5.5 欧几里得空间
二、标准正交基
三、施密特正交化
四、正交矩阵与正交变换
一,内积回忆,3R
ba,c o s?ba,,的夹角表示 ba
aaa
,
,
321
321
kbjbibb
kajaiaa
若
332211 babababa
则一、内积定义 1 维向量设有 n,,
2
1
2
1
nn
b
b
b
a
a
a
nn bababa2211,令
,,的与为向量称 内积推广到 n维实向量空间,nR
说明
1 维向量的内积是 3维向量数量积的推广，但是没有 3维向量直观的几何意义．
4?nn
,,
:,
,,2
TT
为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算内积的运算性质
,,,,为实数维向量为其中 kn
;,,)1(
;,,)2( kk?
;,,,)3(
,00,,0,)4( 当且仅当中定义 1的内积有时称为 标准内积,nR
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间,
简称 欧氏空间,
抽象定义一般线性空间的内积,
.),(
,,,,
),4()1(),,(
,,,
,
的内积与为向量则称为任意的实数中的任意向量为其中它满足上述性质实数记作该应都有唯一的实数与之对任意两向量中若对上的线性空间是实数域设
kV
VRV
定义 2
,
3),(
,,,,,
2
22211211
2121
2
中的内积亦为令设中在
R
babababa
bbaaR
TT
例1
.
)()(),(
],1,0[)(),(,
]1,0[]1,0[
1
0
0
0
明这是一内积利用定积分的性质可证令对构成的线性空间上全体实连续函数是定义在设
dxxgxfgf
Cxgxf
C例2
定义 3,,令
,或的维向量为称 n长度 范数注 向量的长度具有非负性：;0,0;0,0 时当时即当对任一非零向量可将其 单位化,,
.1 的向量为单位向量称长度是
,,22221 naaa
中,在标准内积下向量的长度为,nR
为引入夹角的概念定理 1 Cauchy-Schwarz不等式有是欧氏空间设,,,VV
,
定义 4
)0(
,
a rcco s,
,,
之间的夹角向量在欧氏空间中
.,
,0,,,,
记作正交与则称若对是欧氏空间设 VV
注,零向量与任何向量都正交,
.线性相关与其中等号成立的条件是
定义 5
定理 2 在 n维欧氏空间中,成立;.1
.,.2 222 时当
1 正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组；若其中每个向量的长度都是 1,
则称为 正交单位向量组 (或标准正交向量组 )．
二、标准正交基注意 (1) 这里每个向量均要求非零 ;
(2) 由单个 非零 向量组成的向量组也正交向量 组,
,00 21111 T由,01从而有
.02 r同理可得,,,,21 线性无关故 r
使设有 r,,,21?证明
02211 r
得左乘上式两端以,1a T 0111 T
2 正交向量组的性质线性无关.,,,则非零向量,
是一组两两正交的,,,维向量若
r
rn
21
21 1定理
1
2
1
,
1
1
1
21
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基,
3? 321,,
3 向量空间的正交基
.
n
正交基向量构成的向量组称为个两两正交的非零维欧氏空间中，由在定义 n
n.
两两正交的非零向量维个数不超过的欧氏空间中，推论 n
例 1 已知三维向量空间 中两个向量3R
即
02),(
0),(
32132
32131
xxx
xxx
解之得,0,231 xxx
则有若令,13?x?
1
0
1
3
2
1
3
x
x
x
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321,,
则有 0,,3231
解,,,0,,213213 正交且分别与设 Txxx
4 标准正交基
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
eeee
例如
.
n
正交基称为标准正交基向量组成的维欧氏空间中，由单位在定义
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
eeee
.4,3,2,1,,1),(
.4,3,2,1,,0),(
jijiee
jijiee
ji
ji
且且由于
.,,,44321 的一个标准正交基为所以 Reeee
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
同理可知
.4 的一个标准正交基也为 R
.,,1),,(
,),,,(,,
n,,,2
21
n21
nix
xxxXV
V
ii
T
n
则的坐标为设对正交基的一标准维欧氏空间是设定理
.),(,),,,(
,),,,(,,,
n,,,3
1
n21
n21
n21
n
i
ii
T
yxYXY
XV
V
则设对正交基的一标准维欧氏空间是设定理
注意 此时的内积为标准内积,
.,,,
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
,
n,,,
n21
21
22212
12111
n21
的度量矩阵称为基矩阵基的一组维欧氏空间是设定义
nnnn
n
n
V
注 度量矩阵为对称矩阵,
( 0,3,2 ),( 3,0,4 ),( 1,- 1,4 ),
2
321
3
中下列基的度量矩阵求欧氏空间例 R
.x,1,
)()()(),(
][ 3
2
321
1
1
3
x
dxxgxfxgxf
xR
阵求下面一组基的度量矩的内积为设欧氏空间例
.
