5.3 线性变换及其性质
一,线性变换的概念
二、线性变换的性质
三、线性变换的运算线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．
１．映射一、线性变换的概念
.,
,
,,
,,
,,1
BAT
B
A
B
ABA
记作的映射到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中任一如果对于设有两个非空集合定义
.,,上的变换常称为到自身的映射是时当 AATBA?
映射（变换）的概念是函数概念的推广．
.,
,,)(,
下的原象在映射称为下的象在映射称为变为把元素就说映射设
TT
TTA
;
,,)1(
2121
21
TTT
V
有任给
,,,)2( kTkTPkV 都有任给
.,的线性变换为线性空间就称那么 VT
满足如果变换上的一个变换是维线性空间上的是数域设定义
TVVVT
nPV
,:
,2
2．线性空间 上的线性变换V
.)( 下的象在线性变换称为向量 TT
).( lTkTlkT
说明
.
)(
的变换的对应线性组合运算线性变换就是保持线性要证一个变换 是线性变换，必须证 保持加法和数量乘法，即
, TTT. kTkT?
TT
若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可．
T T
,4 中在线性空间 xP例1
,)1( 是一个线性变换微分运算 D
,4012233 xPxp aaxaxa
,23 1223 axaxaDp
,4012233 xPxq bbxbxb
,23 1223 bxbxbDq
)]()()()[( 0011222333 baxbaxbaxbaD
)( qpD?从而
)()(2)(3 1122233 baxbaxba
)23()23( 12231223 bxbxbaxaxa;DqDp
)()( 012233 akxakxakxakDkpD
)23( 1223 axaxak
.kDp?
.,)( )2( 0 也是一个线性变换那么如果 TapT?
);()()( 00 qTpTbaqpT
).()( 0 pkTakkpT
.
,,1)()3( 11
性变换但不是线是个变换那么如果 TpT?
,1)(1 qpT
,211)()( 11 qTpT但
).()()( 111 qTpTqpT所以
.,
co ss i n
s i nco s
的几何意义说明平面上的一个变换确定由关系式
TTx Oy
y
x
y
x
T?
例2
解
,s i n
,co s
ry
rx记于是
y
xT?
c o ss in
s inc o s
yx
yx
c o ss ins inc o s
s ins inc o sc o s
rr
rr,
)s in (
)c o s (?
r
r
.
,
角；称之为旋转变换转向旋把任一向量按逆时针方变换上式表明
T
x
y
o
p
p1
证明 设,,VxgVxf
则有dttgtfxgxfT x
a
dttgdttf xaxa
xgTxfT
例３ 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间,在这个空间中变换是一个线性变换,
dttfxfT xa
V
xkfT
故命题得证,
证明则有E EE
V,设
dttkfxa tdtfk xa.xfkT?
. kEkkE
例４ 线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）
：
是线性变换．
,,VE
V
E
所以恒等变换 是线性变换．E
证明
000000
设,,V 则有
,0000 kkk
所以零变换是线性变换．
例５ 线性空间 中的零变换,是线性变换．
00V O
证明,,,,,,3321321 Rbbbaaa
332211,,bababaTT
0,,3232211 bbaaba
0,,0,,32213221 bbbaaa
. TT 证毕,
例６ 在 中定义变换则 不是 的一个线性变换．
0,,,,3221321 xxxxxxT
3R
3RT
.,
)(
,,7
3
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
3
并分析其几何意义的一个线性变换是试证明定义对任意的一个变换是设例
R
RR
a
a
a
a
a
a
a
a
a
( 略) 证明
:几何意义
.
)(,
面镜子反射所成的象对于这就是平面作为一面镜子将x O y
.反射变换镜面反射 或者这个变换也称为
;,00.1 TTT
.
,,,,,,,.3 2121
亦线性相关则线性相关若
m
m
T
TT
;
,.2
2211
2211
mm
mm
TkTkTkT
kkk
则若二、线性变换的性质
.
,,,,,,,2121
不一定线性无关则线性无关若 mm TTT注意三、线性变换的运算
).(
,
VL
VPV
的集合记作的所有线性变换上的线性空间是数域设
;,)(
,,,.1
记作恒有若对是相等的称 VVL;),()())((
),(,.2
V
VL
的和是指变换与设加法;) ),(())((
,),(.3
Vkk
kPkVL
是指变换的数量乘积与设数乘
.)),(())((
),(,.4
V
VL
的乘积是指变换与设乘法则变换的集合为的所有线性上的线性空间是数域设定理
),(
,
VL
VPV;)(,1 上的线性空间对于加法和数乘为 PVL;000,
);(,,,)()(
)(.2
EE
VL
VL
且中乘法满足结合律
).(,;
),()()(
)(.4
VLPk
kkk
VL
律中乘法与数乘满足结合 );(,,,)(
,)(
)(.3
VL
VL
律中乘法对加法满足分配
一,线性变换的概念
二、线性变换的性质
三、线性变换的运算线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．
１．映射一、线性变换的概念
.,
,
,,
,,
,,1
BAT
B
A
B
ABA
记作的映射到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中任一如果对于设有两个非空集合定义
.,,上的变换常称为到自身的映射是时当 AATBA?
