第 7章 空间曲面与曲线
7.1 曲面及其方程
7.2 二次曲面
7.3 空间曲线总复习
7.1 曲面及其方程
7.1.1 曲面和曲线的一般方程
7.1.2 球面方程
7.1.3 柱面
7.1.4 锥面
7.1.5 旋转曲面小结 思考题水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 0),,(?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,(?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面的实例：
7.1.1 曲面和曲线的一般方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
例 1 在 直角 坐标系 下,已知 两点 )3,2,1(A,
)4,1,2(?B,求线段 AB 的垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA?
222 321 zyx
,412 222 zyx
化简得所求方程,07262 zyx
解例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为
R 的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM?|| 0根据题意有
Rzzyyxx 202020
2202020 Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx
7.1.2 球面方程标准方程反之，给定三元二次方程
2 2 2 0x y z a x b y c z d
方程可化为
2 2 2
2 2 2 4( ) ( ) ( )
2 2 2 4
a b c a b c dx y z
2 2 2( 1 ) 4 0a b c d当 时,此 方 程 表 示 一 个 球 面 ；
2 2 2(2 ) 4 0a b c d当 时,此 方 程 表 示 一 个 点 ；
2 2 2( 3 ) 4 0a b c d当 时,此 方 程 表 示 一 个 虚 球 面 。
综上可得书中 定理 7-1
(,,)
r
P x y z PN x oy
N A N B
x y AO N N O P
考 虑 以 原 点 为 球 心,为半 径 的 球 面 。 由 球 面 上 一点 作 与 平 面垂 直,再 作 和 分 别 与轴 和 轴 垂 直 。 设,。 则下面给出球面的参数方程：
P
x
y
z
o
N
r
A
B
c o s c o s c o s,02
s i n c o s s i n,
s i n s i n,22
x O A O N r
y O B O N r
z N P O P r
0
0
0
sin c o s,
sin sin,
c o s,
x x r
y y r
z z r
0 0 0 0(,,)P x y z同 理,可 求 得 以 为 球 心 的球 面 参 数 方 程 为
0 (,)r r r n
向 量 形 式 的 方 程 为例 2 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
MMMO根据题意有
,2
1
432 222
222
zyx
zyx
,911634132
2
2
2
zyx
所求方程为播放定义
7.1.3 柱面观察柱面的形成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,
C
L
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),(?yxF,在空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 x o y 面上曲线 C,（其他类推）
实例
12
2
2
2
czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面 // 轴y
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
0 0 0 0
(,,)
(,,) 0
(,,) 0
P x y z
F x y z
G x y z
设 锥 面 的 顶 点 为,准 线 方 程 为
0 0 0 0
1 1 1 1
0 0 0
1 0 1 0 1 0
(,,)
(,,)
- - -
- - -
P x y z
P x y z
x x y y z z
x x y y z z
则 锥 面 的 母 线 为 过 和 准 线 上 的 点的 直 线,方 程 为
1 1 1
1 1 1
(,,) 0
(,,) 0
F x y z
G x y z
又
(1)
(2)
从 (1)(2)中消去
x,y,z可得锥面方程注：
(,,) 0
(,,)
F x y z
F x y z
（ 1） 三 元 方 程 表 示 在 原 的 面是 一 次 多 式
0 0 0
0 0 0
(,,) 0 (,,)
(,,) -,-,-
F x y z P x y z
F x y z x x y y z z
（ 2） 三 元 方 程 表 示 在 的 面是 一 于 的 次 多 式例 7 - 6 设锥面的顶点在坐标原点，且准线方程为
22
22
1
( 0 )
xy
ab
z c c
试建立该锥面的方程,
x
o
z
y
解 母线方程为
1 1 1
x y z
x y z
1 1 1 1(,,)M x y z
),,( zyxM
锥面方程
22
11
22
1
1
xy
ab
zc
又
2 2 2
2 2 2
z 0xy
a b c
例 7-7 确定下列方程所表示的曲面：
2 2 2
2 2 2
( 1 ) 0 0 ;
( 2 ) 0,
x y z
abc
a b c
x y y z z x
（ ）
解：此二方程都是二次齐次，都是顶点在原点的锥面
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
01
( 1 ),
x y z y z
a b c b c
x a x a
准 曲 即椭圆锥面
2 2 20 1
( 2),
1 1
x y y z z x x y z
x y z x y z
准 曲 即圆锥面
7.1.5 旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,播放
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 yxz
根据题意有 1z
用平面 cz? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ccyx
当平面 cz? 上下移动时，
得到一系列圆圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMM),,,( zyxM设
1)1( zz?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd
旋转过程中的特征：
如图将 代入 2211,yxyzz
0),( 11?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz 0),( 11?zyf
,0,22 zyxf
y o z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf 绕 z 轴旋转一周的 旋转曲面方程,
得方程同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
,0,22 zxyf
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角?
