第 8 章 数字信号的最佳接收
§ 8.2 数字信号接收的统计表述
§ 8.3 关于最佳接收的准则
§ 8.4 确知信号的最佳接收
§ 8.5 随相信号的最佳接收返回主目录
§ 8.6 起伏信号的最佳接收
§ 8.7 普通接收机与最佳接收机的比较
§ 8.8 匹配滤波器
§ 8.9最佳基带接收机
§ 8.1 引言通信系统的质量优劣主要取决于接收机的性能。这是因为，影响信息可靠传输的不利因素直接作用在接收端。通信理论中一个重要的问题：最佳接收或信号接收最佳化。
最佳接收理论研究从噪声中如何最好地提取有用信号。,最好,或,最佳,的概念是在某个准则意义下说的一个相对概念。这就是说，在某个准则下是最佳的接收机，在另一准则下就并非一定是最佳的。
§ 8.2 数字信号接收的统计表述数字通信系统中，接收机观察到接收波形后，要无误地断定某一信号的到来是困难的。
原因是：
哪一个信号被发送，对受信者来说是不确定的；
信 号在传输过程中可能发生各种畸变。
因此可以说，带噪声的数字信号的接收过程是一个统计判决的过程。
数字通信系统的统计模型
x rys
n
判决规则+
消息空间 信号空间噪声空间观察空间 判决空间消息空间 x：离散消息的所有可能取值的集合 x1,x2,… xm,x的出现概率可以用一维概率分布 P(xi)表示；
信号空间 s：消息转换为信号是一一对应的，所以 P(si)＝ P(xi)；
噪声空间 n：假定噪声是高斯型的 (均值为零 )随机过程,n的统计特性用多维联合概率密度函数来描述。
若是高斯过程且各抽样值独立，则
),,,()( 21 kkk nnnfnf
这里的 是噪声的方差，也就是噪声的功率。 k=2fHT是在（ 0,T）内的抽样点数。噪声的平均功率还可以表示为
)()()()( 12111 kk nfnfnfnf?
k
i i
ii
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n
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1e x p
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1
2?
所以于是
n0是单位频带内的噪声功率。 观察空间
dttn
T
n
Tf
n
k
Tk
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k
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1
2
11
0
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dttn
n
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TT
n
H
k
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i
n
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1
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00
2
2
1
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2
T
kk dttnnnf 0
2
0
)(1e x p
2
1)(
观察空间 y,y(t)=s(t)+n(t)。当发出信号为 si(t)时，接收信号 y(t)为随机过程，其均值为 si(t)，方差为,其概率密度函数为
fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的依据。按照某种准则，即可对 y(t)作出判决，使判决空间中可能出现的状态 r1,
r2,…,rm与信号空间中的各状态 s1,s2,…,sm
相对应。
2n?
T
ik
n
si dttstynyf 0
2
0
)]()([1e x p
)2(
1)(
§ 8.3关于最佳接收的准则在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是,最小差错概率,准则。由于信号受到畸变和噪声的干扰，发送消息 xi时不一定能判为 ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。这将造成错误接收，
错误接收的概率愈小愈好。
以二进制数字通信系统为例,分析在噪声中按何种方法接收才能使错误概率最小？
在二进制数字通信系统中，只发送两种信号 s1和 s2,先验概率分别为 P(s1)和 P(s2)，错误概率为
Pe＝ P(s1)P(r2/s1)＋ P(s2)P(r1/s2)
P(r2/s1)＝ P(r1/s2)为错误转移概率。以使
Pe最小为目标，导出最佳接收的准则。
把观察空间的取值域 y划分成 A1域和 A2
域，一旦接收机被构成后,则这个划分就被规定。该域的几何表示，如图 8—3所示。
Y中的每个点代表着 y(t)
的一个实现 。 落在 A1域的实现判为 r1;A2域中的实现判为 r2。 因此 Pe可写成
Pe＝ P(s1)P(A2/s1)＋ P(s2)P(A1/s2)
正确判决的概率为
Pc＝ 1-Pe=P(s1)P(A1/s1)＋ P(s2)P(A2/s2)
这里改写为
1 )()/( 111 A s dyyfsAP
2 )()/( 222 A s dyyfsAP
)/()()/(1)( 222121 sAPsPsAPsPP c
)/()()/()()( 1212221 sAPsPsAPsPsP
2
)()()()()( 11221 A ss dyyfsPyfsPsP
或者写为为使 Pc最大,应该使,在积分域 A2内,
2
)()()()()( 22112 A ssc dyyfsPyfsPsPP
0)()()()( 1122 yfsPyfsP ss
同理，在积分域 A1内，应该是或者说，
若,判为 r1。
若,判为 r2。
或者
0)()()()( 2211 yfsPyfsP ss
0)()()()( 2211 yfsPyfsP ss
0)()()()( 1122 yfsPyfsP ss
1
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2
1
)(
)(
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sP
yf
sP
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，判为?
2
1
2
2
1
)(
)(
)(
)(
r
sP
yf
sP
yf ss
，判为?
上式称为似然比准则。若 P(s1)=P(s2)，
则似然比准则简化为若,则 判为 r1
若,则 判为 r2
)()( 21 yfyf ss?
)()( 12 yfyf ss?
