章节题目
第一节 多元函数的基本概念
内容提要
多元函数的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区间上连续函数的性质
重点分析
多元函数的概念、极限、连续及连续的性质
难点分析
二重极限的计算二重极限不存在的判定方法
习题布置
3、4(单)、5（单）、6、8
备注
教 学 内 容
一、多元函数的概念
（1）邻域设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，
（2）区域
例如，即为开集．
连通的开集称为区域或开区域．
例如，
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，
例如，有界闭区域；
无界开区域．
（3）聚点：设E是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E 的聚点.
说明：
a,内点一定是聚点；
b,边界点可能是聚点；
例
(0,0)既是边界点也是聚点．
c,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间：为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.
说明：
a,n维空间的记号为
b,n维空间中两点间距离公式
设两点为
特殊地当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．
c,n维空间中邻域、区域等概念邻域：
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义,设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数，记为（或记为）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当时，元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.
例1 求的定义域．
解
所求定义域为
（6） 二元函数 的图形,设函数的定义域为，对于任意取定的，对应的函数值为，这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点，当取遍上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形.
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如,
例如,
单值分支,
二、多元函数的极限定义1 设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称A为函数当，时的极限，
记为
（或这里）.
说明：
定义中的方式是任意的；
二元函数的极限也叫二重极限
二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证
证
当时,
原结论成立
例3 求极限
解
其中
例4 证明 不存在,
证
取
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
确定极限不存在的方法：
(1) 令沿趋向于，若极限值与有关，则可断言极限不存在；
(2) 找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言在点处极限不存在．
利用点函数的形式有元函数的极限定义2 设元函数的定义域为点集是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称A为元函数当时的极限，记为
.
三、多元函数的连续性
设元函数的定义域为点集是其聚点且，如果则称元函数在点处连续,设是函数的定义域的聚点，如果在点处不连续，则称是函数的间断点.
例5 讨论函数在(0,0)处的连续性．
解 取
当时
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
在(0,0)的连续性解 取
其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（3）一致连续性定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
例７
解
四、小结多元函数的定义多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质
思考题
若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？
思考题解答不能.
例
取
但是 不存在,
原因为若取
第一节 多元函数的基本概念
内容提要
多元函数的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区间上连续函数的性质
重点分析
多元函数的概念、极限、连续及连续的性质
难点分析
二重极限的计算二重极限不存在的判定方法
习题布置
3、4(单)、5（单）、6、8
备注
教 学 内 容
一、多元函数的概念
（1）邻域设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，
（2）区域
例如，即为开集．
连通的开集称为区域或开区域．
例如，
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，
例如，有界闭区域；
无界开区域．
（3）聚点：设E是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E 的聚点.
说明：
a,内点一定是聚点；
b,边界点可能是聚点；
例
(0,0)既是边界点也是聚点．
c,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间：为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.
说明：
a,n维空间的记号为
b,n维空间中两点间距离公式
设两点为
特殊地当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．
c,n维空间中邻域、区域等概念邻域：
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义,设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数，记为（或记为）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当时，元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.
例1 求的定义域．
解
所求定义域为
（6） 二元函数 的图形,设函数的定义域为，对于任意取定的，对应的函数值为，这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点，当取遍上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形.
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如,
例如,
单值分支,
二、多元函数的极限定义1 设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称A为函数当，时的极限，
记为
（或这里）.
说明：
定义中的方式是任意的；
二元函数的极限也叫二重极限
二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证
证
当时,
原结论成立
例3 求极限
解
其中
例4 证明 不存在,
证
取
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
确定极限不存在的方法：
(1) 令沿趋向于，若极限值与有关，则可断言极限不存在；
(2) 找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言在点处极限不存在．
利用点函数的形式有元函数的极限定义2 设元函数的定义域为点集是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称A为元函数当时的极限，记为
.
三、多元函数的连续性
设元函数的定义域为点集是其聚点且，如果则称元函数在点处连续,设是函数的定义域的聚点，如果在点处不连续，则称是函数的间断点.
例5 讨论函数在(0,0)处的连续性．
解 取
当时
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
在(0,0)的连续性解 取
其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（3）一致连续性定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
例７
解
四、小结多元函数的定义多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质
思考题
若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？
思考题解答不能.
例
取
但是 不存在,
原因为若取
