第 8章 二次型
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课只含有平方项的二次型
2222211 nn ykykykf
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
31232221321 4542,,xxxxxxxxf
都为二次型；
232221321 44,,xxxxxxf
为二次型的标准形,
323121321,,xxxxxxxxxf
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
2211
22221212
12121111
,
,
设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
),( cC ij?记 记作则上述可逆线性变换可
Cyx?
说明
2222211 nnTT ykykykA C yCy
就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2 Cyxf,?
,),,,(
2
1
2
1
21
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n?
.成为对角矩阵也就是要使 ACC T;
,,1
ACCBA
fCyx,
T?
变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩
,
.,
,,
1 APPAPP
PA
T
化为标准形使正交变换总有任给二次型定理
fPyx
aaxxaf jiij
n
ji
jiij
,
,2
1,
,2222211 nn yyyf
,,,,21 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式?;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C
记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
的标准形则得作正交变换解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
1442
4142
2217
A
1442
4142
2217
EA
918 2
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例 2
从而得特征值,18,9 321
得基础解系代入将,091 xEA
2．求特征向量
得基础解系代入将,01832 xEA
,)0,1,2(2 T?,)1,0,2(3 T?
3．将特征向量正交化
,11 取
.)1,1,21(1 T
,22
,,
,
2
22
32
33
得正交向量组
.)1,54,52(3 T?
,)0,1,2(2 T?,)1,1,21(1 T
,3,2,1, i
i
i
i?
令得
,
0
51
52
2
,
32
32
31
1
,
455
454
452
3
.
455032
4545132
4525231
P 所以
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.18189 232221 yyyf且有解例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx
二次型的矩阵为
,
0111
1011
1101
1110
A
它的特征多项式为
.
111
111
111
111
EA
有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,
111
111
111
1111
)1(
EA
有四行分别减去第一行三把二,,,
1000
2120
2210
1111
)1(
EA
12
21)1( 2
.)1()3()32()1( 322
.1,3 4321的特征值为于是 A
,0)3(,31 xEA解方程时当?
,
1
1
1
1
1
得基础解系,
1
1
1
1
2
1
1
p单位化即得
,0)(,1432 xEA解方程时当
,
1
1
1
1
,
1
1
0
0
,
0
0
1
1
232
可得正交的基础解系单位化即得
21
21
21
21
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
432
ppp
于是正交变换为
y
y
y
y
x
x
x
x
4
3
2
1
4
3
2
1
2121021
2121021
2102121
2102121
.3 24232221 yyyyf 且有五、小结
1,实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过 在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．
2,实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法 —— 拉格朗日配方法,
化为标准型，并指出 表示何种二次 1,,321?xxxf
曲面,
323121
2
3
2
2
2
1
321
662355
,,
xxxxxxxxx
xxxf
求一正交变换，将二次型思考题思考题解答
,
333
351
315
A二次型的矩阵为解
),9)(4()d e t ( EA可求得
,9,4,0 321的特征值为于是 A
.
1
1
1
,
0
1
1
,
2
1
1
321
ppp
对应特征向量为将其单位化得
,
62
61
61
1
1
1
p
p
q,
0
21
21
2
2
2
p
p
q
.
31
31
31
3
3
3
p
p
q
故正交变换为
,
3
1
0
6
2
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.94 2322 yyf化二次型为
.1),,( 321 表示椭圆柱面可知?xxxf
1,配方法
2,初等变换法
3,正交变换法目标,AXXf
T? 二次型
CY X?非退化线性变换
YACCYf TT )(?标准形
2222211 nn ykykyk
YY T
问题转化为,为对角矩阵，使得求可逆矩阵 ACCC T
8.2 二次型的标准形
1、配方法定理 8-1 数域 P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换，化为标准形。（ 拉格朗日配方法）
1,若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；
ix
ix
kk
jij
jii
yx
yyx
yyx
jiknk,,,2,1 且?
拉格朗日配方法的步骤
2,若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换
0?ija
),( ji?