§ 8.4 确知信号的最佳接收到达接收机的信号分为两类：确知信号、
随参信号。
确知信号：所有参数 (幅度、频率、相位、
到达时间等 )都确知，未知的只是信号出现与否。
随机相位信号，除相位外其余参数都确知的信号。
随机振幅、相位信号 (简称起伏信号 )的振幅、相位都是随机参数，而其余参数是确知的。
8.4.1二进制确知信号的最佳接收机设到达接收机的两个可能信号为 s1(t)和
s2(t),它们的持续时间为 (0,T)。且有相等的能量。 n(t)是高斯白噪声，其均值为零、单边功率谱密度为 n0。现在我们的目的是要设计一个接收机，它能在噪声干扰下有最小的错误概率检测信号。
观察到的波形 y(t)可表示为
y(t)={s1(t) 或 s2(t) } + n(t)
若,则判决收到 s1(t),于是判决收到 s1(t)的条件成为，
T
k
n
s dttstynyf 0
2
1
0
1 )]()([
1e x p
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1)(
T
k
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s dttstynyf 0
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2 )]()([
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)2(
1)(
)()( 21 yfyf ss?
T dttsty
n
sP 0 22
0
2 )]()([
1e x p)(
T dttsty
n
sP 0 21
0
1 )]()([
1e x p)(
不等式两边取对数，简化为再简化为其中
T dttsty
sP
n 0 21
1
0 )]()([)(
1ln
T dttstysPn 0 22
2
0 )]()([)(
1ln
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
)(ln
2 1
0
1 sP
nU?
)(ln
2 2
0
2 sP
nU?
当 P(s1)=P(s2) 时，条件成为对应的接收机结构称为,相关接收机,
TT dttstydttsty 0 20 1 )()()()(
相乘器 积分器 相加器相乘器 积分器 相加器判决器
S1(t)
S2(t) 清洗脉冲
U1
U2
简化的相关接收机积分器×
y ( t ) s 1 ( t ) 输出积分器×
s
2
( t )
比较器当发送信号为 s1(t)时,接收机输入信号为
y(t)=s1(t)+n(t)
其中,n(t)是高斯白噪声,其均值为零,方差为 σ2n。 若二进制确知信号最佳接收机的性能
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
则判为 s1(t)出现,是正确判决 。 若则判为 s2(t)出现,是错误判决 。
将 y(t)=s1(t)+n(t)代入判决式中可得错误判决条件为化简得到
,令
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
T dttststn0 21 )()()(
T dttstntsU 0 212 )()()(
T dttstntsU 0 111 )()()(
T dttsts
sP
sPn
0
2
21
1
20 )()(
2
1
)(
)(ln
2
则，错误事件可以表示为随机变量 服从正态分布，它的均值和方差分别为
T dttststn0 21 )()()(?
T dttsts
sP
sPna
0
2
21
1
20 )()(
2
1
)(
)(ln
2
a
T dttststnEE 0 21 )()()(}{?
0)()()}({0 21 T dttststnE
}{}{ 2 ED
T T d t d ttststststntnE 0 0 2121 ')'()'()()()'()(
式中 E{n(t)n(t’)}为高斯白噪声 n(t)的自相关函数,由随机信号分析可知于是
)(
2
)()()( 0 ntntnEB
}{?DT dttstsn
0
2
21
0 )()(
2
}{)2(1 aPsP s
利用相同的方法．我们可求得式中
a
x
dxe
2
2
2
2
1
'
2
12
2
2
2
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)(
a
x
s dxesP
T dttsts
sP
sPna
0
2
21
1
20 )()(
2
1
)(
)(ln
2
'
总的错误概率为由此看出，所求的最佳接收机的极限性能只与先验概率 P(s1)和 P(s2)、噪声功率诺密度 n0及两信号之差的能量有关，而与、
s1(t)及 s2(t)本身的具体形式无关。
'
2221 2
2
2
2
2
)(
2
)(
a
x
a
x
dxe
sP
dxe
sP
Pe
分析 Pe与先验概率的关系,
当 P(s1)=0，而 P(s2)＝ 1或反之 P(s1)＝ 1，
而 P(s2)=0时,Pe=0,这意味着接收端知道发送的是什么，故不会有错；
先验等概时,Pe只与两信号之差的能量及 n0有关；
当 P(s1)/ P(s2)<>1时,Pe比先验等概时略小。
见图 8— 6
T dttsts
n
A 0 221
0
)()(
2
1
由图不难看出如下几点重要概念：
第一，在 A一定的情况下，先验等概时的错误概率 Pe最大，即，先验等概对于差错性能而言是一种最不利的情况；
第二，若先验不等概，则得到的 Pe比等概时略有下降。
先验分布是不易确知的，故实际中常常使用先验等概的假设，并按图 8— 5设计
,最佳接收机的结构,
二进制确知信号的最佳形式在先验等概情况下，极限性能 Pe可简化为其中定义
dxeP
A
x
e?
2
2
2
1
T dttsts
n
A 0 221
0
)()(
2
1
21
0 21 )()(
EE
dttstsT?
