《
概率统计
》
第四章习题课
2
问题 1 数学期望定义中为何要求绝对收敛？
我们通过一个期望不存在的例子来说明这个问题,
设 X 的分布律为 kkk xXPp 2/1)(
,2,1?k kx kkk /2)1( 1其中则
1k
kk px?
1
1 /)1(
k
k k
.2ln4/13/12/11( J )
3
但由于
1k
kk px?
1
/1
k
k
因此 X 的 数学期望不存在,事实上由微积分知识可知,如果把 ( J ) 式左边级数中的项进行重排可能收敛于不同的数，例如
.2ln5.14/17/15/12/13/11
.2ln5.08/16/13/14/12/11
随机变量的 数学期望只能是一个数,因此期望定义中要求的绝对收敛是
4
必要的，它可以保证顺序的变化不影响 数学期望中级数的收敛性,
问题 2 书中方差性质 4如何证明？
1)(0)( CXPXD
证 先证必要性 当 时,0)]([)( 2 XEXEXD
CXE?)(记,若结论不成立,则
1)( CXP 或等价地 0)( CXP
于是
Cxx
xXPCxCXPCxXD
:
22 )()()()()(
5
右端第二项和式中至少有一项
CaaXP,0)(
从而对应的,因此0)( 2 Ca
0)()()( 2 aXPCaXD
与已知矛盾,所以,1)( CXP
再证充分性
.0)]([)()( 2222 CCXEXEXD
当 时,1)( CXP
,1)( CCXE 2 2 2( ) 1,E X C C
则
6
问题 3 方差不存在的随机变量,其期望是否也不存在？
是,因为由,)]([)()( 22 XEXEXD同学甲答得 )()()( 2 XDXEXE
右边 不存在则左边 也不能存在,)(XD )(XE
同学乙答 否,因为二阶中心矩不存在并不能推出一阶原点矩不存在,
两种回答究竟谁对？
7
同学乙回答得对自由度为 n 的分布,
2
)()(,0)( 2
n
nXEXDXE
.)(,0)( XDXE2?n当 时,
2?n当 时,
)(~ ntX例如
8
4 - 2 X 4 5 6 7
p 4/18/1 16/5 16/5
81.5
16
93
16
35
16
30
16
20
16
8)(XE
解二 X 的分布律为,
,)5.0()5.0()( 433 1 kkCkXP
解
81.5
16
93
)(
7
4
k
kpkXE
.7,6,5,4?k
9
4 - 5 设 X 表示电梯需停次数,则
mn
m
nnn
XE
2
3
1
21)(
？
X 1 2 3 m?
p
1
1
nn
1
2
1
n mn?
1
概 率怎能为负！
(若 n<m)
.
1
11
m
n
n
10
解?
iX
设 1,电梯在第 i 层停0,电梯在第 i 层不停 ni ~1?
m
n
111
X i 1 0
p m
n
11
)( iXE
m
n
111 ni ~1?
设 X 表示电梯需停次数,则?
n
i
iXX
1
n
i
iXEXE
1
)()(,
1
11
m
n
n
11
4 - 9 设 Xi 表示第 i 个人摸到的红球
Xi 0 1 2
p 6.0
2
5
1
3
1
2?
C
CC
3.02
5
2
3?
C
C 1.01
2
5
C
nXEXEXE
n
i
ii 8.0)()(8.0)(
1
数,设 X表示 n 个人共摸到的红球数,
则有
22 ))(()()( XEXEXD
264.0 nn
2)8.0()3.006.011.04( nn？
12
)( 2XE还有同学无计算 的过程
22 ))(()()( XEXEXD 236.0 n?
)( 2XE 的正确计算
)2()()(
11
22
1
2
nji
ji
n
i
i
n
i
i XXXEXEXE
)()(2)(
11
2
nji
ji
n
i
i XEXEXE
222 64.036.0)8.0(2 nnCn n
22 ))(()()( XEXEXD n36.0?
13
解法二
Xi 0 1 2
p 6.0
2
5
1
3
1
2?
C
CC
3.02
5
2
3?
