1)=P［ ξ(t1)≤x1］
一维概率密度函数
1
111
111
),(),(
x
txFtxf
n维分布函数：
Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)
P｛ ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(t n)≤xn｝
n维概率密度函数
n
nn
n
nn xxx
tttxxF
tttxxxf
.,,
).,,,.,,;,(
).,,,,;.,,,,(
21
2,121
2121
随机过程的一维数字特征数学期望方差
)(),()]([ 1 tadxtxxftE
2
1 )]([),(2 tadxtxfx
2)()()]([ tatEtD
随机过程的二维数字特征自协方差函数
B(t1,t2)=E｛［ ξ(t1)-a(t1)］［ ξ(t2)-a(t2)］｝
自相关函数
R(t1,t2)=E｛ ξ(t1)ξ(t2)｝
设 ξ(t)和 η(t)分别表示两个随机过程，互相关函数
Rξη(t1,t2)=E［ ξ(t1)η(t2)]
§ 2,3平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。
设随机过程 ξ(t),若对于任意 n和任意选定 t1
＜ t2＜ …＜ tn,tk∈ T,k=1,2,…,n，以及 τ为任意值，且 x1,x2,…,xn∈ R
fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)
=fn(x1,x2,…,xn; t1+τ,t2+τ,…,tn+τ )
则称 ξ(t)是平稳随机过程 。
平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。
推论：一维分布与时间 t无关,二维分布只与时间间隔 τ有关。从而有
R(t1,t2)=E［ ξ(t1)ξ(t1+τ)］
=R(t1,t1+τ)=R(τ)
adxxfxtE
1111
),()]([?
广义平稳随机过程平稳随机过程的定义对于一切 n都需成立，
这在实际应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数,自相关函数是 τ的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：
若随机过程 ξ(t)的均值为常数，自相关函数仅是 τ的函数,则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性,称为,各态历经性,。
若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，
则称平稳随机过程具有,各态历经性,。
各态历经性各态历经随机过程
2/
2/
)(1)( lim T
TT
dttxTtxa
2/
2/
)()(1)()()( lim T
TT
dtTXtxTTXtxR
“各态历经,的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此,我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，
而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使,统计平均,
化为,时间平均,,使实际测量和计算的问题大为简化 。
§ 2.4 平稳过程的相关函数与功率谱自相关函数的意义：
平稳随机过程的统计特性，如数字特征等,可通过自相关函数来描述
自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。
自相关函数定义：
R(τ)=E［ (ξ(t)ξ(t+τ)］
自相关函数主要性质：
R(0)=E[ξ2(t)]=S--ξ(t)的平均功率
R(τ)= R(-τ) --偶函数
|R(τ)|≤ R(0) --上界
R(∞)=E2[ξ(t)] ---ξ(t)的直流功率
R(0)-R(∞)=σ2 ---ξ(t)的交流功率。
ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为式中,FT(ω)是 fT(t)的频谱函数； fT(t)是 f(t)的短截函数； f(t)是 ξ(t)的任一实现 。
T
FP T
T
s
2)(
)( lim
由于 ξ(t)是无穷多个实现的集合,因此,
某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度 。 过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均,即
ξ(t)的平均功率 S可表示成
T
FEPEP T
T
s
2)(
)]([)( lim
dT
FEdpS T
T
2)(
2
1)(
2
1 lim
由 ξ(t)功率谱密度的定义,很难直接计算功率谱 。 确知信号的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对 。 对于平稳随机过程,也有类似的关系,即
deRP rj)()(
T
FE T 2)(
2/
2/
'2/
2/ ')'()(
1 T
T
tj
T
T
T
tj
T dtetdtetTE
2/
2/
2/
2/
)'( ')'(1 T
T
T
T
ttj dtdtettR
TE
利用二重积分换元法，则上式可化简成：
于是简记为 R(τ) Pξ(ω)。
上称为维纳 -辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域的基本关系式。
' '
2
)(1
)( T
T
jT deR
TT
FE
T
FE
p T
T
2)(
)( l i m
deR j)(
例 2-1随机相位余弦波 ξ(t)=Acos(ωct+θ),其中
A和 ωc均为常数,θ是在 (0,2π)内均匀分布的随机变量 。 求 ξ(t)的自相关函数与功率谱密度 。
解,(1) 先考察 ξ(t)是否广义平稳 。 ξ(t)的数学期望为
dtAtEta c 2 1)c o s ()]([)( 20
dttA cc )s i ns i nc o s( c o s2 20
常数）(0]s i ns i n( c o s[ c o s2 2020 dtdtA cc
ξ(t)的自相关函数为：
)]()([),( 2121 ttEttR
)]s i n ()[ s i n ( 2010 ttE
)]s i n ()[ s i n ( 000 ttE
0c o s21?
