第七章 空间曲线和曲面
（习题课）
（一）曲面方程
（二）空间曲线方程曲面曲线旋转曲面柱 面二次曲面一般方程参数方程锥面曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程
0),,(?zyxF 有下述关系：
( 1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
那么，方程 0),,(?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形,
2、曲面
( 2 ) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
研究空间曲面的两个基本问题：
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,
[1] 旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,
方程特点,
0),(
)2(
0),(
)1(
0
0),(
:
22
22
yzxf
yL
zyxf
xL
z
yxf
L
方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线设有平面曲线
（ 2）圆锥面
222 zyx
（ 1）球面 （ 3）旋转双曲面
12
2
2
2
2
2
czayax1222 zyx
[2] 柱面定义,平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线
L所形成的曲面称之,
这条定曲线叫柱面的 准线,动直线叫柱面的 母线,
从柱面方程看柱面的特征：
只含 yx,而缺 z 的方程 0),(?yxF,在空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 x o y 面上曲线 C,
(1) 平面
xy?
(3) 抛物柱面
)0(
22
p
pyx
(4) 椭圆柱面
12
2
2
2
byax
(2) 圆柱面
222 Ryx
[3] 二次曲面定义,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,
（ 1）椭球面
12
2
2
2
2
2
czbyax zq
y
p
x
22
22
（ 2）椭圆抛物面
)( 同号与 qp
zqypx 22
22
（ 3）马鞍面
)( 同号与 qp
（ 4）单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
czbyax
（ 5）圆锥面
222 zyx
3、空间曲线
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
[1] 空间曲线的一般方程
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
[2] 空间曲线的参数方程
222
22
)
2
1
()
2
1
(
1
yx
yxz
2
s i n
s i n
2
1
2
1
co s
2
1
t
z
ty
tx
如图空间曲线一般方程为参数方程为
[3] 空间曲线在坐标面上的投影
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),(?yxH
设空间曲线的一般方程：
0
0),(
z
yxH
曲线在 面上的投影曲线为xoy
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
面上的投影曲线yoz 面上的投影曲线xoz
如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面
[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体曲面例解
.
,
110
1:
求旋转曲面的方程轴旋转一周绕直线 zzyxL
),,1( 111 zyM设直线上一点,11 zy?有位置到达旋转后 ),,(),,1( 111 zyxMzyM
由于高度不变,,1zz?有
,1 不因旋转而改变轴的距离到和又 rzMM
一,填空 题
1,曲面 052 xyzxyz 与直线
3
5
1
yx
7
10?
z
的交点是（ ）,
（ A ） )4,1,2(,)3,2,1(；
（ B ） )3,2,1( ；
（ C ） )4,3,2( ；
（ D ）,)4,1,2(
测试题
2,已知球面经过 )1,3,0(? 且与
x o y
面交成圆周
0
16
22
z
yx
，则此球面的方程是（ ）,
（ A ） 0166222 zzyx ；
（ B ） 016222 zzyx ；
（ C ） 0166222 zzyx ；
（ D ） 0166222 zzyx,
3,下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是
（ ）,
（ A ） 1222 zyx ； （ B ） zyx 422 ；
（ C ） 1
4
2
2
2 zyx ； （ D ） 1
169
222
zyx
,
二,一动点与点
)0,0,1(M
的距离是它到平面
4?x 的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与 y o z
面的交线方程,