C
C 1.01
2
5
C
11.026.01)(,8.0)( 222 ii XEXE
36.064.01))(()()( 22 iii XEXEXD
nXDXDXD i
n
i
n
i
i 36.0)()()(
11
14
4 - 10 设 X表示试开次数,则其分布律为
n
nXE 1)21()( 2222
2
11)21()( n
n
nXE?
)12)(1(61 nn
12
1))(()()( 222 nXEXEXD
1 2 3 X
p
1
11
nn
n
n
1
2
1
1
21
nn
n
n
n
n
1
n
15
4 - 16 设 乘客在第 Xi 分钟 到达车站,
12
11
60
1021)(100
11?
XEx 时当
2
7
60
2021)(3010
22?
XEx 时当
12
65
60
2521)(5530
33?
XEx 时当
4
5
60
151110)(6055
44?
XEx 时当无道理 !到达概率为,60/1 i =1 ~ 4.
16
秒分 2510)()(
4
1
4
1
i
i
i
i XEXEXE？
)2510(.
12
133)(4
1
秒分
i
iXE
即使 按错误的推导,也应为以上解法像模像样,答案也与书后相同,很容易获得助教 (研究生 )的打
)( iXE本解法的最大错误在于 是表示到达车站时间的数学期望,而不是等候时间的数学期望,
17
( ) (0 1 2 1 1 9 9 ) / 3 6 0 0EX
(0 1 2 1 4 9 9 ) / 3 6 0 0
(0 1 2 8 9 9 ) / 3 6 0 0
6 2 4,5 1 0 2 5 分 秒,
18
正确解 设 T 为 乘客 到达车站的时间,
]60,0(~ UT则乘客需等候的时间为
605570
553055
301030
10010
)(
TT
TT
TT
TT
Tg
其他0
600
)( 60
1 t
tf T
19
dttftgTgE )()()]([
10
0
)10([
60
1 dtt30
10
)30( dtt
5530 )55( dtt6055 )70( dtt
秒分 2510
60
62 5
下面解法二由 3503 班 梁俊睿 提供
20
解法二 设乘客需等候的时间为 T,则
2520
20152
1503
)(~
tA
tA
tA
tfT A 为待定系数
60
1160)(
AAdttf由
dtttfTE )()(
15
0 20
dtt
20
15 30
dtt?
25
20 60
dtt
秒分 2510
60
62 5
21
4 – 21 证 (1)由题设
],[~ baUX
其他0
1
)(
bxa
abxf X
)( XEdx
ab
xdx
ab
aa b
a
b
a
)( XEdx
ab
xdx
ab
bb b
a
b
a
bXEa )(
11)(?
dx
ab
dxxf
b
a
22
正确证明
)()()( XEdxxxfdxxafa
b
a
b
a
)()()( XEdxxxfdxxbfb b
a
b
a
bXEa )(证 (2)
22 )(2)(2)(2 cXEEXXEXD
2
)(
)()(
2
22 abbXEaXE
2)(
4
1
)( abXD
？？
23
证 (2) 22 )()()( EXXEXD
b
a
dxxfxXE )()( 22
则 222
)( bXEa
222 )( bEXa
22 )()()( EXXEXD
4
)( 222 ab
ab
？
4
131,2 ab取
24
正确证明中，在方差公式 2)()( cXEXD
2
bac取
22 )()()( cbEcXEXD
4
)()( 22 abcb
由于 X 在区间 [a,b] 上取值,故
22 )()( cbcX cbcX
22 )()( cbEcXE
25
发生发生
A
AX
,0
,1
发生发生
B
BY
,0
,1设 A,B 为随机试验 E 的两个事件，0 < P (A) < 1,0 < P (B) < 1,令4 - 23
证明,若? XY = 0,则随机变量 X,Y 相互独立,
证 由? XY = 0 0),(?YXC O V
)()()( YEXEXYE?
)()( APXE? )()( BPYE?而
不同时发生同时发生
BA
BA
XY
,,0
,,1
)()( ABPXYE?
)()()( BPAPABP? 事件 A,相互独立
X,Y 相互独立,？
26
)1()1()1,1( YPXPYXP
错误原因
)()()( BPAPABP?