令 t1=t,t2=t+τ,
经过推导得：
deRP j)()(
因为 cosωcτ π[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)]
所以,Pξ(ω)= [δ(ω- ωc)+δ(ω+ ωc)]
2
仅与 τ有关 。 由此看出,ξ(t)是宽平稳随机过程 。 它的功率谱密度为：
定义 ——若随机过程 ξ(t)的任意 n维（ n=1,
2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其 n维正态概率密度函数表示如下：
fn(x1,x2,…,x n; t1,t2,…,t n)
§ 2.5 高斯过程
2
1
21
2
1
.,,)2(
1
Bn
)])((
2
1e x p [.
11 k
kk
j
kj
n
k
jk
n
j
axaxB
B
式中,ak=E{ξ(tk)},σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2,|B|为归一化协方差矩阵的行列式,即
B
1 b12 … b 1n
B21 1 … b 2n
Bn1 bn2 … 1
… … … …
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子,
bjk为归一化协方差函数：
jk
kkjj
jk
atatE
b
])(][)([
高斯过程的特点：
高斯过程的 n维分布完全由 n个随机变量的数学期望,方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。
如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，
而与时间起点无关，则它的 M维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。
如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对所有 j≠k，有 bjk=0，于是
=f(x1,t1)·f(x2,t2)…f(x n,tn)
这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，则它们也是统计独立的。
fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=
n
j j
jj
n
j
j
n
ax
1
2
2
1
2 2
)(
e x p
)2(
1
N
j j
jj
j
ax
1
2
2
2
)(
e x p
2
1
常用的是高斯过程的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为概率密度函数的曲线为
2
2
2
)(e x p
2
1)(
axxf
f ( x )
1
2
O
a x
特点
f(x)对称于 x=a这条直线。
,
a表示分布中心,σ表示集中程度,f(x)
图形将随着 σ的减小而变高和变窄。当
a=0,σ=1时，称 f(x)为标准正态分布的密度函数。
正态分布函数
1)( dxxf 21)()( 00 dxxfdxxf
axdzazxF x
2
2
2
)(e x p
2
1)(
这里的称为正态概率积分。 这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：
误差函数互补误差函数
x
z
dzx 2
2
e x p
2
1
x t
dtexe r f
0
22
)(
x
t dtexe r fxe r fc 22)(1)(
几种函数的关系为
)2(22)( xxe r f c
1)2(2)( xxe r f?
