第 7章 空间曲面与曲线
7.1 曲面及其方程
7.2 二次曲面
7.3 空间曲线总复习
7.3 空间曲线
7.3.1 空间曲线的方程
7.3.2 空间曲线在坐标面上的投影
7.3.3 曲面所围成区域的画法小结 思考题
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全部点,
空间曲线的参数方程
7.3.1 空间曲线的方程动点从 A点出发，经过 t时间，运动到 M点例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx 上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 （其中?,v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程．
A
M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM?
tax?c os?
tay?s i n?
vtz?t?
螺旋线的参数方程取时间 t为参数，解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
bz
ay
ax
s i n
c o s
),( vbt
螺旋线的重要 性质,
,,00,,00 bbbz
上升的高度与转过的角度成正比．
即上升的高度 bh 2 螺距?,2
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
设空间曲线的一般方程：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
7.3.2 空间曲线在坐标面上的投影如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影,?
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
z
yx
所以在 面上的投影为线段,xoz;
2
3
||,
0
2
1
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段,yoz
.
2
3
||,
0
2
1
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
例 5 求抛物面 xzy 22 与平面 02 zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
02
22
zyx
xzy
解如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
z
xxyyx
补充,空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空间立体曲面例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体
x o yyxz
yxz
解 半球面和锥面的交线为
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 yxz 得投影柱面消去面上的投影为在则交线 xoyC
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 yx
7.3.3 曲面所围成区域的画法
22
22
0
2
4
z
x y z
x y x
解,
例 7-16 用不等式组表示下列曲面所围成的区域，并画图。
画法：画出各个曲面的交线，即区域的 轮廓线 。
2 2 2 22 4 0x y z x y x z，,
22
22
2
4
x y z
x y x
关键要画出椭圆抛物面与圆柱面的交线在 xoy平面上的投影为
22 4
0
x y x
z
在 xoz平面上的投影为
2
( 0 4)
0
zx
x
y
注,该区域也可表为
2 2 2 210 ( ) 4 4 0 4
2z x y x x y x x x,-，
z
x
yo
22 1xy
例 7-17 作出下列条件所确定的的区域的简图
。
220,0,0,1,1x y z x y x y
解：画出圆柱面在平面 x=0,y=0和 x+y=1
上的截线即可。
x
y
z
o
空间曲线的一般方程、参数方程．
四、小结空间曲线在坐标面上的投影．
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
0
0),(
z
yxH
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
思考题 求椭圆抛物面 zxy 222 与抛物柱面
zx 22 的交线关于 x o y 面的投影柱面和在 x o y 面上的投影曲线方程,
思考题解答
,
2
2
2
22
zx
zxy
交线方程为消去 z 得投影柱面,122 yx
在 面上的投影为xoy,0
122
z
yx
一,填空题：
1,曲面 zyx 109
22
与 y o z 平面的交线是 _____ ；
2,通过曲线 162
222
zyx,0
222
yzx,且母线平行于 y 轴的柱面方程是 ________ ____ ；
3,曲线 01,03323
22
zyzxyzzx 在
xoz
平面上的投影方程是 _______ _____ ___ ；
4,方程组
32
15
xy
xy
在平面解析几何中表示 _____ _ ；
5,方程组
3
1
94
22
y
yx
在平面解析几何中表示 _____ __
___ ___,在空间解析几何中表示 _____ _____ __ _ _ _ ；
练 习 题
6,旋转抛物面
22
yxz ( 40 z )
在 x o y 面的投影为 _____ _____,
在 y o z 面的投影为 _____ _____ __,
在
z ox
面上的投影为 _____ _____,
二,画出下列曲线在第一卦限的图形：
1,
0
4
22
yx
yxz
2,
222
222
azx
ayx
三,将曲线
xy
zyx 9222 化为参数方程．
四,求螺旋线
bz
ay
ax
s i n
c o s
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程,
五,求 由 上 半 球 面
222
yxaz,柱面
0
22
axyx 及平面 0?z 所围成的立体，在
x o y 面和
xoz
面上的投影,
一,1,
0
9
10
2
x
zy； 2,1623,163
2222
zxzy ；
3,
0
0324
22
y
xzx；
4,两直线的交点,两平面的交线；
5,椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 1
94
22
yx
与其切平面 3?y 的交线；
6,4,4,4
2222
zxzyyx,
练习题答案三、
tz
ty
tx
s i n3
c o s
2
3
c o s
2
3
,)20( t,
四、
0
222
z
ayx
,
0
a r c s i n
x
a
y
bz
,
0
a r c c o s
y
a
x
bz
.