当 s1(t)和 s2(t)具有相等的能量时,有
E=E1=E2=Eb。 将 Eb和 ρ代入式 （ 8.4-22） 可得,
0
)1(
n
EA b
)}
2
)1(
(1{
2
1
0n
E
e r fP be
)
2
)1(
(
2
1
0n
E
e r f c b
当 ρ=1时,Pe=?为最大值；
当 ρ=0时，
当 ρ=-1时，
最小。因此使 ρ=-1的信号是最佳信号。
当 E1=0,E2=Eb时，
022
1
n
E
e r fcP be
02
1
n
E
e r fcP be
042
1
n
E
e r fcP be
在二进制信号中,PSK能使 ρ=-1;
FSK能使 ρ=0；
ASK信号最佳接收时的错误概率可用式
(8,4— 30)表示。
由以上分析可见，在二进制确知信号中，
PSK最佳,FSK信号次之,ASK信号最差。
§ 8.5 随相信号的最佳接收机确知信号是一种理想情况 。 实际信号带有随机参数 。 因而在检测时除了噪声会造成误判决外,参量的未知性又增加了检测错误的因素 。
随相信号是一种典型且简单的随参信号 。 对于随相信号最佳接收,与确知信号最佳接收的思路是一致的 。 但是,随相信号最佳接收的问题显得更复杂一些,最佳接收机结构形式也比确知信号最佳接收机复杂 。
8.4.1 随相信号最佳接收机结构随相信号有多种形式，以随机相位的
2FSK信号为例进行分析。设发送的两个随相信号为
υ1和 υ2是每一个信号的随机相位参数,它们的取值在区间 ［ 0,2π］ 上服从均匀分布 。
)c o s (),(
)c o s (),(
21022
11011
tAts
tAts
二者的能量相等接收波形
y(t)={s1(t,υ) 或 s2(t,υ) } + n(t)
b
TT Edttsdtts
0 2
2
20 1
2
1 ),(),(
由于随机相位,因此不能直接给出似然函数
fs1(y)和 fs2(y)。但是可以先求出在给定相位 υ1
和 υ2的条件下关于 y(t)的条件似然函数 fs1(y/υ1)
和 fs2(y/υ2)，即
Tk
n
s dttstynyf 0
2
11
0
11 )],()([
1e x p
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Tk
n
s dttstynyf 0
2
22
0
22 )],()([
1e x p
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1)/(?
A
s dyfsfyf 11111 )/()()(
A
s dyfsfyf 22222 )/()()(
2
1)(
2?f 2
1)(
1?f
其中,。 经推导得
)2()( 1
0
01 Mn
AKIyf
s?
)2()( 2
0
02 Mn
AKIyf
s?
其中
t d ttyX T 0 11 c o s)(?
td ttyY T 0 11 s i n)(?
2
1
2
11 YXM
t d ttyX T 0 22 c o s)(?
t d ttyY T 0 22 s i n)(?
22222 YXM
最大 似然函数准则成为比较 fs1(y)和 fs2(y)哪个大比较 和 哪个大)2(
1
0
0 Mn
AI )2(
2
0
0 Mn
AI
比较 和 哪个大1M 2M
相关器 平方器相关器 平方器相关器 平方器相关器 平方器相加器 开方器相加器 开方器
sinω1t
cosω2
sinω2t
cosω1
M1
M2
比较随相信号最佳接收机结构
§ 8.6 起伏信号的最佳接收起伏信号 (振幅服从瑞利分布、相位服从均匀分布 )，可看成是数字信号通过瑞利衰落 (快衰落 )信道后的信号。处理起伏信号的最佳接收，在原理和方法上，与随相信号相同。起伏信号的最佳接收机结构和图 8— 11给出的结构相同。
§ 8.7 普通接收机与最佳接收机的性能比较对比第 6章对普通数字调制系统的分析，
可以发现，在那里分析所得的结果与本章对最佳接收机的分析结果在公式的形式上是一样的。这就是说，普通接收系统的 r(r=S/N)与最佳接收系统的 Eb/n0相对应。但公式形式相同不意味着接收性能相同。
分析 r和 Eb/n0的关系。
设：输入端加入相同的噪声 n(t)和数字信号 s(t)时,n(t)的单边功率谱密度为 n0，
s(t)的持续时间为 T．其能量为 Eb。
实际接收系统总是首先要经过带通滤波，
设滤波器的等效矩形带宽为 B，则信噪比
r可表示为而最佳接收机的 Bn
S
N
S
r
0
T
n
S
n
ST
n
E s
1
0
00
实际的带通滤波器带宽 B总是大于或等于
1／ T,上述分析表明，由于实际的带通滤波器带宽 B总是大于或等于 1／ T，故在同样的输入条件下，普通接收系统的性能总是比最佳接收系统的差。这个差值，
将取决于 B与 Eb/n0的比值。
§ 8.8匹配滤波器最佳线性滤波器的设计有两种准则：
使输出的信号波形与发送信号波形的均方误差最小,由此导出维纳滤波器；
使输出信噪比在某一特定时刻达到最大,
由此导出匹配滤波器 。
8.8.1 匹配滤波器的原理输入 x(t)=s(t)+n(t)
s(t)为输入数字信号,其频谱函数为 S(ω)。
n(t)为高斯白噪声,其双边功率谱密度为
n0/2 。
￡? H (? )?D
s ( t )
n ( t )
x ( t ) y ( t ) t ￡? t
0
ê? 3?