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1中方法配方。
解
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形化二次型
xxxxxxxxxf例 1
312121 22 xxxxx 322322 652 xxxx
的项配方含有 x 1含有平方项
2321 xxx
322322 652 xxxx 32
2322 2 xxxx
去掉配方后多出来的项
3223222321 44 xxxxxxx
,2 2322321 xxxxx
33
322
3211
2
xy
xxy
xxxy
令
33
322
321
2
yx
yy
yyyx
3
2
1
3
2
1
100
210
111
y
y
y
x
x
x
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.2221 yy
所用变换矩阵为
,01,
100
210
111
CC
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
令解
,622 323121 xxxxxxf代入
.8422 32312221 yyyyyyf 得
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型
xxxxxxf例 3
由于所给二次型中无平方项，所以
y
y
y
x
x
x
3
2
1
3
2
1
100
011
011
即再配方，得
,6222 23232231 yyyyyf
33
322
311
2
yz
yyz
yyz
令
,2
33
322
311
zy
zzy
zzy
.622 232221 zzzf 得
z
z
z
y
y
y
3
2
1
3
2
1
100
210
101
即所用变换矩阵为
100
210
101
100
011
011
C,
100
111
311
.02C
由于二次型和矩阵是一一对应的，所以定理 8-1可用矩阵语言叙述为定理 8-2数域 P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵。
即对于 P上任一对称矩阵 A，都存在 P上的可逆阵 C，使得
TC AC 为对角阵。
1 2 sC P P P?
TC AC
1 2 sC E P P P
A
EC
配方法求 C较麻烦，下面借助矩阵方法来进行。
由定理 8-2，对对称矩阵 A，存在可逆 C，使得为对角阵。
2、初等变换法
s 2 1 1 2 s
T T TP P P A P P P
解
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形化二次型
xxxxxxxxxf例 2
21
31
21
31
1 1 1 1 0 0 1 0 0
1 2 3 1 1 2 0 1 2
1 3 5 1 2 4 0 2 4
1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
rr
cc
cc
A
E
31
31
2
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 2 0 1 0 0 1 0
0 2 4 0 2 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 2 0 1 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
cc
1 1 1
0 1 2
0 0 1
C
1 1 2 3
2 2 3
33
2
x y y y
x y y
xy
22
12,f y y
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型
xxxxxxf例 4
12
12
0 1 1 1 1 1 2 1 2
1 0 3 1 0 3 1 0 3
1 3 0 2 3 0 2 3 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
cc
A
E
21
31
21
31
1
2
1
2
2 0 0 2 0 0
11
2 1 2
1 2 0 2
22
1 0 3
2 2 2 0 2 2
2 3 0
11
1 0 0 1 1 1 1
22
1 1 0
11
1 1 1 1
0 0 1
22
0 0 1 0 0 1
rr
rr
cc
cc
32
32
4
4
2 0 0 2 0 0 2 0 0
1 1 1
0 2 0 0 0 0
2 2 2
0 2 2 0 2 6 0 0 6
1 1 1
1 1 1 3 1 3
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
cc
2
2
2
2
2 0 0
1
2 0 0 2 0 0
00
2
0 1 0 0 2 0
0 0 6
0 0 6 0 0 6
1
1 1 3 1 1 313
2
1 1 1 1 1 1
1
11
0 0 1 0 0 1
2
0 0 1
r
c
1 1 3
1 1 1
0 0 1
C
222
1 2 32 2 6f y y y
回忆：,,TA 总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵
ATT 1 使得，
，为正交矩阵，即又 ETTT T?
TTT 1 所以
,,TA 总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵
ATT T 使得，
此结论用于二次型所以，
3,正交变换法定理 8-3（主轴定理）：
任给二次型,
1,
AXXxxaf T
n
ji
jiij
总有正交变换,CYX?
使之化为标准形
2222211 nn yyyf
,
21
的全部特征值矩阵的对称是二次型，，，其中
A
fn
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式?;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C
记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
的标准形则得作正交变换解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
1442
4142
2217
A
1442
4142
2217
EA
918 2
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例 5
从而得特征值,18,9 321
得基础解系代入将,091 xEA
2．求特征向量
得基础解系代入将,01832 xEA
,)0,1,2(2 T?,)1,0,2(3 T?