映射（变换）的概念是函数概念的推广．
.,
,,)(,
下的原象在映射称为下的象在映射称为变为把元素就说映射设
TT
TTA
;
,,)1(
2121
21
TTT
V
有任给
,,,)2( kTkTPkV 都有任给
.,的线性变换为线性空间就称那么 VT
满足如果变换上的一个变换是维线性空间上的是数域设定义
TVVVT
nPV
,:
,2
2．线性空间 上的线性变换V
.)( 下的象在线性变换称为向量 TT
).( lTkTlkT
说明
.
)(
的变换的对应线性组合运算线性变换就是保持线性要证一个变换 是线性变换，必须证 保持加法和数量乘法，即
, TTT. kTkT?
TT
若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可．
T T
,4 中在线性空间 xP例1
,)1( 是一个线性变换微分运算 D
,4012233 xPxp aaxaxa
,23 1223 axaxaDp
,4012233 xPxq bbxbxb
,23 1223 bxbxbDq
)]()()()[( 0011222333 baxbaxbaxbaD
)( qpD?从而
)()(2)(3 1122233 baxbaxba
)23()23( 12231223 bxbxbaxaxa;DqDp
)()( 012233 akxakxakxakDkpD
)23( 1223 axaxak
.kDp?
.,)( )2( 0 也是一个线性变换那么如果 TapT?
);()()( 00 qTpTbaqpT
).()( 0 pkTakkpT
.
,,1)()3( 11
性变换但不是线是个变换那么如果 TpT?
,1)(1 qpT
,211)()( 11 qTpT但
).()()( 111 qTpTqpT所以
.,
co ss i n
s i nco s
的几何意义说明平面上的一个变换确定由关系式
TTx Oy
y
x
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例2
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,s i n
,co s
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rr,
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,
角；称之为旋转变换转向旋把任一向量按逆时针方变换上式表明
T
x
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证明 设,,VxgVxf
则有dttgtfxgxfT x
a
dttgdttf xaxa
xgTxfT
例３ 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间,在这个空间中变换是一个线性变换,
dttfxfT xa
V
xkfT
故命题得证,
证明则有E EE
V,设
dttkfxa tdtfk xa.xfkT?
. kEkkE
例４ 线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）
：
是线性变换．
,,VE
V
E
所以恒等变换 是线性变换．E
证明
000000
设,,V 则有
,0000 kkk
所以零变换是线性变换．
例５ 线性空间 中的零变换,是线性变换．
00V O
证明,,,,,,3321321 Rbbbaaa
332211,,bababaTT
0,,3232211 bbaaba
0,,0,,32213221 bbbaaa
. TT 证毕,
例６ 在 中定义变换则 不是 的一个线性变换．
0,,,,3221321 xxxxxxT
3R
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.,
)(
,,7
3
3
2
1
3
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3
并分析其几何意义的一个线性变换是试证明定义对任意的一个变换是设例
R
RR
a
a
a
a
a
a
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( 略) 证明
:几何意义
.
)(,
面镜子反射所成的象对于这就是平面作为一面镜子将x O y
.反射变换镜面反射 或者这个变换也称为
;,00.1 TTT
.
,,,,,,,.3 2121
亦线性相关则线性相关若
m
m
T
TT
;
,.2
2211
2211
mm
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TkTkTkT
kkk
则若二、线性变换的性质
.
,,,,,,,2121
不一定线性无关则线性无关若 mm TTT注意三、线性变换的运算
).(
,
VL
VPV
的集合记作的所有线性变换上的线性空间是数域设
;,)(
,,,.1
记作恒有若对是相等的称 VVL;),()())((
),(,.2
V
VL
的和是指变换与设加法;) ),(())((
,),(.3
Vkk
kPkVL
是指变换的数量乘积与设数乘
.)),(())((
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V
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的乘积是指变换与设乘法则变换的集合为的所有线性上的线性空间是数域设定理
),(
,
VL
VPV;)(,1 上的线性空间对于加法和数乘为 PVL;000,
);(,,,)()(
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且中乘法满足结合律
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律中乘法与数乘满足结合 );(,,,)(
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律中乘法对加法满足分配
