第 8章 二次型
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课
222 164 zyxf 为 正定二次型
2221 3 xxf 为 负定二次型
8.4.1 正定二次型
.
,,0)(
0;,
,00 0,0
,)( 1
是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的并称对称矩阵次型为正定二则称显然都有如果对任何设有实二次型定义
A
fxf
xA
ffxfx
Axxxf
T
例如注：本节的二次型都假定是实二次型。
证明 使设可逆变换 Cyx?
,2
1
i
n
i
i ykCyfxf?
充分性
.,,10 nik i设,0?x任给
,0 xCy 1-则
,02
1
i
n
i i
ykxf故定理 1 n元实二次型 为正定的充分必要条件为：它的标准形的 n个系数全为正。
Tf x A x?
必要性
,0?sk假设有,)( 时单位坐标向量则当 sey?
,0 ss kCef
,0?sCe显然,为正定相矛盾这与 f
故.,,10 nik i
推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的特征值全为正．
A A
注：参考书中 定理 8-9，定理 8-10。
推论 1 n元实二次型正定的充分必要条件是，
它的规范形为
2 2 2
12 nf z z z
推论 2 n元实二次型正定的充分必要条件是，
它的正惯性指数为 n。
8.4.2 正定矩阵
Tx Ax定义 2 设 A是实对称矩阵，如果二次型 是正定二次型，则称 A是 正定矩阵 。
AE定理 2 实对称矩阵 A正定的充要条件是
TA C C?
定理 3 实对称矩阵 A正定的充要条件是：存在可逆矩阵 C，使得证明：由推论 2。
定理 4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的特征值全为正．
A A
证明：因为任何 n元实二次型 都可经过正交 线性替换 化为标准形
Tf x A x?
x Ty?
2 2 21 1 2 2 nny y y
12 n A其 中,,,是 的 全 部 特 征 值 。
TA x A x?正 定 是 正 定 二 次 型
12 n,,,全 大 于 0
例 1 设 A正定，则 A可逆，且 也正定。1A?
证明：因为 A是正定矩阵，所以存在可逆 C，使得
TA C C?
2 0TA C C C
1 1 1( ) ( )TTA C C C C-1且
11() TTC C D D
1() TDC?（ 其 中 ＝ ）
下面给出正定矩阵的必要条件和充分必要条件定理 5（必要条件）设 A为正定矩阵，则
0 ( 1,2,,)iia i n(1) A的主对角元素
0.A?(2) A的行列式证明：
( 1 ) TA f x A x正 定,正 定
(0,,1,,0 ) Tixe取
(0,,1,,0 ) 0Ti i i if e A e a
(2)因为 A是正定矩阵，所以存在可逆 C，使得
TA C C?
2 0TA C C C
注：此定理只是必要条件，
0 2 1 3,
2 5 3 2
例 如 都 不 是 正 定 矩
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 2
0 0 2 1
A
虽满足 0,9 0
iiaA
但 A不是正定矩阵。
称为 A的 k阶 顺序主子式 。
定义 3 设 是一个 n阶矩阵，如果 A的 k阶子式()
ij n nAa
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
k
k
k k k k
i j i j i j
i j i j i j
i j i j i j
a a a
a a a
a a a
11 12 1
21 22 2
12
k
k
k k kk
a a a
a a a
a a a
的行标等于列标，即,则称为
k阶 主子式 （ principal minor），其中主子式
1 1 2 2,,,kki j i j i j
,011?a,0
2221
1211?
aa
aa
,?;0
1
111
nnn
n
aa
aa
这个定理称为霍尔维茨定理．
定理 6（充分必要条件）
对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的各阶顺序主子式全为正，即
A A
正定矩阵具有以下一些简单性质;
,,A,.1 1T
定矩阵均为正则为正定实对称阵设 AAA
.
,,.2
矩阵也是正定则阶正定矩阵均为若 BAnBA?
例 2 判别二次型
323121232221321 48455,,xxxxxxxxxxxxf
是否正定,
解的矩阵为321,,xxxf
,
524
212
425
它的顺序主子式
,05?,0112
25
,01
524
212
425
故上述二次型是正定的,
例 3 判别二次型
31232221321 4542,,xxxxxxxxf
是否正定,
解二次型的矩阵为
,
502
040
202
A
用 特征值判别法,
0 AE?令,6,4,1 321
故此二次型为正定二次型,即知 是正定矩阵，A
8.4.3 其他类型的实二次型
Tf x A x?
