5.2 基,维数和坐标
二,基变换与坐标变换
一,线性空间的 基、维数和坐标一、线性空间的基,维数和坐标定义１ 在数域 P上的线性空间 V中，考虑向量组
s,,,21?
若存在不全为 0的数,,,,21 skkk?
则称向量组
02211 sskkk
满足：
s,,,21?线性相关 ；
否则称为 线性无关,
.,,,
,,,,,
,,,,V 1
1
1
21
且表示法唯一线性表示向量组必能由向量则线性相关而向量组关线性无向量组中在线性空间定理
m
m
m
向量空间中关于向量组的线性相关与线性无关的有关结论,在线性空间也成立,例如已知,在 中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的．
Rn n
1?n
问题,线性空间的一个重要特征 —— 在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？V;,,,)1( 21 线性无关n
.,
,,,,21
维数基 的称为线性空间的一个就称为线性空间那末
Vn
Vn
,
,,,2)( 21
表示线性总可由中任一向量 nV
定义 2 在线性空间 中，如果存在 个向量n
n,,,21?满足：
V
注 零空间没有基,规定其维数为 0.
.,nVnn 记作维线性空间的线性空间称为维数为可表示为则的一个基为若 nnn VV,,,,21
RxxxxxxV nnnn,,,212211
当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的．
V
V
.d i m
,1,,0,0,
,0,,1,0,0,,0,1,
21
nP
P
n
n
n
准基，且称为自然基或标就是它的一个基中在线性空间
例1
.][d im,
,,,,1,][
1
2
321
nxP
xxP
n
n
n
n
xp
xppp
且就是它的一个基中在线性空间?例2
行第列第
i
j
E
ij
000
010
000
令中在线性空间,nmP?例3
,di m,,,1,,1 nmPE nmnj miij 且就是它的一个基则
,2211 nnxxx
,,,,,
,,,,,,
21
2121
n
T
nn
xxx
xxx
并记作基下的坐标这个在称为元素有序数组使数总有且仅有一组有序于任一元素对的一个基是线性空间设
,,,,
,
,,,,
21
21
n
n
nn
xxx
V
V
定义 3
.,
,,,1,][
4
5
3
4
2
3215
就是它的一个基中在线性空间
xpx
pxppp xxP
例4
aaxaxaxa xp 01223344
5
次的多项式任一小于
papapapapap 5443322110
可表示为
),,,,(
43210 aaaaa
p
T
在这个基下的坐标为因此注意则若取另一基
,
,,2,1,1
4
5
3
4
2
321
xq
xqxqxqq
qaqaqaqaqaap 54433221110 21)(
),,
2
1
,,(
432110 aaaaaa
p
T
在这个基下的坐标为因此线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
V
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
2221
1211
EE
EE
,
43
21
224213122111?
kk
kk
EkEkEkEk
有例 5 所有二阶实矩阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵
V
V
R
,
00
00
224213122111?
OEkEkEkEk
因此
,
2221
1211 V
aa
aa
A
对于任意二阶实矩阵
,0 3321 kkkk
.,,,22211211 线性无关即 EEEE
.,,,22211211 的一组基为因此 VEEEE
EaEaEaEaA 2222212112121111
有
.),,,( 22211211 aaaa
A
T
在这组基下的坐标是而矩阵
.,
,][)
(][
],[,
上的一个线性空间构成数与多项式的乘法它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域
R
xR
nxR
xRR
n
例6
)(,,)(),(,1
,][
1
n
2
321 axaxax
xR
n
n
取一组基中在线性空间则由泰勒公式知
)(
)!1(
)(
)(
!2
)(''
))((')()(
1
)1(
2
ax
n
af
ax
af
axafafxf
n
n
.)
)!1(
)(
,,
!2
)(''
),(' ),((
,,,,)(
)1( T
321
n
afaf
afaf
xf
n
n
下的坐标是在基因此
.