高斯白噪声一类特殊的高斯过程 ——高斯白噪声,它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
,它是一个理想的宽带随机过程 。 式中 n0为一常数,
单位是瓦 /赫 。 显然,白噪声的自相关函数可借助于下式求得,即
,2)( 0nP
随机过程通过以 fc为中心频率的窄带系统的输出,即是窄带过程 。 所谓窄带系统,是指其通带宽度
Δ f<<fc,且 fc远离零频率的系统 。 实际中,大多数通信系统都是窄带型的,通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的,如果这时的信号或噪声又是随机的,则称它们为窄带随机过程 。 如用示波器观察一个实现的波形,则如图 2 - 4所示,它是一个频率近似为 fc,包络和相位随机缓变的正弦波 。
§ 2.6 窄带随机 过程图 2-4 窄带过程的频谱及示意波形
－ f
c
O
S ( f )
f? f
f
c f
( a )
t
O
S ( f ) 缓慢变化的包络 [ a ( t ) ]
频率近似为 f
c
( b )
因此,窄带随机过程 ξ(t)可用下式表示,
ξ(t)=aξ(t) cos［ ωct+υξ(t)］,aξ(t)≥0 (2.6 - 1)
等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct (2.6 - 2)
其中 ξc(t)=aξ(t)cosυξ(t) (2.6 - 3)
ξs(t)=aξ(t) sinυξ(t) (2.6 - 4)
式中,aξ(t)及 υξ(t)分别是 ξ(t)的包络函数和随机相位函数,
ξc(t)及 ξs(t)分别称为 ξ(t)的同相分量和正交分量 。
由式 （ 2.6 - 1） 至 (2.6 - 4)看出,ξ(t)的统计特性可由 aξ(t),υξ(t)或 ξc(t),ξs(t)的统计特性确定 。 反之,如果已知 ξ(t)的统计特性则可确定 aξ(t),υξ(t)以及 ξc(t),ξs(t)
的统计特性 。
设窄带过程 ξ(t)是平稳高斯窄带过程,且均值为零,方差为 σ2ξ。 下面将证明它的同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)也是零均值的平稳高斯过程,而且与 ξ(t)具有相同的方差 。
1,数学期望对式 （ 2.6 - 2） 求数学期望,
E[ξ(t)]=E[ξc(t)]cosωct-E[ξs(t)]sinωct (2.6- 5)
可得
E[ξc(t)]=0 E[ξs(t)]= 0 (2.6 - 6)
2,自相关函数
Rξ(t,t+τ)=E［ ξ(t)ξ(t+τ)］
=E｛［ ξc(t)cosωct-ξs(t) sinωct］
·［ ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝
=Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-
Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-
Rξc(t,t+τ)sinωctcosωc(t+τ)
Rξs(t,t+τ)sinωctsinωc(t+τ) (2.6-7)
=Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-
Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-
Rξc(t,t+τ) sinωctcosωc(t+τ)
Rξs(t,t+τ) sinωctsinωc(t+τ)
式中
Rξc(t,t+τ)=E［ ξc(t)ξc(t+τ)］
Rξcξs(t,t+τ)=E［ ξc(t)ξs(t+τ)］
Rξsξc(t,t+τ)=E［ ξs(t)ξc(t+τ)］
Rξs(t,t+τ)=E［ ξs(t)ξs(t+τ)］
ξ(t)是平稳的,故有 Rξ(t,t+τ)=Rξ (τ)
这就要求式 （ 2.6 - 7） 的右边也应该与 t无关,而仅与时间间隔 τ有关 。 若取使 sinωct=0 的所有 t值,则式 （ 2.6 - 7） 应变为
Rξ(τ)=[Rξc(t,t+τ)]cosωcτ-
[Rξcξs(t,t+τ)]sinωcτ (2.6 - 8)
这时,显然应有
Rξc(t,t+τ)=Rξc(τ)
Rξcξs(t,t+τ)=Rξcξs(τ)
所以，式（ 2.6 - 8
Rξ(τ)=Rξc(τ)cosωcτ-
Rξcξs(τ) sinωcτ (2.6 - 9)
再取使 cosωct=0的所有 t
Rξ(τ)=Rξs(τ)cosωcτ+
Rξsξc(τ)sinωcτ (2.6 -10）
由以上的数学期望和自相关函数分析可知,如果窄带过程 ξ(t)是平稳的,则 ξc(t)与 ξs(t)也必将是平稳的 。
进一步分析,式 （ 2.6 - 9） 和式 （ 2.6 - 10） 应同时成立,
故有 Rξc(τ)=Rξs(τ) (2.6 - 11)
Rξcξs(τ)=－ Rξsξc(τ) (2.6 - 12)