3．将特征向量正交化
,11 取
.)1,1,21(1 T
,22
,,
,
2
22
32
33
得正交向量组
.)1,54,52(3 T?
,)0,1,2(2 T?,)1,1,21(1 T
,3,2,1, i
i
i
i?
令得
,
0
51
52
2
,
32
32
31
1
,
455
454
452
3
.
455032
4545132
4525231
P 所以
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.18189 232221 yyyf且有解例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx
二次型的矩阵为
,
0111
1011
1101
1110
A
它的特征多项式为
.
111
111
111
111
EA
有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,
111
111
111
1111
)1(
EA
有四行分别减去第一行三把二,,,
1000
2120
2210
1111
)1(
EA
12
21)1( 2
.)1()3()32()1( 322
.1,3 4321的特征值为于是 A
,0)3(,31 xEA解方程时当?
,
1
1
1
1
1
得基础解系,
1
1
1
1
2
1
1
p单位化即得
,0)(,1432 xEA解方程时当
,
1
1
1
1
,
1
1
0
0
,
0
0
1
1
232
可得正交的基础解系单位化即得
21
21
21
21
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
432
ppp
于是正交变换为
y
y
y
y
x
x
x
x
4
3
2
1
4
3
2
1
2121021
2121021
2102121
2102121
.3 24232221 yyyyf 且有
2
1 2 3 1 3 2(,,) 2f x x x x x x
用 正 交 变 换 化为 标 准 形 。
例 6.
.
001
010
100
,
001
010
100
),,(),,(
3
2
1
321321
A
Axx
x
x
x
xxxxxxf
T
得实对称矩阵解 第一步 将 表成矩阵形式f
.1,1
,0)1()1(
.
321
2
得由的所有特征值求出第二步
AE
A
.
0
1
0
,
1
0
1
,0)(
.
21
1
得它的基础解系解方程组求正交矩阵第三步
xAE
T
.
0
1
0
,
2/1
0
2/1
,
,,0],[
2
2
2
1
1
1
2121
得将它们单位化正交与?
得单位化得它的基础解系解方程组
,,
1
0
1
,0)(
3
3
xAE
.
2/1
0
2/1
3
3
3
.
100
010
001
,),,,(
,,,
1
321
21331
为对角阵且为正交矩阵令正交与
ATT
TT
.)(
.
2
3
2
2
2
1 yyyyyyATTyf
Tyx
TTT
作正交变换第四步小结将一个二次型化为标准形，可以用 正交变换法,也可以用 初等变换法 和 拉格朗日配方法 。
这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．
正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二二次型中变量个数较少，使用配方法和初等变换法反而比较简单．需要注意的是,使用不同的方法,所得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩 。
化为标准型，并指出 表示何种二次 1,,321?xxxf
曲面,
323121
2
3
2
2
2
1
321
662355
,,
xxxxxxxxx
xxxf
求一正交变换，将二次型思考题思考题解答
,
333
351
315
A二次型的矩阵为解
),9)(4()d e t ( EA可求得
,9,4,0 321的特征值为于是 A
.
1
1
1
,
0
1
1
,
2
1
1
321
ppp
对应特征向量为将其单位化得
,
62
61
61
1
1
1
p
p
q,
0
21
21
2
2
2
p
p
q
.
31
31
31
3
3
3
p
p
q
故正交变换为
,
3
1
0
6
2
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.94 2322 yyf化二次型为
.1),,( 321 表示椭圆柱面可知?xxxf
.,
,,323121321
变换并写出所作的可逆线性为标准形化二次型
xxxxxxxxxf
思考题思考题解答故令方项由于所给二次型不含平,解
,
,
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
,)( 232231 2 yyyyf有
,
,
,
,
,
,
33
22
311
33
22
211
zy
zy
zzy
yz
yz
yyz
或再令
,
2
3
2
2
2
1 zzzf
得标准形
.
