定义
.
2
22
),,,(
,,,
1,1
31132112
2
2
222
2
11121
21
称为二次型的二次齐次函数个变量含有
xxa
xxaxxaxa
xaxaxxxf
xxxn
nnnn
nnn
n
n
１ 二次型
.
,,
,,
的秩的秩称为二次型称阵对的二次型称为对称阵的矩阵为二次型称其中二次型可记作
fA
Aff
AAAAxxf TT
二次型与它的矩阵是一一对应的．
.
,;,
称为实二次型是实数时当称为复二次型是复数时当
f
afa ijij
定义
).(
22
22
2
11
或法式称为二次型的标准形只含平方项的二次型
ykykykf nn
2 二次型的标准形
),,()(,,
,,)1(
ARBRB
AACCBC T
且亦为对称阵则阵为对称如果令任给可逆矩阵
.)(,,,
,
,
),()2(
21
22
22
2
11
1,
的特征值的矩阵是其中化为标准形使有正交变换总任给实二次型
aAf
yyyf
fPyx
aaxxaf
ijn
nn
jiijji
n
ji
ij
3 化二次型为标准形
( 3)
,
.
拉 格 朗 日 及 亦 可 把二 次 型 化 为 标 准 形 此 时 所 用 的 可 逆 线 性 变 换一 般 而 言 不配 方 法 初 等 变 法是 正 交 变 换换定义
.,,0
)(,0;
,),0)0((0)(
,0,)(
是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的称对称矩阵并为正定二次型则称显然都有如果对任何设有实二次型
Af
xfxA
ffxf
xAxxxf
T
4 正定二次型
.
,,,,,,
),0(
),0(
,,
2121
22
22
2
11
22
22
2
11
数的个数相等中正中正数的个数与则及使及实的可逆变换有两个它的秩为设有实二次型
rr
irr
irr
T
kkk
zzzf
kykykykf
PzxCyx
rAxxf
5 惯性定理
.
.
2)(;
,,,
21
量化线性变换的不变它们是二次型对于非退差的符号称为称为负惯性指数数称为正惯性指中正数的个数
frpprpNps
Npr
pkkk
r
注意;
,:
)1(
np
n
Axxf T
即正惯性指数个系数全为正它的标准形的是为正定的充分必要条件实二次型;
:)2(
特征值全为正的是为正定的充分必要条件对称矩阵 AA
6 正定二次型的判定
).,,2,1(,0)1(
,,
:;0,;0;0
,:
))(3(
1
111
1
111
2221
1211
11
nr
aa
aa
A
aa
aa
aa
aa
a
A
A
rrr
r
r
nnn
n
即而偶数阶主子式为正式为负奇数阶主子是为负定的充分必要条件对称矩阵即的各阶主子式都为正要条件是为正定的充分必对称矩阵霍尔维茨定理
7 二次曲面的分类
（ 1）通过正交变换消去二次曲面方程中的二次型中的交叉项；
（ 2）再配方将二次曲面方程化为标准方程；
（ 3）判断曲面的形状。
典 型 例 题一、化二次型为标准形二、判定二次型的正定性三、二次曲面方程的化简和分类
.2),,( 2231321 为标准形用正交变换化
xxxxxxf
例1 0
.
001
010
100
,
001
010
100
),,(),,(
3
2
1
321321
A
Axx
x
x
x
xxxxxxf
T
得实对称矩阵一、化二次型为标准形解 第一步 将 表成矩阵形式f
例 1
.1,1
,0)1()1(
.
321
2
得由的所有特征值求出第二步
AE
A
.
0
1
0
,
1
0
1
,0)(
.
21
1
得它的基础解系解方程组求正交矩阵第三步
xAE
T
.
0
1
0
,
2/1
0
2/1
,
,,0],[
2
2
2
1
1
1
2121
得将它们单位化正交与?
得单位化得它的基础解系解方程组
,,
1
0
1
,0)(
3
3
xAE
.
2/1
0
2/1
3
3
3
.
100
010
001
,),,,(
,,,
1
321
21331
为对角阵且为正交矩阵令正交与
ATT
TT
.)(
.
2
3
2
2
2
1 yyyyyyATTyf
Tyx
TTT
作正交变换第四步
.28
2102),,(
.
,
3132
21
2
3
2
2
2
1321
xxxx
xxxxxxxxf
性变换并求相应的线准形用配方法化二次型为标例1 1
解
xxx
xxxxxxxxf
xf
32
2
3
2
2321
2
1321
1
810
2)](2[),,(
.
