6.3、矩阵可对角化的条件
6.3.1、可对角化条件
6.3.2、特征向量的线性无关性
6.3.3、举例
.,
,,
1 对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对
AAPP
PAn
证明,,1 为对角阵使假设存在可逆阵 APPP
,,,,21 npppPP用其列向量表示为把
6.3.1、可对角化条件
.
)( 1
个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理
nA
AAn
n
nn ppppppA
2
1
2121,,,,,,即
.,,,2211 nn ppp
nn ApApAppppA,,,,,,2121
,,,2,1 nipAp iii于是有
nppp,,,211
,,1 PAPAPP 得由
.
,
的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见
i
ii
A
pPA
.,,,,21 线性无关所以可逆又由于 npppP?
命题得证,
.
,,
,,
PAP
Pnn
nA
使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之说明 如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，
还是能对角化．A
A
n
n
A
作为列向量而成的。
个线性无关的特征向量就是以这可逆矩阵 nP
是线性无关的。
α,,α
,α,,α,,α,α，α，，αα
量组这些特征向量组成的向向量，则有所有m ) 的线性无关的特征,1,2,(i
是A 的属于特征值λα,,α,同的特征值，α
是方阵A 的m 个互不相λ，λ定理2,设λ
m
21,
i
msm2
m12s22211s1211
iisi2i1
m2，1
个。个数最多有的基础解系包含的向量
）（
个。即齐次线性方程组多于含的向量个数不中，极大线性无关组包的特征向量的属于特征值特征值，则重的一个阶方阵是、设定理
k
0
k
A
kAn3
0
0
0
xAE?
个线性无关的特征向量最多有阶方阵、推论 nAn1
如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，
则 与对角阵相似．
推论 2 n A
A
n
注、该推论的逆不成立可对角化。重根，则的特征多项式没有阶方阵、若复数域上的推论
A
An3
例 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
242
422
221
)1( A
201
335
212
)2( A
解
EA由)1(
72 2 0?
242
422
221
.7,2 321得
6.3.3、举例
得方程组代入将,02 121 EA
0442
0442
022
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解之得基础解系
.
1
1
0
,
1
0
2
21
,0,73 xEA 由对求得基础解系2,2,13 T
,0
211
210
102
由于
.,,321 线性无关所以
.
,3
化可对角因而个线性无关的特征向量有即 AA
,同理
201
335
212
EA
31
201
335
212
)2( A
.1321的特征值为所以 A
,01 xEA 代入把 解之得基础解系
,)1,1,1( T?
故 不能化为对角矩阵,A
163
053
064
A设
A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例 2
.1 为对角阵使 APP?
解
163
053
064
EA
21 2
.2,1 321的全部特征值为所以 A
得方程组代入将 0121 xEA
063
063
063
21
21
21
xx
xx
xx
解之得基础解系
,
0
1
2
1
,
1
0
0
2
解系得方程组的基础代入将,02 3 xEA
,1,1,13 T?
.,,321 线性无关由于
110
101
102
,,321P令
.
200
010
001
1
APP则有所以 可对角化,A
注意
,
,,213
P若令
1
1
1?
0
1
2?
1
0
0
.
1
APP则有
0
0
0
0
0
02?
1
1
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
P
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下 几种应用：
1,由特征值、特征向量反求矩阵例 3：已知方阵 的特征值是A 1 2 30,1,3,
相应的特征向量是
1 2 3
1 1 1
1,0,2,
1 1 1
解：因为特征向量是 3维向量，所以矩阵 是 3 阶方阵。A
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。AA
即存在可逆矩阵,使得P 1P A P
其中
1 1 1
1 0 2,
1 1 1
P
0
1,
3
求得
1
1 1 1
3 3 3
11
0,
22
1 1 1
6 3 6
P
1A P P
1 1 1
3 3 3
1 1 1 0
11
1 0 2 1 0
22
1 1 1 3
1 1 1
6 3 6
1 1 0
1 2 1
0 1 1
2,求方阵的幂例 4：设 求
45,
23A
100.A
解：
45
23AE
( 2 ) ( 1 ) 0
121,2,A? 可以对角化。
齐次线性方程组为当 时，1 1 0A E x
11
00
55
22AE
系数矩阵
12xx? 令 得基础解系,2 1x? 1
1
1p
齐次线性方程组为当 时，2 220A E x
25
00
252
25AE
系数矩阵
12
5
2xx? 令 得基础解系,2 1x? 2
5
2p
令 12(,)P p p? 15
12
求得 1
251
3 11P
即存在可逆矩阵,使得P 1
1
2P A P
1A P P
10 0 10 0 1A P P
1001 5 1 0 2 51
31 2 0 2 1 1
100
100
1 5 2 5( 1 ) 0 1
31 2 1 102
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
2 5 2 5 5 21
3 2 2 5 2
3,求行列式例 5：设 是 阶方阵,是 的 个特征值，A n 2,4,,2 nA n
计算 3.AE?
解,方法 1 求 的全部特征值，
再求乘积即为行列式的值。
3AE?
