第7章积分的应用典型例题与综合练习一、典型例题
1、积分的几何应用例1已知曲线在任一点处的切线斜率为，且曲线过点，试求该曲线的方程．
解：由，得
再由曲线过点得．所求曲线方程为
例2求由曲线和直线所围成的平面图形的面积．
解,与的交点为和，
在区间上有
故所求平面图形的面积为
例3?求由曲线与轴及直线所围成的平面图形的面积．
解：与轴的交点为，在区间上有
在区间上有
故所求平面图形的面积为
2.积分在经济分析中的应用例1某产品边际成本为（万元／百台），边际收入为（万元／百台），固定成本为5（万元），求利润函数．
解：
[方法1]
将代入上式得，即有
将代入上式得，即有
由此得
[方法2]
由此得
例2已知某商品的边际成本为（万元／台），固定成本为10
万元，又已知该商品的销售收入函数为（万元），求(1)使利润最大的销售量和最大利润；(2)在获得最大利润的销售量的基础上，再销售
20台，利润将减少多少？
解：(1)
，
令解得．由于极值点唯一，可知为最大值点，即销售量为200台时，总利润最大．最大利润为
(2)
即在获得最大利润的销售量基础上，再销售20台，利润将减少100万元．
例3假设某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线近似地由表示，试求该国的基尼系数．
解：因为
所以基尼系数为7/24.
3.微分方程例1求微分方程的通解．
解：整理原方程得
两端积分
得原方程的通解为
例2求初值问题，的解．
解：方程为一阶线性微分方程
其中，两端乘以积分因子，即，
得
上式两端积分得
由此得原方程的通解为
将代入上式得，由此得初值问题的解为
1．0； 2．x2－1； 3．，
4．；? 5．3
二、典型例题
1.填空题
1．,
2．已知曲线在点处切线的斜率为，且曲线过点，则该曲线方程为,
3．已知某产品产量为件时的边际成本，固定成本为300元，那么平均成本函数,若销售单价为20元，则利润函数,
4．由直线围成的平面图形面积，用定积分表示为,
5．微分方程的阶数是,
1．0；2．x2－1；3．，；4．；5．3
2.单选题
1．下列不等式成立的是（ ）．
(A)；(B)
(C)；(D)
2．下列定积分中积分值为0的是（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)
3．在切线斜率为的积分曲线中，通过点的曲线是（ ）．
(A)y＝x2＋4；(B)y＝x2＋3；(C)y＝2x＋2；(D)?y＝4x
4．设分别表示固定成本、产量、边际成本，又，则总成本函数表示为（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)
5．设，若销售量由10单位减少到5单位，则收入的改变量是（ ）.
(A)–550；(B)–350；(C)350；(D)550
6．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
(A)；(B)
(C)；(D)
1．C；2．B；3．B；4．C；5．B；6．A
3.多选题
1．根据定积分的几何意义，判定下列定积分的值为正的有（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)；(E)
2．下列等式中成立的有（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)；(E)
1．ABDE；2．ACE
4.是非题
1．因为定积分表示平面图形的面积，所以．
2．由定积分的几何意义知．
3．若曲边梯形由和围成，则该曲边梯形的面积为
4．是微分方程的解．
1.×；2.√；3.×；4.√；
5.计算题
1．曲线在任一点处的切线斜率为，且过点，试求该曲线方程．
2．求过点，且在处的切线斜率为的曲线方程．
3．求下列各题中平面图形的面积：
（1）由所围成的图形；
（2）由和所围成的图形；
（3）由在区间上与轴所围成的图形；
（4）由所围成的图形．
4．求微分方程满足的特解．
5．求微分方程的通解．
1．所求曲线方程为；
2．所求曲线方程为；
3.（1）；；（2）；；（3）；；（4）.
4．；
5．，其中为任意常数．
6.应用题
1．已知生产某种产品件时总收入的变化率是（元／件），试求生产此种产品1000件时的总收入和平均收入，以及从1000件到2000件所增加的收入．
2．设某产品的总成本C（单位：万元）的变化率是产量（单位：百台）的函数，且总收入R（单位：万元）的变化率也是产量的函数，求：
（1）产量从1百台增加到3百台时，总成本与总收入各增加多少？
（2）产量为多少时，总利润最大？
（3）已知固定成本（万元）时，总成本、总利润与产量的函数关系．
（4）若在最大利润产量的基础上再增加生产2万台，总利润将会发生什么样的变化？
3．某种产品在日产量q件时的边际成本为（元／件），且固定成本为375元，每件售价21元．假若产品可以全部售出，试问此种产品的日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润值是多少？
1．（元），（元），（元／件）．
2.（1）14，20；（2）4百台；（3），；（4）若在最大利润产量的基础上再增加生产2万台，总利润将减少3万元．
3.此种产品的日产量为50时，可获得最大利润；最大利润值是125.