4
单位矩阵的度量矩阵是欧氏空间中标准正交基定理
（ 1） 正交化,取,11
,,
,
1
11
21
22
,,,,21 的一个基为向量空间若 Vr
称为这样一个问题价等与使位向量的单就是要找一组两两正交的一个标准正交基要求的一个基是向量空间设
,,
,,,,,,,,,,
,
,,,,
212121
21
rrr
r
eeeeee
VV
.
,,,21
准正交化这个基标把 r
三、施密特正交化
111 122221111,
,
,
,
,
,
r
rr
rrrr
rr
.,,,,,,111 等价与且两两正交那么 rrr
（ 2） 单位化,取
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
reee?
.,,,21 的一个标准正交基为那么 Veee r?
222 32122 3133,
,
,
,?
例 4 用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 aaa
标准正交化,
解 先 正交化,
1,1,1,111 ab
111 2122,
,b
bb
abab
1,1,1,11111 4114,0,1,13,1,2,0
取
.,,,
,,
1
1
称为的过程向量组构造出正交上述由线性无关向量组
r
r
施密特正交化过程
222 32111 3133,
,
,
,b
bb
abb
bb
abab
3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1
再 单位化,
143,14 1,14 2,03,1,2,0141
2
2
2 b
be
0,62,61,610,2,1,161
3
3
3 b
be
得标准正交向量组如下
21,21,21,211,1,1,121
1
1
1 b
be
例 5
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量标准正交化特正交化过程把这组向试用施密设
aaa
解 ;11 ab?取
bb baab 12 1222
1
,
1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
b
b
bab
b
baab
22
23
12
13
33
2
,
1
,
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
再把它们单位化，取
b
be
1
1
1?
,
1
2
1
6
1
b
be
2
2
2?
,
1
1
1
3
1
b
be
3
3
3?
.
1
0
1
2
1
.,,321 即合所求eee
a1
a3
a2
几 何 解 释
b1;11 ab
,
1
,
,
,
12
12
1
1
1
1
22
122
b
b
ba
b
b
b
bac
bac
即上的投影向量在为;222 cab c
2
b2
,
,2133
平面上的投影向量的在平行于为 bbac
c3
,
2
,
1
,
,
,,
22
23
12
13
32313
3231
213321
b
b
ba
b
b
ba
ccc
cc
bbacbb
即之和及向量上的投影分别在等于故由于
c31
c32
.333 cab
b3
例 6
.
,,,,,
1
1
1
3
21321
两两正交使求一组非零向量已知
a
aaaaa
解
.0
,0,
321
132
xxx
xaaa T
即应满足方程
.
1
1
0
,
1
0
1
21
它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,12a
,,
,
1
11
21
23
a
于是得其中,2,,1,1121
,
1
0
1
2
a,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
1
1
1
0
3
a
定义
,
,1
正交矩阵为称则即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT
四、正交矩阵与正交变换定理 5 则阶正交矩阵皆是设,,nBA
111 或A TAA 12
,3 1 也是正交矩阵即?AA T,4 也是正交矩阵AB
证明 EAA T?
E?
定理 6
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
21
22221
11211
为正交矩阵的充要条件是 的列 (行 )向量都是单位向量且两两正交．
A A
ETnTT
n
,,,21
2
1
E
T
nn
T
n
T
n
T
n
TT
T
n
TT
21
22212
12111
njiji jiijTji,,2,1,,0 ;,1
当当
由标准正交基到 标准正交基的过渡 矩阵是正交矩阵；反之，若 过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基,
定理 7
性质 正交变换保持向量的内积不变，特别地，
保持向量的长度不变．
定义 设 为欧氏空间 的一个线性变换，若在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，则称为正交变换．
V?
解 （ 1）
,02131121211
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于例 7 判别下列矩阵是否为正交阵．
,
12131
21121
31211
1
,
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
T
所以它是正交矩阵．
100
010
001由于
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
例 8
.
2
1
2
1
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
是正交矩阵验证矩阵
P
解
.