S
N
( )
o
输出 y(t)=s0(t)+n0(t)
其中输出信号 s0(t)，其 频谱函数为 So(ω)，
关系为
dests tj)(
2
1)(
00
deHs tj)()(
2
1
滤波器输出噪声的平均功率为
dwwHwpdwwPN
inn
2
0 )()(2
1)(
2
1
0
在抽样时刻 t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为选择 H(w)使该比值最大，利用施瓦兹不等式
dwwHndwwHwn
2
020 )(
4
)()(
22
1
dwwH
n
dwewswH
N
ts
j w t
2
00
2
00
)(
4
)()(
2
1
)(
0
式中,X(ω)和 Y(ω)都是实变量 ω的复函数 。 当且仅当
X(ω)=KY*(ω)
时,等号成立 。
2
)()(
2
1
dYX
dYdX
22
)(2 1)(2 1
X(ω)=H(ω)
Y(ω)=S(ω)ejωt0
dH
n
deSH
r
tj
20
2
)(
4
)()(
2
1
0
2
)(
2
1
)(
4
)()(
4
1
0
2
20
22
0
n
ds
dH
n
desdH
rtj
0
2
n
E?
为信号的能量。线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为它出现的条件是
H(ω)=KS*(ω)e-jωt0
这就是最佳线性滤波器的传输函数,由于它是信号频谱的复共扼,故称为匹配滤波器 。
desE rtj
2
0)(
2
1
0
m a x
2
n
E
r?
冲激响应
deeKSdeHth tjtjtj 00 )(*2 1)(2 1)(
dedesK ttjj )(* 0)(2
)()()(
2 00
ttKsdttSK
dsdeK ttj )(
2
1 *)(
0
s ( t )
O T t
h ( t )
O tt
0
为了获得物理可实现的匹配滤波器，要求当 t<0时有 h(t)=0。为了满足这个条件，
冲激响应 h(t)应满足,
S(t0-t)=0,t<0
S(t)=0,t>t0
这个条件表明，物理可实现的匹配滤波器
，其输入端的信号必须在它输出最大信噪比的时刻 t0之前结束。对于接收机来说，
t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取 t0=T。
若输入信号为 s(t),则匹配滤波器的输出信号为 so(t)=s(t)*h(t)
匹配滤波器的输出是输入的自相关函数 。
dtKsts )()( 0 )( 0ttKR
例 [ 8 - 1］ 设输入信号如图 8 - 3(a)所示,试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形 。
s(t)= 1,0≤t≤τ
0,其他输入信号 s(t)的频谱函数为匹配滤波器的传输特性为
jtj e
j
dtetsS 11)()(
选择 t0=τ，可得求得 h(t)=s(t0-t)= s(τ-t)
这时匹配滤波器可用下图来实现。
0)()( * tjeSH
011 tjj ee
j
je
j
H 11)(
8.8.2 匹配滤波器的实现矩形包络信号的匹配滤波器
LC谐振式动态滤波器
模拟计算式动态滤波器
数字滤波式动态滤波器
声表面波匹配滤波器
LC谐振式动态滤波器匹配滤波器输入匹配滤波器冲击响应匹配滤波器输出模拟计算式动态滤波器
t
Ttt
tu
其他0
0,c o s
)( 01
)(co s)()( 01 tTtTuth
T dttthtutu 0 12 ')'()'()(
t dtttut 0 010 ''c o s)'(c o s
t dtttut 0 010 ''s i n)'(s i n
数字滤波式动态滤波器声表面波匹配滤波器所谓声表面波 (sAw)是指只在固体表面传播的声波。利用声表面波的器件，称为声表面波器件。
声表面波器件的工作原理是：基片左端的换能器 (输入换能器 )通过逆压电效应将输入的电信号转变成声信号。该声信号沿基片的表面传播，最终由基片右边的换能器 (输出换能器 )将声信号转变成电信号输出。通过声信号在压电基片上的传播，可以对信号进行各种处理。
声表面波器件体积小、可靠性高、一致性好，在通信设备中得到广泛的应用。
8.8.3 匹配滤波器应用
1．确知信号最佳接收时
h(t)=s1(T-t)
h(t)=s2(T-t)
比较器y(t) 输出
2．随相信号最佳接收时
h(t)=s1(T-t)
h(t)=s2(T-t)
比较器y(t)
输出包络检波包络检波
§ 8.9最佳基带传输系统本节以基带传输系统为例，将发送、信道和接收作为一个整体，从系统的角度出发来讨论通信系统最佳化的问题。进行分析。
系统组成如下图
H(ω)=CT(ω)C(ω)CR(ω)
G R (? )＋
n ( t )
抽样判决
{ a
n
}′
C (? )G T (? )
{ a n }
d ( t )
为了消除码间干扰，要求这就意味着，总特性是确定的，因而最佳基带系统的设计问题就归结为选择怎样的发送滤波器特性 CT(ω)和接收滤波器特性 CR(ω) 。为使错误概率最小，就要使接收滤波器特性与输入信号的频谱共扼匹配。那么就要求有下式成立
,)2( s
i s
T
T
iH
sT
i
C(ω) =1的最佳基带传输系统同时 为已知。考虑在 t0时刻取样，上述方程改写为于是解出
0)()( * tjTR eCC
)()()( RT CCH?
21)()()( HCC RT
)()( * TR CC?
)()()( RT CCH?