1、积分的几何应用例1已知曲线在任一点处的切线斜率为，且曲线过点，试求该曲线的方程．
解：由，得
再由曲线过点得．所求曲线方程为
例2求由曲线和直线所围成的平面图形的面积．
解,与的交点为和，
在区间上有
故所求平面图形的面积为
例3?求由曲线与轴及直线所围成的平面图形的面积．
解：与轴的交点为，在区间上有
在区间上有
故所求平面图形的面积为
2.积分在经济分析中的应用例1某产品边际成本为（万元／百台），边际收入为（万元／百台），固定成本为5（万元），求利润函数．
解：
[方法1]
将代入上式得，即有
将代入上式得，即有
由此得
[方法2]
由此得
例2已知某商品的边际成本为（万元／台），固定成本为10
万元，又已知该商品的销售收入函数为（万元），求(1)使利润最大的销售量和最大利润；(2)在获得最大利润的销售量的基础上，再销售
20台，利润将减少多少？
解：(1)
，
令解得．由于极值点唯一，可知为最大值点，即销售量为200台时，总利润最大．最大利润为
(2)
即在获得最大利润的销售量基础上，再销售20台，利润将减少100万元．
例3假设某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线近似地由表示，试求该国的基尼系数．
解：因为
所以基尼系数为7/24.
3.微分方程例1求微分方程的通解．
解：整理原方程得
两端积分
得原方程的通解为
例2求初值问题，的解．
解：方程为一阶线性微分方程
其中，两端乘以积分因子，即，
得
上式两端积分得
由此得原方程的通解为
将代入上式得，由此得初值问题的解为
1．0； 2．x2－1； 3．，
4．；? 5．3
二、典型例题
1.填空题
1．,
2．已知曲线在点处切线的斜率为，且曲线过点，则该曲线方程为,
3．已知某产品产量为件时的边际成本，固定成本为300元，那么平均成本函数,若销售单价为20元，则利润函数,
4．由直线围成的平面图形面积，用定积分表示为,
5．微分方程的阶数是,
1．0；2．x2－1；3．，；4．；5．3
2.单选题
1．下列不等式成立的是（ ）．
(A)；(B)
(C)；(D)
2．下列定积分中积分值为0的是（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)
3．在切线斜率为的积分曲线中，通过点的曲线是（ ）．
(A)y＝x2＋4；(B)y＝x2＋3；(C)y＝2x＋2；(D)?y＝4x
4．设分别表示固定成本、产量、边际成本，又，则总成本函数表示为（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)
5．设，若销售量由10单位减少到5单位，则收入的改变量是（ ）.
(A)–550；(B)–350；(C)350；(D)550
6．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
(A)；(B)
(C)；(D)
1．C；2．B；3．B；4．C；5．B；6．A
3.多选题
1．根据定积分的几何意义，判定下列定积分的值为正的有（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)；(E)
2．下列等式中成立的有（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)；(E)
1．ABDE；2．ACE
4.是非题
1．因为定积分表示平面图形的面积，所以．
2．由定积分的几何意义知．
3．若曲边梯形由和围成，则该曲边梯形的面积为
4．是微分方程的解．
1.×；2.√；3.×；4.√；
5.计算题
1．曲线在任一点处的切线斜率为，且过点，试求该曲线方程．
2．求过点，且在处的切线斜率为的曲线方程．
3．求下列各题中平面图形的面积：
（1）由所围成的图形；
（2）由和所围成的图形；
（3）由在区间上与轴所围成的图形；
（4）由所围成的图形．
4．求微分方程满足的特解．
5．求微分方程的通解．
1．所求曲线方程为；
2．所求曲线方程为；
3.（1）；；（2）；；（3）；；（4）.
4．；
5．，其中为任意常数．
6.应用题
1．已知生产某种产品件时总收入的变化率是（元／件），试求生产此种产品1000件时的总收入和平均收入，以及从1000件到2000件所增加的收入．
2．设某产品的总成本C（单位：万元）的变化率是产量（单位：百台）的函数，且总收入R（单位：万元）的变化率也是产量的函数，求：
（1）产量从1百台增加到3百台时，总成本与总收入各增加多少？
（2）产量为多少时，总利润最大？
（3）已知固定成本（万元）时，总成本、总利润与产量的函数关系．
（4）若在最大利润产量的基础上再增加生产2万台，总利润将会发生什么样的变化？
3．某种产品在日产量q件时的边际成本为（元／件），且固定成本为375元，每件售价21元．假若产品可以全部售出，试问此种产品的日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润值是多少？
1．（元），（元），（元／件）．
2.（1）14，20；（2）4百台；（3），；（4）若在最大利润产量的基础上再增加生产2万台，总利润将减少3万元．
3.此种产品的日产量为50时，可获得最大利润；最大利润值是125.