,
,
33
3212
3211
zx
zzzx
zzzx
所用可逆线性变换为
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课只含有平方项的二次型
2222211 nn ykykykf
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
31232221321 4542,,xxxxxxxxf
都为二次型；
232221321 44,,xxxxxxf
为二次型的标准形,
323121321,,xxxxxxxxxf
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
2211
22221212
12121111
,
,
设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
),( cC ij?记 记作则上述可逆线性变换可
Cyx?
说明
2222211 nnTT ykykykA C yCy
就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2 Cyxf,?
,),,,(
2
1
2
1
21
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n?
.成为对角矩阵也就是要使 ACC T;
,,1
ACCBA
fCyx,
T?
变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩
,
.,
,,
1 APPAPP
PA
T
化为标准形使正交变换总有任给二次型定理
fPyx
aaxxaf jiij
n
ji
jiij
,
,2
1,
,2222211 nn yyyf
,,,,21 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式?;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C
记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
的标准形则得作正交变换解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
1442
4142
2217
A
1442
4142
2217
EA
918 2
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例 2
从而得特征值,18,9 321
得基础解系代入将,091 xEA
2．求特征向量
得基础解系代入将,01832 xEA
,)0,1,2(2 T?,)1,0,2(3 T?
3．将特征向量正交化
,11 取
.)1,1,21(1 T
,22
,,
,
2
22
32
33
得正交向量组
.)1,54,52(3 T?
,)0,1,2(2 T?,)1,1,21(1 T
,3,2,1, i
i
i
i?
令得
,
0
51
52
2
,
32
32
31
1
,
455
454
452
3
.
455032
4545132
4525231
P 所以
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.18189 232221 yyyf且有解例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx
二次型的矩阵为
,
0111
1011
1101
1110
A
它的特征多项式为
.
111
111
111
111
EA
有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,
111
111
111
1111
)1(
EA
有四行分别减去第一行三把二,,,
1000
2120
2210
1111
)1(
EA
12
21)1( 2
.)1()3()32()1( 322
.1,3 4321的特征值为于是 A
,0)3(,31 xEA解方程时当?
,
1
1
1
1
1
得基础解系,
1
1
1
1
2
1
1
p单位化即得
,0)(,1432 xEA解方程时当
,
1
1
1
1
,
1
1
0
0
,
0
0
1
1
232
可得正交的基础解系单位化即得
21
21
21
21
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
432
ppp
于是正交变换为
y
y
y
y
x
x
x
x
4
3
2
1
4
3
2
1
2121021
2121021
2102121
2102121
.3 24232221 yyyyf 且有五、小结
1,实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过 在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．
2,实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法 —— 拉格朗日配方法,
化为标准型，并指出 表示何种二次 1,,321?xxxf
曲面,
323121
2
3
2
2
2
1
321
662355
,,
xxxxxxxxx
xxxf
求一正交变换，将二次型思考题思考题解答
,
333
351
315
A二次型的矩阵为解
),9)(4()d e t ( EA可求得
,9,4,0 321的特征值为于是 A
.
1
1
1
,
0
1
1
,
2
1
1
321
ppp
对应特征向量为将其单位化得
,
62
61
61
1
1
1
p
p
q,
0
21
21
2
2
2
p
p
q
.
31
31
31
3
3
3
p
p
q
故正交变换为
,
3
1
0
6
2
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.94 2322 yyf化二次型为
.1),,( 321 表示椭圆柱面可知?xxxf
1,配方法
2,初等变换法
3,正交变换法目标,AXXf
T? 二次型
CY X?非退化线性变换
YACCYf TT )(?标准形
2222211 nn ykykyk
YY T
问题转化为,为对角矩阵，使得求可逆矩阵 ACCC T
8.2 二次型的标准形
1、配方法定理 8-1 数域 P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换，化为标准形。（ 拉格朗日配方法）
1,若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；
ix
ix
kk
jij
jii
yx
yyx
yyx
jiknk,,,2,1 且?
拉格朗日配方法的步骤
2,若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换
0?ija
),( ji?