,,,
,,,,,,d i m,,
,,,,
V,,,2
21
21212
121
21
子空间的一个基为此的任一极大无关组，即且向量组
，的秩，
的维数等于向量组则生成子空间中的一组向量，是线性空间设定理
s
sss
s
s
rL
L
.,,,,
,,,,di m
V 3
1211
21
线性无关，使在是其一个基，则存且若的一子空间，是维线性空间，是设定理
rrr
r
V
nrW
WnV
.
,,,,,,
,,,
2121
21
个基的一为，使个向量中存在的一个基，则在是维子空间，的一维线性空间是设推论
V
rnVW
rVnW
nnrr
r
中元素求由 3xP
,142)( 231 xxxxf
,1932)( 232 xxxxf
,56)( 33 xxxf
5752)( 234 xxxxf
生成的子空间的基与维数,
思考题思考题解答
0)()()()(
44332211 xfkxfkxfkxfk
令解
.0)55()7694(
)532()22(
43214321
2
421
3
4321
kkkkxkkkk
xkkkxkkkk
则得
.
0
0
0
0
5511
7694
5032
2121
4
3
2
1
k
k
k
k
因此则系数矩阵为设该齐次线性方程组的,A
0000
0000
1210
4301
~
初等行变换
A
有且该子空间的维数为所生成的子空间的基是线性无关因此
,2,)(
),(),(),(,)(),(,
4
32121
xf
xfxfxfxfxf
).()(4)(
),(2)(3)(
214
213
xfxfxf
xfxfxf
二、基变换与坐标变换那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？
问题,在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．
n
V
V n
且有两个基的是线性空间及设
,
,,,,,,2121 nnn V
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
称此公式为 基变换公式,
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
由于
nnnnn
n
n
n
ppp
ppp
ppp
2
1
21
22212
12111
2
1
.
2
1
n
T
P
Pnn,,,,,,2121
基变换公式矩阵 称为由基 到基 的 过渡矩阵,
,
,,,,,,
2121
中在基变换公式
Pnn
n,,,21? n,,,21?P
注意 过渡矩阵 是可逆的．P
若两个基满足关系式
Pnn,,,,,,2121
,
,,,
,
,,,,4
)',,','(
),,,(
21
21
21
21
n
T
n
n
T
nn
xxx
xxx
V
下的坐标为在基为下的坐标在基中的元素设定理
则有坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
或证明
n
n
x
x
x
2
1
21
,,,
'
'
'
,,,
21 n
x
x
Pnn,,,,,,2121,
'
'
'
,,,,,,
2
1
21
2
1
21
n
n
n
n
x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
即
.
'
'
'
,
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
P
所以可逆由于矩阵
.
,23,22
,22,12
,1,12
,1,2
][
23
4
23
3
2
2
23
1
23
4
23
3
23
2
23
1
4
求坐标变换公式及中取两个基在
xx
x
x
xx
xP
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
例7
.,,,,,,43214321 表示用将解
,)1,,,(),,,( 234321 Axxx因为
,)1,,,(),,,( 234321 Bxxx
,
2221
1120
3111
1202
,
1110
0111
1212
1111
BA其中
.),,,(),,,( 143214321 BA得,
'
'
'
'
4
3
2
1
1
4
3
2
1
x
x
x
x
AB
x
x
x
x
故坐标变换公式为
.1 AB?用初等变换计算
AB
11102221
01111120
12123111
11111202
~初等行变换
11111000
10000100
00110010
11100001
11111000
10000100
00110010
11100001
ABE 1
1111
1000
011
1110
.
1111
1000
0011
1110
'
'
'
'
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
所以
.
21
1
,
1
1
1
0
,
0
1
.
2
21
21
的两个基为线性空间及设
RV?
坐标变换的几何意义 例8
,21 21又设 下的坐标为在基则 21,
1
21
2
1
x
x
下的坐标为在基由坐标变换公式可知 21,,
1
21
1
21
211
11 1
2
1
y
y
.21 21即
x
y
o?1
2
2
121
1
2?
121?