,,
是正交矩阵所以且两两正交向量的每个列向量都是单位
P
P
,
co ss i n
s i nco s
21
转变换正交变换它是正交矩阵，所以旋下的矩阵是，在基旋转变换
T 例求一单位向量，使它与
,1,1,1,11,1,1,1,123,1,23
正交．
思考题
:),,,,( 则由题意可得设所求向量为 dcbax?解思考题解答
.032
,0
,0
,1
2222
dcba
dcba
dcba
dcba
)263,261,0,1322(,x解之可得
).263,261,0,1322(x或
二、标准正交基
三、施密特正交化
四、正交矩阵与正交变换
一,内积回忆,3R
ba,c o s?ba,,的夹角表示 ba
aaa
,
,
321
321
kbjbibb
kajaiaa
若
332211 babababa
则一、内积定义 1 维向量设有 n,,
2
1
2
1
nn
b
b
b
a
a
a
nn bababa2211,令
,,的与为向量称 内积推广到 n维实向量空间,nR
说明
1 维向量的内积是 3维向量数量积的推广，但是没有 3维向量直观的几何意义．
4?nn
,,
:,
,,2
TT
为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算内积的运算性质
,,,,为实数维向量为其中 kn
;,,)1(
;,,)2( kk?
;,,,)3(
,00,,0,)4( 当且仅当中定义 1的内积有时称为 标准内积,nR
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间,
简称 欧氏空间,
抽象定义一般线性空间的内积,
.),(
,,,,
),4()1(),,(
,,,
,
的内积与为向量则称为任意的实数中的任意向量为其中它满足上述性质实数记作该应都有唯一的实数与之对任意两向量中若对上的线性空间是实数域设
kV
VRV
定义 2
,
3),(
,,,,,
2
22211211
2121
2
中的内积亦为令设中在
R
babababa
bbaaR
TT
例1
.
)()(),(
],1,0[)(),(,
]1,0[]1,0[
1
0
0
0
明这是一内积利用定积分的性质可证令对构成的线性空间上全体实连续函数是定义在设
dxxgxfgf
Cxgxf
C例2
定义 3,,令
,或的维向量为称 n长度 范数注 向量的长度具有非负性：;0,0;0,0 时当时即当对任一非零向量可将其 单位化,,
.1 的向量为单位向量称长度是
,,22221 naaa
中,在标准内积下向量的长度为,nR
为引入夹角的概念定理 1 Cauchy-Schwarz不等式有是欧氏空间设,,,VV
,
定义 4
)0(
,
a rcco s,
,,
之间的夹角向量在欧氏空间中
.,
,0,,,,
记作正交与则称若对是欧氏空间设 VV
注,零向量与任何向量都正交,
.线性相关与其中等号成立的条件是
定义 5
定理 2 在 n维欧氏空间中,成立;.1
.,.2 222 时当
1 正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组；若其中每个向量的长度都是 1,
则称为 正交单位向量组 (或标准正交向量组 )．
二、标准正交基注意 (1) 这里每个向量均要求非零 ;
(2) 由单个 非零 向量组成的向量组也正交向量 组,
,00 21111 T由,01从而有
.02 r同理可得,,,,21 线性无关故 r
使设有 r,,,21?证明
02211 r
得左乘上式两端以,1a T 0111 T
2 正交向量组的性质线性无关.,,,则非零向量,
是一组两两正交的,,,维向量若
r
rn
21
21 1定理
1
2
1
,
1
1
1
21
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基,
3? 321,,
3 向量空间的正交基
.
n
正交基向量构成的向量组称为个两两正交的非零维欧氏空间中，由在定义 n
n.
两两正交的非零向量维个数不超过的欧氏空间中，推论 n
例 1 已知三维向量空间 中两个向量3R
即
02),(
0),(
32132
32131
xxx
xxx
解之得,0,231 xxx
则有若令,13?x?
1
0
1
3
2
1
3
x
x
x
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321,,
则有 0,,3231
解,,,0,,213213 正交且分别与设 Txxx
4 标准正交基
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
eeee
例如
.
n
正交基称为标准正交基向量组成的维欧氏空间中，由单位在定义
.
21
21
0
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,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
eeee
.4,3,2,1,,1),(
.4,3,2,1,,0),(
jijiee
jijiee
ji
ji
且且由于
.,,,44321 的一个标准正交基为所以 Reeee
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
同理可知
.4 的一个标准正交基也为 R
.,,1),,(
,),,,(,,
n,,,2
21
n21
nix
xxxXV
V
ii
T
n
则的坐标为设对正交基的一标准维欧氏空间是设定理
.),(,),,,(
,),,,(,,,
n,,,3
1
n21
n21
n21
n
i
ii
T
yxYXY
XV
V
则设对正交基的一标准维欧氏空间是设定理
注意 此时的内积为标准内积,
.,,,
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
,
n,,,
n21
21
22212
12111
n21
的度量矩阵称为基矩阵基的一组维欧氏空间是设定义
nnnn
n
n
V
注 度量矩阵为对称矩阵,
( 0,3,2 ),( 3,0,4 ),( 1,- 1,4 ),
2
321
3
中下列基的度量矩阵求欧氏空间例 R
.x,1,
)()()(),(
][ 3
2
321
1
1
3
x
dxxgxfxgxf
xR
阵求下面一组基的度量矩的内积为设欧氏空间例
.