0Tf x A x
0Tf x A x
定义 4 设 为 n元实二次型，对于任意一个非零向量 x，Tf x A x?
0Tf x A x(1) 都有,则称 f是半正定的；
(2) 都有,则称 f是负定的；
(4) 如果 既不是半正定也不是半负定，
则称 f是不定的。
(3) 都有,则称 f是半负定的；
注：以上二次型对应的实对称矩阵分别叫做 半正定矩阵,
负定矩阵,半负定矩阵 。
定理 7 对于 n元实二次型 f，下列命题等价：
(1) f负定；
(2) f的负惯性指数是 n，即其规范形为
(3) f的矩阵 A的特征值全小于 0；
(4) f的矩阵 A的的顺序主子式 满足即，奇数阶顺序主子式小于 0，
偶数阶顺序主子式大于 0，
2 2 212 ny y y
( 1 ) 0 ( 1,2,,)i iD i n
iD
定理 8 对于 n元实二次型 f，下列命题等价：
(1) f半正定；
(2) f的正惯性指数是 n，即其规范形为
(3) f的矩阵 A的特征值全大于等于 0，且至少有一个特征值为 0。
(4)f的矩阵 A的的顺序主子式全大于等于 0，
且至少有一个等于 0。
例 4 判别二次型
xzxyzyxf 44465 222
的正定性,
解 的矩阵为f
,0511a,02662
25
2221
1211
aa
aa
,080A,13 为负定知根据定理 f
,
402
062
225
A
2,正定二次型 （ 正定矩阵 ）的判别方法：
(1)定义法 ；
(2)顺次主子式判别法 ；
(3)特征值判别法,
四、小结
1,正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．
3,根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型 （ 负定矩阵 ）及半正定二次型（矩阵）
相应的判别方法．
思考题
.
0
0
,,,
是否为正定矩阵矩阵试判定分块阶正定矩阵阶分别为设
B
A
C
nmBA
思考题解答
,是正定的C解于是量不同时为零向则若维列向量维和别是分其中维向量为设因为
,
,,0,
,,),(,
yxznm
yxnmyxz TTT
y
x
B
Ay
xCzz TTT 0
0),(
,0 ByyAxx TT
.,为正定矩阵故是实对称阵且 CC
8.1 二次型及其矩阵表示
8.2 二次型的标准形
8.3 惯性定理和规范形
8.4 实二次型的正定性
8.5 二次曲面的分类总结 习题课
222 164 zyxf 为 正定二次型
2221 3 xxf 为 负定二次型
8.4.1 正定二次型
.
,,0)(
0;,
,00 0,0
,)( 1
是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的并称对称矩阵次型为正定二则称显然都有如果对任何设有实二次型定义
A
fxf
xA
ffxfx
Axxxf
T
例如注：本节的二次型都假定是实二次型。
证明 使设可逆变换 Cyx?
,2
1
i
n
i
i ykCyfxf?
充分性
.,,10 nik i设,0?x任给
,0 xCy 1-则
,02
1
i
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ykxf故定理 1 n元实二次型 为正定的充分必要条件为：它的标准形的 n个系数全为正。
Tf x A x?
必要性
,0?sk假设有,)( 时单位坐标向量则当 sey?
,0 ss kCef
,0?sCe显然,为正定相矛盾这与 f
故.,,10 nik i
推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的特征值全为正．
A A
注：参考书中 定理 8-9，定理 8-10。
推论 1 n元实二次型正定的充分必要条件是，
它的规范形为
2 2 2
12 nf z z z
推论 2 n元实二次型正定的充分必要条件是，
它的正惯性指数为 n。
8.4.2 正定矩阵
Tx Ax定义 2 设 A是实对称矩阵，如果二次型 是正定二次型，则称 A是 正定矩阵 。
AE定理 2 实对称矩阵 A正定的充要条件是
TA C C?
定理 3 实对称矩阵 A正定的充要条件是：存在可逆矩阵 C，使得证明：由推论 2。
定理 4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的特征值全为正．
A A
证明：因为任何 n元实二次型 都可经过正交 线性替换 化为标准形
Tf x A x?
x Ty?
2 2 21 1 2 2 nny y y
12 n A其 中,,,是 的 全 部 特 征 值 。
TA x A x?正 定 是 正 定 二 次 型
12 n,,,全 大 于 0
例 1 设 A正定，则 A可逆，且 也正定。1A?
证明：因为 A是正定矩阵，所以存在可逆 C，使得
TA C C?