例 9 设 为 R3的一组基,321,,
323
3212
3211
2
证明 也是 R3的一组基,321,,
的过渡矩阵,并求由 到 321,, 321,,
解,由题意得,
121
111
011
321321
过渡矩阵为
121
111
011
A
03 321321
即 线性无关,也是 R3的一组基,321,,
例 7.3.3.设 321,, 和 321,, 是 R3的两组基，
,2,3213 R
3213
3212
21
22
2
求 α 在 下的坐标,321,,
的坐标分别为321,,xxx 和,,,321 yyy
关于基 321,, 和基 321,,解,设由题意得的过渡矩阵为由 到 321,, 321,,
321,,xxx =(1,2,-1)
110
221
210
A
所以,
3
2
1
1
3
2
1
x
x
x
A
y
y
y
1
2
1
101
201
210
T)0,1,4(
课堂练习
1.设
,)3,2,1(;)1,0,1(,)2,1,1(,)1,1,1(;)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(
321
121
TTTT
TTT
(1)证明 321,, 和 321,, 是 R3的两组基，
的过渡矩阵,(2)求 由 到 321,, 321,,
(3)求 α 关于这两组基的坐标,
2.设 是 R3的一组基,321,,
213
3212
3211
213
3212
3211
2
2
(1)证明 321,, 和 321,, 是 R3的两组基，
(2)求 由 到 321,, 321,, 的过渡矩阵,
(3)求 由 到 的坐标变换公式,321,, 321,,
.32
,1,1,,
2
4
233
在这个基下的坐标并求多项式的一个基是证明
xx
xPxxxxx
思考题思考题解答
0
)()()(
)1()1()(
4342
2
3
3
21
4
2
3
3
2
3
1
kkxkkxkxkk
xkxkxxkxk
令证明
0
,0
,0
,0
43
42
3
21
kk
kk
k
kk
04321 kkkk
.][,1,1,,4233 的一个基是线性无关故 xPxx xxx
,32
)1()1()(
2
4
2
3
3
2
3
1
xx
xaxaxxaxa
又令
3
,2
,1
,0
43
42
3
21
aa
aa
a
aa
则
.2
,1
,0
,0
4
3
2
1
a
a
a
a
解之可得
.)2,1,0,0(322 Txx 在这个基下的坐标为故
二,基变换与坐标变换
一,线性空间的 基、维数和坐标一、线性空间的基,维数和坐标定义１ 在数域 P上的线性空间 V中，考虑向量组
s,,,21?
若存在不全为 0的数,,,,21 skkk?
则称向量组
02211 sskkk
满足：
s,,,21?线性相关 ；
否则称为 线性无关,
.,,,
,,,,,
,,,,V 1
1
1
21
且表示法唯一线性表示向量组必能由向量则线性相关而向量组关线性无向量组中在线性空间定理
m
m
m
向量空间中关于向量组的线性相关与线性无关的有关结论,在线性空间也成立,例如已知,在 中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的．
Rn n
1?n
问题,线性空间的一个重要特征 —— 在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？V;,,,)1( 21 线性无关n
.,
,,,,21
维数基 的称为线性空间的一个就称为线性空间那末
Vn
Vn
,
,,,2)( 21
表示线性总可由中任一向量 nV
定义 2 在线性空间 中，如果存在 个向量n
n,,,21?满足：
V
注 零空间没有基,规定其维数为 0.
.,nVnn 记作维线性空间的线性空间称为维数为可表示为则的一个基为若 nnn VV,,,,21
RxxxxxxV nnnn,,,212211
当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的．
V
V
.d i m
,1,,0,0,
,0,,1,0,0,,0,1,
21
nP
P
n
n
n
准基，且称为自然基或标就是它的一个基中在线性空间
例1
.][d im,
,,,,1,][
1
2
321
nxP
xxP
n
n
n
n
xp
xppp
且就是它的一个基中在线性空间?例2
行第列第
i
j
E
ij
000
010
000
令中在线性空间,nmP?例3
,di m,,,1,,1 nmPE nmnj miij 且就是它的一个基则
,2211 nnxxx
,,,,,
,,,,,,
21
2121
n
T
nn
xxx
xxx
并记作基下的坐标这个在称为元素有序数组使数总有且仅有一组有序于任一元素对的一个基是线性空间设
,,,,
,
,,,,
21
21
n
n
nn
xxx
V
V
定义 3
.,
,,,1,][
4
5
3
4
2
3215
就是它的一个基中在线性空间
xpx
pxppp xxP
例4
aaxaxaxa xp 01223344
5
次的多项式任一小于
papapapapap 5443322110
可表示为
),,,,(
43210 aaaaa
p
T
在这个基下的坐标为因此注意则若取另一基
,
,,2,1,1
4
5
3
4
2
321
xq
xqxqxqq
qaqaqaqaqaap 54433221110 21)(
),,
2
1
,,(
432110 aaaaaa
p
T
在这个基下的坐标为因此线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
V
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
2221
1211
EE
EE
,
43
21
224213122111?