4
单位矩阵的度量矩阵是欧氏空间中标准正交基定理
（ 1） 正交化,取,11
,,
,
1
11
21
22
,,,,21 的一个基为向量空间若 Vr
称为这样一个问题价等与使位向量的单就是要找一组两两正交的一个标准正交基要求的一个基是向量空间设
,,
,,,,,,,,,,
,
,,,,
212121
21
rrr
r
eeeeee
VV
.
,,,21
准正交化这个基标把 r
三、施密特正交化
111 122221111,
,
,
,
,
,
r
rr
rrrr
rr
.,,,,,,111 等价与且两两正交那么 rrr
（ 2） 单位化,取
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
reee?
.,,,21 的一个标准正交基为那么 Veee r?
222 32122 3133,
,
,
,?
例 4 用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 aaa
标准正交化,
解 先 正交化,
1,1,1,111 ab
111 2122,
,b
bb
abab
1,1,1,11111 4114,0,1,13,1,2,0
取
.,,,
,,
1
1
称为的过程向量组构造出正交上述由线性无关向量组
r
r
施密特正交化过程
222 32111 3133,
,
,
,b
bb
abb
bb
abab
3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1
再 单位化,
143,14 1,14 2,03,1,2,0141
2
2
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be
0,62,61,610,2,1,161
3
3
3 b
be
得标准正交向量组如下
21,21,21,211,1,1,121
1
1
1 b
be
例 5
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量标准正交化特正交化过程把这组向试用施密设
aaa
解 ;11 ab?取
bb baab 12 1222
1
,
1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
b
b
bab
b
baab
22
23
12
13
33
2
,
1
,
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
再把它们单位化，取
b
be
1
1
1?
,
1
2
1
6
1
b
be
2
2
2?
,
1
1
1
3
1
b
be
3
3
3?
.
1
0
1
2
1
.,,321 即合所求eee
a1
a3
a2
几 何 解 释
b1;11 ab
,
1
,
,
,
12
12
1
1
1
1
22
122
b
b
ba
b
b
b
bac
bac
即上的投影向量在为;222 cab c
2
b2
,
,2133
平面上的投影向量的在平行于为 bbac
c3
,
2
,
1
,
,
,,
22
23
12
13
32313
3231
213321
b
b
ba
b
b
ba
ccc
cc
bbacbb
即之和及向量上的投影分别在等于故由于
c31
c32
.333 cab
b3
例 6
.
,,,,,
1
1
1
3
21321
两两正交使求一组非零向量已知
a
aaaaa
解
.0
,0,
321
132
xxx
xaaa T
即应满足方程
.
1
1
0
,
1
0
1
21
它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,12a
,,
,
1
11
21
23
a
于是得其中,2,,1,1121
,
1
0
1
2
a,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
1
1
1
0
3
a
定义
,
,1
正交矩阵为称则即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT
四、正交矩阵与正交变换定理 5 则阶正交矩阵皆是设,,nBA
111 或A TAA 12
,3 1 也是正交矩阵即?AA T,4 也是正交矩阵AB
证明 EAA T?
E?
定理 6
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
21
22221
11211
为正交矩阵的充要条件是 的列 (行 )向量都是单位向量且两两正交．
A A
ETnTT
n
,,,21
2
1
E
T
nn
T
n
T
n
T
n
TT
T
n
TT
21
22212
12111
njiji jiijTji,,2,1,,0 ;,1
当当
由标准正交基到 标准正交基的过渡 矩阵是正交矩阵；反之，若 过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基,
定理 7
性质 正交变换保持向量的内积不变，特别地，
保持向量的长度不变．
定义 设 为欧氏空间 的一个线性变换，若在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，则称为正交变换．
V?
解 （ 1）
,02131121211
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于例 7 判别下列矩阵是否为正交阵．
,
12131
21121
31211
1
,
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
T
所以它是正交矩阵．
100
010
001由于
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
例 8
.
2
1
2
1
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
是正交矩阵验证矩阵
P
解
.
,,
是正交矩阵所以且两两正交向量的每个列向量都是单位
P
P
,
co ss i n
s i nco s
21
转变换正交变换它是正交矩阵，所以旋下的矩阵是，在基旋转变换
T 例求一单位向量，使它与
,1,1,1,11,1,1,1,123,1,23
正交．
思考题
:),,,,( 则由题意可得设所求向量为 dcbax?解思考题解答
.032
,0
,0
,1
2222
dcba
dcba
dcba
dcba
)263,261,0,1322(,x解之可得
).263,261,0,1322(x或
