第 8章 二次型
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课
8.1.1 二次型
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
称为二次型,
的二次齐次函数个变量含有定义 nxxxn,,,1 21?;,称为是复数时当 fa ij 复二次型
.,称为是实数时当 fa ij 实二次型
(8-1)
1．用和号表示
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
对二次型
,aa ijji?取,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij则 于是
nn xxaxxaxaf 1121122111
.
1,
xxa jin
ji ij
nn xxaxaxxa 2222221221
22211 nnnnnnn xaxxaxxa
二次型的表示方法
(8-2)
2．用矩阵表示
nn xxaxxaxaf 1121122111
nn xxaxaxxa 2222221221
22211 nnnnnnn xaxxaxxa
)(
)(
)(
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
nnnnn
nn
nn
n
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
2211
2222121
1212111
21 ),,,(
.,为对称矩阵其中则二次型可记作 AAxxf T?
,,
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
记
nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxx
2
1
21
22221
11211
21
,,,
(8-3)
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，
就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在 一一对应 的关系．; 的矩阵叫做二次型对称矩阵 fA; 的二次型叫做对称矩阵 Af
,的秩的秩叫做二次型对称矩阵 fA
二次型的矩阵及秩解,a,a,a 321 332211
,aa 22112,aa 03113
.aa 33223
.
330
322
021
A
.
6432
3221
2
3
2
2
2
1
的矩阵写出二次型
xxxxxxxf例１
8.1.2 非退化线性替换
12,,,nx x x
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y
1 2 1 2,,,;,,,nnx x x y y y定义 8-2：设 是两组变量，
系数在数域 P中的下列关系式称为从变量到 的一个 线性替换 。
12,,,ny y y
(8-4)
如果系数矩阵 非退化，则称 (8-4)为 非退化的，或 可逆的,也称 满秩线性变换 。()ij n nCc
如果系数矩阵 C是正交矩阵，则称 (8-4)为 正交的,简称 正交替换 。
令
11
22
,
nn
xy
xy
XY
xy
(8-4)可表为
X C Y? (8-5)
问题,怎样通过合适的非退化线性替换将二次型变得简单些？
将线性替换 (8-5)代入二次型 Tf X A X?
()T T Tf X A X Y C A C Y得二次型非退化线性替换的性质：
（ 1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证,X C Y?由
（ 2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换证：,X C Y Y D Z由
X C D Z
-1Y C X
（ 3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个非退化线性替换；连续施行正交替换的结果还是正交替换。
8.1.3 矩阵的合同
TB C A C?
定义 8-3 设 A,B是数域 P上两个 n阶对称矩阵，如果存在 P上的 n阶可逆矩阵 C，使得则称 A与 B是 合同 的（或相合,congruent），记作
A.B
注,1、合同关系满足自反性，对称性和传递性，
因此是一种等价关系。
2、合同矩阵具有相同的秩。从而在非退化线性替换下，二次型的秩不变。
证明 于是即有为对称矩阵,,TAAA?
TTT ACCB?
,,,
,,1
ARBRB
AACCBC T
且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵定理
CAC TT?,BACC T
,ACCB T,ARACRBR
,11 BCCA T?又,1 BRBCRAR
.BRAR
即 为对称矩阵,B
3、矩阵之间的合同与相似关系是两种不同的关系。
例 1 0 1 0,
0 1 0 4AB
10
02C
TB C A C?
A,B特征值不同，故合同但不相似。
特别地，两个相似的实对称矩阵是合同的。
因为 A,B特征值相同，所以存在正交矩阵 T使得
1 TB T A T T A T
小 结
（一）二次型及其矩阵表示
（二）非退化线性替换
（三）矩阵的合同
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课
8.1.1 二次型
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
称为二次型,
的二次齐次函数个变量含有定义 nxxxn,,,1 21?;,称为是复数时当 fa ij 复二次型
.,称为是实数时当 fa ij 实二次型
(8-1)
1．用和号表示
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
对二次型
,aa ijji?取,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij则 于是
nn xxaxxaxaf 1121122111
.
1,
xxa jin
ji ij
nn xxaxaxxa 2222221221
22211 nnnnnnn xaxxaxxa
二次型的表示方法
(8-2)
2．用矩阵表示
nn xxaxxaxaf 1121122111
nn xxaxaxxa 2222221221
22211 nnnnnnn xaxxaxxa
)(
)(
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.,为对称矩阵其中则二次型可记作 AAxxf T?
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,,,
(8-3)
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，
就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在 一一对应 的关系．; 的矩阵叫做二次型对称矩阵 fA; 的二次型叫做对称矩阵 Af
,的秩的秩叫做二次型对称矩阵 fA
二次型的矩阵及秩解,a,a,a 321 332211
,aa 22112,aa 03113
.aa 33223
.
330
322
021
A
.
6432
3221
2
3
2
2
2
1
的矩阵写出二次型
xxxxxxxf例１
8.1.2 非退化线性替换
12,,,nx x x
1 11 1 21 2 1
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x c y c y c y
x c y c y c y
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1 2 1 2,,,;,,,nnx x x y y y定义 8-2：设 是两组变量，
系数在数域 P中的下列关系式称为从变量到 的一个 线性替换 。
12,,,ny y y
(8-4)
如果系数矩阵 非退化，则称 (8-4)为 非退化的，或 可逆的,也称 满秩线性变换 。()ij n nCc
如果系数矩阵 C是正交矩阵，则称 (8-4)为 正交的,简称 正交替换 。
令
11
22
,
nn
xy
xy
XY
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(8-4)可表为
X C Y? (8-5)
问题,怎样通过合适的非退化线性替换将二次型变得简单些？
将线性替换 (8-5)代入二次型 Tf X A X?
()T T Tf X A X Y C A C Y得二次型非退化线性替换的性质：
（ 1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证,X C Y?由
（ 2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换证：,X C Y Y D Z由
X C D Z
-1Y C X
（ 3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个非退化线性替换；连续施行正交替换的结果还是正交替换。
8.1.3 矩阵的合同
TB C A C?
定义 8-3 设 A,B是数域 P上两个 n阶对称矩阵，如果存在 P上的 n阶可逆矩阵 C，使得则称 A与 B是 合同 的（或相合,congruent），记作
A.B
注,1、合同关系满足自反性，对称性和传递性，
因此是一种等价关系。
2、合同矩阵具有相同的秩。从而在非退化线性替换下，二次型的秩不变。
证明 于是即有为对称矩阵,,TAAA?
TTT ACCB?
,,,
,,1
ARBRB
AACCBC T
且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵定理
CAC TT?,BACC T
,ACCB T,ARACRBR
,11 BCCA T?又,1 BRBCRAR
.BRAR
即 为对称矩阵,B
3、矩阵之间的合同与相似关系是两种不同的关系。
例 1 0 1 0,
0 1 0 4AB
10
02C
TB C A C?
A,B特征值不同，故合同但不相似。
特别地，两个相似的实对称矩阵是合同的。
因为 A,B特征值相同，所以存在正交矩阵 T使得
1 TB T A T T A T
小 结
（一）二次型及其矩阵表示
（二）非退化线性替换
（三）矩阵的合同