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1中方法配方。
解
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形化二次型
xxxxxxxxxf例 1
312121 22 xxxxx 322322 652 xxxx
的项配方含有 x 1含有平方项
2321 xxx
322322 652 xxxx 32
2322 2 xxxx
去掉配方后多出来的项
3223222321 44 xxxxxxx
,2 2322321 xxxxx
33
322
3211
2
xy
xxy
xxxy
令
33
322
321
2
yx
yy
yyyx
3
2
1
3
2
1
100
210
111
y
y
y
x
x
x
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.2221 yy
所用变换矩阵为
,01,
100
210
111
CC
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
令解
,622 323121 xxxxxxf代入
.8422 32312221 yyyyyyf 得
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型
xxxxxxf例 3
由于所给二次型中无平方项，所以
y
y
y
x
x
x
3
2
1
3
2
1
100
011
011
即再配方，得
,6222 23232231 yyyyyf
33
322
311
2
yz
yyz
yyz
令
,2
33
322
311
zy
zzy
zzy
.622 232221 zzzf 得
z
z
z
y
y
y
3
2
1
3
2
1
100
210
101
即所用变换矩阵为
100
210
101
100
011
011
C,
100
111
311
.02C
由于二次型和矩阵是一一对应的，所以定理 8-1可用矩阵语言叙述为定理 8-2数域 P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵。
即对于 P上任一对称矩阵 A，都存在 P上的可逆阵 C，使得
TC AC 为对角阵。
1 2 sC P P P?
TC AC
1 2 sC E P P P
A
EC
配方法求 C较麻烦，下面借助矩阵方法来进行。
由定理 8-2，对对称矩阵 A，存在可逆 C，使得为对角阵。
2、初等变换法
s 2 1 1 2 s
T T TP P P A P P P
解
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形化二次型
xxxxxxxxxf例 2
21
31
21
31
1 1 1 1 0 0 1 0 0
1 2 3 1 1 2 0 1 2
1 3 5 1 2 4 0 2 4
1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
rr
cc
cc
A
E
31
31
2
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 2 0 1 0 0 1 0
0 2 4 0 2 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 2 0 1 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
cc
1 1 1
0 1 2
0 0 1
C
1 1 2 3
2 2 3
33
2
x y y y
x y y
xy
22
12,f y y
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型
xxxxxxf例 4
12
12
0 1 1 1 1 1 2 1 2
1 0 3 1 0 3 1 0 3
1 3 0 2 3 0 2 3 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
cc
A
E
21
31
21
31
1
2
1
2
2 0 0 2 0 0
11
2 1 2
1 2 0 2
22
1 0 3
2 2 2 0 2 2
2 3 0
11
1 0 0 1 1 1 1
22
1 1 0
11
1 1 1 1
0 0 1
22
0 0 1 0 0 1
rr
rr
cc
cc
32
32
4
4
2 0 0 2 0 0 2 0 0
1 1 1
0 2 0 0 0 0
2 2 2
0 2 2 0 2 6 0 0 6
1 1 1
1 1 1 3 1 3
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
rr
cc
2
2
2
2
2 0 0
1
2 0 0 2 0 0
00
2
0 1 0 0 2 0
0 0 6
0 0 6 0 0 6
1
1 1 3 1 1 313
2
1 1 1 1 1 1
1
11
0 0 1 0 0 1
2
0 0 1
r
c
1 1 3
1 1 1
0 0 1
C
222
1 2 32 2 6f y y y
回忆：,,TA 总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵
ATT 1 使得，
，为正交矩阵，即又 ETTT T?
TTT 1 所以
,,TA 总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵
ATT T 使得，
此结论用于二次型所以，
3,正交变换法定理 8-3（主轴定理）：
任给二次型,
1,
AXXxxaf T
n
ji
jiij
总有正交变换,CYX?
使之化为标准形
2222211 nn yyyf
,
21
的全部特征值矩阵的对称是二次型，，，其中
A
fn
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式?;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C
记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
的标准形则得作正交变换解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
1442
4142
2217
A
1442
4142
2217
EA
918 2
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例 5
从而得特征值,18,9 321
得基础解系代入将,091 xEA
2．求特征向量
得基础解系代入将,01832 xEA
,)0,1,2(2 T?,)1,0,2(3 T?