而这并不表明 X,Y 相互独立,
本题要 证明离散 随机变量 X,Y 相互独立,必需证明如下四个等式都成立：
1,0,)()(),( jijYPiXPjYiXP
重新证明由题设得 ( X,Y ) 的联合分布：
27
X
Y
pij 1 0
1
0
p1 p2
p3 p4
pi? p1+ p3 p2+p4
p? j
p1 + p2
p3 + p4 14
1
i i
p
)()( 31 APppXE
)()( 21 BPppYE )()(
1 ABPpXYE
由 0?XY? )()()( YEXEXYE?
即 )()()( BPAPABP?
即 )1()1()1,1( YPXPYXP
28
由于事件 A,B 相互独立，必有
BABABA,;,;,
也相互独立，即
)()0,1( BAPYXP
)0()1( YPXP
)()( BPAP?
同理可证，
)1()0()1,0( YPXPYXP
)0()0()0,0( YPXPYXP
故 X,Y 相互独立,
29
4 – 31 22,YXYX,独立 独立
22 )]([])[()( XYEXYEXYD
2222 )]([)]([)()( YEXEYEXE
22 )]([)]([ YEXE?
)()]([)()( 2 YDXEYDXD
)()]([ 2 XDYE?
.)()( YDXD?
})]([)(}{)]([)({ 22 YEYDXEXD
30
设随机变量 X 的密度函数为 xexf x,
2
1)( ||
(1) E(| X |),D(| X |)
(2) 求 cov( X,| X |),问 X 与 | X |相关与否,
(3) 问 X 与 | X | 是否独立？为什么？
解 (1)?
1
2
1|||)(| || dxexXE x
2
2
1
2
2
1
2
1
||)|(|
0
2
2||22
dxex
dxexdxexXE
x
xx
1|)(|?XD
补充题
31
(2) 0
2
1
2
1
2
1
|||)|(
0
2
0
2
||
dxexdxex
dxexxXXE
xx
x
0
2
1
2
1
2
1
)(
0
0
||
dxxedxxe
dxexXE
xx
x
0|)(|)(|)|(|)|,c o v ( XEXEXXEXX
X 与 | X |不相关,
32
(3) 0)1||,2( XXP
2 )()2( dxxfXP
22
2
1
2
1
edxe
x
11 )()1|(| dxxfXP
11
0 12
12 edxe x
显然 )1|(|)2()1||,2( XPXPXXP
因而 X 与 | X | 不独立,
概率统计
》
第四章习题课
2
问题 1 数学期望定义中为何要求绝对收敛？
我们通过一个期望不存在的例子来说明这个问题,
设 X 的分布律为 kkk xXPp 2/1)(
,2,1?k kx kkk /2)1( 1其中则
1k
kk px?
1
1 /)1(
k
k k
.2ln4/13/12/11( J )
3
但由于
1k
kk px?
1
/1
k
k
因此 X 的 数学期望不存在,事实上由微积分知识可知,如果把 ( J ) 式左边级数中的项进行重排可能收敛于不同的数，例如
.2ln5.14/17/15/12/13/11
.2ln5.08/16/13/14/12/11
随机变量的 数学期望只能是一个数,因此期望定义中要求的绝对收敛是
4
必要的，它可以保证顺序的变化不影响 数学期望中级数的收敛性,
问题 2 书中方差性质 4如何证明？
1)(0)( CXPXD
证 先证必要性 当 时,0)]([)( 2 XEXEXD
CXE?)(记,若结论不成立,则
1)( CXP 或等价地 0)( CXP
于是
Cxx
xXPCxCXPCxXD
:
22 )()()()()(
5
右端第二项和式中至少有一项
CaaXP,0)(
从而对应的,因此0)( 2 Ca
0)()()( 2 aXPCaXD
与已知矛盾,所以,1)( CXP
再证充分性
.0)]([)()( 2222 CCXEXEXD
当 时,1)( CXP
,1)( CCXE 2 2 2( ) 1,E X C C
则
6
问题 3 方差不存在的随机变量,其期望是否也不存在？
是,因为由,)]([)()( 22 XEXEXD同学甲答得 )()()( 2 XDXEXE
右边 不存在则左边 也不能存在,)(XD )(XE
同学乙答 否,因为二阶中心矩不存在并不能推出一阶原点矩不存在,
两种回答究竟谁对？
7
同学乙回答得对自由度为 n 的分布,
2
)()(,0)( 2
n
nXEXDXE
.)(,0)( XDXE2?n当 时,
2?n当 时,
)(~ ntX例如
8
4 - 2 X 4 5 6 7
p 4/18/1 16/5 16/5
81.5
16
93
16
35
16
30
16
20
16
8)(XE
解二 X 的分布律为,
,)5.0()5.0()( 433 1 kkCkXP
解
81.5
16
93
)(
7
4
k
kpkXE
.7,6,5,4?k
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4 - 5 设 X 表示电梯需停次数,则
mn
m
nnn
XE
2
3
1
21)(
？
X 1 2 3 m?