§ 8.2 数字信号接收的统计表述
§ 8.3 关于最佳接收的准则
§ 8.4 确知信号的最佳接收
§ 8.5 随相信号的最佳接收返回主目录
§ 8.6 起伏信号的最佳接收
§ 8.7 普通接收机与最佳接收机的比较
§ 8.8 匹配滤波器
§ 8.9最佳基带接收机
§ 8.1 引言通信系统的质量优劣主要取决于接收机的性能。这是因为，影响信息可靠传输的不利因素直接作用在接收端。通信理论中一个重要的问题：最佳接收或信号接收最佳化。
最佳接收理论研究从噪声中如何最好地提取有用信号。,最好,或,最佳,的概念是在某个准则意义下说的一个相对概念。这就是说，在某个准则下是最佳的接收机，在另一准则下就并非一定是最佳的。
§ 8.2 数字信号接收的统计表述数字通信系统中，接收机观察到接收波形后，要无误地断定某一信号的到来是困难的。
原因是：
哪一个信号被发送，对受信者来说是不确定的；
信 号在传输过程中可能发生各种畸变。
因此可以说，带噪声的数字信号的接收过程是一个统计判决的过程。
数字通信系统的统计模型
x rys
n
判决规则+
消息空间 信号空间噪声空间观察空间 判决空间消息空间 x：离散消息的所有可能取值的集合 x1,x2,… xm,x的出现概率可以用一维概率分布 P(xi)表示；
信号空间 s：消息转换为信号是一一对应的，所以 P(si)＝ P(xi)；
噪声空间 n：假定噪声是高斯型的 (均值为零 )随机过程,n的统计特性用多维联合概率密度函数来描述。
若是高斯过程且各抽样值独立，则
),,,()( 21 kkk nnnfnf
这里的 是噪声的方差，也就是噪声的功率。 k=2fHT是在（ 0,T）内的抽样点数。噪声的平均功率还可以表示为
)()()()( 12111 kk nfnfnfnf?
k
i i
ii
i
n
1
2
2
2
e x p
2
1
k
i
ik n
1
2
22
1e x p
2
1
2?
所以于是
n0是单位频带内的噪声功率。 观察空间
dttn
T
n
Tf
n
k
Tk
i
i
H
k
i
in )(
1
2
11
0
2
1
2
1
22
dttn
n
dttnfn
TT
n
H
k
i
i
n
)(1)(
2
1
0
2
00
2
2
1
2
2
T
kk dttnnnf 0
2
0
)(1e x p
2
1)(
观察空间 y,y(t)=s(t)+n(t)。当发出信号为 si(t)时，接收信号 y(t)为随机过程，其均值为 si(t)，方差为,其概率密度函数为
fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的依据。按照某种准则，即可对 y(t)作出判决，使判决空间中可能出现的状态 r1,
r2,…,rm与信号空间中的各状态 s1,s2,…,sm
相对应。
2n?
T
ik
n
si dttstynyf 0
2
0
)]()([1e x p
)2(
1)(
§ 8.3关于最佳接收的准则在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是,最小差错概率,准则。由于信号受到畸变和噪声的干扰，发送消息 xi时不一定能判为 ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。这将造成错误接收，
错误接收的概率愈小愈好。
以二进制数字通信系统为例,分析在噪声中按何种方法接收才能使错误概率最小？
在二进制数字通信系统中，只发送两种信号 s1和 s2,先验概率分别为 P(s1)和 P(s2)，错误概率为
Pe＝ P(s1)P(r2/s1)＋ P(s2)P(r1/s2)
P(r2/s1)＝ P(r1/s2)为错误转移概率。以使
Pe最小为目标，导出最佳接收的准则。
把观察空间的取值域 y划分成 A1域和 A2
域，一旦接收机被构成后,则这个划分就被规定。该域的几何表示，如图 8—3所示。
Y中的每个点代表着 y(t)
的一个实现 。 落在 A1域的实现判为 r1;A2域中的实现判为 r2。 因此 Pe可写成
Pe＝ P(s1)P(A2/s1)＋ P(s2)P(A1/s2)
正确判决的概率为
Pc＝ 1-Pe=P(s1)P(A1/s1)＋ P(s2)P(A2/s2)
这里改写为
1 )()/( 111 A s dyyfsAP
2 )()/( 222 A s dyyfsAP
)/()()/(1)( 222121 sAPsPsAPsPP c
)/()()/()()( 1212221 sAPsPsAPsPsP
2
)()()()()( 11221 A ss dyyfsPyfsPsP
或者写为为使 Pc最大,应该使,在积分域 A2内,
2
)()()()()( 22112 A ssc dyyfsPyfsPsPP
0)()()()( 1122 yfsPyfsP ss
同理，在积分域 A1内，应该是或者说，
若,判为 r1。
若,判为 r2。
或者
0)()()()( 2211 yfsPyfsP ss
0)()()()( 2211 yfsPyfsP ss
0)()()()( 1122 yfsPyfsP ss
1
1
2
2
1
)(
)(
)(
)(
r
sP
yf
sP
yf ss
，判为?
2
1
2
2
1
)(
)(
)(
)(
r
sP
yf
sP
yf ss
，判为?
上式称为似然比准则。若 P(s1)=P(s2)，
则似然比准则简化为若,则 判为 r1
若,则 判为 r2
)()( 21 yfyf ss?
)()( 12 yfyf ss?