2 0TA C C C
1 1 1( ) ( )TTA C C C C-1且
11() TTC C D D
1() TDC?（ 其 中 ＝ ）
下面给出正定矩阵的必要条件和充分必要条件定理 5（必要条件）设 A为正定矩阵，则
0 ( 1,2,,)iia i n(1) A的主对角元素
0.A?(2) A的行列式证明：
( 1 ) TA f x A x正 定,正 定
(0,,1,,0 ) Tixe取
(0,,1,,0 ) 0Ti i i if e A e a
(2)因为 A是正定矩阵，所以存在可逆 C，使得
TA C C?
2 0TA C C C
注：此定理只是必要条件，
0 2 1 3,
2 5 3 2
例 如 都 不 是 正 定 矩
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 2
0 0 2 1
A
虽满足 0,9 0
iiaA
但 A不是正定矩阵。
称为 A的 k阶 顺序主子式 。
定义 3 设 是一个 n阶矩阵，如果 A的 k阶子式()
ij n nAa
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
k
k
k k k k
i j i j i j
i j i j i j
i j i j i j
a a a
a a a
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21 22 2
12
k
k
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a a a
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的行标等于列标，即,则称为
k阶 主子式 （ principal minor），其中主子式
1 1 2 2,,,kki j i j i j
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2221
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,?;0
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111
nnn
n
aa
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这个定理称为霍尔维茨定理．
定理 6（充分必要条件）
对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的各阶顺序主子式全为正，即
A A
正定矩阵具有以下一些简单性质;
,,A,.1 1T
定矩阵均为正则为正定实对称阵设 AAA
.
,,.2
矩阵也是正定则阶正定矩阵均为若 BAnBA?
例 2 判别二次型
323121232221321 48455,,xxxxxxxxxxxxf
是否正定,
解的矩阵为321,,xxxf
,
524
212
425
它的顺序主子式
,05?,0112
25
,01
524
212
425
故上述二次型是正定的,
例 3 判别二次型
31232221321 4542,,xxxxxxxxf
是否正定,
解二次型的矩阵为
,
502
040
202
A
用 特征值判别法,
0 AE?令,6,4,1 321
故此二次型为正定二次型,即知 是正定矩阵，A
8.4.3 其他类型的实二次型
Tf x A x?
0Tf x A x
0Tf x A x
定义 4 设 为 n元实二次型，对于任意一个非零向量 x，Tf x A x?
0Tf x A x(1) 都有,则称 f是半正定的；
(2) 都有,则称 f是负定的；
(4) 如果 既不是半正定也不是半负定，
则称 f是不定的。
(3) 都有,则称 f是半负定的；
注：以上二次型对应的实对称矩阵分别叫做 半正定矩阵,
负定矩阵,半负定矩阵 。
定理 7 对于 n元实二次型 f，下列命题等价：
(1) f负定；
(2) f的负惯性指数是 n，即其规范形为
(3) f的矩阵 A的特征值全小于 0；
(4) f的矩阵 A的的顺序主子式 满足即，奇数阶顺序主子式小于 0，
偶数阶顺序主子式大于 0，
2 2 212 ny y y
( 1 ) 0 ( 1,2,,)i iD i n
iD
定理 8 对于 n元实二次型 f，下列命题等价：
(1) f半正定；
(2) f的正惯性指数是 n，即其规范形为
(3) f的矩阵 A的特征值全大于等于 0，且至少有一个特征值为 0。
(4)f的矩阵 A的的顺序主子式全大于等于 0，
且至少有一个等于 0。
例 4 判别二次型
xzxyzyxf 44465 222
的正定性,
解 的矩阵为f
,0511a,02662
25
2221
1211
aa
aa
,080A,13 为负定知根据定理 f
,
402
062
225
A
2,正定二次型 （ 正定矩阵 ）的判别方法：
(1)定义法 ；
(2)顺次主子式判别法 ；
(3)特征值判别法,
四、小结
1,正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．
3,根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型 （ 负定矩阵 ）及半正定二次型（矩阵）
相应的判别方法．
思考题
.
0
0
,,,
是否为正定矩阵矩阵试判定分块阶正定矩阵阶分别为设
B
A
C
nmBA
思考题解答
,是正定的C解于是量不同时为零向则若维列向量维和别是分其中维向量为设因为
,
,,0,
,,),(,
yxznm
yxnmyxz TTT
y
x
B
Ay
xCzz TTT 0
0),(
,0 ByyAxx TT
.,为正定矩阵故是实对称阵且 CC
