第 8章 二次型
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课
22
1 1 2 2f y y
标准形
Tf x A x?
2元实二次型
1Tx A x?
有心二次曲线
22
1 1 2 2 1yy
在新坐标系下正交替换坐标系旋转
2221 1 2 2 3 3f y y y
标准形
Tf x A x?
3元实二次型
1Tx A x?
有心二次曲线
222
1 1 2 2 3 3 1y y y
在新坐标系下正交替换坐标系旋转注 （ 1） 2,3元二次型的 正交 线性替换相当于平面、空间的直角坐标系旋转；
（ 2）二次型化为标准形后，相当于曲线、曲面方程中 消去了交叉项 ；
（ 3）以上意味着曲线、曲面的 主轴 （对称轴）
与新坐标轴重合。
1 2 3(,,) 0f x x x?有 表 示 二 次 曲 面
2221 2 3 11 1 22 2 33 3
12 1 2 13 1 3 23 2 3
1 1 2 2 3 3
,,
222
f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x
b x b x b x c



令
+
1 1 11 12 13
2 2 21 22 23
3 3 31 32 33
x y a a a
X x Y y A a a a
x y a a a





令 =,=,=
一、作旋转变换消去交叉项
TTf X A X b X c
1
2
3
A T = TX TY T



在 正 交 替 下,如 果
1 2 3(,,)
Tb T b b b,二 次 曲 面 方 程 化
222
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 0y y y b y b y b y c+
以上相当于作旋转变换消去了交叉项，
使得曲线的主轴平行与新坐标轴；再用配方法作平移变换使得曲线的主轴与新坐标重合。
二、作用配方法作平移变换
1 2 3 0
I,当 r(A)=3时，因为作平移变换
312
1 1 2 2 3 3
1 2 3
,,
2 2 2
bbb
z y z y z y



二次曲面方程化为
2221 1 2 2 3 3 1z z z d （ ）
1 2 3 d，,,
（ 1）如果 同号,椭球面
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c

1 2 3，,
（ 2）如果 同号,d=0，退化为一点
2 2 2
2 2 2 0
x y z
a b c

1 2 3，,
（ 3）如果 同号，但与 d异号,虚椭球面
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c

2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c

1 2 3，,
（ 4）如果 两正一负，且 ；
或 两负一正，且 单叶双曲面
1 2 3，,
0d?
0d?
（ 6）如果 有正有负，且 d=0,二次锥面
1 2 3，,
2 2 2
2 2 2 0
x y z
a b c

2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c

1 2 3，,
（ 5）如果 两正一负，且 ；
或 两负一正，且 双叶双曲面
1 2 3，,
0d?
0d?
II,当 r(A)=2时，因为
1 2 3 0，,有 一,
3 0不 妨,方 程 化
12，
（ 7）在方程 (2)中，如果 同号,椭圆抛物面
22
22
xy
z
pq

12，
（ 8）在方程 (2)中，如果 异号,双曲抛物面
22
22
xy
z
pq

22
1 1 2 2 3
22
1 1 2 2
( 2 )
3
z z a z
z z d



或 （ ）
12 d，,
（ 9）在方程 (3)中，如果 同号,椭圆柱面
12，
（ 10）在方程 (3)中，如果 同号，但与 d异号，
虚椭圆柱面
12，
（ 11）在方程 (2)中，如果 同号,d=0，
一条直线
22
22 1
xy
ab

22
22 1
xy
ab

22
22 0
xy
ab

（ 12）在方程 (3)中，如果 异号，,
双曲柱面 12,0d?
22
22 1
xy
ab

（ 13）在方程 (3)中，如果 异号，,
两个相交平面 12,0d?
22
22 0
xy
ab

III.当 r(A)=1时，因为 中有两个为 0
1 2 3，,
1 0不 妨,方 程 化 下 列 情 形 之 一,
22
1 1 2 1 1 30 0 (4 )z p z z q z或
2
1 1 2 3 0z p z q z或
(4)(5)都是抛物柱面
2 3 2 3
1 1 2 32 2 2 2,,,
p z q z q z p z
u z u u
p q p q



再作旋转变换方程化为
2 2 2
1 1 2 0 (5)u p q u
(14)抛物柱面
1 d?，
（ 15）,如果 异号，
两个平行平面
22xa?
2
11 0zd
1 d?，
（ 16）,如果 同号，
一对虚平行平面
22xa
2
11 0zd
0d?（ 17）,如果一对重合平面
2 0x?
2
11 0zd
注,(1)以上为新坐标系下的标准方程；
(2)当 r(A)=3时,(1)-(6)为有心曲面，
当 r(A)=1,2时,(7)-(17)为无心曲面。
例 试用直角坐标变换化简下列二次曲面方程。
2 2 2 2 4 2 4 5 0x y z x z x y z
解：
2 2 2 2 4 2 4 5 0x y z x z x y z
1 0 1
0 1 0
1 0 1
A




( 1 ) ( 2 )EA
特征值为 1,2,0
对应的特征向量分别为
1 2 3
0 1 1
1 0 0
0 1 1






－
，,
11
0
22
Q 1 0 0
11
0
22







将它们单位化后得到正交矩阵 11
22
11
22
x y z
yx
z y z





22 2 2 4 2 5 0x y x y
22( 1 ) 2 ( 2 ) 1 0xy
11
22
x x x x
y y y y
z z z z






或
222 1 0xy
此为椭圆柱面，所用坐标变换为
11
1
22
1
11
1
22
x y z
yx
z y z




小结二次曲面的分类及其标准方程