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
c o t22 yxz
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
2
2
22
cza yx
旋转双曲面
（ 2 ）椭圆
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zxay
12
2
2
22
cza yx
旋转椭球面
（ 3 ）抛物线
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 旋转抛物面思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(?x ;4)2( 22 yx
.1)3( xy
7.1 曲面及其方程
7.2 二次曲面
7.3 空间曲线总复习
7.1 曲面及其方程
7.1.1 曲面和曲线的一般方程
7.1.2 球面方程
7.1.3 柱面
7.1.4 锥面
7.1.5 旋转曲面小结 思考题水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 0),,(?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,(?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面的实例：
7.1.1 曲面和曲线的一般方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
例 1 在 直角 坐标系 下,已知 两点 )3,2,1(A,
)4,1,2(?B,求线段 AB 的垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA?
222 321 zyx
,412 222 zyx
化简得所求方程,07262 zyx
解例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为
R 的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM?|| 0根据题意有
Rzzyyxx 202020
2202020 Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx
7.1.2 球面方程标准方程反之，给定三元二次方程
2 2 2 0x y z a x b y c z d
方程可化为
2 2 2
2 2 2 4( ) ( ) ( )
2 2 2 4
a b c a b c dx y z
2 2 2( 1 ) 4 0a b c d当 时,此 方 程 表 示 一 个 球 面 ；
2 2 2(2 ) 4 0a b c d当 时,此 方 程 表 示 一 个 点 ；
2 2 2( 3 ) 4 0a b c d当 时,此 方 程 表 示 一 个 虚 球 面 。
综上可得书中 定理 7-1
(,,)
r
P x y z PN x oy
N A N B
x y AO N N O P
考 虑 以 原 点 为 球 心,为半 径 的 球 面 。 由 球 面 上 一点 作 与 平 面垂 直,再 作 和 分 别 与轴 和 轴 垂 直 。 设,。 则下面给出球面的参数方程：
P
x
y
z
o
N
r
A
B
c o s c o s c o s,02
s i n c o s s i n,
s i n s i n,22
x O A O N r
y O B O N r
z N P O P r
0
0
0
sin c o s,
sin sin,
c o s,
x x r
y y r
z z r
0 0 0 0(,,)P x y z同 理,可 求 得 以 为 球 心 的球 面 参 数 方 程 为
0 (,)r r r n
向 量 形 式 的 方 程 为例 2 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
MMMO根据题意有
,2
1
432 222
222
zyx
zyx
,911634132
2
2
2
zyx
所求方程为播放定义
7.1.3 柱面观察柱面的形成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,
C
L
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),(?yxF,在空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 x o y 面上曲线 C,（其他类推）
实例
12
2
2
2
czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面 // 轴y
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
定义
7.1.4 锥面观察锥面的形成过程,
过 定点 O并沿定曲线 C移动的直线 L所形成的曲面称为锥面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,O
叫做 顶点,
C
L
L
O
0 0 0 0
(,,)
(,,) 0
(,,) 0
P x y z
F x y z
G x y z
设 锥 面 的 顶 点 为,准 线 方 程 为
0 0 0 0
1 1 1 1
0 0 0
1 0 1 0 1 0
(,,)
(,,)
- - -
- - -
P x y z
P x y z
x x y y z z
x x y y z z
则 锥 面 的 母 线 为 过 和 准 线 上 的 点的 直 线,方 程 为
1 1 1
1 1 1
(,,) 0
(,,) 0
F x y z
G x y z
又
(1)
(2)
从 (1)(2)中消去
x,y,z可得锥面方程注：
(,,) 0
(,,)
F x y z
F x y z
（ 1） 三 元 方 程 表 示 在 原 的 面是 一 次 多 式
0 0 0
0 0 0
(,,) 0 (,,)
(,,) -,-,-
F x y z P x y z
F x y z x x y y z z
（ 2） 三 元 方 程 表 示 在 的 面是 一 于 的 次 多 式例 7 - 6 设锥面的顶点在坐标原点，且准线方程为
22
22
1
( 0 )
xy
ab
z c c
试建立该锥面的方程,
x
o
z
y
解 母线方程为
1 1 1
x y z
x y z
1 1 1 1(,,)M x y z
),,( zyxM
锥面方程
22
11
22
1
1
xy
ab
zc
又
2 2 2
2 2 2
z 0xy
a b c
例 7-7 确定下列方程所表示的曲面：
2 2 2
2 2 2
( 1 ) 0 0 ;
( 2 ) 0,
x y z
abc
a b c
x y y z z x
（ ）
解：此二方程都是二次齐次，都是顶点在原点的锥面
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
01
( 1 ),
x y z y z
a b c b c
x a x a
准 曲 即椭圆锥面
2 2 20 1
( 2),
1 1
x y y z z x x y z
x y z x y z
准 曲 即圆锥面
7.1.5 旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,播放
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 yxz
根据题意有 1z
用平面 cz? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ccyx
当平面 cz? 上下移动时，
得到一系列圆圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMM),,,( zyxM设
1)1( zz?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd
旋转过程中的特征：
如图将 代入 2211,yxyzz
0),( 11?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz 0),( 11?zyf
,0,22 zyxf
y o z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf 绕 z 轴旋转一周的 旋转曲面方程,
得方程同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
,0,22 zxyf
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角?
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
c o t22 yxz
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
2
2
22
cza yx
旋转双曲面
（ 2 ）椭圆
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zxay
12
2
2
22
cza yx
旋转椭球面
（ 3 ）抛物线
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 旋转抛物面思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(?x ;4)2( 22 yx
.1)3( xy
