习题课典 型 例 题一、特征值与特征向量的求法二、已知 的特征值，求与相关矩阵的特征值
A A
三、求方阵 的特征多项式四、关于特征值的其它问题五、判断方阵 可否对角化六、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵
A
A
第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组，
求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
一、特征值与特征向量的求法第一步 计算 的特征多项式；A
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 的全部特征值；
A
.
324
202
423
3
和特征向量的全部特征值阶实矩阵计算
A例1
324
22
423
)(




AEf
.)1()8( 2
解 第一步 计算 的特征多项式A
.
,)(
的全部特征值即的全部根求出特征多项式第二步 Af?
.
,1,8,0)( 321
全部特征值的为解之得令 Af
.
0)(,8 11
的一个基础解系求相应线性方程组对 xAE
第三步 求出 的全部特征向量A



,0524
,0282
,0425
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
2
1
2
1

个基础解系化简求得此方程组的一
).
0(8 1111
数为实的全部特征向量为属于 kk
.
0
2
1
,
1
0
1
:
,0424
,022
,0424
:0)
(,1
2
2
321
321
321
232






基础解系求解得此方程组的一个的一个基础解系求相应线性方程组同理对
xxx
xxx
xxx
xA
E
.,
,
1
32
3322
32
是不全为零的实数的全部特征向量为的属于于是
kk
kk
A



.,,0
,;
321
332211
是不全为零的实数为实数里这的全部特征向量为从而
kkk
kkkA

.
,
,,,,
1
21
量的特征值与特征向求的特征向量为于属的全部特征值为阶方阵设
APP
An
ii
n

例2
解
.
.1
式它们有相同的特征多项只需证明有相同的特征值与首先证明 APPA?
APPEf APP 1)(1
APPPP 11
二、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值
A A
PAEP1 ),( fAE A
.,,,121 的全部特征值就是 APPn
.1 的特征向量属于其次求? iAPP?
, iiiA
ii APPE )( 1又
,0)( ii AE即
ii APPPP )( 11
,)(1 ii PAEP
ii PAPPE 11 )(
),())(( 111 iii PPAPP即
ii PPAEP 11 )(
,0)(1 ii AEP
.11 的特征向量属于是故 ii APPP
.,)2(;)1(:
,)(
,
1
01
1
1
的特征多项式求非奇异时当的特征多项式求求其特征多项式为阶方阵是设
AA
A
aaaAEf
nA
T
n
n
n
A

例3
解 AEf TA T )()1(
.有相同的特征多项式与 AA T?
)( AE T
AE ),(?f A?
三、求方阵 的特征多项式A
则的全部特征值是设,,,,)2( 21 An
)1()1)(1(
21?

n

,,,,111211 的全部特征值是 An
的特征多项式为故 A 1?
AEf A 1)(1
.1
00
11
0
1
aa
a
a
a nnn
AA 的行列式用特征根计算方阵1
.5;,5,2,1
,13,3
23
3
21
EABAAB
A


求设个特征值为它的阶矩阵是设
例4
解
.
21
A
AA
n 来计算要关系的行列式与特征值的重利用

,5)( 23 xxxf令
,,,321 的全部特征值是因为 A
四、关于特征值的其它问题故部特征值的全是所以
.
5)()31)(( 23 BAAAfif i
)( AfB? )()()( 321 fff?
.288)12)(6)(4(
.5 EA?下面求方法一
,5)( EAAg令
),(),(),()( 321 gggAg 的所有特征值为所以
,2,1,1 321的所有特征值为因为 A
)(5 AgEA,72)2()1()1( ggg
方法二
,2,1,1 321的所有特征值为因为 A
.22)1(1A故
.724/2885 2 ABEA
),5(5 223 EAAAAB又
,52 EAAB,288B但
),2)(1)(1()( AEf A所以方法三
,2,1,1 321的所有特征值为因为 A
.725)1(5 3 AEEA
,72)25)(15)(15()5(5 fAE A
的可逆性来讨论的特征值用方阵 AkEA?,2
.,0,;,0,
可逆的特征值时不是当不可逆的特征值时是当
AkEAkEAk
AkEAkEAk


,1,)2(
8,)1(
,
2
是否可逆且的特征值是设是否可逆若阶方阵为设
EAA
AEEA
nA



例5
解
,1,1 21的特征值为A
,)1( 2 EA
.8 可逆从而 AE?,8 的特征值不是故 Ak?
.,1,均可逆对一般地 AkEk
于是的特征值不是所以因为,1,1)2( A
.均为可逆矩阵故 EA?
.0)1(,01 AEAE
,)1()( EAAEAE n又;0 EA
,)1()( EAEAAE n
,0 EA
.),(
0,)2(
)1(
.
00
2211
00
不可对角化证明且至少有一如果可对角化在什么条件下阶下三角阵是设
Aji
aaaa
A
nA
jinn

例6
五、判断方阵 可否对角化A
解 (1) 可对角化的充分条件是 有 个互异的特征值．下面求出 的所有特征值．
A
A
A n
,
0
22
11


a
a
a
A
nn
AEf A )(
,0)())(( 2211 aaa nn即
).())(( 2211 aaa nn
).1( niaA iii的所有特征值得
.,
,),,2,1,,(
可对角化时即当时当
A
aanjiji jjiiji
,0)(f A令
.)2( 用反证法
.
)1(),,,,(
,,
21
1
的特征值是使则存在可逆矩阵可对角化若
A
nid i a gAPP
PA
in

所以可知由,)1( 11aa iii,
11
11
11
11
1 E
a
a
a
a
APP?



,11111111 EaPPaPEaPA
.
,)(0 00
00
对角化不可故矛盾这与至少有一个 Ajia ji
.,
,
020
212
022
1 为对角阵使求正交变换设实对称阵
ATTT
A

例7
解 第一步 求 A的特征值．由
20
212
022
AE
六、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵
,0)2)(1)(4(
.2,1,4 321得
.,0)( 的特征向量求出由第二步 AxAEi
得由对,0)4(,41 xAE?
.
1
2
2
1

解之得基础解系



,042
,0232
,022
32
321
21
xx
xxx
xx
得由对,0)(,12 xAE?



,02
,022
,02
32
31
21
xx
xx
xx
.
2
1
2
2
解之得基础解系得由对,0)2(,23 xAE?



,022
,0232
,024
32
321
21
xx
xxx
xx
.
2
2
1
3
解之得基础解系
.
,3
,,,321
两正交故它们必两量个不同特征值的特征向的属于是因为将特征向量正交化第三步
A

.将特征向量单位化第四步得令,3,2,1, i
i
i
i?

.
3/2
3/2
3/1
,
3/2
3/1
3/2
,
3/1
3/2
3/2
321

,
221
212
122
3
1
),,( 321

T作
.
200
010
004
1
ATT则