第 6章 矩阵的对角化问题
6.1 特征值与特征向量
6.1.1 特征值与特征向量的基本概念
6.1.2 特征值与特征向量的求法
6.1.3 特征值与特征向量的性质说明,,0.1 言的特征值问题是对方阵而特征向量?x
.0
,0
,.2
的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵
A
EAxEA
An
6.1.1、特征值与特征向量的概念
.
,,,
,16
的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义
Ax
A
xAx
xnnA
0.3 EA?
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
次方程为未知数的一元称以 n? 0 EA?
,的为 A特征方程
,,次多项式的它是 n?记 EAf 称其
,的为方阵 A特征多项式为不全为零的常数。中的特征向量，其也是属于特征值
）（
零线性组合非的特征向量，那末任何特征值的属于都是，，，、如果
n
sn
s
kkk
kkk
,,,
0
A4
21
0
2211
0
21
注：特征向量不惟一求特征值、特征向量的步骤,
( 1 ) 0AE即可求出特征值 ;?
( 2 ) A x x 0A E x
把得到的特征值 代入上 式，?
求齐次线性方程组 的一个基础 0A E xx
解系
6.1.2,特征值与特征向量的求法
.,,,k
A
,,,
21
2211
21
为不全为零的常数其中的全部特征向量的属于特征值可得
t
tt
t
kk
kkk
特征值近似计算公式来求在实际问题中常常应用问题一般并不容易，次多项式的求根注,n
解例 1,31
13 的特征值和特征向量求?
A
的特征多项式为A
31
13
1)3( 2
)2)(4(68 2
.4,2 21的特征值为所以 A
,
0
0
231
123
,2
2
1
1
x
x
对应的特征向量应满足时当?
.0
,0
21
21
xx
xx 即
,21 xx?解得,11 1?
p取为所以对应的特征向量可
,
0
0
11
11
,
0
0
431
143
,4
2
1
2
1
2
x
x
x
x
即由时当?
.
1
1
,
2
21
p
xx 取为所以对应的特征向量可解得例２
.
201
034
011
的特征值和特征向量求矩阵
A
解,)1()2(
201
034
011
2
EA
A 的特征多项式为
.1,2 321的特征值为所以 A
由解方程时当,0)2(,21 xEA?
,
000
010
001
001
014
013
2 ~
EA
,
1
0
0
1
p 得基础解系
2 的全部特征向量.0 ) 是对应于(k所以k λp 11
由解方程时当,0)(,132 xEA
,
000
210
101
101
024
012
~
EA
,
1
2
1
2
p 得基础解系
1 的全部特征向量.λ0 ) 是对应于λ(k所以k p 322
例３ 设
,
314
020
112
A
求 A的特征值与特征向量．
解
314
020
112
EA
,2)1( 2
02)1( 2令
.2,1 321的特征值为得 A
由解方程时当,0,11 xEA?
,
000
010
101
414
030
111
~
EA
,
1
0
1
1
p得基础解系的全体特征向量为故对应于 11
).0( 1?kpk
由解方程时当,02,232 xEA
,
000
000
114
114
000
114
2 ~
EA
得基础解系为：
,
4
0
1
,
1
1
0
32
pp
:232 的全部特征向量为所以对应于
).0,( 323322 不同时为kk pkpk?
性质 1,若 的特征值是,是 的对应于 的特征向量，则A? x A?
(1) kA的特征值是,(kk? 是任意常数 )
(2) mA 的特征值是,(m m? 是正整数 )
( 3 ) A若 可逆，则 的特征值是1A? 1.
A? 的特征值是 1,A?
1,,,mk A A A A且 仍然是矩阵 x
分别对应于 的特征向量。 1 1,,,A mk
6.1.3、特征值和特征向量的性质例４ 证明：若 是矩阵 A的特征值,是 A的属于的特征向量，则
x
,)1( 是任意常数的特征值是 mA mm?
.,)2( 11 的特征值是可逆时当 AA?
证明 xAx1
xAxxAAxA xxA 22
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm
.