kk
kk
EkEkEkEk
有例 5 所有二阶实矩阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵
V
V
R
,
00
00
224213122111?
OEkEkEkEk
因此
,
2221
1211 V
aa
aa
A
对于任意二阶实矩阵
,0 3321 kkkk
.,,,22211211 线性无关即 EEEE
.,,,22211211 的一组基为因此 VEEEE
EaEaEaEaA 2222212112121111
有
.),,,( 22211211 aaaa
A
T
在这组基下的坐标是而矩阵
.,
,][)
(][
],[,
上的一个线性空间构成数与多项式的乘法它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域
R
xR
nxR
xRR
n
例6
)(,,)(),(,1
,][
1
n
2
321 axaxax
xR
n
n
取一组基中在线性空间则由泰勒公式知
)(
)!1(
)(
)(
!2
)(''
))((')()(
1
)1(
2
ax
n
af
ax
af
axafafxf
n
n
.)
)!1(
)(
,,
!2
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),(' ),((
,,,,)(
)1( T
321
n
afaf
afaf
xf
n
n
下的坐标是在基因此
.
,,,
,,,,,,d i m,,
,,,,
V,,,2
21
21212
121
21
子空间的一个基为此的任一极大无关组，即且向量组
，的秩，
的维数等于向量组则生成子空间中的一组向量，是线性空间设定理
s
sss
s
s
rL
L
.,,,,
,,,,di m
V 3
1211
21
线性无关，使在是其一个基，则存且若的一子空间，是维线性空间，是设定理
rrr
r
V
nrW
WnV
.
,,,,,,
,,,
2121
21
个基的一为，使个向量中存在的一个基，则在是维子空间，的一维线性空间是设推论
V
rnVW
rVnW
nnrr
r
中元素求由 3xP
,142)( 231 xxxxf
,1932)( 232 xxxxf
,56)( 33 xxxf
5752)( 234 xxxxf
生成的子空间的基与维数,
思考题思考题解答
0)()()()(
44332211 xfkxfkxfkxfk
令解
.0)55()7694(
)532()22(
43214321
2
421
3
4321
kkkkxkkkk
xkkkxkkkk
则得
.
0
0
0
0
5511
7694
5032
2121
4
3
2
1
k
k
k
k
因此则系数矩阵为设该齐次线性方程组的,A
0000
0000
1210
4301
~
初等行变换
A
有且该子空间的维数为所生成的子空间的基是线性无关因此
,2,)(
),(),(),(,)(),(,
4
32121
xf
xfxfxfxfxf
).()(4)(
),(2)(3)(
214
213
xfxfxf
xfxfxf
二、基变换与坐标变换那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？
问题,在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．
n
V
V n
且有两个基的是线性空间及设
,
,,,,,,2121 nnn V
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
称此公式为 基变换公式,
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
由于
nnnnn
n
n
n
ppp
ppp
ppp
2
1
21
22212
12111
2
1
.
2
1
n
T
P
Pnn,,,,,,2121
基变换公式矩阵 称为由基 到基 的 过渡矩阵,
,
,,,,,,
2121
中在基变换公式
Pnn
n,,,21? n,,,21?P
注意 过渡矩阵 是可逆的．P
若两个基满足关系式
Pnn,,,,,,2121
,
,,,
,
,,,,4
)',,','(
),,,(
21
21
21
21
n
T
n
n
T
nn
xxx
xxx
V
下的坐标为在基为下的坐标在基中的元素设定理
则有坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
或证明
n
n
x
x
x
2
1
21
,,,
'
'
'
,,,
21 n
x
x
Pnn,,,,,,2121,
'
'
'
,,,,,,
2
1
21
2
1
21
n
n
n
n
x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
即
.