可见,同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)具有相同的自相关函数,而且根据互相关函数的性质,应有
Rξcξs(τ)=Rξsξc(-τ)
将上式代入式 （ 2.6 - 12）,可得
Rξsξc(τ)=-Rξsξc(-τ) (2.6- 13)
同理可推得
Rξcξs(τ)=-Rξcξs(-τ) (2.5 - 14)
式 （ 2.6 - 13）,（ 2.6- 14） 说明,ξc(t),ξs(t)的互相关函数 Rξsξc(τ),Rξcξs(τ)都是 τ的奇函数,在 τ=0时
Rξsξc(0)=Rξcξs(0)=0 (2.6 - 15)
于是,由式（ 2.6 - 9）及式（ 2.6 - 10）得到
Rξ(0)=Rξc(0)=Rξs(0) (2.6 - 16)
即 σ2ξ=σ2ξc=σ2ξs (2.6 - 17)
这表明 ξ(t),ξc(t)和 ξs(t)具有相同的平均功率或方差 （ 因为均值为 0） 。
另外,因为 ξ(t)是平稳的,所以 ξ(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量,故在式 （ 2.6 - 2）
中有当 t=t1=0 时,ξ(t1)=ξc(t1)
当 t=t2=π/2ωc时,ξ(t2)=-ξs(t2)
所以 ξc(t1),ξs(t2)也是高斯随机变量,从而 ξc(t)、
ξs(t)也是高斯随机过程 。 又根据式 （ 2.6- 15） 可知,
ξc(t),ξs(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量,因而它们还是统计独立的 。
综上所述,我们得到一个重要结论,一个均值为零的窄带平稳高斯过程 ξ(t),它的同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)也是平稳高斯过程,而且均值都为零,
方差也相同 。 此外,在同一时刻上得到的 ξc和 ξs是互不相关的或统计独立的 。
由上面的分析可知,ξc和 ξs的联合概率密度函数为
)
2
e x p (
2
1),(
2
22
2
cscsf
设 aξ,υξ的联合概率密度函数为 f(aξ,υξ),则利用概率论知识,有
),(
),(
),(),(
a
faf cssc
根据式 （ 2.6 - 3） 和式 （ 2.6 - 4） 的关系
ξc=aξcosυξ ξs=aξsinυξ
(2.6-18）
得到于是
]
2
e x p [
2
]
2
)s in()c o s(
e x p [
2
),(),(
2
2
2
2
22
2
aa
aaa
faaf
cs
a
aa
aa
sc
c
s
c
c
a
sc?
c o ss in
s inc o s
),(
),(
(2.6-19）
注意,这里 aξ≥0,而 在 (0,2π)内取值,再利用概率论中边际分布知识可分别求得
d
aa
dafaf ]
2
e x p [
2
),()(
2
0 22
)()(faf 及
0]
2
e x p [ 2
2
2
a
aa
可见 aξ服从瑞利分布；而
])
2
e x p ([
2
1
),()(
0 22?
da
aa
daaff
(2.6-20）
上式方括号中的积分值为 1(根据瑞利分布的性质 )，故
20
2
1)(＝f
(2.6-21）
可见,υξ服从均匀分布 。
综上所述,我们又得到一个重要结论：一个均值为零,方差为 σ2ξ的窄带平稳高斯过程 ξ(t),其包络 aξ(t)的一维分布是瑞利分布,相位 υξ(t)的一维分布是均匀分布,并且就一维分布而言,aξ(t)与
υξ(t)是统计独立的,即有下式成立：
f(aξ,υξ)=f(aξ)·f(υξ)
信号在信道中传输时,常会遇到这样一类噪声,
它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内,即
Pξ(ω)= (2.6 - 22)
这种噪声被称为白噪声,它是一个理想的宽带随机过程 。 式中 n0为一常数,单位是瓦 /赫 。 显然,
白噪声的自相关函数可借助于式 (2.4-10)求得,即
2
0n
R(τ)=
)(20n
这说明,白噪声只有在 τ=0时才相关,而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的 。 图 2 - 5
画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形 。
如果白噪声被限制在 (-f0,f0)之内,即在该频率区上有 Pξ(ω)= n0/2,而在该区间之外 Pξ(ω)= 0,则这样的白噪声被称为带限白噪声 。 带限白噪声的自相关函数为
0
0
00
20 s in
2
)( 0
0
nfdfenR fj
f
f
(2.6-24)
00 2 f ＝
式中,由此看到，带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的自相关函数与功率谱密度如图 2-5(b)所示。
),3,2,1(2/ 0kfk＝?
