5.1 线性空间及其性质第 5章 线性空间与线性变换
二、线性空间的性质
三、线性子空间
一,线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．
一、线性空间的定义
若对于任一数 与任一元素,总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的 积,
记作
Pk? V
V k?
k?
定义１ 设 是一个非空集合,是一数域．如果对于任意两个元素,总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的 和,记作
V,
V
V P
PlkV,;,,设;0
,,0)3(
都有对任何中存在零元素在 VV;)1(
;)2(
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的 线性空间,V P;1)5(
;)6( kllk?
,)8( kkk
;)7( lklk;0
,,)4(
使的负元素都有对任何 VV
2,线性空间中的元素均称之为向量．
3,判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
说明
1,凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，
称为 线性运算,
线性空间的元素统称为,向量,,但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等,
线性空间
是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性,
n
（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作,
nm?
nmR?
,nmnmnm CBA,nmnm DA
.是一个线性空间nmR
线性空间的判定方法
.
,
},,,,{][
],[,
0101
1
1
性空间线数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法即记作的多项式的全体次数小于
RxpxP
xPn
aaaaaxa n
n
nn
n
例2
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．
)()( 01110111 bbxbaaxa xx nnnn
)()()( 0011111 babaxba xnnn][xPn?
)( 0111 aaxa xnn
)()()( 0111 aaxa xnn
.][ 对运算封闭xP n
][xPn?
.
}0,
,,,{
0
101
][
间空和乘数运算不构成线性对于通常的多项式加法且次多项式的全体
aa
aaaaxaxQ
n
n
n
nn
R
xp
n
例3
p0 000 xx n? ][xQ n?
.][ 对运算不封闭xQ n
例４ 正弦函数的集合
,,s i n RBABxAsxS
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．
221121 s ins in BxABxAss
xbxaxbxa s inc o ss inc o s 2211
xbbxaa s inc o s 2121
BxA s in ].[ xS?
11111 s ins in BxABxAs ][ xS?
是一个线性空间,xS?
例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．
],[ ba
一般地例６ 正实数的全体，记作,在其中定义加法及乘数运算为
R
.,,,, RbaRaaabba
验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间．R
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．
证明 ;,, RabbaRba
.,, RaaRaR
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：;)1( abbaabba
);()()())(2( cbacabcabcba
有对任何中存在零元素,,1)3( RaR;11 aaa
使有负元素,,)4( 1 RaRa;111 aaaa;1)5( 1 aaa
;)6( aaaaa
;
)7(
aa
aaaaaa
baababba )()()8(
所以 对所定义的运算构成线性空间．R
.baba
0,,0),,( 1n Txx?
不构成线性空间．
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例７ 个有序实数组成的数组的全体n
RxxxxxxxS nn Tn,,,),,,( 2121
.对运算封闭S n
,1 ox但,不满足第五条运算规律
.
,
线性空间不是所以线性运算由于所定义的运算不是 S n
1．零元素是唯一的．
证明 假设 是线性空间 V中的两个零元素，
21 0,0
.0,0 21
由于,0,0 21 V?
所以,000,000 121212
则对任何,V 有
.000000 212211
二、线性空间的性质
2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与, 那么
.0,0
则有 0
0,
向量 的负元素记为?,
,00;1;00.3
证明,101010
.00
,0011111
,1
10
0
.0?
4,如果,则 或,0 0 0
证明 假设,0 那么 011,0?
,11又
.0
同理可证：若 则有0,0
三、线性子空间定义 2 设 是一个线性空间,是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的 子空间,
V
L
V
V
VL
L
定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是,对于 中的线性运算封闭．VL
V L
.
}0{
的平凡子空间称为的子空间，都是和，对任意的线性空间
V
VVV例 8
除此之外的子空间称为 V的非平凡子空间,
解 (1)不构成子空间,因为对
1000
001 WBA
32 为什么空间的下列子集是否构成子?R;,,0 01)1( 1
Rdcb
dc
bW
.,,,000 0)2( 2
Rcbacba
c
baW
例 9
有,000 002 1WBA
即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间,1W
,000 000)2( 2W
因
.2非空即 W
对任意
2
2
22
1
11
00
0,
00
0 W
c
baB
c
baA
有,0111 cba,0222 cba
于是
21
2121
00
0
cc
bbaaBA
满足,0212121 ccbbaa
,2WBA即 有对任意 Rk?
1
11
00
0
kc
kbkakA
且,0111 kckbka
,2WkA?即,322 的子空间是故?RW
定义 3 设 V是数域 P上的一个线性空间，
.,,1,,siPkV ii
.,,;
,,
1
111
为该线性组合的系数称组合的一个线性为则称向量
s
sss
kk
kk
.,,
,,,,
,,,
1
111
1
线性表示可由则称使得即存在的线性组合可以表成中向量若
s
sss
s
kkPkk
V
的集合则它们的所有线性组合的一组向量是是线性空间设,,,,1 VV s例1 0
siPkkkW iss,,1,11
是 V的线性子空间,
则的列向量是矩阵，其中,,,21 Anii
nA,,,21
n,,,s p a n 21?
.
,,1
线性空间所生成的量这个线性空间称为由向 s
矩阵，且是设 nmA? 例1 1
.的列空间称为矩阵 A
思考题
,,
为什么上的一个线性空间是否构成数量乘法对于通常的向量加法和的所有解向量元非齐次线性方程组上的实数域
R
BAXnR?
思考题解答
,上的一个线性空间不能构成 R答
BXABXA
BAX
nXX
21
21
,
,
,,
则的解向量元非齐次线性方程组都是设事实上
BBBBXAXAXXA 2 )( 2121但
,
,21
不封闭向量的集合对加法运算也就是说所有解的解向量不是即 BAXXX
,空间因此不能构成一个线性
二、线性空间的性质
三、线性子空间
一,线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．
一、线性空间的定义
若对于任一数 与任一元素,总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的 积,
记作
Pk? V
V k?
k?
