第 9章 差错控制编码
§ 9.1引 言
§ 9.2 纠错编码的基本原理
§ 9.3 常用的简单编码
§ 9.4 线性分组码
§ 9.5循环码
§ 9.6卷积码
§ 9.7网格编码调制返回主目录
§ 9.1 引言设计数字通信系统时，应首先合理选择调制、解调方法及发送功率。若不满足要求，
则考虑差错控制。
从差错控制角度看,信道可以分为三类：
即随机信道,突发信道和混合信道 。
随机信道 ——在随机信道中,错码的出现是随机的,且错码之间是统计独立的 。
突发信道 ——错码是成串集中出现的 。
混合信道 ——存在随机和突发两种错码 。
常用的差错控制方法有以下几种：
检错重发法 ——接收端在收到的信码中检测出 (发现 )错码时,即设法通知发送端重发,
直到正确收到为止 。
前向纠错法 ——接收端不仅能发现错码,还能够确定错码的位置,能够纠正它 。
反馈校验法 ——接收端将收到的信码原封不动地转发回发送端与原信码比较 。 若发现错误则发端重发 。
三种差错控制方法可以结合使用 。
接收端根据什么来识别有无错码 ——由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监督码元 。 这些监督码和信码之间有确定的关系,使接收端可以利用这种关系由信道译码器来发现或纠正可能存在的错码 。
在信息码元序列中加入监督码元就称为差错控制编码,有时也称为纠错编码 。
差错控制编码原则上是以降低信息传输速率为代价来换取传输可靠性的提高 。
ARQ系统组成信源编码器和缓冲存储重发控制双向信道译码器指令产生缓冲存储 收信者
ARQ优点：冗余码元少,对信道有自适应能力,成本和复杂性低；
ARQ缺点：需要反向信道,重发控制较复杂,干扰大通信效率低,实时性差 。
例,3位二进制数字构成的码组,共有 8种不同的组合 。 若将其全部利用来表示天气,
则可以表示 8种不同的天气 。
000(晴 ),001(多云 ),010(阴 ),011(雨 )，
100(雪 ),101(霜 ),110(雾 ),111(雹 )。
任一码组在传输中若发生一个或多个措码,则将变成另一信息码组 。 这时接收端将无法发现错误 。
§ 9,2 纠错编码的基本原理若：
000=晴
001 =不可用
010 =不可用
011=云
100 =不可用
101=阴
110=雨
111 =不可用则：
虽然只能传送 4种不同的天气,但是接收消却有可能发现码组中的一个错码 。
例如,若 000(晴 )中错了一位,则接收码组将变成 100或
010或 001,这三种码组都是不准许使用的,称为禁用码组,故接收端在收到禁用码组时,就认为发现了错码 。
但是这种码不能发现两个措码，因为发生两个错码后产生的是许用码组。
上述码只能检测错误，不能纠正错误。例如，当收到的码组为禁用码组 100时，无法判断是哪一位码发生了错误．因为晴、阴、
雨三者错了一位都可以变成 100。
要想能纠正错误，还要增加多余度。例如，
苦规定许用码组只有两个,000(晴 )、
111(雨 )、其余都是禁用码组。这时，接收场能检测两个以下错码，或能纠正一个错码。
分组码的一般概念。
为了传输 4种不同的信息，用两位二进制码组就够了，它们是,00,01,10,11。
代表所传信息的这些两位码，称为信息位。前面使用 3位码，多出的一位称为监督位。
信息码分组，每组信码附加若干监督码的编码集合，称为分组码。
例如分组码的结构符号 (n,k)表示分组码
k——信息码元数
n——码组长度 (码长 )
n-k——监督码元数
an-1 an-2 ar ………… ar-1 a0
k位信息位 r位监督位
n=k+r
时间码重、码距与码的纠检错能力码重 ——“1”的数量称为码组的重量码距 ——两个码组对应位上数字不同的位数称为码组的距离，简称码距。又称汉明 (Hamming)距离。
最小码距 ——某种编码中各个码组间距离的最小值称为最小码距 (d0)。
若记,d0 ——最小码距；
e——检错位数；
t——纠错位数；
则有：
（ 1） e+1≤ d0，即码的检错能力 e比 最小码距 d0小 1位；
（ 2） 2t+1 ≤ d0,即码的纠错能力 t的 2倍比 最小码距 d0小 1位；
（ 3） e+t+1 ≤ d0,即若码同时纠 t个错并检出 e个错误，则 e+t比 最小码距 d0小 1
位。
以下说明：
（ 1） e+1≤ d0
（ 2） 2t+1≤ d0
（ 3） t+e+1≤ d0
差错控制编码的效用假设,发送,0”的错误概率和发送,1”的错误概率相等，都等于 P，且 P<<1，则在码长为 n的码组中恰好发生 r个错码的概率为
rrnrr
nn prnr
npprP
C )!(!
!)1()(
例如，当码长 n＝ 7时,p=10-3则有
P7(1) ≈ 7p= 7× 10-3 ； P7(2) ≈ 21p2=2.1× 10-5 ；
P7(3) ≈ 35p3=3.5× 10-8。
可见，采用差错控制编码，即使仅能纠正 (或检测 )这种码组中 1—2个错误，也可以使误码率下降几个数量级。这就表明，即使是较简单的差错控制编码也具有较大实际应用价值。
§ 9,3 常用的简单编码
1．奇偶监督码 ——奇偶监督码包括奇数监督码和偶数监督码。只有一位监督位。
在偶监督码中，监督位使码组中,l”的个数为偶数，即满足下式条件在奇监督码中，监督位使码组中,l”的个数为奇数，即满足下式条件
0021 aaa nn?
1021 aaa nn?
2．二维奇偶监督码 ——又称方阵码。每一行是奇偶监督码的一个码组，若干码组再按列排列成矩阵，每列增加一位监督位。
二维奇偶监督码特点：
可检测偶数个错误
适于检测突发错码。
不仅可检错，还可纠一些错。
检错能力强。
3．恒比码 ——每个码组均含有相同数目的,1”(和,0”)。
应用：电传机传输汉字，每个汉字用 4位阿拉伯数字表示。每个阿拉伯数字又用 5
位二进制符号构成的码组表示。每个码组的长度为 5位，其中恒有 3个 1，称为 5
中取 3恒比码。可能编成的不同码组数等于从 5中取 3组合数＝ 30。 30种许用码组恰好可用来表示 10个阿拉伯数字。
4．正反码 ——一种简单的能够纠正错码的编码。其中的监督位数与信息位数相同，监督码元与信息码元相同 (是信息码的重复 )或者相反 (是信息码的反码 )。 由信息码中,1”的个数而定。
解码方法：先将接收码组中信息位和监督值按位模 2相加，产生校验码组。最后，
观察校验码组中,1”的个数，按表 9—3
进行判决及纠正可能发现的错码。
§ 9,4 线性分组码从上节介绍的一些简单编码可以看出，每种编码所依据的原理各不相同，而且是大不相同，其中奇偶监督码的编码原理利用了代数关系式。我们把这类建立在代数学基础上的编码称为代数码。在代数码中，常见的是线性码。线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的，或者说，线性码是按一组线性方程构成的。本节将以汉明 (Hamming)
码为例引入线性分组码的一般原理。
回顾奇偶监督码在接收端解码时，实际上就是在计算若 S＝ 0，认为无错；若 S＝ 1，认为有错。
上式称为监督关系式,S称为校正子。 S
只有两种取值，只能代表有、无错两种信息，不能指出错码位置。如果监督位增加一位，则增加一个监督关系式。由于两个校正子的可能值有 4种组合,00，
01,10,11，故能表示 4种不同状态。
0021 aaa nn?