p
1
1
nn
1
2
1
n mn?
1
概 率怎能为负！
(若 n<m)
.
1
11
m
n
n
10
解?
iX
设 1,电梯在第 i 层停0,电梯在第 i 层不停 ni ~1?
m
n
111
X i 1 0
p m
n
11
)( iXE
m
n
111 ni ~1?
设 X 表示电梯需停次数,则?
n
i
iXX
1
n
i
iXEXE
1
)()(,
1
11
m
n
n
11
4 - 9 设 Xi 表示第 i 个人摸到的红球
Xi 0 1 2
p 6.0
2
5
1
3
1
2?
C
CC
3.02
5
2
3?
C
C 1.01
2
5
C
nXEXEXE
n
i
ii 8.0)()(8.0)(
1
数,设 X表示 n 个人共摸到的红球数,
则有
22 ))(()()( XEXEXD
264.0 nn
2)8.0()3.006.011.04( nn？
12
)( 2XE还有同学无计算 的过程
22 ))(()()( XEXEXD 236.0 n?
)( 2XE 的正确计算
)2()()(
11
22
1
2
nji
ji
n
i
i
n
i
i XXXEXEXE
)()(2)(
11
2
nji
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n
i
i XEXEXE
222 64.036.0)8.0(2 nnCn n
22 ))(()()( XEXEXD n36.0?
13
解法二
Xi 0 1 2
p 6.0
2
5
1
3
1
2?
C
CC
3.02
5
2
3?
C
C 1.01
2
5
C
11.026.01)(,8.0)( 222 ii XEXE
36.064.01))(()()( 22 iii XEXEXD
nXDXDXD i
n
i
n
i
i 36.0)()()(
11
14
4 - 10 设 X表示试开次数,则其分布律为
n
nXE 1)21()( 2222
2
11)21()( n
n
nXE?
)12)(1(61 nn
12
1))(()()( 222 nXEXEXD
1 2 3 X
p
1
11
nn
n
n
1
2
1
1
21
nn
n
n
n
n
1
n
15
4 - 16 设 乘客在第 Xi 分钟 到达车站,
12
11
60
1021)(100
11?
XEx 时当
2
7
60
2021)(3010
22?
XEx 时当
12
65
60
2521)(5530
33?
XEx 时当
4
5
60
151110)(6055
44?
XEx 时当无道理 !到达概率为,60/1 i =1 ~ 4.
16
秒分 2510)()(
4
1
4
1
i
i
i
i XEXEXE？
)2510(.
12
133)(4
1
秒分
i
iXE
即使 按错误的推导,也应为以上解法像模像样,答案也与书后相同,很容易获得助教 (研究生 )的打
)( iXE本解法的最大错误在于 是表示到达车站时间的数学期望,而不是等候时间的数学期望,
17
( ) (0 1 2 1 1 9 9 ) / 3 6 0 0EX
(0 1 2 1 4 9 9 ) / 3 6 0 0
(0 1 2 8 9 9 ) / 3 6 0 0
6 2 4,5 1 0 2 5 分 秒,
18
正确解 设 T 为 乘客 到达车站的时间,
]60,0(~ UT则乘客需等候的时间为
605570
553055
301030
10010
)(
TT
TT
TT
TT
Tg
其他0
600
)( 60
1 t
tf T
19
dttftgTgE )()()]([
10
0
)10([
60
1 dtt30
10
)30( dtt
5530 )55( dtt6055 )70( dtt
秒分 2510
60
62 5
下面解法二由 3503 班 梁俊睿 提供
20
解法二 设乘客需等候的时间为 T,则
2520
20152
1503
)(~
tA
tA
tA
tfT A 为待定系数
60
1160)(
AAdttf由
dtttfTE )()(
15
0 20
dtt
20
15 30
dtt?