,
应的线性变换并作相的项集中进行配方中含将第一步例 2
xxxxxx
xxxxxx
32
2
3
2
232
2
32
2
321
2
1
8102)(
])()(2[
.69)( 322322321 2 xxxxxxx
,
,
,
33
22
3211
xy
xy
xxxy
作线性变换
,
100
010
111
,11
pxpy即
.69),,( 32232221321 yyyyyxxxf得
.,
69 232232221
并作相应的线性变换项集中进行配方的中含将第二步 yyyyyyf
,2221 为所求标准形得 zzf
,
100
310
001
,
,
,3
,
22
33
322
11
PyPz
yz
yyz
yz
即令
.)( 12 xPPPyz相应的线性变换为
.)3( 32 221 yyyf
二、判定二次型的正定性例
3
已知二次型其中 k为参数，求使 f为正定的 k的范围。
2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3(,,) 2 ( 1 ) 2 2f k kx x x x x x x x x x
分析,根据正定的充要条件是各阶顺序主子式大于 0
来确定 k的值。
解,f的矩阵为
11
20
1 0 1
k
Ak
k
1 1 0,A
2
2
1
2 0,
2
k
Ak
k
3
11
2 0 ( 1 ) ( 2 ) 0,
1 0 1
k
A k k k k
k
10k解得例 4 设 U为可逆矩阵，,证明 A为正定矩阵。TA U U?
分析,这里没有给出具体的矩阵，故根据正定的定义来证明。
解：对于任意给定的非零向量 x，由于 U可逆，则
Ux也非零。
( ) 0,T T T Tf x A x x U U x U x U x
第五章 测试题一、填空题 (每小题 4分，共 32分 )．
特征向量是的特征值是则方阵的伴随矩阵是阶方阵是设
,
,2,A,n.1
AAB
AAA
的特征值为则的特征值为三阶方阵 23 32,2,1,1.2 AABA
的特征且设 ABA
200
031
141
,
201
034
011
.3
yx
yB
x
A
,
,
100
00
002
10
100
002
.4
则相似与已知矩阵
的矩阵是二次型
23
21
2
3
2
2
2
14321
2
432,,,.5
xx
xxxxxxxxxf
.422
5,,,.6
323121
2
3
2
2
2
1321
是正定的实二次型时当
xxxxxtx
xxxxxxf
的特征值为那么二重和值为 B),(12
对应的二次型是矩阵
314
122
421
.7 A
二、计算题（共 40分）．
.2)2( ;)1(
,
321
31
103
2)7(.1
的所有特征向量对应于的值求的特征值是矩阵设分
t
tA
.222
,,,.8
323121
2
3
2
2
2
1321
是负定的二次型时满足当
xxxxxxtx
txtxxxxft
其中相似与设矩阵分,)10.(2 BA
100
010
00
,
00
010
221 y
B
x
A
.,)2(;)1( 1 BAPPPyx使得求可逆阵的值和求试求矩阵设的特征值为已知三阶矩阵分
,32
,1,2,1)10(.3
32 AAAB
A
;)1( 矩阵的特征值及其相似对角矩阵 B
.3)2( 2 的值及行列式 EAB?
.,
020
212
022
)7(.4
1
为对角矩阵使求出可逆矩阵若可对角化可否对角化判断矩阵分
AUUU
A
.444
,,)6(.5
323121
2
3
2
2
2
1321
化为标准型将二次型分
xxxxxx
xxxxxxf
三、证明题（共 20分）．
.,3
,)5.(1 23
是正定的矩阵证明且满足阶实对称矩阵为设分
AE
AAAnA
:,)10.(3 证明阶实方阵为设分 nA;,0,0)1( 不可相似于对角阵则但若 AAA k
.,)2( 相似于对角阵则若 AEA k?
四、（ 8分）设二次型
313221232221 222 xxxxxaxxxxf
经正交变换 化成QYX?
2321 2 yyf
.
:,)5.(2
可交换与充要条件是是正定矩阵的证明是正定矩阵与设分
BA
ABBA
.,,,
,,,,,321321
试求常数是三阶正交矩阵量是三维列向其中
Q
yyyYxxxX TT
;1,0.4 ;1,2.3;4,5,1.2 ;,5.1
yx
nn
二重维非零向量任意重一、;
0000
0310
0102
0021
.5
;.6 1YA?;28432.7 323121232221 xxxxxxxxx
测试题答案
.1,8t
.
110
010
101
)2( ;1,1)1(.2
Pyx;
600
0180
002
)1(.3
.43)2( 2 EA
.
122
212
221
,.4
U可对角化;
2
1
0
)2( ;8)1.(1
kt二、
.
400
010
002
1
AUU
.5.5 232221 yyyf
.0四、