021 aaaS nn
若用其一种表示无错，则其余 3种就可能用来指示一位错码的 3种不同位置。同理 r
个监督关系式能指示一位错码的 (2r-1)个可能位置。 一般地，若码长为 n，信息位数为 k，则监督位数 r=n-k。如果希望用
r个监督位构造出 r个监督关系式来指示一位错码的 n种可能位置，则要求
2r-1≥ n，或者 2r≥ r+k+1
举例说明如何构造监督关系式：
设 (n,k)分组码中 r=4。为了纠正一位错码，要求监督拉数 r≥3。若取 r=3，则
n=k+r=7。校正子与错码位置的对应关系如表 9—4规定 (也可以另外规定 ) 。
S1S2S3 错码位置 S1S2S3 错码位置
001 A0 101 A4
010 A1 110 A5
100 A2 111 A6
011 A3 000 无错由表可见，当一错码在 a2,a4,a5或 a6时校正子 S为 1；否则 S为 0即构成如下关系同理
24561 aaaaS
13562 aaaaS
03463 aaaaS
在发送端编码时，信息位 a6a5a4a3的值决定于稳入信号，因此它们是随机的。监督值 a2a1ao应根据信息位的取值按监督关系来确定．即监督位应使上三式中的值为零 (表示编成的码组中应无错码 )，由此得到方程组
01356 aaaa
00346 aaaa
02456 aaaa
由此解出
3561 aaaa
3460 aaaa
4562 aaaa
给定信息位后，可直接按上式算出监督位，其结果如表 9—5所列。
信息位 监督位 信息位 监督位
a6a5a4a3 a2a1a0 a6a5a4a3 a2a1a0
0000 000 1000 111
0001 011 1001 100
0010 101 1010 010
0011 110 1011 001
0100 110 1100 001
0101 101 1101 010
0110 011 1110 100
0111 000 1111 111
接收端收到每个码组后，先按监督方程计算出 S1,S2,S3,再按表 9—4判断错码情况。例，接收 0000011，可得：
S1S2S3=011 。由表 9—4可知在 a3位有错码。
(7,4)汉明码：
最小码距 d0=3
纠一个错码或检测两个错码。
编码效率 k/n=(2r-1-r)／ (2r-1)=I-r／ n。
当 n很大时，则编码效率接近 1。
线性分组码的 —般原理。线性分组码是指信息位和监督位满足一组线性方程的编码。
改写为
01356 aaaa
00346 aaaa
02456 aaaa
01356 aaaa
00010111 0123456 aaaaaaa
00101011 0123456 aaaaaaa
01001101 0123456 aaaaaaa
0
0
0
1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 0
0
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
a
(模 2)
简记为 或
TTHA 0? 0?TAH
1011001
1101010
1110100
H
称为监督矩阵
IrPH?
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
H矩阵的各个行是线性无关的行数 =监督位数，列数 =码字长度典型阵
3561 aaaa
3460 aaaa
4562 aaaa
34562 0111 aaaaa
34561 1011 aaaaa
34560 1101 aaaaa
3
4
5
6
0
1
2
1011
1101
1110
a
a
a
a
a
a
a
Qaaaaaaaaaaa
34563456012
011
101
110
111
转置得
Gaaaa
aaaaaaaaaaa
3456
34560123456
011
101
110
111
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
QIG
k
nk
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
称为生成矩阵
GaaaaA 3456?
生成矩阵 G的每一行都是一个码组。
例如，（参照前页矩阵 G）。
利用生成矩阵，码字
TTHA 0?
再由 得，
0 TTT MHGMGH
MG?
0?THG
译码,若发送码组为接收码组为二者之差为其中 E称为错误图样。
021,,,aaaA nn
021,,,bbbB nn
021,,,eeeABE nn
ii
ii
i ba
ba
e
,1
,0
表示该位接收码元无错；
表示该位接收码元有错。
接收端译码时计算当接收码组无错时,S等于零有错但不超过检错能力时,S不等于零。
在错码超过检错能力时,B变为另一许用码组，仍能成立 S等于零。这样的错码是不可检测的。
S称为校正子 (伴随式 ) 。 S只与 E有关，
而与 A无关，意味着 S与 E有的线性变换关系，能与 E一一对应，可指示错码位置。
SEHEHAH
HEABH
TTT
TT
)(
线性码重要性质之一，是它具有封闭性。
若,A1和 A2是线性码中的两个许用码组，
则,(A1+A2)仍为其中的一个码组。
由封闭性，两个码组之间的距离必是另一码组的重量。故码的最小距离即是码的最小重量 (除全,0”码组外 )。
线性码又称群码，这是由于线性码的各许用码组构成代数学中的群。
§ 9,5 循环码
9,5,1 循环码原理：
在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码。循环码除了具有线性码的一般性质外．还具有循环性，即任一码组循环一位 (将最右端的码元移至左端，或反之 )以后，仍为该码中的一个码组。即若是许用码组，则也是许用码组。
021,,,aaaA nn
102,,,' nn aaaA?
循环码举例 ——(7,3)循环码码组 信息位 监督位 码组 信息位 监督位编号 a6a5a4 a3a2a1a0 编号 a6a5a4 a3a2a1a0
0 000 0000 4 100 1011
1 001 0111 5 101 1100
2 010 1000 6 110 0101
3 011 1001 7 111 0010
码组的多项式表示 ——码多项式。
例如 A=1100101
A(x)=1x6+1x5+0x4+0x3+1x2+0x1+1x0
=x6+x5+x2+1
码 多项式表示具有线性的性质
021,,,aaaA nn
0
1
1
2
2
1
1)( axaxaxaxA
n
n
n
n
码多项式的按模运算循环移位对应的码多项式如果规定 xn=x0，即规定 xn+1=0，则有
021,,,aaaA nn
102,,,' nn aaaA?
1102312)(' nnnnn axaxaxaxA?
)()(' xAxxA
这种 xn+1=0的规定，实质上是一 xn+1为模的运算。对于整数 m,若可以表示为则称 m=p(模 n),或称 m与 p是同余的。
码多项式也有类似的运算。多项式 F(x)被
n次多项式 N(x)除，得到商式 q(x)和一个次数小于 n的余式 R(x)，即
F(x)＝ q(x)N(x)+R(x)
则写为 F(x)＝ R(x) ( 模 N(x) )
n
pQ
n
m
码多项式系数仍按模 2运算，即只取值 0
和 1。例如于是，可以有由此可见为了使 xn=1，只需做模 xn+1的运算即可。
例如,x4+x2+1=x2+x+1 模 x3+1
1
11
1
11
1 33
3
3
3
xx
x
x
x
)1( m o d1 33 xx
由前面的分析可知，若 T(x)是码多项式，
则在模 xn+1的运算条件下,xiT(x)仍然是码多项式。
2．循环码的生成矩阵 G
若能找到 k个线性无关的码组,就能构成矩阵 G。在循环码中，一个 (n,k)码有
2k个不同码组，若用 g(x)表示其中前 (k-1)
位皆为 0的码组，即
g(x)=0 … 1x … x
k位 n-k位则 g(x),xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x)都是码组，而且这 k个码组是线性无关的。因此可以用来构成循环码的生成矩阵 G。
例 表 9—6的循环码,唯一的一个 (n-k)次码多项式代表的码组是 0010111，相对应的码多项式为
)(
)(
)(
)(
2
1
xg
xxg
xgx
xgx
G
k
k
一旦确定了 g(x)，则整个 (n,k)循环码就被确定了。因此,循环码的生成矩阵 G可以写成这个生成矩阵不是系统码的生成矩阵，可以通过行变换，变换成系统码的生成矩阵。
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 1 0 0
)(
)(
)(
2
xg
xxg
xgx
G
g(x)＝ x4+x2+x+1
将此 g(x)代入上式，得到
g(x)的性质：
g(x)必须是一个常数项 a0=1；
次数为 (n-k)次；
唯一的 (n-k)次多项式；
我们称这唯一的 g(x)为码的生成多项式。
g(x)是 xn+1的因式（见后面分析）。
说明 g(x)是 xn+1的因式。
因为任码多项式 T(x)都是 g(x)的倍式，所以有
T(x)=h(x)g(x)
g(x)本身也是一个码组，其次数为 n-k次。把它循环移位 k次仍为一个码组。所以 xkg(x)
是 n次多项式，在模 xn+1 运算下，所以即
)1(m o d),()( nk xxTxgx
1
)()(
1
)(
nn
k
x
xTxQ
x
xgx
因为 xkg(x)是 n次的，所以 Q(x)=1 。所以所以即 g(x)是 xn+1的因式。 这样就可以通过对
xn+1的因式分解得到 g(x).
