第一单元 积分的几何应用一、学习目标通过本节课的学习，了解定积分的几何意义，学会计算曲边梯形的面积，进而计算平面图形的面积二、内容讲解积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质．
先讲平面图形的面积计算．怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了．由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值．
将这块土地抽象成坐标系中的这个图形，图形上端曲线方程为，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即
图形的面积近似为
小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．
如果用表示图形的面积，由定积分的定义可知
从这个问题的解决可以看出，当时，的几何意义就是由曲线与轴及直线 所围的平面图形的面积．通过例子说明：当时，的几何意义就是表示由曲线与轴及直线所围的曲边梯形的面积．
再来看一般的情况，计算如下图形的面积
图形上面的曲线为，下面的曲线为，由定积分的几何意义可知图形的面积为
或表示为
一个积分是在对称区间上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是
这个结论可以由几何直观加以证
从上图可以看出，
当是奇函数时有；
当是偶函数时有．
问题思考1,直线与轴是什么关系？
答案直线就是轴．
问题思考2,圆心在原点的单位圆的方程是什么？
答案圆心在原点的单位圆的方程是
三、例题讲解例1 三角形底为1，高为2，求三角形的面积．
解：按三角形面积公式有
用定积分计算（如图）?
例2 梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．
解：按梯形面积公式有
用定积分计算（如图）
例3求半径为2的圆的面积．
解：按圆的面积公式有
用定积分计算（如图）
令，则，
时；时．
例4 求由，及轴和轴围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图所示
例5求由，轴在区间上围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图所示
?
例6 求由，所围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图示，在区间上
在区间上?
由此得
例7计算
解：因为都是偶函数，是奇函数．
所以是偶函数，是奇函数．由此得
?
四、课堂练习练习1 求由曲线与轴及直线围成的曲边梯形的面积．
一条曲线与轴在区间上所围成的面积表示为要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．考虑在区间内是否与轴有交点，有则变号，没有则不变号．与轴的交点为，在区间内．在区间上，在区间上
练习2求由曲线与直线围成的平面图形的面积求与的交点，确定积分限．两条曲线与所围成的面积表示为其中积分上下限是两曲线相距最远的两个交点的横坐标（如果有第3条曲线则情况例外）．要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．
五、课后作业
1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：
（1）；（2）.
2．求由下列曲线所围平面图形的面积：
（1）直线；
（2）与；
（3）与轴，在区间上,
3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：
（1）；（2）； （3）,
1．（1）；（2）
2．（1）；（2）；（3）2
3．（1）0；（2）8；（3）4
先讲平面图形的面积计算．怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了．由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值．
将这块土地抽象成坐标系中的这个图形，图形上端曲线方程为，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即
图形的面积近似为
小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．
如果用表示图形的面积，由定积分的定义可知
从这个问题的解决可以看出，当时，的几何意义就是由曲线与轴及直线 所围的平面图形的面积．通过例子说明：当时，的几何意义就是表示由曲线与轴及直线所围的曲边梯形的面积．
再来看一般的情况，计算如下图形的面积
图形上面的曲线为，下面的曲线为，由定积分的几何意义可知图形的面积为
或表示为
一个积分是在对称区间上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是
这个结论可以由几何直观加以证
从上图可以看出，
当是奇函数时有；
当是偶函数时有．
问题思考1,直线与轴是什么关系？
答案直线就是轴．
问题思考2,圆心在原点的单位圆的方程是什么？
答案圆心在原点的单位圆的方程是
三、例题讲解例1 三角形底为1，高为2，求三角形的面积．
解：按三角形面积公式有
用定积分计算（如图）?
例2 梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．
解：按梯形面积公式有
用定积分计算（如图）
例3求半径为2的圆的面积．
解：按圆的面积公式有
用定积分计算（如图）
令，则，
时；时．
例4 求由，及轴和轴围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图所示
例5求由，轴在区间上围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图所示
?
例6 求由，所围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图示，在区间上
在区间上?
由此得
例7计算
解：因为都是偶函数，是奇函数．
所以是偶函数，是奇函数．由此得
?
四、课堂练习练习1 求由曲线与轴及直线围成的曲边梯形的面积．
一条曲线与轴在区间上所围成的面积表示为要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．考虑在区间内是否与轴有交点，有则变号，没有则不变号．与轴的交点为，在区间内．在区间上，在区间上
练习2求由曲线与直线围成的平面图形的面积求与的交点，确定积分限．两条曲线与所围成的面积表示为其中积分上下限是两曲线相距最远的两个交点的横坐标（如果有第3条曲线则情况例外）．要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．
五、课后作业
1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：
（1）；（2）.
2．求由下列曲线所围平面图形的面积：
（1）直线；
（2）与；
（3）与轴，在区间上,
3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：
（1）；（2）； （3）,
1．（1）；（2）
2．（1）；（2）；（3）2
3．（1）0；（2）8；（3）4