( ) 3f x x设
A 的特征值是 2,4,,2 n即 2,i i
3AE 的特征值是 ( ) 2 3ifi
1
3 2 3 ( 1 ) 1 3 ( 2 3 )
n
i
A E i n
方法 2,已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，A n A
即存在可逆矩阵,使得P
1
2
4
2
P AP
n
1A P P
1133A E P P P E P1( 3 )P E P
13P E P 3 E
23
43
23n
( 1 ) 1 3 ( 2 3 )n
4,判断矩阵是否相似解,方法 1
3( ) 3,B f A A A E
B? 的特征值为
(1 ) 1
( 2 ) 3
( 3 ) 1 9
f
f
f
令 3( ) 3 1f x x x
3阶矩阵 有 3个不同的特征值，所以 可以对角化。B B
例 6：已知 3阶矩阵 的特征值为 1,2,3，A
2 3,B A A E设 问矩阵 能否与对角阵相似？A
即存在可逆矩阵,使得P
1
1
2
3
P A P?
1 1 3( 3 )P B P P A A E P
1 3 1 1( 3 )P A P P A P P E P
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3P A P P A P P A P P A P E
3
1 1 1
2 3 2 1
3 3 1
1
3
19
方法 2,因为矩阵 有 3个不同的特征值，所以可以对角化，A
所以矩阵 能与对角阵相似。B
例 7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，n A n
阶方阵 与 有相同的特征值。n B A
证明,BA 与 相似。
证：设 的 n个互异的特征值为A 12,,,n
则存在可逆矩阵,使得1P
1
21
11
n
P AP
又 12,,,n也是矩阵 的特征值，B
所以存在可逆矩阵,使得2P
1
21
22
n
P BP
111 1 2 2P A P P B P
112 1 1 2P P A P P B
即 1 1 11 2 1 2( ) ( )P P A P P B
即存在可逆矩阵,使得 1P A P B112P P P
BA即 与 相似。
四、小结矩阵可对角化的条件
,
111
111
111
A,
001
001
00
n
B
思考题
.,是否相似判断下列两矩阵 BA
思考题解答
.0,
,)()()d et (
21
1
n
n
n
AnEA
的特征值为因解使得矩阵存在可逆是实对称矩阵又
,
,
1P
A
),0,,0,(111?nd i a gPAP
,)()()d et ( 1nnEB
还可求得
.有相同的特征值与即 AB
,
1,02
特征向量个线性无关的有对应特征值 nn
使得故存在可逆矩阵,2P
,212 PBP
,212111 PBPPAP从而
,121112 BPPAPP即
.相似与故 BA
6.3.1、可对角化条件
6.3.2、特征向量的线性无关性
6.3.3、举例
.,
,,
1 对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对
AAPP
PAn
证明,,1 为对角阵使假设存在可逆阵 APPP
,,,,21 npppPP用其列向量表示为把
6.3.1、可对角化条件
.
)( 1
个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理
nA
AAn
n
nn ppppppA
2
1
2121,,,,,,即
.,,,2211 nn ppp
nn ApApAppppA,,,,,,2121
,,,2,1 nipAp iii于是有
nppp,,,211
,,1 PAPAPP 得由
.
,
的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见
i
ii
A
pPA
.,,,,21 线性无关所以可逆又由于 npppP?
命题得证,
.
,,
,,
PAP
Pnn
nA
使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之说明 如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，
还是能对角化．A
A
n
n
A
作为列向量而成的。
个线性无关的特征向量就是以这可逆矩阵 nP
是线性无关的。
α,,α
,α,,α,,α,α，α，，αα
量组这些特征向量组成的向向量，则有所有m ) 的线性无关的特征,1,2,(i
是A 的属于特征值λα,,α,同的特征值，α
是方阵A 的m 个互不相λ，λ定理2,设λ
m
21,
i
msm2
m12s22211s1211
iisi2i1
m2，1
个。个数最多有的基础解系包含的向量
）（
个。即齐次线性方程组多于含的向量个数不中，极大线性无关组包的特征向量的属于特征值特征值，则重的一个阶方阵是、设定理
k
0
k
A
kAn3
0
0
0
xAE?
个线性无关的特征向量最多有阶方阵、推论 nAn1
如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，
则 与对角阵相似．
推论 2 n A
A
n
注、该推论的逆不成立可对角化。重根，则的特征多项式没有阶方阵、若复数域上的推论
A
An3
例 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
242
422
221
)1( A
201
335
212
)2( A
解
EA由)1(
72 2 0?
242
422
221
.7,2 321得
6.3.3、举例
得方程组代入将,02 121 EA
0442
0442
022
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解之得基础解系
.
1
1
0
,
1
0
2
21
,0,73 xEA 由对求得基础解系2,2,13 T
,0
211
210
102
由于
.,,321 线性无关所以
.
,3
化可对角因而个线性无关的特征向量有即 AA
,同理
201
335
212
EA
31
201
335
212
)2( A
.1321的特征值为所以 A
,01 xEA 代入把 解之得基础解系
,)1,1,1( T?