,
征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA
可得由 xAx
xAxAAxA 111
xxA 11
,0,2可逆时当 A
.
,1111
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 AxA
即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为
,
,,
21
21
Ax
xAxxAx 21,
xx 21
,021 x
,021由于,0?x则,与定义矛盾
（ 5）一个特征向量不能属于不同的特征值
( 4 ) ( )fx为 x的多项式，则 的特征值为()fx ( ).f?
（ 6）属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
不全为零的常数。
为k,,k,的特征向量，其中k也是属于特征值λ
0）（αkαkαkα
线性组合征向量，那末任何非零的特都是A 的属于特征值λ，α，，α即、如果α
s210
ss2211
0s21
注：特征向量不惟一即 是方阵 的 个特征值，12,,,mA m
12,,,mp p p依次是与之对应的特征向量。
如果 各不相等，12,,,m
12,,,mp p p则 线性无关。
（ 7） 方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。A
证明 AEf TA T
)(
01
1
1
A
n
n
n
f
aaa
TAE
AE
有相同的行列式与其转置矩阵阶方阵注,TAAn
性质 2,矩阵 和 的特征值相同。TAA
定理 1,设 阶方阵 的 个特征值为nijAa? n 12,,,n
则
1 2 n 1 1 2 2
1
1 )
()
n
i
nn
i
i
a tr
aa
A
a
＋ ＋ ＋
称为矩阵 A的 迹。 （主对角元素之和）
1
1
2n2 )
n
i
i
A
＝
小于1λ的绝对值）为实数时，是指λ（当λ
n ) 的模,1,2,(k所有特征值λ中有一个成立，则A 的
n),1,2,(j1,a( 2 )
n ),,1,2,(i1,a（1 ）
] 是n 阶方阵，如果[a定理2,设A
kkk
k
n
1i
ij
n
1j
ij
ij
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
;d e t,1 EAA的特征多项式计算
;,,
,,0de t,2 21
的全部特征值就是的全部根求特征方程
A
EA
n?
.,
0
,.3
的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值
i
i
i
xEA
四、小结
.,0de t,2
,0A3Ede t,4
的一个特征值求满足条件阶方阵设
AAEAA
A
T
思考题思考题解答知由可逆故因为 0)3d e t (,,0d e t EAAA解
,3 的一个特征值是 A?
.
3
1
1
值的一个特征是从而 A
即得又由,16)2d e t ()d e t ( 2 EAAEAA TT
,4
de t,0de t,4de t,16)( de t 2
A
AAA 因此但于是
.34有一个特征值为故 A?
6.1 特征值与特征向量
6.1.1 特征值与特征向量的基本概念
6.1.2 特征值与特征向量的求法
6.1.3 特征值与特征向量的性质说明,,0.1 言的特征值问题是对方阵而特征向量?x
.0
,0
,.2
的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵
A
EAxEA
An
6.1.1、特征值与特征向量的概念
.
,,,
,16
的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义
Ax
A
xAx
xnnA
0.3 EA?
0
21
22221
11211
nnnn
n
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次方程为未知数的一元称以 n? 0 EA?
,的为 A特征方程
,,次多项式的它是 n?记 EAf 称其
,的为方阵 A特征多项式为不全为零的常数。中的特征向量，其也是属于特征值
）（
零线性组合非的特征向量，那末任何特征值的属于都是，，，、如果
n
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,,,
0
A4
21
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注：特征向量不惟一求特征值、特征向量的步骤,
( 1 ) 0AE即可求出特征值 ;?
( 2 ) A x x 0A E x
把得到的特征值 代入上 式，?
求齐次线性方程组 的一个基础 0A E xx
解系
6.1.2,特征值与特征向量的求法
.,,,k
A
,,,
21
2211
21
为不全为零的常数其中的全部特征向量的属于特征值可得
t
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t
kk
kkk
特征值近似计算公式来求在实际问题中常常应用问题一般并不容易，次多项式的求根注,n
解例 1,31
13 的特征值和特征向量求?