1
)()(1
1
)(1
1
)(
nnn
k
x
xgxh
x
xT
x
xgx
1)())(( nk xxgxhx
因为所有码多项式 T(x)都可被 g(x)整除。所以非系统码编码,T(x)=m(x)g(x)
系统码编码：
用 xn-k乘 m(x)，即把 m(x)左移 n-k位；
用 xn-k除以 g(x)，得余式 r(x)；
T(x) =xn-km(x)+ r(x)
9.5.2 循环码的编、解码方法例：信息码 110，
信息码多项式 m(x)=x2+x
生成多项式 g(x)=x4+x2+x+1
即于是，编出码字 1100000+101=1100101
硬件实现 ——固定除式的多项式除法
a b c d ○
○
○
信息码元输入 移存器 反馈 输出
m abcd d f
0 0000 0
1 1110 1 1
1 1001 1 1
0 1010 1 0
0 0101 0 0
0 0010 1 1
0 0001 0 0
0 0000 1 1
校验码元
2．循环码的解码方法 ——检错解码的要求有两个：检错和纠错。
——码多项式 T(x)应能被生成多项式 g(x)整除。
若接收码组与发送码组相同，即 R(x)=T(x)，
则接收码组 R(x)必定能被 g(x)整除；
若码组在传输中发生错误，则 R(x)除以 g(x)
时可能有余项，即有
R(x)/g(x)=Q(x)+r(x)/g(x)
检错电路见图 9-7(a)
接收码组缓冲移位寄存器除法电路反相与门重发指令输出信息码余式等于 1 时输出 1
余式等于 0 时输出 0
2．循环码的解码方法 ——纠错前提：每个可纠正的错误图样必须与伴随式一一对应。
步骤：
由接收多项式除以生成多项式得到余式
r(x)；
通过余式 r(x)与错误图样的关系得到错误图样 e(x)；
从接收多项式中减去错误图样村 e(x)。
电路如下：
图 9-7(b)
假定接收码组为 10*O0101，
其中右上角打 *
号者为错码。
此码组进入除法电路后，移位寄存器各级的状态变化过程列于表 9—
7(b)。 (见演示 )
输入 移存器 输出
f abcd e
0 0000 0
1 1110 0
0* 0111 0
0 1101 0
0 1000 0
1 1010 0
0 0101 0
1 0010 0
0 0001 1
0 0000 0
9.5.3 缩短循环码通过缩短循环码，可以满足系统设计中，
码长、信息位和纠错能力的不同要求。
对于 (n,k)循环码，使前 i(0<i<k)个信息位为零可得到有 2k-i个码组的集合，然后从这些码组中删去这 i个零信息位，得到一种新的
(r-i,k-i)的线性码，称为缩短循环码。
缩短循环码与产生该码的原循环码至少具有相同的纠错能力。
缩短循环码的编码和译码可用原循环码使用的电路完成。
例：若要求构造一个能够纠正一位错误的 (13,9)码，则可以由 (15,11)汉明码选出前面两个信息位均为零的码组。然后在发送时，这两个零信息不发送，即发送的是 (13,9)缩短循环码。
因校验位数相同,(13,9)码与 (15,11)
循环码具有相同的纠错能力。
9.5.4 BCH码
BCH码是一类纠正多个随机错误的特殊的循环码。特点是可以根据给定的纠错能力，
找出生成多项式。 BCH码分两类：本原
BCH码和非本原 BCH码。
本原 BCH码的码长为 n=2m-1(M ≥3)，生成多项式 g(x)中含有最高次数为 m次的本原多项式；非本原 BCH码的码长 n是 2m-1的一个因子，它的生成多项式中不含有最高次数为 m的本原多项式。
对于正整数 m(M≥3)和 t(t ≥2)必存在有下列参数的二进制 BCH码：码长 n=2m-1，
监督位数 r≤mt，能纠正所有的小于或等于 t个随机错误的 BCH码。
BCH码生成多项式
g(x)=LCM[m1(x),m2(x),…,m2t-1(x)]
式中 t——可纠正的错误个数；
mi(x)——最小多项式 ;
LCM( )——指取括号内所有多项式的最小公倍式,
查表法得到生成多项式，用八进制数表示。
例如当
n=7,k=4,t=1
g=(13)8
意指
g=(001011)2
g(x)=x3+x+1
n=3
k t g(x)
1 1 7
n=7
k t g(x)
4 1 13
1 3 77
表 9—8（部分）
R-S码是一类具有很强纠措能力的多进制
BCH码。
伽罗华域 (即有限域 ),对于有限个符号，
若符号的数目是一素数的幂，可以定义有加法和乘法，则构成符号域为有限域；
若它是 2m个符号的域．则称之为伽罗华域 GF(2m),
例如，两个符号 0,1，定义有模 2加法和模 2乘法，即 0+0=0,0+1=1,1+1=0；
0·0=0,0·1=1,1·1＝ 1，则称之为二元域，也是伽罗华域。
9.5.5 里德 -索罗门码（ R-S码）
从两个符号 0和 1及一个 m次多项式
p(x)开始，并引入一个新符号 α,设
p(α)=0。若适当地选择 p(x)．就可得到 α的各次幂，一直到 2m-2次幂，都不相同，并且 αm-1 =1。这样一来，
构成 GF(2m)的所有元素。域中 每 个非零元素还可以用上面元素的和来表示。例如,m=4和 p(x)=x4+x+1，则
2242,,,,,1,0?m
得到 GF(24)的所有元素，详见表 9--10。
0
1
α
α2
α3
α4= α+1
α5= α(α+1)=α2+α
α6=α(α2+α)= α3+α2
α7=α(α3+ α2)= α3+α2 = α3+α+1
α8=α(α3+α+1)= α4+α2 +1=α2 +1
α9=α(α2 +1)= α3+α
α10=α(α3+α)= α2 +α+1
α11=α(α2 +α+1)= α3+ α2 +α
α12= α(α3+ α2 +α)= α3+ α2 +α+1
α13= α(α3+ α2 +α+1)= α3+ α2+1
α14=α(α3+ α2+1)= α3 +1
R-S码是 q进制 BCH码的子类。具有如下的参数：
码长,n=q-1符号监督位数,r=2t符号纠错位数,t 符号生成多项式：
每个码元都是 q进制的，通常令 q=2m，则每个 q进制码元都可以表示为 m位二进制码元，于是码长 mn位，监督位数 mr位，
信息位数,mn- mr位。
)())(()( 22 txxxxg
R-S码应用：
由于采用多进制，所以对于多进制调制是自然和方便的编码手段 ;
因为 RS码能够纠正 t个 q位二进制码，即对以纠 t个连续的突发性二进制错误,所以适合衰落信道应用 ;
RS码可应用在计算机存储系统中．以克服系统的差错。
卷积编码则把 k比特信息段编成 n比特的码组，但所编的 n长码组不仅同当前的 k
比特信息段有关联，而且还同前面的 (N-
1)个信息段有关联，人们常称这 N为该卷积码的约束长度。
一般来说，对于卷积码,k和 n是较小的整数,常把卷积码记作 (n,k,N)卷积码，它的编码效率为 R=k/n。
§ 9,6 卷积码
9,6,1 卷积码的图形描述
(3,1,3)卷积码编码器编码器的输入和输出树状图状态图状态图网格图网格图特点：
有 2N-1种状态；
对于 k个输入信息比特，相应出现有 2k条支路；
码树中的上支路用实线表示，下支路用虚线表示：
支路上标注的码元为输出比特；
从第 N个节点开始，图形开始重复，且完全相同。
例 9--1 (3,1,3)编码器，起始状态为 a，输入序列为 1101011，求输出序列和相应状态变化路径。
解：由卷积码的网格图，可找出编码时网格图中的编码路径如图 9—13所示，由此即可得到输出序列。为
9.6.2 卷积码的解析描述
1．生成矩阵卷积码是一种线性码。一个线性码完全由一个监督矩阵 H或生成矩阵 G所确定。
生成矩阵 G
输入第一个信息比特 m1时,y1,1=m1；
y21=m1 ； y31=m1。
输入第二个信息比特 m2时,y1,2=m2；
y22=m2 ； y32= m1 + m2。
输入第 j个信息比特 mj时，
y1j=mj；
y2j=mj +mj-2 ；
y3j= mj +mj-1+mj-2
上式可写成矩阵形式
[mj +mj-1+mj-2] A = [y1j y2j y3j]
其中生成矩阵为在过渡时刻