五、
0,0,;
2222
zxaaxzaxyx
.
7.1 曲面及其方程
7.2 二次曲面
7.3 空间曲线总复习
7.3 空间曲线
7.3.1 空间曲线的方程
7.3.2 空间曲线在坐标面上的投影
7.3.3 曲面所围成区域的画法小结 思考题
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全部点,
空间曲线的参数方程
7.3.1 空间曲线的方程动点从 A点出发，经过 t时间，运动到 M点例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx 上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 （其中?,v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程．
A
M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM?
tax?c os?
tay?s i n?
vtz?t?
螺旋线的参数方程取时间 t为参数，解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
bz
ay
ax
s i n
c o s
),( vbt
螺旋线的重要 性质,
,,00,,00 bbbz
上升的高度与转过的角度成正比．
即上升的高度 bh 2 螺距?,2
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
设空间曲线的一般方程：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
7.3.2 空间曲线在坐标面上的投影如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影,?
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
z
yx
所以在 面上的投影为线段,xoz;
2
3
||,
0
2
1
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段,yoz
.
2
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0
2
1
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
例 5 求抛物面 xzy 22 与平面 02 zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
02
22
zyx
xzy
解如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
z
xxyyx
补充,空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空间立体曲面例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体
x o yyxz
yxz
解 半球面和锥面的交线为
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 yxz 得投影柱面消去面上的投影为在则交线 xoyC
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 yx
7.3.3 曲面所围成区域的画法
22
22
0
2
4
z
x y z
x y x
解,
例 7-16 用不等式组表示下列曲面所围成的区域，并画图。
画法：画出各个曲面的交线，即区域的 轮廓线 。
2 2 2 22 4 0x y z x y x z，,
22
22
2
4
x y z
x y x
关键要画出椭圆抛物面与圆柱面的交线在 xoy平面上的投影为
22 4
0
x y x
z
在 xoz平面上的投影为
2
( 0 4)
0
zx
x
y
注,该区域也可表为
2 2 2 210 ( ) 4 4 0 4
2z x y x x y x x x,-，
z
x
yo
22 1xy
例 7-17 作出下列条件所确定的的区域的简图
。
220,0,0,1,1x y z x y x y
解：画出圆柱面在平面 x=0,y=0和 x+y=1
上的截线即可。
x
y
z
o
空间曲线的一般方程、参数方程．
四、小结空间曲线在坐标面上的投影．
0),,(
0),,(
zyxG
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)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
0
0),(
z
yxH
0
0),(
x
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0
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y
zxT
思考题 求椭圆抛物面 zxy 222 与抛物柱面
zx 22 的交线关于 x o y 面的投影柱面和在 x o y 面上的投影曲线方程,
思考题解答
,
2
2
2
22
zx
zxy
交线方程为消去 z 得投影柱面,122 yx
在 面上的投影为xoy,0
122
z
yx
一,填空题：
1,曲面 zyx 109
22
与 y o z 平面的交线是 _____ ；
2,通过曲线 162
222
zyx,0
222
yzx,且母线平行于 y 轴的柱面方程是 ________ ____ ；
3,曲线 01,03323
22
zyzxyzzx 在
xoz
平面上的投影方程是 _______ _____ ___ ；
4,方程组
32
15
xy
xy
在平面解析几何中表示 _____ _ ；
5,方程组
3
1
94
22
y
yx
在平面解析几何中表示 _____ __
___ ___,在空间解析几何中表示 _____ _____ __ _ _ _ ；
练 习 题
6,旋转抛物面
22
yxz ( 40 z )
在 x o y 面的投影为 _____ _____,
在 y o z 面的投影为 _____ _____ __,
在
z ox
面上的投影为 _____ _____,
二,画出下列曲线在第一卦限的图形：
1,
0
4
22
yx
yxz
2,
222
222
azx
ayx
三,将曲线
xy
zyx 9222 化为参数方程．
四,求螺旋线
bz
ay
ax
s i n
c o s
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程,
五,求 由 上 半 球 面
222
yxaz,柱面
0
22
axyx 及平面 0?z 所围成的立体，在
x o y 面和
xoz
面上的投影,
一,1,
0
9
10
2
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2222
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3,
0
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22
y
xzx；
4,两直线的交点,两平面的交线；
5,椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 1
94
22
yx
与其切平面 3?y 的交线；
6,4,4,4
2222
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练习题答案三、
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四、
0
222
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.
五、
0,0,;
2222
zxaaxzaxyx
.
