第 8章 二次型
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课在上一节中，数域 P上的任一二次型，都可经过适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。
问题：能否找到有关标准形的不变量？
8.3.1 惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为 实变换,来研究二次型的标准形所具有的性质．


.
,,,,
,0
,0
,
,)(1
11
22
22
2
11
22
22
2
11
相等中正数的个数中正数的个数与则及使及有两个实的可逆变换为它的秩设有实二次型惯性定理定理


rr
irr
irr
T
kk
zzzf
kykykykf
PzxCyx
r
Axxf




定义 8-4：在实二次型的标准形中，正平方项的项数 p
称为二次型的 正惯性指数 ；负平方项的项数 q=r-p（
r为二次型的秩）称为二次型的 负惯性指数 ；它们的差 p-q=2p-r称为二次型的 符号差 。
注：类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、
负惯性指数以及符号差。
推论 8-1 两个实二次型可以经过非退化线性变换互相变换的充分必要条件是：它们具有相同的秩和正惯性指数。
推论 8-2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是：
它们具有相同的秩和正惯性指数。
8.3.2 实二次型的规范形实二次型经过适当的非退化线性变换（包括改变变量的次序），总可以变为标准形

2 2 2 2
1 1 1 1
0,1,2,,
p p p p r r
i
f d y d y d y d y
d i r r f

,是 的 秩 。
由于在实数域中，正数可以开平方，在作一次非退化线性变换
11
1
11
1
1
rr
r
rr
nn
yz
d
yz
d
yz
yz

2 2 2 2
11 p p rf z z z z
此为实二次型的 规范形 。
定理 8-5 任一实数域上的 n元二次型，总可以经过非退化线性变换变为规范形，且规范形是惟一的。
定理 8-6 任一实对称矩阵 A必合同于一个形如的对角矩阵，其中 p+q=r=R(A),p是正惯性指数，
q是负惯性指数。
1
1
1
10
0
0
p
q
E
E














8.3.3 复二次型的规范形复二次型经过适当的非退化线性变换（包括改变变量的次序），总可以变为标准形

2 2 2
1 1 2 2,
0,1,2,,
rr
i
f d y d y d y
d i r r f

,是 的 秩 。
由于复数总可以开平方，再作一次非退化线性变换
11
1
11
1
1
rr
r
rr
nn
yz
d
yz
d
yz
yz

2 2 2
12 rf z z z
此为复二次型的 规范形 。
定理 8-7 任一复数域上的 n元二次型，总可以经过非退化线性变换变为规范形，且规范形是惟一的。
定理 8-6 任一复对称矩阵 A必合同于一个形如的对角矩阵，其中 r=R(A)。
1
01
0 0 0
0
r
E







小结
1,秩、正负惯性指数都是实二次型的不变量。
2,实二次型的规范形惟一。
3,复二次型的规范形惟一。