§ 8.4 确知信号的最佳接收到达接收机的信号分为两类：确知信号、
随参信号。
确知信号：所有参数 (幅度、频率、相位、
到达时间等 )都确知，未知的只是信号出现与否。
随机相位信号，除相位外其余参数都确知的信号。
随机振幅、相位信号 (简称起伏信号 )的振幅、相位都是随机参数，而其余参数是确知的。
8.4.1二进制确知信号的最佳接收机设到达接收机的两个可能信号为 s1(t)和
s2(t),它们的持续时间为 (0,T)。且有相等的能量。 n(t)是高斯白噪声，其均值为零、单边功率谱密度为 n0。现在我们的目的是要设计一个接收机，它能在噪声干扰下有最小的错误概率检测信号。
观察到的波形 y(t)可表示为
y(t)={s1(t) 或 s2(t) } + n(t)
若,则判决收到 s1(t),于是判决收到 s1(t)的条件成为，
T
k
n
s dttstynyf 0
2
1
0
1 )]()([
1e x p
)2(
1)(
T
k
n
s dttstynyf 0
2
2
0
2 )]()([
1e x p
)2(
1)(
)()( 21 yfyf ss?
T dttsty
n
sP 0 22
0
2 )]()([
1e x p)(
T dttsty
n
sP 0 21
0
1 )]()([
1e x p)(
不等式两边取对数，简化为再简化为其中
T dttsty
sP
n 0 21
1
0 )]()([)(
1ln
T dttstysPn 0 22
2
0 )]()([)(
1ln
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
)(ln
2 1
0
1 sP
nU?
)(ln
2 2
0
2 sP
nU?
当 P(s1)=P(s2) 时，条件成为对应的接收机结构称为,相关接收机,
TT dttstydttsty 0 20 1 )()()()(
相乘器 积分器 相加器相乘器 积分器 相加器判决器
S1(t)
S2(t) 清洗脉冲
U1
U2
简化的相关接收机积分器×
y ( t ) s 1 ( t ) 输出积分器×
s
2
( t )
比较器当发送信号为 s1(t)时,接收机输入信号为
y(t)=s1(t)+n(t)
其中,n(t)是高斯白噪声,其均值为零,方差为 σ2n。 若二进制确知信号最佳接收机的性能
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
则判为 s1(t)出现,是正确判决 。 若则判为 s2(t)出现,是错误判决 。
将 y(t)=s1(t)+n(t)代入判决式中可得错误判决条件为化简得到
,令
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
T dttststn0 21 )()()(
T dttstntsU 0 212 )()()(
T dttstntsU 0 111 )()()(
T dttsts
sP
sPn
0
2
21
1
20 )()(
2
1
)(
)(ln
2
则，错误事件可以表示为随机变量 服从正态分布，它的均值和方差分别为
T dttststn0 21 )()()(?
T dttsts
sP
sPna
0
2
21
1
20 )()(
2
1
)(
)(ln
2
a
T dttststnEE 0 21 )()()(}{?
0)()()}({0 21 T dttststnE
}{}{ 2 ED
T T d t d ttststststntnE 0 0 2121 ')'()'()()()'()(
式中 E{n(t)n(t’)}为高斯白噪声 n(t)的自相关函数,由随机信号分析可知于是
)(
2
)()()( 0 ntntnEB
}{?DT dttstsn
0
2
21
0 )()(
2
}{)2(1 aPsP s
利用相同的方法．我们可求得式中
a
x
dxe
2
2
2
2
1
'
2
12
2
2
2
1
)(
a
x
s dxesP
T dttsts
sP
sPna
0
2
21
1
20 )()(
2
1
)(
)(ln
2
'
总的错误概率为由此看出，所求的最佳接收机的极限性能只与先验概率 P(s1)和 P(s2)、噪声功率诺密度 n0及两信号之差的能量有关，而与、
s1(t)及 s2(t)本身的具体形式无关。
'
2221 2
2
2
2
2
)(
2
)(
a
x
a
x
dxe
sP
dxe
sP
Pe
分析 Pe与先验概率的关系,
当 P(s1)=0，而 P(s2)＝ 1或反之 P(s1)＝ 1，
而 P(s2)=0时,Pe=0,这意味着接收端知道发送的是什么，故不会有错；
先验等概时,Pe只与两信号之差的能量及 n0有关；
当 P(s1)/ P(s2)<>1时,Pe比先验等概时略小。
见图 8— 6
T dttsts
n
A 0 221
0
)()(
2
1
由图不难看出如下几点重要概念：
第一，在 A一定的情况下，先验等概时的错误概率 Pe最大，即，先验等概对于差错性能而言是一种最不利的情况；
第二，若先验不等概，则得到的 Pe比等概时略有下降。
先验分布是不易确知的，故实际中常常使用先验等概的假设，并按图 8— 5设计
,最佳接收机的结构,
二进制确知信号的最佳形式在先验等概情况下，极限性能 Pe可简化为其中定义
dxeP
A
x
e?
2
2
2
1
T dttsts
n
A 0 221
0
)()(
2
1
21
0 21 )()(
EE
dttstsT?