'
'
'
,
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
P
所以可逆由于矩阵
.
,23,22
,22,12
,1,12
,1,2
][
23
4
23
3
2
2
23
1
23
4
23
3
23
2
23
1
4
求坐标变换公式及中取两个基在
xx
x
x
xx
xP
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
例7
.,,,,,,43214321 表示用将解
,)1,,,(),,,( 234321 Axxx因为
,)1,,,(),,,( 234321 Bxxx
,
2221
1120
3111
1202
,
1110
0111
1212
1111
BA其中
.),,,(),,,( 143214321 BA得,
'
'
'
'
4
3
2
1
1
4
3
2
1
x
x
x
x
AB
x
x
x
x
故坐标变换公式为
.1 AB?用初等变换计算
AB
11102221
01111120
12123111
11111202
~初等行变换
11111000
10000100
00110010
11100001
11111000
10000100
00110010
11100001
ABE 1
1111
1000
011
1110
.
1111
1000
0011
1110
'
'
'
'
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
所以
.
21
1
,
1
1
1
0
,
0
1
.
2
21
21
的两个基为线性空间及设
RV?
坐标变换的几何意义 例8
,21 21又设 下的坐标为在基则 21,
1
21
2
1
x
x
下的坐标为在基由坐标变换公式可知 21,,
1
21
1
21
211
11 1
2
1
y
y
.21 21即
x
y
o?1
2
2
121
1
2?
121?
例 9 设 为 R3的一组基,321,,
323
3212
3211
2
证明 也是 R3的一组基,321,,
的过渡矩阵,并求由 到 321,, 321,,
解,由题意得,
121
111
011
321321
过渡矩阵为
121
111
011
A
03 321321
即 线性无关,也是 R3的一组基,321,,
例 7.3.3.设 321,, 和 321,, 是 R3的两组基，
,2,3213 R
3213
3212
21
22
2
求 α 在 下的坐标,321,,
的坐标分别为321,,xxx 和,,,321 yyy
关于基 321,, 和基 321,,解,设由题意得的过渡矩阵为由 到 321,, 321,,
321,,xxx =(1,2,-1)
110
221
210
A
所以,
3
2
1
1
3
2
1
x
x
x
A
y
y
y
1
2
1
101
201
210
T)0,1,4(
课堂练习
1.设
,)3,2,1(;)1,0,1(,)2,1,1(,)1,1,1(;)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(
321
121
TTTT
TTT
(1)证明 321,, 和 321,, 是 R3的两组基，
的过渡矩阵,(2)求 由 到 321,, 321,,
(3)求 α 关于这两组基的坐标,
2.设 是 R3的一组基,321,,
213
3212
3211
213
3212
3211
2
2
(1)证明 321,, 和 321,, 是 R3的两组基，
(2)求 由 到 321,, 321,, 的过渡矩阵,
(3)求 由 到 的坐标变换公式,321,, 321,,
.32
,1,1,,
2
4
233
在这个基下的坐标并求多项式的一个基是证明
xx
xPxxxxx
思考题思考题解答
0
)()()(
)1()1()(
4342
2
3
3
21
4
2
3
3
2
3
1
kkxkkxkxkk
xkxkxxkxk
令证明
0
,0
,0
,0
43
42
3
21
kk
kk
k
kk
04321 kkkk
.][,1,1,,4233 的一个基是线性无关故 xPxx xxx
,32
)1()1()(
2
4
2
3
3
2
3
1
xx
xaxaxxaxa
又令
3
,2
,1
,0
43
42
3
21
aa
aa
a
aa
则
.2
,1
,0
,0
4
3
2
1
a
a
a
a
解之可得
.)2,1,0,0(322 Txx 在这个基下的坐标为故