[m1 0 0] T1 = [y11 y21 y31]
[m1 m2 0] T2 = [y12 y22 y32]
其中
111
100
110
A
000
000
111
1T
输出矩阵与输入矩阵的关系有
Y=MG
000
111
100
2T
A
A
A
ATT
G 0
00
000
21
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1
上面矩阵空白处均为 0元素。该生成矩阵是半无限矩阵。
2,多项式描述例如：输入序列 1101110 … 可表示为
m(x)=1+x+x3+x4+x5+…
连接关系表示为
g1(x)=1
g2(x)= 1+x2
g3(x)= 1+x+x2
编码输出为
y1(x)=m(x)g1(x)= 1+x+x3+x4+x5+…
y2(x)=m(x)g2(x)=(1+x+x3+x4+x5+… )(1+x2)
=1+x+x3+x4+x5+…
+x2+x3+x5+x7+ … = 1+x +x2 +x4
+x7 …
y3(x)= (1+x+x3+x4+x5+… )(1+x+x2)=
1+x+x3+x4+x5+…
x+x2+x4+x5+x6+…
x2+x3+x5+x6+ x7+ …
=1+ x5 + x7+ …
对应的序列为
y1=1 1 0 1 1 1 0 0… ；
y2=1 1 1 0 1 0 0 1 …
y3=1 0 0 0 0 1 0 1 …
总的输出序列为
Y=[y11,y21,y31,y12,y22,y32,…
= 1 1 1,1 1 0,0 1 0,1 0 0,1 1 0,
1 0 1,0 0 0,0 1 1,…
结果与网格图是一样的。
卷积码编码器的一般结构
9.6.3 卷积码译码卷积码的译码方法有两类：一类是大数逻辑译码，又称门限译码：另一类是概率译码。概率译码又分为维特比译码和序列译码两种。门限译码方法是以分组码理论为基础的其译码设备简单，速度快，但其误码性能要比概率译码法差。
下面只介绍维特比译码。
9.6.3维特比译码维特比译码算法，简称 VB算法。
维特比 (viterbi)译码和序列译码都属于概率译码。当卷积码的约束长度不太大时，
与序列译码相比，维持比译码器比较简单，计算速度更快。
VB算法在前向纠错系统中用得较多，在卫星通信中已被采用作为标准技术。
概率译码的基本想法是：把已接收序列与所有可能的发送序列做比较，选择其中码距最小的一个序列作为发送序列。
如果发送 L组信息比特，对于 (n,k)卷积码来说，可能发送的序列有 2kL个，计算机或译码器需存储这些序列并进行比较，
以找到码距最小的那个序列。当传信率和信息组数人较大时，使得泽码器难以实现。
VB算法则对上述概率译码 (又称最大似然译码 )做了简化，使其成为一种实用的译码算法。它并不是在网格图上一次比较所有可能的 2kL条路径 (序列 )，而是接收一段，计算和比较一段，选择一段有最大似然可能的码段。从而达到整个码序列是一个有最大似然值的序列。
以下以（ 2,1,3)卷积码为例说明：
设输入信息数目 L=5，所以画有 L+N=8个时间单位。编码器从 a状态开始工作。该网格图的每一条路径都对应着不同的输入信息序列。
由于所有的可能输入信息序列共有 2kL=32个,
设输入编码器的信息序列为 (11011000)，
则由编码器输出的序列
y＝ (1101000010,11100)，编码器的状态转移路线为 abdcbdca。
若收到的序列为 R=0101011001011100，
对照网格图来说明维特比译码的方法。
前 3步输入 R=010101；根据不同输入信息，编码器的输出序列以及它们与接收序列的距离见下表
R= 010101
信息 编码 路径 距离
000 000000 aaaa 3
001 000011 aaab 3
010 001110 aabc 4
011 001101 aabd 2
100 111011 abca 4
101 111000 abcb 4
110 110101 abdc 1
111 110110 abdd 3
前 3步对应网格图幸存路径，如下页对应 4条幸存路径的序列分别为：
a-a-a-a——000000
a-a-a-b——000011
a-b-d-c——110101
a-a-b-d——001101.
到第 5步的幸存路径和对应的序列分别为：
a-a-b-d-d-c——001101 1001.
a-b-d-c-a-a——110101 1100
a-b-d-c-a-b——110101 1111
a-b-d-c-b-d——110101 1101
到第 8步的幸存路径和对应的序列分别为：
a-----b-----d-----c-----b-----d-----c-----a----a
11 01 01,00 01 01 11 00
对应信息 1 1 0 1 1 0 0 0与发送信息相同。
对比接收 0*1 01 01 1*0 01 01 11 00纠正了两个错误。
总结与复习第一章 绪论通信系统的基本组成模型；
模拟与数字通信系统组成；
通信系统分类；
数字通信系统优点；
模拟与数字通信系统的性能指标；
离散消息的信息量和平均信息量 ；
例题：例 1.4.1,习题 2,4,6,7
第二章 随机信号分析平稳随机过程的定义,性质；
什么是广义平稳随机过程？
平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度如何定义,有何性质？
平稳随机过程通过线性系统后,均值,
自相关与方差,功率谱密度有何关系？
什么是高斯噪声？ 什么是高斯白噪声？
什么是窄带高斯噪声？
窄带高斯噪声的幅度和相位服从什么分布？
窄带高斯噪声的同相分量和正交分量服从什么分布？
习题 1,2,3,7,8,12
第三章 信道信道分类：广义信道与狭义信道,调制信道与编码信道,恒参信道与变参信道；
什么是幅频畸变,什么是相频畸变,什么是群延迟？
什么是多径,它对信号的传输产生哪些影响 （ 平坦瑞利衰落,频率选择性衰落 ）？
什么是分集,它的作用是什么？ 有哪写分集方式？ 有哪几种合并方式？
离散信道信道的信道容量是如何定义的,
它的物理意义是什么？
连续信道信道的信道容量是如何定义的
（ 山农公式 ）？
习题 8,13,14,15
第五章 数字信号的基带传输基带传输系统组成模型 。
基带数字信号的时域表达式,功率谱密度的一般表达式；
码型的概念与常用码型 （ 单极性非归零,
单极性归零,双极性非归零,差分码,
AMI,HDB3） 。
单,双极性非归零码的功率谱的特点；
理解奈奎斯特第一准则的推导过程与结论；
升余弦滚降特性频谱特点；
部分响应系统的组成与工作原理,相关编码,预编码的方法 （ 表达式 ） 。
信道时域均衡的原理 （ 均衡器的组成结构 ） ；
眼图的物理意义；
习题,5,8,10,11,12,13
第六章 正弦载波数字调制系统二进制 ASK,FSK,PSK,DPSK的原理
（ 波形,时域表达式,频域表达式,调制器,解调器组成框图 ） ；
二进制 ASK,FSK,PSK,DPSK的抗噪声性能 （ 分析方法,结论 ） ；
多进制 MASK,MPSK的原理（时域表达式、调制器、解调器框图）。
习题,2,3,4,6,7,10,12,14
第七章 模拟信号的数字传输理想低通与带通抽样定理；
量化,均匀量化,非均匀量化,量化间隔,分层电平,量化电平,压缩与扩张；
均匀量化器的量化噪声,量化信噪比；
编码,自然二进制码,折叠二进制码,，
A律 13折线编码；
PCM系统的原理 （ 组成框图与工作过程 ）,编码位数,信号带宽,量化噪声功率,码元速率 。
DPCM系统的原理 （ 组成框图与工作过程 ） ；
基本增量调制系统的原理 （ 组成框图与工作过程 ） ；
时分复用与数字复接的概念 （ 帧结构,
基群,二次群,高次群,同步数字复接系列 SDH,准同步数字复接系列 PDH） 。
习题,2,8,9,10,14,17
第八章,数字信号最佳接收数字信号接收的统计模型；
确知信号,随相信号,起伏信号；
相关接收机的结构；
普通接收机与最佳接收机的比较；
匹配滤波器的传递函数,冲击响应,输出信号；
习题,1,2,5
第九章,差错控制编码差错控制三种方法；
ARQ系统组成与工作过程；