25
20 60
dtt
秒分 2510
60
62 5
21
4 – 21 证 (1)由题设
],[~ baUX
其他0
1
)(
bxa
abxf X
)( XEdx
ab
xdx
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11)(?
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dxxf
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22
正确证明
)()()( XEdxxxfdxxafa
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a
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a
bXEa )(证 (2)
22 )(2)(2)(2 cXEEXXEXD
2
)(
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2
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2)(
4
1
)( abXD
？？
23
证 (2) 22 )()()( EXXEXD
b
a
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则 222
)( bXEa
222 )( bEXa
22 )()()( EXXEXD
4
)( 222 ab
ab
？
4
131,2 ab取
24
正确证明中，在方差公式 2)()( cXEXD
2
bac取
22 )()()( cbEcXEXD
4
)()( 22 abcb
由于 X 在区间 [a,b] 上取值,故
22 )()( cbcX cbcX
22 )()( cbEcXE
25
发生发生
A
AX
,0
,1
发生发生
B
BY
,0
,1设 A,B 为随机试验 E 的两个事件，0 < P (A) < 1,0 < P (B) < 1,令4 - 23
证明,若? XY = 0,则随机变量 X,Y 相互独立,
证 由? XY = 0 0),(?YXC O V
)()()( YEXEXYE?
)()( APXE? )()( BPYE?而
不同时发生同时发生
BA
BA
XY
,,0
,,1
)()( ABPXYE?
)()()( BPAPABP? 事件 A,相互独立
X,Y 相互独立,？
26
)1()1()1,1( YPXPYXP
错误原因
)()()( BPAPABP?
而这并不表明 X,Y 相互独立,
本题要 证明离散 随机变量 X,Y 相互独立,必需证明如下四个等式都成立：
1,0,)()(),( jijYPiXPjYiXP
重新证明由题设得 ( X,Y ) 的联合分布：
27
X
Y
pij 1 0
1
0
p1 p2
p3 p4
pi? p1+ p3 p2+p4
p? j
p1 + p2
p3 + p4 14
1
i i
p
)()( 31 APppXE
)()( 21 BPppYE )()(
1 ABPpXYE
由 0?XY? )()()( YEXEXYE?
即 )()()( BPAPABP?
即 )1()1()1,1( YPXPYXP
28
由于事件 A,B 相互独立，必有
BABABA,;,;,
也相互独立，即
)()0,1( BAPYXP
)0()1( YPXP
)()( BPAP?
同理可证，
)1()0()1,0( YPXPYXP
)0()0()0,0( YPXPYXP
故 X,Y 相互独立,
29
4 – 31 22,YXYX,独立 独立
22 )]([])[()( XYEXYEXYD
2222 )]([)]([)()( YEXEYEXE
22 )]([)]([ YEXE?
)()]([)()( 2 YDXEYDXD
)()]([ 2 XDYE?
.)()( YDXD?
})]([)(}{)]([)({ 22 YEYDXEXD
30
设随机变量 X 的密度函数为 xexf x,
2
1)( ||
(1) E(| X |),D(| X |)
(2) 求 cov( X,| X |),问 X 与 | X |相关与否,
(3) 问 X 与 | X | 是否独立？为什么？
解 (1)?
1
2
1|||)(| || dxexXE x
2
2
1
2
2
1
2
1
||)|(|
0
2
2||22
dxex
dxexdxexXE
x
xx
1|)(|?XD
补充题
31
(2) 0
2
1
2
1
2
1
|||)|(
0
2
0
2
||
dxexdxex
dxexxXXE
xx
x
0
2
1
2
1
2
1
)(
0
0
||
dxxedxxe
dxexXE
xx
x
0|)(|)(|)|(|)|,c o v ( XEXEXXEXX
X 与 | X |不相关,
32
(3) 0)1||,2( XXP
2 )()2( dxxfXP
22
2
1
2
1
edxe
x
11 )()1|(| dxxfXP
11
0 12
12 edxe x
显然 )1|(|)2()1||,2( XPXPXXP
因而 X 与 | X | 不独立,