故 不能化为对角矩阵,A
163
053
064
A设
A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例 2
.1 为对角阵使 APP?
解
163
053
064
EA
21 2
.2,1 321的全部特征值为所以 A
得方程组代入将 0121 xEA
063
063
063
21
21
21
xx
xx
xx
解之得基础解系
,
0
1
2
1
,
1
0
0
2
解系得方程组的基础代入将,02 3 xEA
,1,1,13 T?
.,,321 线性无关由于
110
101
102
,,321P令
.
200
010
001
1
APP则有所以 可对角化,A
注意
,
,,213
P若令
1
1
1?
0
1
2?
1
0
0
.
1
APP则有
0
0
0
0
0
02?
1
1
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
P
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下 几种应用：
1,由特征值、特征向量反求矩阵例 3：已知方阵 的特征值是A 1 2 30,1,3,
相应的特征向量是
1 2 3
1 1 1
1,0,2,
1 1 1
解：因为特征向量是 3维向量，所以矩阵 是 3 阶方阵。A
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。AA
即存在可逆矩阵,使得P 1P A P
其中
1 1 1
1 0 2,
1 1 1
P
0
1,
3
求得
1
1 1 1
3 3 3
11
0,
22
1 1 1
6 3 6
P
1A P P
1 1 1
3 3 3
1 1 1 0
11
1 0 2 1 0
22
1 1 1 3
1 1 1
6 3 6
1 1 0
1 2 1
0 1 1
2,求方阵的幂例 4：设 求
45,
23A
100.A
解：
45
23AE
( 2 ) ( 1 ) 0
121,2,A? 可以对角化。
齐次线性方程组为当 时，1 1 0A E x
11
00
55
22AE
系数矩阵
12xx? 令 得基础解系,2 1x? 1
1
1p
齐次线性方程组为当 时，2 220A E x
25
00
252
25AE
系数矩阵
12
5
2xx? 令 得基础解系,2 1x? 2
5
2p
令 12(,)P p p? 15
12
求得 1
251
3 11P
即存在可逆矩阵,使得P 1
1
2P A P
1A P P
10 0 10 0 1A P P
1001 5 1 0 2 51
31 2 0 2 1 1
100
100
1 5 2 5( 1 ) 0 1
31 2 1 102
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
2 5 2 5 5 21
3 2 2 5 2
3,求行列式例 5：设 是 阶方阵,是 的 个特征值，A n 2,4,,2 nA n
计算 3.AE?
解,方法 1 求 的全部特征值，
再求乘积即为行列式的值。
3AE?
( ) 3f x x设
A 的特征值是 2,4,,2 n即 2,i i
3AE 的特征值是 ( ) 2 3ifi
1
3 2 3 ( 1 ) 1 3 ( 2 3 )
n
i
A E i n
方法 2,已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，A n A
即存在可逆矩阵,使得P
1
2
4
2
P AP
n
1A P P
1133A E P P P E P1( 3 )P E P
13P E P 3 E
23
43
23n
( 1 ) 1 3 ( 2 3 )n
4,判断矩阵是否相似解,方法 1
3( ) 3,B f A A A E
B? 的特征值为
(1 ) 1
( 2 ) 3
( 3 ) 1 9
f
f
f
令 3( ) 3 1f x x x
3阶矩阵 有 3个不同的特征值，所以 可以对角化。B B
例 6：已知 3阶矩阵 的特征值为 1,2,3，A
2 3,B A A E设 问矩阵 能否与对角阵相似？A
即存在可逆矩阵,使得P
1
1
2
3
P A P?
1 1 3( 3 )P B P P A A E P
1 3 1 1( 3 )P A P P A P P E P
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3P A P P A P P A P P A P E
3
1 1 1
2 3 2 1
3 3 1
1
3
19
方法 2,因为矩阵 有 3个不同的特征值，所以可以对角化，A
所以矩阵 能与对角阵相似。B
例 7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，n A n
阶方阵 与 有相同的特征值。n B A
证明,BA 与 相似。
证：设 的 n个互异的特征值为A 12,,,n
则存在可逆矩阵,使得1P
1
21
11
n
P AP
又 12,,,n也是矩阵 的特征值，B
所以存在可逆矩阵,使得2P
1
21
22
n
P BP
111 1 2 2P A P P B P
112 1 1 2P P A P P B
即 1 1 11 2 1 2( ) ( )P P A P P B
即存在可逆矩阵,使得 1P A P B112P P P
BA即 与 相似。
四、小结矩阵可对角化的条件
,
111
111
111
A,
001
001
00
n
B
思考题
.,是否相似判断下列两矩阵 BA
思考题解答
.0,
,)()()d et (
21
1
n
n
n
AnEA
的特征值为因解使得矩阵存在可逆是实对称矩阵又
,
,
1P
A
),0,,0,(111?nd i a gPAP
,)()()d et ( 1nnEB
还可求得
.有相同的特征值与即 AB
,
1,02
特征向量个线性无关的有对应特征值 nn
使得故存在可逆矩阵,2P
,212 PBP
,212111 PBPPAP从而
,121112 BPPAPP即
.相似与故 BA