汉明距离,最小汉明距离,纠错能力与最小距离的关系；
奇偶校验码,水平垂直奇偶校验码,恒比码的编码方法；
线性分组码的性质,监督矩阵,生成矩阵的特点及其关系 。
循环码的特点、循环码的生成多项式、
循环码的生成矩阵；
循环码的多项式运算编码方法；
卷积码编码器的结构卷积码状态图,网格图；
卷积码的生成多项式；
习题,1,2,6,7,10,12,20,21。
第四章 模拟调制幅度调制的原理 （ 时域表达式,频域表达式,波形图,频谱图 ） ；
相干解调 AM,DSB,SSB,VSB原理,
信噪比计算；
瞬时频率与瞬时相位,调频与调相信号的时域表达式,带宽的计算；
相干解调器的原理,相干解调输入和输出信噪比,宽带调频单音调制信噪比的计算 。
习题,7,9,10,13
§ 9.1引 言
§ 9.2 纠错编码的基本原理
§ 9.3 常用的简单编码
§ 9.4 线性分组码
§ 9.5循环码
§ 9.6卷积码
§ 9.7网格编码调制返回主目录
§ 9.1 引言设计数字通信系统时，应首先合理选择调制、解调方法及发送功率。若不满足要求，
则考虑差错控制。
从差错控制角度看,信道可以分为三类：
即随机信道,突发信道和混合信道 。
随机信道 ——在随机信道中,错码的出现是随机的,且错码之间是统计独立的 。
突发信道 ——错码是成串集中出现的 。
混合信道 ——存在随机和突发两种错码 。
常用的差错控制方法有以下几种：
检错重发法 ——接收端在收到的信码中检测出 (发现 )错码时,即设法通知发送端重发,
直到正确收到为止 。
前向纠错法 ——接收端不仅能发现错码,还能够确定错码的位置,能够纠正它 。
反馈校验法 ——接收端将收到的信码原封不动地转发回发送端与原信码比较 。 若发现错误则发端重发 。
三种差错控制方法可以结合使用 。
接收端根据什么来识别有无错码 ——由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监督码元 。 这些监督码和信码之间有确定的关系,使接收端可以利用这种关系由信道译码器来发现或纠正可能存在的错码 。
在信息码元序列中加入监督码元就称为差错控制编码,有时也称为纠错编码 。
差错控制编码原则上是以降低信息传输速率为代价来换取传输可靠性的提高 。
ARQ系统组成信源编码器和缓冲存储重发控制双向信道译码器指令产生缓冲存储 收信者
ARQ优点：冗余码元少,对信道有自适应能力,成本和复杂性低；
ARQ缺点：需要反向信道,重发控制较复杂,干扰大通信效率低,实时性差 。
例,3位二进制数字构成的码组,共有 8种不同的组合 。 若将其全部利用来表示天气,
则可以表示 8种不同的天气 。
000(晴 ),001(多云 ),010(阴 ),011(雨 )，
100(雪 ),101(霜 ),110(雾 ),111(雹 )。
任一码组在传输中若发生一个或多个措码,则将变成另一信息码组 。 这时接收端将无法发现错误 。
§ 9,2 纠错编码的基本原理若：
000=晴
001 =不可用
010 =不可用
011=云
100 =不可用
101=阴
110=雨
111 =不可用则：
虽然只能传送 4种不同的天气,但是接收消却有可能发现码组中的一个错码 。
例如,若 000(晴 )中错了一位,则接收码组将变成 100或
010或 001,这三种码组都是不准许使用的,称为禁用码组,故接收端在收到禁用码组时,就认为发现了错码 。
但是这种码不能发现两个措码，因为发生两个错码后产生的是许用码组。
上述码只能检测错误，不能纠正错误。例如，当收到的码组为禁用码组 100时，无法判断是哪一位码发生了错误．因为晴、阴、
雨三者错了一位都可以变成 100。
要想能纠正错误，还要增加多余度。例如，
苦规定许用码组只有两个,000(晴 )、
111(雨 )、其余都是禁用码组。这时，接收场能检测两个以下错码，或能纠正一个错码。
分组码的一般概念。
为了传输 4种不同的信息，用两位二进制码组就够了，它们是,00,01,10,11。
代表所传信息的这些两位码，称为信息位。前面使用 3位码，多出的一位称为监督位。
信息码分组，每组信码附加若干监督码的编码集合，称为分组码。
例如分组码的结构符号 (n,k)表示分组码
k——信息码元数
n——码组长度 (码长 )
n-k——监督码元数
an-1 an-2 ar ………… ar-1 a0
k位信息位 r位监督位
n=k+r
时间码重、码距与码的纠检错能力码重 ——“1”的数量称为码组的重量码距 ——两个码组对应位上数字不同的位数称为码组的距离，简称码距。又称汉明 (Hamming)距离。
最小码距 ——某种编码中各个码组间距离的最小值称为最小码距 (d0)。
若记,d0 ——最小码距；
e——检错位数；
t——纠错位数；
则有：
（ 1） e+1≤ d0，即码的检错能力 e比 最小码距 d0小 1位；
（ 2） 2t+1 ≤ d0,即码的纠错能力 t的 2倍比 最小码距 d0小 1位；
（ 3） e+t+1 ≤ d0,即若码同时纠 t个错并检出 e个错误，则 e+t比 最小码距 d0小 1
位。
以下说明：
（ 1） e+1≤ d0
（ 2） 2t+1≤ d0
（ 3） t+e+1≤ d0
差错控制编码的效用假设,发送,0”的错误概率和发送,1”的错误概率相等，都等于 P，且 P<<1，则在码长为 n的码组中恰好发生 r个错码的概率为
rrnrr
nn prnr
npprP
C )!(!
!)1()(
例如，当码长 n＝ 7时,p=10-3则有
P7(1) ≈ 7p= 7× 10-3 ； P7(2) ≈ 21p2=2.1× 10-5 ；
P7(3) ≈ 35p3=3.5× 10-8。
可见，采用差错控制编码，即使仅能纠正 (或检测 )这种码组中 1—2个错误，也可以使误码率下降几个数量级。这就表明，即使是较简单的差错控制编码也具有较大实际应用价值。
§ 9,3 常用的简单编码
1．奇偶监督码 ——奇偶监督码包括奇数监督码和偶数监督码。只有一位监督位。
在偶监督码中，监督位使码组中,l”的个数为偶数，即满足下式条件在奇监督码中，监督位使码组中,l”的个数为奇数，即满足下式条件
0021 aaa nn?
1021 aaa nn?
2．二维奇偶监督码 ——又称方阵码。每一行是奇偶监督码的一个码组，若干码组再按列排列成矩阵，每列增加一位监督位。
二维奇偶监督码特点：
可检测偶数个错误
适于检测突发错码。
不仅可检错，还可纠一些错。
检错能力强。
3．恒比码 ——每个码组均含有相同数目的,1”(和,0”)。
应用：电传机传输汉字，每个汉字用 4位阿拉伯数字表示。每个阿拉伯数字又用 5
位二进制符号构成的码组表示。每个码组的长度为 5位，其中恒有 3个 1，称为 5
中取 3恒比码。可能编成的不同码组数等于从 5中取 3组合数＝ 30。 30种许用码组恰好可用来表示 10个阿拉伯数字。
4．正反码 ——一种简单的能够纠正错码的编码。其中的监督位数与信息位数相同，监督码元与信息码元相同 (是信息码的重复 )或者相反 (是信息码的反码 )。 由信息码中,1”的个数而定。
解码方法：先将接收码组中信息位和监督值按位模 2相加，产生校验码组。最后，
观察校验码组中,1”的个数，按表 9—3
进行判决及纠正可能发现的错码。
§ 9,4 线性分组码从上节介绍的一些简单编码可以看出，每种编码所依据的原理各不相同，而且是大不相同，其中奇偶监督码的编码原理利用了代数关系式。我们把这类建立在代数学基础上的编码称为代数码。在代数码中，常见的是线性码。线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的，或者说，线性码是按一组线性方程构成的。本节将以汉明 (Hamming)
码为例引入线性分组码的一般原理。
回顾奇偶监督码在接收端解码时，实际上就是在计算若 S＝ 0，认为无错；若 S＝ 1，认为有错。
上式称为监督关系式,S称为校正子。 S
只有两种取值，只能代表有、无错两种信息，不能指出错码位置。如果监督位增加一位，则增加一个监督关系式。由于两个校正子的可能值有 4种组合,00，
01,10,11，故能表示 4种不同状态。
0021 aaa nn?