当 s1(t)和 s2(t)具有相等的能量时,有
E=E1=E2=Eb。 将 Eb和 ρ代入式 （ 8.4-22） 可得,
0
)1(
n
EA b
)}
2
)1(
(1{
2
1
0n
E
e r fP be
)
2
)1(
(
2
1
0n
E
e r f c b
当 ρ=1时,Pe=?为最大值；
当 ρ=0时，
当 ρ=-1时，
最小。因此使 ρ=-1的信号是最佳信号。
当 E1=0,E2=Eb时，
022
1
n
E
e r fcP be
02
1
n
E
e r fcP be
042
1
n
E
e r fcP be
在二进制信号中,PSK能使 ρ=-1;
FSK能使 ρ=0；
ASK信号最佳接收时的错误概率可用式
(8,4— 30)表示。
由以上分析可见，在二进制确知信号中，
PSK最佳,FSK信号次之,ASK信号最差。
§ 8.5 随相信号的最佳接收机确知信号是一种理想情况 。 实际信号带有随机参数 。 因而在检测时除了噪声会造成误判决外,参量的未知性又增加了检测错误的因素 。
随相信号是一种典型且简单的随参信号 。 对于随相信号最佳接收,与确知信号最佳接收的思路是一致的 。 但是,随相信号最佳接收的问题显得更复杂一些,最佳接收机结构形式也比确知信号最佳接收机复杂 。
8.4.1 随相信号最佳接收机结构随相信号有多种形式，以随机相位的
2FSK信号为例进行分析。设发送的两个随相信号为
υ1和 υ2是每一个信号的随机相位参数,它们的取值在区间 ［ 0,2π］ 上服从均匀分布 。
)c o s (),(
)c o s (),(
21022
11011
tAts
tAts
二者的能量相等接收波形
y(t)={s1(t,υ) 或 s2(t,υ) } + n(t)
b
TT Edttsdtts
0 2
2
20 1
2
1 ),(),(
由于随机相位,因此不能直接给出似然函数
fs1(y)和 fs2(y)。但是可以先求出在给定相位 υ1
和 υ2的条件下关于 y(t)的条件似然函数 fs1(y/υ1)
和 fs2(y/υ2)，即
Tk
n
s dttstynyf 0
2
11
0
11 )],()([
1e x p
)2(
1)/(?
Tk
n
s dttstynyf 0
2
22
0
22 )],()([
1e x p
)2(
1)/(?
A
s dyfsfyf 11111 )/()()(
A
s dyfsfyf 22222 )/()()(
2
1)(
2?f 2
1)(
1?f
其中,。 经推导得
)2()( 1
0
01 Mn
AKIyf
s?
)2()( 2
0
02 Mn
AKIyf
s?
其中
t d ttyX T 0 11 c o s)(?
td ttyY T 0 11 s i n)(?
2
1
2
11 YXM
t d ttyX T 0 22 c o s)(?
t d ttyY T 0 22 s i n)(?
22222 YXM
最大 似然函数准则成为比较 fs1(y)和 fs2(y)哪个大比较 和 哪个大)2(
1
0
0 Mn
AI )2(
2
0
0 Mn
AI
比较 和 哪个大1M 2M
相关器 平方器相关器 平方器相关器 平方器相关器 平方器相加器 开方器相加器 开方器
sinω1t
cosω2
sinω2t
cosω1
M1
M2
比较随相信号最佳接收机结构
§ 8.6 起伏信号的最佳接收起伏信号 (振幅服从瑞利分布、相位服从均匀分布 )，可看成是数字信号通过瑞利衰落 (快衰落 )信道后的信号。处理起伏信号的最佳接收，在原理和方法上，与随相信号相同。起伏信号的最佳接收机结构和图 8— 11给出的结构相同。
§ 8.7 普通接收机与最佳接收机的性能比较对比第 6章对普通数字调制系统的分析，
可以发现，在那里分析所得的结果与本章对最佳接收机的分析结果在公式的形式上是一样的。这就是说，普通接收系统的 r(r=S/N)与最佳接收系统的 Eb/n0相对应。但公式形式相同不意味着接收性能相同。
分析 r和 Eb/n0的关系。
设：输入端加入相同的噪声 n(t)和数字信号 s(t)时,n(t)的单边功率谱密度为 n0，
s(t)的持续时间为 T．其能量为 Eb。
实际接收系统总是首先要经过带通滤波，
设滤波器的等效矩形带宽为 B，则信噪比
r可表示为而最佳接收机的 Bn
S
N
S
r
0
T
n
S
n
ST
n
E s
1
0
00
实际的带通滤波器带宽 B总是大于或等于
1／ T,上述分析表明，由于实际的带通滤波器带宽 B总是大于或等于 1／ T，故在同样的输入条件下，普通接收系统的性能总是比最佳接收系统的差。这个差值，
将取决于 B与 Eb/n0的比值。
§ 8.8匹配滤波器最佳线性滤波器的设计有两种准则：
使输出的信号波形与发送信号波形的均方误差最小,由此导出维纳滤波器；
使输出信噪比在某一特定时刻达到最大,
由此导出匹配滤波器 。
8.8.1 匹配滤波器的原理输入 x(t)=s(t)+n(t)
s(t)为输入数字信号,其频谱函数为 S(ω)。
n(t)为高斯白噪声,其双边功率谱密度为
n0/2 。
￡? H (? )?D
s ( t )
n ( t )
x ( t ) y ( t ) t ￡? t
0
ê? 3?