2.7正弦波加窄带高斯过程现在我们来求正弦波加窄带高斯噪声的包络及相应的概率密度函数 。 在这种情况下,被考察的混合信号形式为
ty ( t ) ] s i nωs i n[tx ( t ) ] c o sω[ A c o sθ
ty ( t ) s i n ωt[ x ( t ) c o sωθ)tA c o s (ω
n ( t )θ)tA c o s (ωr ( t )
cc
ccc
c
A(2.7-1)
式中,为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的 θ在 (0,2π )上均匀分布
，且假定振幅 A和频率已知。显然，信号 r(t)的包络函数为
ty ( t ) s i nωtωco s)()( cc txtn
1 / 222 }y ( t ) ]s i n[Ax ( t ) ]A c o s θc{[z ( t )
则有令 ),(s i n)(),(c o s)( tyAtztxAtz sc
)()()( 22 tztztz sc
利用上一节的结果，如果 θ值已给定，则 zc及 zs都是相互独立的随机变量，故有
E［ zc］ =Acosθ
E［ zs］ =Asinθ
的方差)(2 tnDzDz sc
所以,在给定相位 θ的条件下的 zc和 zs的联合概
f(zc,zs/θ)=
])s in()c o s[(
2
1e x p
2
1 22
22 AzAz sc
因为式 （ 2.7-1)可以改写成 r(t)=zcos(ωct+υ)的形式,所以其包络随机变量为
022 zzzz sc
而其相位随机变量为
20a r c t a n
c
s
z
z
s i nc o s zzzz sc于是
)]c o s (2[e x p
2
22
2
1
2 2 AzAz
z
所以，以相位 θ为条件的 z和 υ的联合概率密度函数为
zzzfzz z
z
z
z
zzfzf sc
sc
sc
sc )/,()/,()/,(?
而以相位 θ为条件的包络 z的概率密度为
dzfzf )/,()/( 20
202 e x p2 z dAzAz )]c o s (2[ 222 1 2
dAzAzz )]c o s (e x p [)2e x p (2 2
0 22
22
2?
由于
)(]c o se x p [2 1 02
0
xIdx
故有
)(2)]c o s (e x p [ 202
0 2?
AzIdAz
n
（ 2.7-2)
式中,I0(x)为零阶修正贝塞尔函数 。 当 x≥0时,
I0(x)是单调上升函数,且有 I0(0)=1。 因此
f(z/θ)=
由上式可见,f(z/θ)与 θ无关,故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为
)()](2 1e x p [ 202222 AzIAzz
0)()](2 1e x p [)( 202222 zAzIAzzzf
这个概率密度函数称为广义瑞利分布,也称莱斯
（ Rice ） 密度函数 。 如果 A＝ 0,则上式便是式
（ 2.6-20）,即为瑞利公式,这是预料的结果 。
(2.7-3)
现在来求 f(υ/θ),它可由下式得到,
dzAzz
Adzzfzf
}2/)]c o s ([e x p {
)](s in)2/(e x p [)2/1()/,()/(
22
0
0
2222
]}
2
)c o s (
[1)]{(s i n
2
e x p [
)2(2
)c o s (
2
)2/e x p (
)/(
2/1
2
2
2
2/1
22
A
e r f
A
AA
zf
上式经积分和整理后得到
(2.7-4)
dzexe r f x z 0 2)/2()(?式中因为 f(υ,θ)=f(υ/θ)f(θ),所以正弦波加窄带高斯过程得相位概率密度函数 f(υ)为
dffdff )()/()/()( 2020
这个积分比较复杂，这里就不再演算了。
图 2-6绘出了在几个特定的 下的 f(z)曲线及 f(υ/θ)曲线。
22 2/?A
(2.7-5)
图 2 – 6 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布
n
f ( z )
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
r ＝ 0
n
A z
( a )
－0
r ＝ 0
f ( )
( b )
0
r ＞ ＞ 1
r ＞ ＞ 1
－?