021 aaaS nn
若用其一种表示无错，则其余 3种就可能用来指示一位错码的 3种不同位置。同理 r
个监督关系式能指示一位错码的 (2r-1)个可能位置。 一般地，若码长为 n，信息位数为 k，则监督位数 r=n-k。如果希望用
r个监督位构造出 r个监督关系式来指示一位错码的 n种可能位置，则要求
2r-1≥ n，或者 2r≥ r+k+1
举例说明如何构造监督关系式：
设 (n,k)分组码中 r=4。为了纠正一位错码，要求监督拉数 r≥3。若取 r=3，则
n=k+r=7。校正子与错码位置的对应关系如表 9—4规定 (也可以另外规定 ) 。
S1S2S3 错码位置 S1S2S3 错码位置
001 A0 101 A4
010 A1 110 A5
100 A2 111 A6
011 A3 000 无错由表可见，当一错码在 a2,a4,a5或 a6时校正子 S为 1；否则 S为 0即构成如下关系同理
24561 aaaaS
13562 aaaaS
03463 aaaaS
在发送端编码时，信息位 a6a5a4a3的值决定于稳入信号，因此它们是随机的。监督值 a2a1ao应根据信息位的取值按监督关系来确定．即监督位应使上三式中的值为零 (表示编成的码组中应无错码 )，由此得到方程组
01356 aaaa
00346 aaaa
02456 aaaa
由此解出
3561 aaaa
3460 aaaa
4562 aaaa
给定信息位后，可直接按上式算出监督位，其结果如表 9—5所列。
信息位 监督位 信息位 监督位
a6a5a4a3 a2a1a0 a6a5a4a3 a2a1a0
0000 000 1000 111
0001 011 1001 100
0010 101 1010 010
0011 110 1011 001
0100 110 1100 001
0101 101 1101 010
0110 011 1110 100
0111 000 1111 111
接收端收到每个码组后，先按监督方程计算出 S1,S2,S3,再按表 9—4判断错码情况。例，接收 0000011，可得：
S1S2S3=011 。由表 9—4可知在 a3位有错码。
(7,4)汉明码：
最小码距 d0=3
纠一个错码或检测两个错码。
编码效率 k/n=(2r-1-r)／ (2r-1)=I-r／ n。
当 n很大时，则编码效率接近 1。
线性分组码的 —般原理。线性分组码是指信息位和监督位满足一组线性方程的编码。
改写为
01356 aaaa
00346 aaaa
02456 aaaa
01356 aaaa
00010111 0123456 aaaaaaa
00101011 0123456 aaaaaaa
01001101 0123456 aaaaaaa
0
0
0
1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 0
0
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
a
(模 2)
简记为 或
TTHA 0? 0?TAH
1011001
1101010
1110100
H
称为监督矩阵
IrPH?
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
H矩阵的各个行是线性无关的行数 =监督位数，列数 =码字长度典型阵
3561 aaaa
3460 aaaa
4562 aaaa
34562 0111 aaaaa
34561 1011 aaaaa
34560 1101 aaaaa
3
4
5
6
0
1
2
1011
1101
1110
a
a
a
a
a
a
a
Qaaaaaaaaaaa
34563456012
011
101
110
111
转置得
Gaaaa
aaaaaaaaaaa
3456
34560123456
011
101
110
111
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
QIG
k
nk
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
称为生成矩阵
GaaaaA 3456?
生成矩阵 G的每一行都是一个码组。
例如，（参照前页矩阵 G）。
利用生成矩阵，码字
TTHA 0?
再由 得，
0 TTT MHGMGH
MG?
0?THG
译码,若发送码组为接收码组为二者之差为其中 E称为错误图样。
021,,,aaaA nn
021,,,bbbB nn
021,,,eeeABE nn
ii
ii
i ba
ba
e
,1
,0
表示该位接收码元无错；
表示该位接收码元有错。
接收端译码时计算当接收码组无错时,S等于零有错但不超过检错能力时,S不等于零。
在错码超过检错能力时,B变为另一许用码组，仍能成立 S等于零。这样的错码是不可检测的。
S称为校正子 (伴随式 ) 。 S只与 E有关，
而与 A无关，意味着 S与 E有的线性变换关系，能与 E一一对应，可指示错码位置。
SEHEHAH
HEABH
TTT
TT
)(
线性码重要性质之一，是它具有封闭性。
若,A1和 A2是线性码中的两个许用码组，
则,(A1+A2)仍为其中的一个码组。
由封闭性，两个码组之间的距离必是另一码组的重量。故码的最小距离即是码的最小重量 (除全,0”码组外 )。
线性码又称群码，这是由于线性码的各许用码组构成代数学中的群。
§ 9,5 循环码
9,5,1 循环码原理：
在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码。循环码除了具有线性码的一般性质外．还具有循环性，即任一码组循环一位 (将最右端的码元移至左端，或反之 )以后，仍为该码中的一个码组。即若是许用码组，则也是许用码组。
021,,,aaaA nn
102,,,' nn aaaA?
循环码举例 ——(7,3)循环码码组 信息位 监督位 码组 信息位 监督位编号 a6a5a4 a3a2a1a0 编号 a6a5a4 a3a2a1a0
0 000 0000 4 100 1011
1 001 0111 5 101 1100
2 010 1000 6 110 0101
3 011 1001 7 111 0010
码组的多项式表示 ——码多项式。
例如 A=1100101
A(x)=1x6+1x5+0x4+0x3+1x2+0x1+1x0
=x6+x5+x2+1
码 多项式表示具有线性的性质
021,,,aaaA nn
0
1
1
2
2
1
1)( axaxaxaxA
n
n
n
n
码多项式的按模运算循环移位对应的码多项式如果规定 xn=x0，即规定 xn+1=0，则有
021,,,aaaA nn
102,,,' nn aaaA?
1102312)(' nnnnn axaxaxaxA?
)()(' xAxxA
这种 xn+1=0的规定，实质上是一 xn+1为模的运算。对于整数 m,若可以表示为则称 m=p(模 n),或称 m与 p是同余的。
码多项式也有类似的运算。多项式 F(x)被
n次多项式 N(x)除，得到商式 q(x)和一个次数小于 n的余式 R(x)，即
F(x)＝ q(x)N(x)+R(x)
则写为 F(x)＝ R(x) ( 模 N(x) )
n
pQ
n
m
码多项式系数仍按模 2运算，即只取值 0
和 1。例如于是，可以有由此可见为了使 xn=1，只需做模 xn+1的运算即可。
例如,x4+x2+1=x2+x+1 模 x3+1
1
11
1
11
1 33
3
3
3
xx
x
x
x
)1( m o d1 33 xx
由前面的分析可知，若 T(x)是码多项式，
则在模 xn+1的运算条件下,xiT(x)仍然是码多项式。
2．循环码的生成矩阵 G
若能找到 k个线性无关的码组,就能构成矩阵 G。在循环码中，一个 (n,k)码有
2k个不同码组，若用 g(x)表示其中前 (k-1)
位皆为 0的码组，即
g(x)=0 … 1x … x
k位 n-k位则 g(x),xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x)都是码组，而且这 k个码组是线性无关的。因此可以用来构成循环码的生成矩阵 G。
例 表 9—6的循环码,唯一的一个 (n-k)次码多项式代表的码组是 0010111，相对应的码多项式为
)(
)(
)(
)(
2
1
xg
xxg
xgx
xgx
G
k
k
一旦确定了 g(x)，则整个 (n,k)循环码就被确定了。因此,循环码的生成矩阵 G可以写成这个生成矩阵不是系统码的生成矩阵，可以通过行变换，变换成系统码的生成矩阵。
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 1 0 0
)(
)(
)(
2
xg
xxg
xgx
G
g(x)＝ x4+x2+x+1
将此 g(x)代入上式，得到
g(x)的性质：
g(x)必须是一个常数项 a0=1；
次数为 (n-k)次；
唯一的 (n-k)次多项式；
我们称这唯一的 g(x)为码的生成多项式。
g(x)是 xn+1的因式（见后面分析）。
说明 g(x)是 xn+1的因式。
因为任码多项式 T(x)都是 g(x)的倍式，所以有
T(x)=h(x)g(x)
g(x)本身也是一个码组，其次数为 n-k次。把它循环移位 k次仍为一个码组。所以 xkg(x)
是 n次多项式，在模 xn+1 运算下，所以即
)1(m o d),()( nk xxTxgx
1
)()(
1
)(
nn
k
x
xTxQ
x
xgx
因为 xkg(x)是 n次的，所以 Q(x)=1 。所以所以即 g(x)是 xn+1的因式。 这样就可以通过对
xn+1的因式分解得到 g(x).