定义１ 设 是一个非空集合,是一数域．如果对于任意两个元素,总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的 和,记作
V,
V
V P
PlkV,;,,设;0
,,0)3(
都有对任何中存在零元素在 VV;)1(
;)2(
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的 线性空间,V P;1)5(
;)6( kllk?
,)8( kkk
;)7( lklk;0
,,)4(
使的负元素都有对任何 VV
2,线性空间中的元素均称之为向量．
3,判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
说明
1,凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，
称为 线性运算,
线性空间的元素统称为,向量,,但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等,
线性空间
是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性,
n
（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作,
nm?
nmR?
,nmnmnm CBA,nmnm DA
.是一个线性空间nmR
线性空间的判定方法
.
,
},,,,{][
],[,
0101
1
1
性空间线数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法即记作的多项式的全体次数小于
RxpxP
xPn
aaaaaxa n
n
nn
n
例2
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．
)()( 01110111 bbxbaaxa xx nnnn
)()()( 0011111 babaxba xnnn][xPn?
)( 0111 aaxa xnn
)()()( 0111 aaxa xnn
.][ 对运算封闭xP n
][xPn?
.
}0,
,,,{
0
101
][
间空和乘数运算不构成线性对于通常的多项式加法且次多项式的全体
aa
aaaaxaxQ
n
n
n
nn
R
xp
n
例3
p0 000 xx n? ][xQ n?
.][ 对运算不封闭xQ n
例４ 正弦函数的集合
,,s i n RBABxAsxS
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．
221121 s ins in BxABxAss
xbxaxbxa s inc o ss inc o s 2211
xbbxaa s inc o s 2121
BxA s in ].[ xS?
11111 s ins in BxABxAs ][ xS?
是一个线性空间,xS?
例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．
],[ ba
一般地例６ 正实数的全体，记作,在其中定义加法及乘数运算为
R
.,,,, RbaRaaabba
验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间．R
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．
证明 ;,, RabbaRba
.,, RaaRaR
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：;)1( abbaabba
);()()())(2( cbacabcabcba
有对任何中存在零元素,,1)3( RaR;11 aaa
使有负元素,,)4( 1 RaRa;111 aaaa;1)5( 1 aaa
;)6( aaaaa
;
)7(
aa
aaaaaa
baababba )()()8(
所以 对所定义的运算构成线性空间．R
.baba
0,,0),,( 1n Txx?
不构成线性空间．
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例７ 个有序实数组成的数组的全体n
RxxxxxxxS nn Tn,,,),,,( 2121
.对运算封闭S n
,1 ox但,不满足第五条运算规律
.
,
线性空间不是所以线性运算由于所定义的运算不是 S n
1．零元素是唯一的．
证明 假设 是线性空间 V中的两个零元素，
21 0,0
.0,0 21
由于,0,0 21 V?
所以,000,000 121212
则对任何,V 有
.000000 212211
二、线性空间的性质
2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与, 那么
.0,0
则有 0
0,
向量 的负元素记为?,
,00;1;00.3
证明,101010
.00
,0011111
,1
10
0
.0?
4,如果,则 或,0 0 0
证明 假设,0 那么 011,0?
,11又
.0
同理可证：若 则有0,0
三、线性子空间定义 2 设 是一个线性空间,是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的 子空间,
V
L
V
V
VL
L
定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是,对于 中的线性运算封闭．VL
V L
.
}0{
的平凡子空间称为的子空间，都是和，对任意的线性空间
V
VVV例 8
除此之外的子空间称为 V的非平凡子空间,
解 (1)不构成子空间,因为对
1000
001 WBA
32 为什么空间的下列子集是否构成子?R;,,0 01)1( 1
Rdcb
dc
bW
.,,,000 0)2( 2
Rcbacba
c
baW
例 9
有,000 002 1WBA
即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间,1W
,000 000)2( 2W
因
.2非空即 W
对任意
2
2
22
1
11
00
0,
00
0 W
c
baB
c
baA
有,0111 cba,0222 cba
于是
21
2121
00
0
cc
bbaaBA
满足,0212121 ccbbaa
,2WBA即 有对任意 Rk?
1
11
00
0
kc
kbkakA
且,0111 kckbka
,2WkA?即,322 的子空间是故?RW
定义 3 设 V是数域 P上的一个线性空间，
.,,1,,siPkV ii
.,,;
,,
1
111
为该线性组合的系数称组合的一个线性为则称向量
s
sss
kk
kk
.,,
,,,,
,,,
1
111
1
线性表示可由则称使得即存在的线性组合可以表成中向量若
s
sss
s
kkPkk
V
的集合则它们的所有线性组合的一组向量是是线性空间设,,,,1 VV s例1 0
siPkkkW iss,,1,11
是 V的线性子空间,
则的列向量是矩阵，其中,,,21 Anii
nA,,,21
n,,,s p a n 21?
.
,,1
线性空间所生成的量这个线性空间称为由向 s
矩阵，且是设 nmA? 例1 1
.的列空间称为矩阵 A
思考题
,,
为什么上的一个线性空间是否构成数量乘法对于通常的向量加法和的所有解向量元非齐次线性方程组上的实数域
R
BAXnR?
思考题解答
,上的一个线性空间不能构成 R答
BXABXA
BAX
nXX
21
21
,
,
,,
则的解向量元非齐次线性方程组都是设事实上
BBBBXAXAXXA 2 )( 2121但
,
,21
不封闭向量的集合对加法运算也就是说所有解的解向量不是即 BAXXX
,空间因此不能构成一个线性
