5.4 线性变换的矩阵
一,线性变换在一组基下的矩阵
二、向量的象的坐标一、线性变换在一组基下的矩阵
.)(,),(),(
,,
,,,,
21
21
所完全确定的象由基的象中任一向量则的一线性变换是是它的组基维线性空间上的是数域设定理
n
n
VV
nPV
,
,
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
定义 设 是线性空间 中的线性变换，在中取定一个基,如果这个基在变换下的象为
V V
n,,,21?
其中
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Ann,,,,,,2121
上式,,,,,,,2121 nn记可表示为那末,就称为线性变换 在基 下的矩阵．
n,,,21A?
.)(,),(,1 唯一确定由基的象矩阵显然 nA?
.),,,(),,,(
,:,
,,,,
2121
21
A
VVn
AV
nn
n
使得则存在唯一的线性变换阶方阵任一为的一基，是线性空间设反之
.)(
,
1
k
n
k
kjj a
VV
如下事实上，可定义变换有设,,
1
i
n
i
ixV?
)( )(
1
i
n
i
ix?
n
i
iix
1
)(
x
x
x
n
n?
2
1
21
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2
1
21
x
x
x
A
n
n
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2
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21
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
A
即
.
,
为矩阵的线性变换是以变换并且所确定的变换上式唯一地确定了一个
A?
,由上式唯一确定为矩阵的线性变换以?A
.
,
,
个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵可唯一地由线性变换中取定一个基后在
AA
V n
.
,
一对应的线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下结论
.
,1,,,
,][
43
2
2
3
1
4
的矩阵求微分运算取基中在
D
x
xP
ppxpxp
例1
解
,00000
,10001
,02002
,00303
43214
43213
43212
4321
2
1
pppppD
pppppD
ppppxpD
ppppxpD
在这组基下的矩阵为所以 D
.
0100
0020
0003
0000
A
.,
,][)
(][
],[,
上的一个线性空间构成数与多项式的乘法它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域
R
xR
nxR
xRR
n
例2
.,
][:
][)(),())((
,][
微分变换这个变换也称为变换上的一个线性是则由导数性质可以证明定义变换中在线性空间
xR
xRxfxf
dx
d
xf
xR
n
n
n
则有的基为现取,,,,,1][ 12 xxxxR nn
,0)1(,1)(?x?,2)( 2 xx
,
下的矩阵为在基因此 xxx n 12,,,,1,
0000
1000
0200
0010
n
A xnx nn 21 )1()(
即变换平面的线性表示将向量投影到中在
,
,3 x O yTR例3
,)( jyixkzjyixT
.,,,)2(;,,,)1(
的矩阵求取基为的矩阵求取基为
Tkjiji
Tkji
解
,0
,
,
)1(
kT
jjT
iiT
.
000
010
001
),,(),,(
kjikjiT
即
,
,
,
)2(
jiT
jT
iT
.
000
110
101
),,(),,(
T即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
2221
1211
EE
EE
.,)(
,A
0
0
VXXAX
dc
ba
定义变换对取定的矩阵例 4 所有二阶实方阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．选取 的一组基
V
V
R
.
00
00
00
00
),,(
),,(
22211211
22211211
dc
dc
ba
ba
EEEE
EEEE
，
，
则
向量在 线性变换下的象与原象在同一基下的坐标之间有什么关系呢？
二、向量的象的坐标
.
,),,,(),,,(
)(,,
,,,
2121
121
AXY
yyyYxxxX
A
T
n
T
n
则和是在这组基下的坐标分别向量下的矩阵是在基设线性变换定理
例 5
,)(,1,2,
,
,
12
2221
1211
212
的坐标求下的坐标是在基若向量下的矩阵为在基中的线性变换设
T
aa
aa
A
TV
T
的两个线性变换已知 22?R
22,, RXMXXSXNXT
11
11,
02
01 NM
.,,,22211211 下的矩阵在基试求 EEEEST?
思考题思考题解答
))(( 11EST?解 )()( 1111 ESET EMNE 1111
00
01
02
01
11
11
00
01
02
12,22
211211 EEE
同理可得
,2
20
01
))((
2211
121212
EE
EMNEEST
,
11
00
))((
2221
212121
EE
EMNEEST
,
11
00
))((
2221
222222
EE
EMNEEST
组基下的矩阵为在这所以 ST?
.
1120
1102
0001
0012
一,线性变换在一组基下的矩阵
二、向量的象的坐标一、线性变换在一组基下的矩阵
.)(,),(),(
,,
,,,,
21
21
所完全确定的象由基的象中任一向量则的一线性变换是是它的组基维线性空间上的是数域设定理
n
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VV
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,
,
,
2211
22221122
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nnnnnn
nn
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aaa
aaa
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定义 设 是线性空间 中的线性变换，在中取定一个基,如果这个基在变换下的象为
V V
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其中
,
21
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11211
nnnn
n
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A
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上式,,,,,,,2121 nn记可表示为那末,就称为线性变换 在基 下的矩阵．
n,,,21A?
.)(,),(,1 唯一确定由基的象矩阵显然 nA?
.),,,(),,,(
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21
A
VVn
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使得则存在唯一的线性变换阶方阵任一为的一基，是线性空间设反之
.)(
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1
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1
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A
即
.
,
为矩阵的线性变换是以变换并且所确定的变换上式唯一地确定了一个
A?
,由上式唯一确定为矩阵的线性变换以?A
.
,
,
个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵可唯一地由线性变换中取定一个基后在
AA
V n
.
,
一对应的线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下结论
.
,1,,,
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43
2
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3
1
4
的矩阵求微分运算取基中在
D
x
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例1
解
,00000
,10001
,02002
,00303
43214
43213
43212
4321
2
1
pppppD
pppppD
ppppxpD
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在这组基下的矩阵为所以 D
.
0100
0020
0003
0000
A
.,
,][)
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],[,
上的一个线性空间构成数与多项式的乘法它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域
R
xR
nxR
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n
例2
.,
][:
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,][
微分变换这个变换也称为变换上的一个线性是则由导数性质可以证明定义变换中在线性空间
xR
xRxfxf
dx
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n
n
则有的基为现取,,,,,1][ 12 xxxxR nn
,0)1(,1)(?x?,2)( 2 xx
,
下的矩阵为在基因此 xxx n 12,,,,1,
0000
1000
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0010
n
A xnx nn 21 )1()(
即变换平面的线性表示将向量投影到中在
,
,3 x O yTR例3
,)( jyixkzjyixT
.,,,)2(;,,,)1(
的矩阵求取基为的矩阵求取基为
Tkjiji
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,0
,
,
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.
000
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即
,
,
,
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.
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T即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．
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,
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1211
EE
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定义变换对取定的矩阵例 4 所有二阶实方阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．选取 的一组基
V
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向量在 线性变换下的象与原象在同一基下的坐标之间有什么关系呢？
二、向量的象的坐标
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121
AXY
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A
T
n
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则和是在这组基下的坐标分别向量下的矩阵是在基设线性变换定理
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12
2221
1211
212
的坐标求下的坐标是在基若向量下的矩阵为在基中的线性变换设
T
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T
的两个线性变换已知 22?R
22,, RXMXXSXNXT
11
11,
02
01 NM
.,,,22211211 下的矩阵在基试求 EEEEST?
思考题思考题解答
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01
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同理可得
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222222
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.
1120
1102
0001
0012