1
)()(1
1
)(1
1
)(
nnn
k
x
xgxh
x
xT
x
xgx
1)())(( nk xxgxhx
因为所有码多项式 T(x)都可被 g(x)整除。所以非系统码编码,T(x)=m(x)g(x)
系统码编码：
用 xn-k乘 m(x)，即把 m(x)左移 n-k位；
用 xn-k除以 g(x)，得余式 r(x)；
T(x) =xn-km(x)+ r(x)
9.5.2 循环码的编、解码方法例：信息码 110，
信息码多项式 m(x)=x2+x
生成多项式 g(x)=x4+x2+x+1
即于是，编出码字 1100000+101=1100101
硬件实现 ——固定除式的多项式除法
a b c d ○
○
○
信息码元输入 移存器 反馈 输出
m abcd d f
0 0000 0
1 1110 1 1
1 1001 1 1
0 1010 1 0
0 0101 0 0
0 0010 1 1
0 0001 0 0
0 0000 1 1
校验码元
2．循环码的解码方法 ——检错解码的要求有两个：检错和纠错。
——码多项式 T(x)应能被生成多项式 g(x)整除。
若接收码组与发送码组相同，即 R(x)=T(x)，
则接收码组 R(x)必定能被 g(x)整除；
若码组在传输中发生错误，则 R(x)除以 g(x)
时可能有余项，即有
R(x)/g(x)=Q(x)+r(x)/g(x)
检错电路见图 9-7(a)
接收码组缓冲移位寄存器除法电路反相与门重发指令输出信息码余式等于 1 时输出 1
余式等于 0 时输出 0
2．循环码的解码方法 ——纠错前提：每个可纠正的错误图样必须与伴随式一一对应。
步骤：
由接收多项式除以生成多项式得到余式
r(x)；
通过余式 r(x)与错误图样的关系得到错误图样 e(x)；
从接收多项式中减去错误图样村 e(x)。
电路如下：
图 9-7(b)
假定接收码组为 10*O0101，
其中右上角打 *
号者为错码。
此码组进入除法电路后，移位寄存器各级的状态变化过程列于表 9—
7(b)。 (见演示 )
输入 移存器 输出
f abcd e
0 0000 0
1 1110 0
0* 0111 0
0 1101 0
0 1000 0
1 1010 0
0 0101 0
1 0010 0
0 0001 1
0 0000 0
9.5.3 缩短循环码通过缩短循环码，可以满足系统设计中，
码长、信息位和纠错能力的不同要求。
对于 (n,k)循环码，使前 i(0<i<k)个信息位为零可得到有 2k-i个码组的集合，然后从这些码组中删去这 i个零信息位，得到一种新的
(r-i,k-i)的线性码，称为缩短循环码。
缩短循环码与产生该码的原循环码至少具有相同的纠错能力。
缩短循环码的编码和译码可用原循环码使用的电路完成。
例：若要求构造一个能够纠正一位错误的 (13,9)码，则可以由 (15,11)汉明码选出前面两个信息位均为零的码组。然后在发送时，这两个零信息不发送，即发送的是 (13,9)缩短循环码。
因校验位数相同,(13,9)码与 (15,11)
循环码具有相同的纠错能力。
9.5.4 BCH码
BCH码是一类纠正多个随机错误的特殊的循环码。特点是可以根据给定的纠错能力，
找出生成多项式。 BCH码分两类：本原
BCH码和非本原 BCH码。
本原 BCH码的码长为 n=2m-1(M ≥3)，生成多项式 g(x)中含有最高次数为 m次的本原多项式；非本原 BCH码的码长 n是 2m-1的一个因子，它的生成多项式中不含有最高次数为 m的本原多项式。
对于正整数 m(M≥3)和 t(t ≥2)必存在有下列参数的二进制 BCH码：码长 n=2m-1，
监督位数 r≤mt，能纠正所有的小于或等于 t个随机错误的 BCH码。
BCH码生成多项式
g(x)=LCM[m1(x),m2(x),…,m2t-1(x)]
式中 t——可纠正的错误个数；
mi(x)——最小多项式 ;
LCM( )——指取括号内所有多项式的最小公倍式,
查表法得到生成多项式，用八进制数表示。
例如当
n=7,k=4,t=1
g=(13)8
意指
g=(001011)2
g(x)=x3+x+1
n=3
k t g(x)
1 1 7
n=7
k t g(x)
4 1 13
1 3 77
表 9—8（部分）
R-S码是一类具有很强纠措能力的多进制
BCH码。
伽罗华域 (即有限域 ),对于有限个符号，
若符号的数目是一素数的幂，可以定义有加法和乘法，则构成符号域为有限域；
若它是 2m个符号的域．则称之为伽罗华域 GF(2m),
例如，两个符号 0,1，定义有模 2加法和模 2乘法，即 0+0=0,0+1=1,1+1=0；
0·0=0,0·1=1,1·1＝ 1，则称之为二元域，也是伽罗华域。
9.5.5 里德 -索罗门码（ R-S码）
从两个符号 0和 1及一个 m次多项式
p(x)开始，并引入一个新符号 α,设
p(α)=0。若适当地选择 p(x)．就可得到 α的各次幂，一直到 2m-2次幂，都不相同，并且 αm-1 =1。这样一来，
构成 GF(2m)的所有元素。域中 每 个非零元素还可以用上面元素的和来表示。例如,m=4和 p(x)=x4+x+1，则
2242,,,,,1,0?m
得到 GF(24)的所有元素，详见表 9--10。
0
1
α
α2
α3
α4= α+1
α5= α(α+1)=α2+α
α6=α(α2+α)= α3+α2
α7=α(α3+ α2)= α3+α2 = α3+α+1
α8=α(α3+α+1)= α4+α2 +1=α2 +1
α9=α(α2 +1)= α3+α
α10=α(α3+α)= α2 +α+1
α11=α(α2 +α+1)= α3+ α2 +α
α12= α(α3+ α2 +α)= α3+ α2 +α+1
α13= α(α3+ α2 +α+1)= α3+ α2+1
α14=α(α3+ α2+1)= α3 +1
R-S码是 q进制 BCH码的子类。具有如下的参数：
码长,n=q-1符号监督位数,r=2t符号纠错位数,t 符号生成多项式：
每个码元都是 q进制的，通常令 q=2m，则每个 q进制码元都可以表示为 m位二进制码元，于是码长 mn位，监督位数 mr位，
信息位数,mn- mr位。
)())(()( 22 txxxxg
R-S码应用：
由于采用多进制，所以对于多进制调制是自然和方便的编码手段 ;
因为 RS码能够纠正 t个 q位二进制码，即对以纠 t个连续的突发性二进制错误,所以适合衰落信道应用 ;
RS码可应用在计算机存储系统中．以克服系统的差错。
卷积编码则把 k比特信息段编成 n比特的码组，但所编的 n长码组不仅同当前的 k
比特信息段有关联，而且还同前面的 (N-
1)个信息段有关联，人们常称这 N为该卷积码的约束长度。
一般来说，对于卷积码,k和 n是较小的整数,常把卷积码记作 (n,k,N)卷积码，它的编码效率为 R=k/n。
§ 9,6 卷积码
9,6,1 卷积码的图形描述
(3,1,3)卷积码编码器编码器的输入和输出树状图状态图状态图网格图网格图特点：
有 2N-1种状态；
对于 k个输入信息比特，相应出现有 2k条支路；
码树中的上支路用实线表示，下支路用虚线表示：
支路上标注的码元为输出比特；
从第 N个节点开始，图形开始重复，且完全相同。
例 9--1 (3,1,3)编码器，起始状态为 a，输入序列为 1101011，求输出序列和相应状态变化路径。
解：由卷积码的网格图，可找出编码时网格图中的编码路径如图 9—13所示，由此即可得到输出序列。为
9.6.2 卷积码的解析描述
1．生成矩阵卷积码是一种线性码。一个线性码完全由一个监督矩阵 H或生成矩阵 G所确定。
生成矩阵 G
输入第一个信息比特 m1时,y1,1=m1；
y21=m1 ； y31=m1。
输入第二个信息比特 m2时,y1,2=m2；
y22=m2 ； y32= m1 + m2。
输入第 j个信息比特 mj时，
y1j=mj；
y2j=mj +mj-2 ；
y3j= mj +mj-1+mj-2
上式可写成矩阵形式
[mj +mj-1+mj-2] A = [y1j y2j y3j]
其中生成矩阵为在过渡时刻
[m1 0 0] T1 = [y11 y21 y31]
[m1 m2 0] T2 = [y12 y22 y32]
其中
111
100
110
A
000
000
111
1T
输出矩阵与输入矩阵的关系有
Y=MG
000
111
100
2T
A
A
A
ATT
G 0
00
000
21
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1