A
的特征多项式为A
31
13
1)3( 2
)2)(4(68 2
.4,2 21的特征值为所以 A
,
0
0
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123
,2
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1
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x
x
对应的特征向量应满足时当?
.0
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xx 即
,21 xx?解得,11 1?
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,
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,
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.
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034
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的特征值和特征向量求矩阵
A
解,)1()2(
201
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A 的特征多项式为
.1,2 321的特征值为所以 A
由解方程时当,0)2(,21 xEA?
,
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,
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2 的全部特征向量.0 ) 是对应于(k所以k λp 11
由解方程时当,0)(,132 xEA
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101
101
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EA
,
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例３ 设
,
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020
112
A
求 A的特征值与特征向量．
解
314
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EA
,2)1( 2
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.2,1 321的特征值为得 A
由解方程时当,0,11 xEA?
,
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).0( 1?kpk
由解方程时当,02,232 xEA
,
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,
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32
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).0,( 323322 不同时为kk pkpk?
性质 1,若 的特征值是,是 的对应于 的特征向量，则A? x A?
(1) kA的特征值是,(kk? 是任意常数 )
(2) mA 的特征值是,(m m? 是正整数 )
( 3 ) A若 可逆，则 的特征值是1A? 1.
A? 的特征值是 1,A?
1,,,mk A A A A且 仍然是矩阵 x
分别对应于 的特征向量。 1 1,,,A mk
6.1.3、特征值和特征向量的性质例４ 证明：若 是矩阵 A的特征值,是 A的属于的特征向量，则
x
,)1( 是任意常数的特征值是 mA mm?
.,)2( 11 的特征值是可逆时当 AA?
证明 xAx1
xAxxAAxA xxA 22
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm
.
,
征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA
可得由 xAx
xAxAAxA 111
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,0,2可逆时当 A
.
,1111
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 AxA
即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为
,
,,
21
21
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xAxxAx 21,
xx 21
,021 x
,021由于,0?x则,与定义矛盾
（ 5）一个特征向量不能属于不同的特征值
( 4 ) ( )fx为 x的多项式，则 的特征值为()fx ( ).f?
（ 6）属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
不全为零的常数。
为k,,k,的特征向量，其中k也是属于特征值λ
0）（αkαkαkα
线性组合征向量，那末任何非零的特都是A 的属于特征值λ，α，，α即、如果α
s210
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0s21
注：特征向量不惟一即 是方阵 的 个特征值，12,,,mA m
12,,,mp p p依次是与之对应的特征向量。
如果 各不相等，12,,,m
12,,,mp p p则 线性无关。
（ 7） 方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。A
证明 AEf TA T
)(
01
1
1
A
n
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AE
有相同的行列式与其转置矩阵阶方阵注,TAAn
性质 2,矩阵 和 的特征值相同。TAA
定理 1,设 阶方阵 的 个特征值为nijAa? n 12,,,n
则
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1
1 )
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n
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＋ ＋ ＋
称为矩阵 A的 迹。 （主对角元素之和）
1
1
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A
＝
小于1λ的绝对值）为实数时，是指λ（当λ
n ) 的模,1,2,(k所有特征值λ中有一个成立，则A 的
n),1,2,(j1,a( 2 )
n ),,1,2,(i1,a（1 ）
] 是n 阶方阵，如果[a定理2,设A
kkk
k
n
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n
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求矩阵特征值与特征向量的步骤：
;d e t,1 EAA的特征多项式计算
;,,
,,0de t,2 21
的全部特征值就是的全部根求特征方程
A
EA
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.,
0
,.3
的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值
i
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四、小结
.,0de t,2
,0A3Ede t,4
的一个特征值求满足条件阶方阵设
AAEAA
A
T
思考题思考题解答知由可逆故因为 0)3d e t (,,0d e t EAAA解
,3 的一个特征值是 A?
.
3
1
1
值的一个特征是从而 A
即得又由,16)2d e t ()d e t ( 2 EAAEAA TT
,4
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