6.2、相似矩阵
6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵
6.2.2、相似矩阵的性质同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵,
那么这些矩阵之间有什么关系呢？
6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵
,,,,;,,,2121 nn
定理１ 设线性空间 中取定两个基V
由基 到基 的过渡矩阵为
,中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为和,那末
n,,,21? n,,,21?
V,
1 APPB
P T
A B
于是nn TB,,,,,,2121
],,,[ 21 PT n
PT n,,,21
证明 Pnn,,,,,,2121
,,,,,,,2121 AT nn
BT nn,,,,,,2121
APn,,,21
APPn 121,,,
因为 线性无关,n,,,21
所以,APPB 1 证毕,
定理表明,与 相似，且两个基之间的过渡矩阵 就是相似变换矩阵．
B A
P
例 1
.,
,
,
12
2221
1211
212
下的矩阵在基求下的矩阵为在基中的线性变换设
T
aa
aa
A
TV
,01 10),(),( 2112?
解
,01 10?
P即,
01
10 1?
P求得下的矩阵为在基于是 ),( 12T
01
10
01
10
2221
1211
aa
aaB
.
1112
2122?
aa
aa
01
10
1211
2221
aa
aa
.
,
.,
,
,,,1
1
1
的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义
BA
PAAPP
ABAAB
BAPP
PnBA
情形.是矩阵之间等价的特殊等变换，矩阵之间相似特殊的初因此，相似变换是一种左乘的矩阵是互逆的。
A 右乘与等变换的要求更高，即初等列变换，只是对初与作一系列的初等行变换A P 表示对n 阶方阵AP注
1?
.本身相似与 AA
.,相似与则相似与若 ABBA
.
,,
相似与则相似与相似与若
CA
CBBA
反身性)1(
)2( 对称性传递性)3(
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系矩阵不同基下的矩阵是相似在V 的V 上的一个线性变换σ定理2,n 维线性空间
,,.3 为正整数相似与则相似与若 mBABA mm
二、相似矩阵与相似变换的性质
2.相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。
PAPPAPPAAP 2111211.4
).d e t ()d e t (,.1 BABA?则相似与证明 相似与 BA
PEPAPPEB 11
PEAP 1
PEAP 1
.EA
PAPkPAPkPAkAkP 21211122111.5
.,21 是任意常数其中 kk
BAPPP 1,使得可逆阵
.,
,2
的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理
BA
BABAn
推论 若 阶方阵 A与对角阵n
n?
2
1
.,,,,21 个特征值的即是则相似 nAn
利用对角矩阵计算矩阵多项式
,1PPBA若
PPEaPPBa
PBPaPBPa
nn
nn
11
1
11
1
1
0
Ak
的多项式A
EaAaAaAaA nnnn 1110)(
.)( 1PBP
.1PBP k
则
PEaBaBaBaP nnnn 11110 )(
PPB 1? PPB 1?PPB 1 PPB 1?
k个
,,1 为对角矩阵使若可逆矩阵特别地 APPP
,1PPA kk则,)()( 1PPA
有对于对角矩阵,?,
2
1
k
n
k
k
k
,
)(
)(
)(
)( 2
1
n
利用上述结论可以很方便地计算矩阵 A 的多项式,)(A?
.)(,)( OAfAf?则的特征多项式是矩阵设?定理证明,与对角矩阵相似的情形只证明 A
使则有可逆矩阵与对角矩阵相似若,,PA
),,,( 11 nd ia gAPP
.0)(, ii fA 的特征值为其中 有由,1PPA
)(Af
.1 OPPO
PPf 1)(
P
f
f
P
n
1
1
)(
)(
四、小结
１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵相似变换 是对方阵进行的一种运算，它把 A
变成,而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,
APP 1? P
这种变换的重要意义在于 简化对矩阵的各种运算,其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．
6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵
6.2.2、相似矩阵的性质同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵,
那么这些矩阵之间有什么关系呢？
6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵
,,,,;,,,2121 nn
定理１ 设线性空间 中取定两个基V
由基 到基 的过渡矩阵为
,中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为和,那末
n,,,21? n,,,21?
V,
1 APPB
P T
A B
于是nn TB,,,,,,2121
],,,[ 21 PT n
PT n,,,21
证明 Pnn,,,,,,2121
,,,,,,,2121 AT nn
BT nn,,,,,,2121
APn,,,21
APPn 121,,,
因为 线性无关,n,,,21
所以,APPB 1 证毕,
定理表明,与 相似，且两个基之间的过渡矩阵 就是相似变换矩阵．
B A
P
例 1
.,
,
,
12
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1211
212
下的矩阵在基求下的矩阵为在基中的线性变换设
T
aa
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,01 10),(),( 2112?
解
,01 10?
P即,
01
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P求得下的矩阵为在基于是 ),( 12T
01
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BA
PAAPP
ABAAB
BAPP
PnBA
情形.是矩阵之间等价的特殊等变换，矩阵之间相似特殊的初因此，相似变换是一种左乘的矩阵是互逆的。
A 右乘与等变换的要求更高，即初等列变换，只是对初与作一系列的初等行变换A P 表示对n 阶方阵AP注
1?
.本身相似与 AA
.,相似与则相似与若 ABBA
.
,,
相似与则相似与相似与若
CA
CBBA
反身性)1(
)2( 对称性传递性)3(
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系矩阵不同基下的矩阵是相似在V 的V 上的一个线性变换σ定理2,n 维线性空间
,,.3 为正整数相似与则相似与若 mBABA mm
二、相似矩阵与相似变换的性质
2.相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。
PAPPAPPAAP 2111211.4
).d e t ()d e t (,.1 BABA?则相似与证明 相似与 BA
PEPAPPEB 11
PEAP 1
PEAP 1
.EA
PAPkPAPkPAkAkP 21211122111.5
.,21 是任意常数其中 kk
BAPPP 1,使得可逆阵
.,
,2
的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理
BA
BABAn
推论 若 阶方阵 A与对角阵n
n?
2
1
.,,,,21 个特征值的即是则相似 nAn
利用对角矩阵计算矩阵多项式
,1PPBA若
PPEaPPBa
PBPaPBPa
nn
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11
1
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EaAaAaAaA nnnn 1110)(
.)( 1PBP
.1PBP k
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PPB 1? PPB 1?PPB 1 PPB 1?
k个
,,1 为对角矩阵使若可逆矩阵特别地 APPP
,1PPA kk则,)()( 1PPA
有对于对角矩阵,?,
2
1
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n
k
k
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,
)(
)(
)(
)( 2
1
n
利用上述结论可以很方便地计算矩阵 A 的多项式,)(A?
.)(,)( OAfAf?则的特征多项式是矩阵设?定理证明,与对角矩阵相似的情形只证明 A
使则有可逆矩阵与对角矩阵相似若,,PA
),,,( 11 nd ia gAPP
.0)(, ii fA 的特征值为其中 有由,1PPA
)(Af
.1 OPPO
PPf 1)(
P
f
f
P
n
1
1
)(
)(
四、小结
１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵相似变换 是对方阵进行的一种运算，它把 A
变成,而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,
APP 1? P
这种变换的重要意义在于 简化对矩阵的各种运算,其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．