3．将特征向量正交化
,11 取
.)1,1,21(1 T
,22
,,
,
2
22
32
33
得正交向量组
.)1,54,52(3 T?
,)0,1,2(2 T?,)1,1,21(1 T
,3,2,1, i
i
i
i?
令得
,
0
51
52
2
,
32
32
31
1
,
455
454
452
3
.
455032
4545132
4525231
P 所以
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.18189 232221 yyyf且有解例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx
二次型的矩阵为
,
0111
1011
1101
1110
A
它的特征多项式为
.
111
111
111
111
EA
有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,
111
111
111
1111
)1(
EA
有四行分别减去第一行三把二,,,
1000
2120
2210
1111
)1(
EA
12
21)1( 2
.)1()3()32()1( 322
.1,3 4321的特征值为于是 A
,0)3(,31 xEA解方程时当?
,
1
1
1
1
1
得基础解系,
1
1
1
1
2
1
1
p单位化即得
,0)(,1432 xEA解方程时当
,
1
1
1
1
,
1
1
0
0
,
0
0
1
1
232
可得正交的基础解系单位化即得
21
21
21
21
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
432
ppp
于是正交变换为
y
y
y
y
x
x
x
x
4
3
2
1
4
3
2
1
2121021
2121021
2102121
2102121
.3 24232221 yyyyf 且有
2
1 2 3 1 3 2(,,) 2f x x x x x x
用 正 交 变 换 化为 标 准 形 。
例 6.
.
001
010
100
,
001
010
100
),,(),,(
3
2
1
321321
A
Axx
x
x
x
xxxxxxf
T
得实对称矩阵解 第一步 将 表成矩阵形式f
.1,1
,0)1()1(
.
321
2
得由的所有特征值求出第二步
AE
A
.
0
1
0
,
1
0
1
,0)(
.
21
1
得它的基础解系解方程组求正交矩阵第三步
xAE
T
.
0
1
0
,
2/1
0
2/1
,
,,0],[
2
2
2
1
1
1
2121
得将它们单位化正交与?
得单位化得它的基础解系解方程组
,,
1
0
1
,0)(
3
3
xAE
.
2/1
0
2/1
3
3
3
.
100
010
001
,),,,(
,,,
1
321
21331
为对角阵且为正交矩阵令正交与
ATT
TT
.)(
.
2
3
2
2
2
1 yyyyyyATTyf
Tyx
TTT
作正交变换第四步小结将一个二次型化为标准形，可以用 正交变换法,也可以用 初等变换法 和 拉格朗日配方法 。
这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．
正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二二次型中变量个数较少，使用配方法和初等变换法反而比较简单．需要注意的是,使用不同的方法,所得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩 。
化为标准型，并指出 表示何种二次 1,,321?xxxf
曲面,
323121
2
3
2
2
2
1
321
662355
,,
xxxxxxxxx
xxxf
求一正交变换，将二次型思考题思考题解答
,
333
351
315
A二次型的矩阵为解
),9)(4()d e t ( EA可求得
,9,4,0 321的特征值为于是 A
.
1
1
1
,
0
1
1
,
2
1
1
321
ppp
对应特征向量为将其单位化得
,
62
61
61
1
1
1
p
p
q,
0
21
21
2
2
2
p
p
q
.
31
31
31
3
3
3
p
p
q
故正交变换为
,
3
1
0
6
2
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.94 2322 yyf化二次型为
.1),,( 321 表示椭圆柱面可知?xxxf
.,
,,323121321
变换并写出所作的可逆线性为标准形化二次型
xxxxxxxxxf
思考题思考题解答故令方项由于所给二次型不含平,解
,
,
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
,)( 232231 2 yyyyf有
,
,
,
,
,
,
33
22
311
33
22
211
zy
zy
zzy
yz
yz
yyz
或再令
,
2
3
2
2
2
1 zzzf
得标准形
.
,
,
33
3212
3211
zx
zzzx
zzzx
所用可逆线性变换为