2.8随机过程通过线性系统通信的目的在于传输信号,通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统 （ 或网络 ） 后,
输出过程将是什么样的过程？ 这里,我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况 。 随机信号通过线性系统的分析,完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的 。 我们知道,线性系统的响应
vo(t)等于输入信号 vi(t)与系统的单位冲激响应 h(t)的卷积,即
vo(t)=vi(t)*h(t)=
dthv i )()(
(2.8-1)
若 vo(t)? Vo(ω),vi(t)?V i(ω),h(t)?H(ω),则有
Vo(ω)=H(ω)Vi(ω) (2.8 - 2)
若线性系统是物理可实现的,则
vo(t)=
dthvt i )()(
或
dtvhtv i )()()( 00
如果把 vi(t)看作是输入随机过程的一个样本,则
vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本 。 显然,输入过程 ξi(t)的每个样本与输出过程 ξo(t)的相应样本之间都满足下式
(2.8 - 3)
ξo(t)= (2.8 - 4)
假定输入 ξi(t)是平稳随机过程,现在来分析系统的输出过程 ξo(t)的统计特性 。 我们先确定输出过程的数学期望,自相关函数及功率谱密度,然后讨论输出过程的概率分布问题 。
1,输出过程 ξo(t)的数学期望根据式 （ 2.2 - 3） 的定义,有
dth i )()(0
000 )]([)(])()([)([ dtEhdthEtE ii
dtthtE i )()]([ 00 (2.8-5)
0 )()( dtethH tj
因为由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与 H(0)的乘积,且 E[ξo(t)]与 t无关 。
再利用了平稳性假设 E[ξi(t-τ)]=E[ξi(t)]=μi(常数 )故上式为求得
0 )()0( dtthH
所以
)0()]([ 0 HtE i
(2.8-6)
2,输出过程 ξo(t)的自相关函数根据自相关函数的定义，则有
＝)]()([),( 1010110 ttEttR
ddttEhh
dthdthE
ii
ii
)()([)()(
)()()()(
11
0 0
1
00
1
根据平稳性
0 00110
11
)()()()(),(
)()]()([
RddRhahttR
RttE
i
iii 于是
(2.8-7)
可见,ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔 τ而与时间起点 t1无关 。 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明,若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平稳的 。
3,输出过程 ξo(t)的功率谱密度对式 （ 2.4 - 9） 进行傅里叶变换,有
deRP j )()( 00
deRhahdad ji ])()()([0 0
令 则有
deRdehdeahP jijaj '000 )()()()(
)()()()()( 2 iPHPHH i
(2.8-8)
[例 2.8.1] 试求功率谱密度为 n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度,自相关函数和噪声平均功率 。
理想低通的传输特性为
其他,0
,)( 0 Htj deKH
HKH,)( 20
2可见根据式 (2.8-8)输出功率谱密度为
H
nKPHP
i
,2)()()( 0202
0
而自相关函数 R(τ )为
)/( s in
)4/)(
2
1
)(
0
2
0
0
2
00 0
HHH
jj
fnK
denKdePR
H
H
（
2
H
Hf?其中
HfnkRN 0200 )0(?
于是,输出噪声功率 N即为 R0(0),即
dth i )()(
00
总可以确定输出过程的分布 。 其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的,则系统的输出过程也是高斯型的 。
因为从积分原理来看,上式可表示为一个和式的极限,
即
kkk
kr
htt
k
)()(lim)(
0
100
4,输出过程 ξo(t)的概率分布从原理上看,在已知输入过程分布的情况下,
通过式 （ 2.8 - 4）,即
(2.8-9)
由于 ξi(t)已假设是高斯型的,所以,在任一时刻的每项 ξi(t-τk)h(τk)Δτk都是一个高斯随机变量 。 因此,
输出过程在任一时刻得到的每一随机变量,都是无限多个高斯随机变量之和 。 由概率论得知,这个
,和,的随机变量也是高斯随机变量 。 这就证明,
高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程 。
更一般地说,高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程 。 但要注意,由于线性系统的介入,与输入高斯过程相比,输出过程的数字特征已经改变了 。