S
N
( )
o
输出 y(t)=s0(t)+n0(t)
其中输出信号 s0(t)，其 频谱函数为 So(ω)，
关系为
dests tj)(
2
1)(
00
deHs tj)()(
2
1
滤波器输出噪声的平均功率为
dwwHwpdwwPN
inn
2
0 )()(2
1)(
2
1
0
在抽样时刻 t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为选择 H(w)使该比值最大，利用施瓦兹不等式
dwwHndwwHwn
2
020 )(
4
)()(
22
1
dwwH
n
dwewswH
N
ts
j w t
2
00
2
00
)(
4
)()(
2
1
)(
0
式中,X(ω)和 Y(ω)都是实变量 ω的复函数 。 当且仅当
X(ω)=KY*(ω)
时,等号成立 。
2
)()(
2
1
dYX
dYdX
22
)(2 1)(2 1
X(ω)=H(ω)
Y(ω)=S(ω)ejωt0
dH
n
deSH
r
tj
20
2
)(
4
)()(
2
1
0
2
)(
2
1
)(
4
)()(
4
1
0
2
20
22
0
n
ds
dH
n
desdH
rtj
0
2
n
E?
为信号的能量。线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为它出现的条件是
H(ω)=KS*(ω)e-jωt0
这就是最佳线性滤波器的传输函数,由于它是信号频谱的复共扼,故称为匹配滤波器 。
desE rtj
2
0)(
2
1
0
m a x
2
n
E
r?
冲激响应
deeKSdeHth tjtjtj 00 )(*2 1)(2 1)(
dedesK ttjj )(* 0)(2
)()()(
2 00
ttKsdttSK
dsdeK ttj )(
2
1 *)(
0
s ( t )
O T t
h ( t )
O tt
0
为了获得物理可实现的匹配滤波器，要求当 t<0时有 h(t)=0。为了满足这个条件，
冲激响应 h(t)应满足,
S(t0-t)=0,t<0
S(t)=0,t>t0
这个条件表明，物理可实现的匹配滤波器
，其输入端的信号必须在它输出最大信噪比的时刻 t0之前结束。对于接收机来说，
t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取 t0=T。
若输入信号为 s(t),则匹配滤波器的输出信号为 so(t)=s(t)*h(t)
匹配滤波器的输出是输入的自相关函数 。
dtKsts )()( 0 )( 0ttKR
例 [ 8 - 1］ 设输入信号如图 8 - 3(a)所示,试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形 。
s(t)= 1,0≤t≤τ
0,其他输入信号 s(t)的频谱函数为匹配滤波器的传输特性为
jtj e
j
dtetsS 11)()(
选择 t0=τ，可得求得 h(t)=s(t0-t)= s(τ-t)
这时匹配滤波器可用下图来实现。
0)()( * tjeSH
011 tjj ee
j
je
j
H 11)(
8.8.2 匹配滤波器的实现矩形包络信号的匹配滤波器
LC谐振式动态滤波器
模拟计算式动态滤波器
数字滤波式动态滤波器
声表面波匹配滤波器
LC谐振式动态滤波器匹配滤波器输入匹配滤波器冲击响应匹配滤波器输出模拟计算式动态滤波器
t
Ttt
tu
其他0
0,c o s
)( 01
)(co s)()( 01 tTtTuth
T dttthtutu 0 12 ')'()'()(
t dtttut 0 010 ''c o s)'(c o s
t dtttut 0 010 ''s i n)'(s i n
数字滤波式动态滤波器声表面波匹配滤波器所谓声表面波 (sAw)是指只在固体表面传播的声波。利用声表面波的器件，称为声表面波器件。
声表面波器件的工作原理是：基片左端的换能器 (输入换能器 )通过逆压电效应将输入的电信号转变成声信号。该声信号沿基片的表面传播，最终由基片右边的换能器 (输出换能器 )将声信号转变成电信号输出。通过声信号在压电基片上的传播，可以对信号进行各种处理。
声表面波器件体积小、可靠性高、一致性好，在通信设备中得到广泛的应用。
8.8.3 匹配滤波器应用
1．确知信号最佳接收时
h(t)=s1(T-t)
h(t)=s2(T-t)
比较器y(t) 输出
2．随相信号最佳接收时
h(t)=s1(T-t)
h(t)=s2(T-t)
比较器y(t)
输出包络检波包络检波
§ 8.9最佳基带传输系统本节以基带传输系统为例，将发送、信道和接收作为一个整体，从系统的角度出发来讨论通信系统最佳化的问题。进行分析。
系统组成如下图
H(ω)=CT(ω)C(ω)CR(ω)
G R (? )＋
n ( t )
抽样判决
{ a
n
}′
C (? )G T (? )
{ a n }
d ( t )
为了消除码间干扰，要求这就意味着，总特性是确定的，因而最佳基带系统的设计问题就归结为选择怎样的发送滤波器特性 CT(ω)和接收滤波器特性 CR(ω) 。为使错误概率最小，就要使接收滤波器特性与输入信号的频谱共扼匹配。那么就要求有下式成立
,)2( s
i s
T
T
iH
sT
i
C(ω) =1的最佳基带传输系统同时 为已知。考虑在 t0时刻取样，上述方程改写为于是解出
0)()( * tjTR eCC
)()()( RT CCH?
21)()()( HCC RT
)()( * TR CC?
)()()( RT CCH?