上面矩阵空白处均为 0元素。该生成矩阵是半无限矩阵。
2,多项式描述例如：输入序列 1101110 … 可表示为
m(x)=1+x+x3+x4+x5+…
连接关系表示为
g1(x)=1
g2(x)= 1+x2
g3(x)= 1+x+x2
编码输出为
y1(x)=m(x)g1(x)= 1+x+x3+x4+x5+…
y2(x)=m(x)g2(x)=(1+x+x3+x4+x5+… )(1+x2)
=1+x+x3+x4+x5+…
+x2+x3+x5+x7+ … = 1+x +x2 +x4
+x7 …
y3(x)= (1+x+x3+x4+x5+… )(1+x+x2)=
1+x+x3+x4+x5+…
x+x2+x4+x5+x6+…
x2+x3+x5+x6+ x7+ …
=1+ x5 + x7+ …
对应的序列为
y1=1 1 0 1 1 1 0 0… ；
y2=1 1 1 0 1 0 0 1 …
y3=1 0 0 0 0 1 0 1 …
总的输出序列为
Y=[y11,y21,y31,y12,y22,y32,…
= 1 1 1,1 1 0,0 1 0,1 0 0,1 1 0,
1 0 1,0 0 0,0 1 1,…
结果与网格图是一样的。
卷积码编码器的一般结构
9.6.3 卷积码译码卷积码的译码方法有两类：一类是大数逻辑译码，又称门限译码：另一类是概率译码。概率译码又分为维特比译码和序列译码两种。门限译码方法是以分组码理论为基础的其译码设备简单，速度快，但其误码性能要比概率译码法差。
下面只介绍维特比译码。
9.6.3维特比译码维特比译码算法，简称 VB算法。
维特比 (viterbi)译码和序列译码都属于概率译码。当卷积码的约束长度不太大时，
与序列译码相比，维持比译码器比较简单，计算速度更快。
VB算法在前向纠错系统中用得较多，在卫星通信中已被采用作为标准技术。
概率译码的基本想法是：把已接收序列与所有可能的发送序列做比较，选择其中码距最小的一个序列作为发送序列。
如果发送 L组信息比特，对于 (n,k)卷积码来说，可能发送的序列有 2kL个，计算机或译码器需存储这些序列并进行比较，
以找到码距最小的那个序列。当传信率和信息组数人较大时，使得泽码器难以实现。
VB算法则对上述概率译码 (又称最大似然译码 )做了简化，使其成为一种实用的译码算法。它并不是在网格图上一次比较所有可能的 2kL条路径 (序列 )，而是接收一段，计算和比较一段，选择一段有最大似然可能的码段。从而达到整个码序列是一个有最大似然值的序列。
以下以（ 2,1,3)卷积码为例说明：
设输入信息数目 L=5，所以画有 L+N=8个时间单位。编码器从 a状态开始工作。该网格图的每一条路径都对应着不同的输入信息序列。
由于所有的可能输入信息序列共有 2kL=32个,
设输入编码器的信息序列为 (11011000)，
则由编码器输出的序列
y＝ (1101000010,11100)，编码器的状态转移路线为 abdcbdca。
若收到的序列为 R=0101011001011100，
对照网格图来说明维特比译码的方法。
前 3步输入 R=010101；根据不同输入信息，编码器的输出序列以及它们与接收序列的距离见下表
R= 010101
信息 编码 路径 距离
000 000000 aaaa 3
001 000011 aaab 3
010 001110 aabc 4
011 001101 aabd 2
100 111011 abca 4
101 111000 abcb 4
110 110101 abdc 1
111 110110 abdd 3
前 3步对应网格图幸存路径，如下页对应 4条幸存路径的序列分别为：
a-a-a-a——000000
a-a-a-b——000011
a-b-d-c——110101
a-a-b-d——001101.
到第 5步的幸存路径和对应的序列分别为：
a-a-b-d-d-c——001101 1001.
a-b-d-c-a-a——110101 1100
a-b-d-c-a-b——110101 1111
a-b-d-c-b-d——110101 1101
到第 8步的幸存路径和对应的序列分别为：
a-----b-----d-----c-----b-----d-----c-----a----a
11 01 01,00 01 01 11 00
对应信息 1 1 0 1 1 0 0 0与发送信息相同。
对比接收 0*1 01 01 1*0 01 01 11 00纠正了两个错误。
总结与复习第一章 绪论通信系统的基本组成模型；
模拟与数字通信系统组成；
通信系统分类；
数字通信系统优点；
模拟与数字通信系统的性能指标；
离散消息的信息量和平均信息量 ；
例题：例 1.4.1,习题 2,4,6,7
第二章 随机信号分析平稳随机过程的定义,性质；
什么是广义平稳随机过程？
平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度如何定义,有何性质？
平稳随机过程通过线性系统后,均值,
自相关与方差,功率谱密度有何关系？
什么是高斯噪声？ 什么是高斯白噪声？
什么是窄带高斯噪声？
窄带高斯噪声的幅度和相位服从什么分布？
窄带高斯噪声的同相分量和正交分量服从什么分布？
习题 1,2,3,7,8,12
第三章 信道信道分类：广义信道与狭义信道,调制信道与编码信道,恒参信道与变参信道；
什么是幅频畸变,什么是相频畸变,什么是群延迟？
什么是多径,它对信号的传输产生哪些影响 （ 平坦瑞利衰落,频率选择性衰落 ）？
什么是分集,它的作用是什么？ 有哪写分集方式？ 有哪几种合并方式？
离散信道信道的信道容量是如何定义的,
它的物理意义是什么？
连续信道信道的信道容量是如何定义的
（ 山农公式 ）？
习题 8,13,14,15
第五章 数字信号的基带传输基带传输系统组成模型 。
基带数字信号的时域表达式,功率谱密度的一般表达式；
码型的概念与常用码型 （ 单极性非归零,
单极性归零,双极性非归零,差分码,
AMI,HDB3） 。
单,双极性非归零码的功率谱的特点；
理解奈奎斯特第一准则的推导过程与结论；
升余弦滚降特性频谱特点；
部分响应系统的组成与工作原理,相关编码,预编码的方法 （ 表达式 ） 。
信道时域均衡的原理 （ 均衡器的组成结构 ） ；
眼图的物理意义；
习题,5,8,10,11,12,13
第六章 正弦载波数字调制系统二进制 ASK,FSK,PSK,DPSK的原理
（ 波形,时域表达式,频域表达式,调制器,解调器组成框图 ） ；
二进制 ASK,FSK,PSK,DPSK的抗噪声性能 （ 分析方法,结论 ） ；
多进制 MASK,MPSK的原理（时域表达式、调制器、解调器框图）。
习题,2,3,4,6,7,10,12,14
第七章 模拟信号的数字传输理想低通与带通抽样定理；
量化,均匀量化,非均匀量化,量化间隔,分层电平,量化电平,压缩与扩张；
均匀量化器的量化噪声,量化信噪比；
编码,自然二进制码,折叠二进制码,，
A律 13折线编码；
PCM系统的原理 （ 组成框图与工作过程 ）,编码位数,信号带宽,量化噪声功率,码元速率 。
DPCM系统的原理 （ 组成框图与工作过程 ） ；
基本增量调制系统的原理 （ 组成框图与工作过程 ） ；
时分复用与数字复接的概念 （ 帧结构,
基群,二次群,高次群,同步数字复接系列 SDH,准同步数字复接系列 PDH） 。
习题,2,8,9,10,14,17
第八章,数字信号最佳接收数字信号接收的统计模型；
确知信号,随相信号,起伏信号；
相关接收机的结构；
普通接收机与最佳接收机的比较；
匹配滤波器的传递函数,冲击响应,输出信号；
习题,1,2,5
第九章,差错控制编码差错控制三种方法；
ARQ系统组成与工作过程；
汉明距离,最小汉明距离,纠错能力与最小距离的关系；
奇偶校验码,水平垂直奇偶校验码,恒比码的编码方法；
线性分组码的性质,监督矩阵,生成矩阵的特点及其关系 。
循环码的特点、循环码的生成多项式、
循环码的生成矩阵；
循环码的多项式运算编码方法；
卷积码编码器的结构卷积码状态图,网格图；
卷积码的生成多项式；
习题,1,2,6,7,10,12,20,21。
第四章 模拟调制幅度调制的原理 （ 时域表达式,频域表达式,波形图,频谱图 ） ；
相干解调 AM,DSB,SSB,VSB原理,
信噪比计算；
瞬时频率与瞬时相位,调频与调相信号的时域表达式,带宽的计算；
相干解调器的原理,相干解调输入和输出信噪比,宽带调频单音调制信噪比的计算 。
习题,7,9,10,13
